الحركة بعجلة متغيرة والمعدلات المرتبطة

مقدمة: من الحركة المنتظمة العجلة إلى المتغيرة

في الحركة بعجلة منتظمة تبقى العجلة ثابتة في المقدار والاتجاه، ولذلك تكفي معادلات الحركة المعروفة لحل المسائل.
أما في أغلب الحركات الواقعية، فإن العجلة تتغير مع الزمن، أو مع الموضع، فلا تصلح تلك المعادلات، ونحتاج إلى التفاضل والتكامل.
يُعبَّر عن الحركة في خط مستقيم بثلاث دوال الموضع s بدلالة الزمن t، والسرعة v، والعجلة a. وتتصل هذه الدوال ببعضها بعلاقات التفاضل والتكامل، فإذا عرفنا واحدة منها أمكننا الوصول إلى الأخريين.
وتقاس الإزاحة بالمتر، والزمن بالثانية، والسرعة بالمتر لكل ثانية م/ث، والعجلة بالمتر لكل ثانية مربعة م/ث².

الحركة بعجلة متغيرة والمعدلات المرتبطة · 1 / 9

العلاقات بين الموضع والسرعة والعجلة

السرعة اللحظية هي معدل تغير الموضع بالنسبة للزمن
والعجلة اللحظية هي معدل تغير السرعة بالنسبة للزمن:

السرعة v = ds ÷ dt، أي المشتقة الأولى للموضع بالنسبة للزمن.
العجلة a = dv ÷ dt = d²s ÷ dt²، أي المشتقة الثانية للموضع.
وتعطي إشارة السرعة اتجاه الحركة، فإذا كانت v موجبة فالجسم يتحرك في الاتجاه الموجب، وإذا كانت سالبة فهو يتحرك في الاتجاه السالب.
وتنعدم السرعة عند لحظة تغيير الجسم اتجاهه، لكن العجلة قد لا تنعدم في تلك اللحظة.
وتكون الحركة متسارعة إذا كانت السرعة والعجلة في الإشارة نفسها، أي أن مقدار السرعة يزداد، وتكون تقصيرية (تباطؤية) إذا اختلفتا في الإشارة، أي أن مقدار السرعة يقل.

الحركة بعجلة متغيرة والمعدلات المرتبطة · 2 / 9

إيجاد السرعة والعجلة بالتفاضل

إذا أُعطي الموضع كدالة في الزمن، نستخدم قواعد التفاضل المعروفة، ونشتق مرة للحصول على السرعة، ومرة ثانية للحصول على العجلة.
ومن أهم القواعد:

عربة على سكة بثلاث بوابات ضوئية تمثل الحركة بعجلة متغيرة: الموضع ف = ن³ والسرعة 3ن² والعجلة 6ن.

مشتقة tⁿ هي n tⁿ⁻¹.
مشتقة الثابت صفر، ومشتقة المجموع هي مجموع المشتقات.
مشتقة الحد الخطي at هي a، أي أن ثابت السرعة يعطي العجلة صفراً.
ولإيجاد اللحظات التي يكون فيها الجسم ساكناً نحل المعادلة v = 0.
وإذا أردنا معرفة موضع الجسم عند لحظة معينة نعوض الزمن في الموضع مباشرة، ولا حاجة للتكامل في هذه الحالة.
ومن الجدير بالذكر أن انعدام العجلة لا يعني سكون الجسم، فقد تكون العجلة صفراً عند لحظة يكون فيها الجسم في أقصى سرعة له.
ولذلك نحتاج دائماً إلى التمييز بين الكميات الثلاث عند الإجابة، فالسؤال عن السكون يتعلق بالسرعة، والسؤال عن تغير السرعة يتعلق بالعجلة، والسؤال عن المكان يتعلق بالموضع.

الحركة بعجلة متغيرة والمعدلات المرتبطة · 3 / 9

إيجاد السرعة والموضع من العجلة بالتكامل

التكامل هو العملية العكسية للتفاضل
وإذا عرفنا العجلة كدالة في الزمن فإن:

v = ∫ a dt + ث1، و s = ∫ v dt + ث2

حيث ث1 و ث2 ثابتان للتكامل.
ولتعيينهما نستخدم الشروط الابتدائية، أي السرعة والموضع عند الزمن صفر.
فإذا كانت السرعة الابتدائية v0 نعوض بالزمن صفر في معادلة السرعة فنجد ث1، وكذلك نجد ث2 من الموضع الابتدائي.
وعند حساب الإزاحة بين لحظتين نكامل السرعة بين الحدين، أي أن الإزاحة = ∫ v dt، وهي تساوي التغير في الموضع.
أما إذا كانت الحركة بين لحظتين تغير فيها اتجاه السرعة، فإن المسافة المقطوعة تحسب بجمع القيم المطلقة للإزاحات في الأجزاء المختلفة.

الحركة بعجلة متغيرة والمعدلات المرتبطة · 4 / 9

العجلة كدالة في الإزاحة

قد تكون العجلة معطاة كدالة في الموضع s وليست في الزمن t
وفي هذه الحالة نستخدم قاعدة السلسلة:

a = dv/dt = (dv/ds) × (ds/dt) = v × dv/ds

ومنها تكون العلاقة a ds = v dv، وبالتكامل بين موضعين نجد:
∫ a ds = ∫ v dv، أي أن ½ v² تتغير بمقدار تكامل العجلة على الإزاحة.
وإذا كانت العجلة ثابتة نحصل على معادلة الحركة المعروفة v² = v0² + 2 a s.
أما إذا كانت العجلة دالة في الإزاحة فنستخدم التكامل كما سبق، ونعين الثابت من الشرط الابتدائي للسرعة عند موضع معلوم.
ويحسن أن نتذكر أن هذه العلاقة لا تحتوي الزمن، فهي مفيدة عندما لا يكون الزمن معطى في المسألة.

الحركة بعجلة متغيرة والمعدلات المرتبطة · 5 / 9

المعدلات المرتبطة

في المعدلات المرتبطة تكون هناك كميتان أو أكثر تتغيران مع الزمن
وترتبطان بعلاقة هندسية أو جبرية
ونريد معرفة معدل تغير إحداهما عندما نعلم معدل تغير الأخرى.

نكتب العلاقة بين الكميات المتغيرة أولاً.
نشتق طرفي العلاقة بالنسبة للزمن، مستخدمين قاعدة السلسلة.
نعوض القيم المعلومة عند اللحظة المطلوبة، ونحسب المعدل المجهول.
مثال ذلك جسمان يتحركان على محورين متعامدين، فتكون المسافة بينهما متغيرة، ومعدل تغير هذه المسافة يتوقف على سرعتي الجسمين وموقعيهما.
وبالقانون المعروف للمسافة d = √(x² + y²)، نحصل على معدل تغيرها بالاشتقاق الضمني.
ويجب الحذر من أن الكميات الثابتة تشتق صفراً، وأن المعادلة المشتقة ستحتوي على معدلات الزمن فقط عند التعويض.
ومن الأمثلة الشائعة أن تتحرك سيارة بسرعة ثابتة بعيداً عن نقطة، بينما يرصدها مراقب من موقع آخر، فيكون معدل تغير المسافة بين السيارة والمراقب مرتبطاً بالزاوية بينهما.
وفي كل الحالات يكون الحل منظماً إذا كتبنا العلاقة أولاً، ثم اشتقاقها، ثم وضعنا القيم المعلومة، لأن الخطأ غالباً يقع عند التعويض قبل الاشتقاق.

الحركة بعجلة متغيرة والمعدلات المرتبطة · 6 / 9

أمثلة محلولة

المثال الأول: التفاضل لإيجاد السكون والعجلة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
•	يتحرك جسيم في خط مستقيم بحيث s = t³ − 4t² + 4t s بالمتر وt بالثانية	يتحركجسيممستقيمبحيث
•	أوجد (أ) اللحظات التي يكون فيها الجسيم ساكناً (ب) عجلته عند كل منها	أوجداللحظاتيكونفيها
الحل	v = ds/dt = 3t² − 8t + 4 = (3t − 2)(t − 2). نجعل v = 0 فتكون t = 2/3 ث أو t = 2 ث. والعجلة a = dv/dt = 6t − 8	نجعلفتكونوالعجلة
عند t = 2/3	a = 4 − 8 = −4 م/ث². وعند t = 2: a = 12 − 8 = 4 م/ث²	وعند
التحقق	الموضع عند t = 2 هو 8 − 16 + 8 = 0 أي أن الجسيم عاد إلى نقطة الأصل وهو متوقف لحظياً ثم يعود	الموضعالجسيمنقطةالأصل

المثال الثاني: العجلة من سرعة معطاة كدالة في الزمن

سرعة جسم تُعطى بالعلاقة v = 2t³ − 3t م/ث. أوجد عجلته عند t = 2 ث.
الحل a = dv/dt = 6t² − 3. عند t = 2: a = 6 × 4 − 3 = 21 م/ث².

التحقق←بتفاضل الحد 2t³ نحصل على 6t²، وبتفاضل الحد −3t نحصل على −3، وهذه النتيجة صحيحة.

المثال الثالث: عجلة دالة في الإزاحة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
•	يتحرك جسيم على خط مستقيم بعجلة a = 4s م/ث² حيث s الإزاحة بالمتر من نقطة الأصل	يتحركجسيممستقيمبعجلة
•	إذا كانت سرعته 4 م/ث عندما يكون s = 1 م أوجد سرعته عندما يكون s = 2 م	كانتسرعتهعندمايكون
الحل	نستخدم العلاقة a ds = v dv فتكون ∫ 4s ds = ∫ v dv أي 2s² = ½ v² + ث. عند s = 1 و v = 4: 2 = 8 + ث ومنها ث = −6. فتكون ½ v² = 2s² + 6 أي v² = 4s² + 12	نستخدمالعلاقةفتكونومنها
عند s = 2	v² = 16 + 12 = 28 ومنها v = √28 = 2√7 ≈ 5.29 م/ث	ومنها
التحقق	عند s = 1 نجد v² = 4 + 12 = 16 أي v = 4 كما هو معطى	معطى

المثال الرابع: العجلة كدالة في الزمن والتكامل

جسيم عجلته a = 3t² + 2 م/ث²
وسرعته الابتدائية 1 م/ث
وموضعه الابتدائي عند نقطة الأصل. أوجد السرعة والموضع عند t = 2 ث.

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
الحل	v = ∫ (3t² + 2) dt = t³ + 2t + ث₁. عند t = 0 تكون v = 1، إذن ث₁ = 1، فتكون v = t³ + 2t + 1.	تكونفتكون
•	s = ∫ (t³ + 2t + 1) dt = t⁴/4 + t² + t + ث₂. عند t = 0 يكون s = 0، إذن ث₂ = 0.	يكون
عند t = 2	v = 8 + 4 + 1 = 13 م/ث و s = 16/4 + 4 + 2 = 10 م
التحقق	بتفاضل الموضع نعود إلى السرعة: ds/dt = t³ + 2t + 1 وهي الدالة نفسها	بتفاضلالموضعنعودالسرعة

المثال الخامس: معدل تغير المسافة بين جسمين

يتحرك جسيم P على المحور السيني بحيث x = 2t، ويتحرك جسيم Q على المحور الصادي بحيث y = 3t، حيث x وy بالمتر وt بالثانية، وكانا في نقطة الأصل عند t = 0.
أوجد معدل تغير المسافة بينهما عند t = 2 ث.
الحل المسافة d = √(x² + y²). بالاشتقاق بالنسبة للزمن: 2d × (dd/dt) = 2x × (dx/dt) + 2y × (dy/dt)، أي dd/dt = (x ẋ + y ẏ) ÷ d.

عند t = 2x = 4، y = 6، ẋ = 2، ẏ = 3، و d = √52 = 2√13. فيكون dd/dt = (4 × 2 + 6 × 3) ÷ (2√13) = 26 ÷ (2√13) = √13 ≈ 3.61 م/ث.

التحققالمسافة تزداد بمعدل أقل من مجموع السرعتين (5 م/ث) وهذا منطقي، لأن الجسيمين يتحركان في اتجاهين متعامدين.

الحركة بعجلة متغيرة والمعدلات المرتبطة · 7 / 9

أخطاء شائعة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
استخدام v dv/ds مع عجلة معطاة بدلالة الزمن	هذه الصيغة تُستخدم عندما تكون العجلة دالة في الإزاحة فقط أما إذا كانت دالة في الزمن فنشتق أو نكامل بالنسبة للزمن	الصيغةستخدمعندماتكون
نسيان ثابت التكامل	كل تكامل غير محدد يحتاج إلى ثابت ويُعين من الشرط الابتدائي ويُهمل هذا الثابت غالباً في الحلول الخاطئة	محدديحتاجالشرطالابتدائي
الخلط بين السرعة والعجلة	انعدام السرعة لا يعني انعدام العجلة وانعدام العجلة لا يعني سكون الجسم	انعداميعنيوانعدامسكون
إغفال الإشارة	الإشارة السالبة للسرعة تعني الاتجاه السالب وعند حساب المسافة نأخذ القيم المطلقة	السالبةللسرعةتعنيالاتجاه
إهمال اشتقاق الكميات المتغيرة في المعدلات المرتبطة	كل كمية متغيرة مع الزمن يجب أن تشتق بالنسبة له والثابت يشتق صفراً	كميةالزمنتشتقبالنسبة

الحركة بعجلة متغيرة والمعدلات المرتبطة · 8 / 9

ملخص الدرس

السرعة v = ds/dt، والعجلة a = dv/dt = d²s/dt².
من العجلة بالتكامل v = ∫ a dt + ث1، و s = ∫ v dt + ث2، ويعين الثابتان من الشروط الابتدائية.
عندما تكون العجلة دالة في الإزاحة a = v dv/ds، ومنها ∫ a ds = ∫ v dv.
عند وجود عجلة ثابتة تؤول هذه العلاقات إلى معادلات الحركة المعروفة.
في المعدلات المرتبطة نكتب العلاقة بين الكميات، ثم نشتق بالنسبة للزمن، ثم نعوض بالقيم المعلومة.
الحركة متسارعة إذا تشابهت إشارتا السرعة والعجلة، وتقصيرية إذا اختلفتا.

الحركة بعجلة متغيرة والمعدلات المرتبطة · 9 / 9

المناهج الدراسية

الرياضيات التطبيقية — الصف الثالث الثانوي

الاستاتيكا: الوحدة الأولى — محصلة القوى المتوازية المستوية

الاستاتيكا: الوحدة الثانية — اتزان مجموعة من القوى المستوية

الاستاتيكا: الوحدة الثالثة — الازدواجات

الديناميكا: الوحدة الأولى — حركة الأجسام بعجلة متغيرة

الديناميكا: الوحدة الثانية — حركة الأجسام المتصلة

الديناميكا: الوحدة الثالثة — الدفع والتصادم

الديناميكا: الوحدة الرابعة — الشغل والطاقة والقدرة

الحركة بعجلة متغيرة والمعدلات المرتبطة

الحركة بعجلة متغيرة والمعدلات المرتبطة

مقدمة: من الحركة المنتظمة العجلة إلى المتغيرة

العلاقات بين الموضع والسرعة والعجلة

إيجاد السرعة والعجلة بالتفاضل

إيجاد السرعة والموضع من العجلة بالتكامل

v = ∫ a dt + ث1، و s = ∫ v dt + ث2

العجلة كدالة في الإزاحة

a = dv/dt = (dv/ds) × (ds/dt) = v × dv/ds

المعدلات المرتبطة

أمثلة محلولة

المثال الأول: التفاضل لإيجاد السكون والعجلة

المثال الثاني: العجلة من سرعة معطاة كدالة في الزمن

المثال الثالث: عجلة دالة في الإزاحة

المثال الرابع: العجلة كدالة في الزمن والتكامل

المثال الخامس: معدل تغير المسافة بين جسمين

أخطاء شائعة

ملخص الدرس

أحسنت! أنهيت هذا الدرس