2-3-1 الكسر الجبري النسبي ومجاله

دالة الكسر الجبري النسبي هي

f(x) = n(x) ÷ d(x)

1. حيث n و d كثيرتا حدود و d(x) ≠ 0
2. ومجالها ℝ مطروحًا منها أصفار المقام.

f(x) = n(x) ÷ d(x)

المجال = ℝ − {أصفار المقام}

1. نضع المقام = 0 ونحله.
2. نستبعد الحلول من ℝ.
3. نستبعد أصفار المقام لأن القسمة على صفر غير معرفة.

✍️ أمثلة محلولة

f(x) = 3 ÷ (x – 2)

1. .
2. الحل:

x − 2 = 0

x = 2

المجال ℝ − {2}

✍️ أمثلة محلولة

f(x) = (x + 1) ÷ (x2 – 9)

1. .
2. الحل:

(x – 3)(x + 3) = 0

x = 3 أو x = −3

المجال ℝ − {3 ، −3}

✍️ أمثلة محلولة

f(x) = x ÷ (x2 + 1)

1. .
2. الحل:

x² + 1 ≥ 1 > 0

• المقام لا يساوي صفرًا أبدًا.

المجال ℝ

✍️ أمثلة محلولة

f(x) = 5 ÷ (x2 – 5x + 6)

1. .
2. الحل:

(x – 2)(x – 3) = 0

المجال ℝ − {2 ، 3}

1. استبعاد أصفار البسط من المجال.
2. نسيان أحد جذري المقام.
3. الاختصار قبل إيجاد المجال.

2-3-2 تبسيط الكسر الجبري

• نحلل البسط والمقام ونختصر العوامل المشتركة مع استبعاد أصفار المقام الأصلي.

• المجال يُحدد قبل الاختصار.
• بعد الاختصار نكتب الشرط على x.
• لاحظ الصورة المبسطة قد يكون مجالها أكبر من مجال الدالة الأصلية.

✍️ أمثلة محلولة

1. بسّط (x² − 9) ÷ (x + 3).
2. الحل:

(x − 3)(x + 3) ÷ (x + 3)

= x − 3 حيث x ≠ −3

✍️ أمثلة محلولة

1. بسّط (x² − 5x + 6) ÷ (x² − 4).
2. الحل:

(x − 2)(x − 3) ÷ ((x − 2)(x + 2))

= (x − 3) ÷ (x + 2) حيث x ≠ 2 ، x ≠ −2

✍️ أمثلة محلولة

1. بسّط (x² + 3x) ÷ (x² − 9).
2. الحل:

x(x + 3) ÷ ((x − 3)(x + 3))

= x ÷ (x − 3) حيث x ≠ 3 ، x ≠ −3

1. اختصار حدود لا عوامل.
2. إهمال الشرط على x بعد الاختصار.

2-3-3 أصفار دالة الكسر الجبري

• أصفار الدالة هي أصفار البسط التي تنتمي إلى المجال.

• نوجد المجال الأصلي.
• نحل البسط = 0.
• نستبعد أي حل خارج المجال.
• علّل قد يكون صفر البسط ليس صفرًا للدالة لأنه قد يكون أيضًا صفرًا للمقام فيقع خارج المجال.

✍️ أمثلة محلولة

f(x) = (x2 – 4) ÷ (x – 2)

1. .
2. الحل:

المجال ℝ − {2}

x² − 4 = 0 فإن x = 2 أو x = −2

• x = 2 خارج المجال.

الأصفار {−2}

✍️ أمثلة محلولة

f(x) = (x2 – x – 6) ÷ (x2 – 9)

1. .
2. الحل:

البسط (x − 3)(x + 2) والمقام (x − 3)(x + 3)

المجال ℝ − {3 ، −3}

1. x = 3 أو x = −2 أصفار البسط.
2. x = 3 خارج المجال.

الأصفار {−2}

✍️ أمثلة محلولة

f(x) = (x2 + 1) ÷ (x – 1)

1. .
2. الحل:
3. x² + 1 = 0 لا حل حقيقي له.

∅

1. اعتبار كل أصفار البسط أصفارًا للدالة.
2. استخدام المجال المبسط.