المناهج الدراسية
تسجيل الدخول

المناهج الدراسية

الرياضيات التطبيقية — الصف الثالث الثانوي

نص الدرس

حركة الأجسام المتصلة

الرياضيات التطبيقية — الصف الثالث الثانوي

حركة الأجسام المتصلة

مفهوم الأجسام المتصلة

مفهوم الأجسام المتصلة

  • الأجسام المتصلة هي أجسام مرتبطة ببعضها بخيط خفيف أو قضيب، فتتحرك معاً، ولها عجلة واحدة في المقدار إذا كان الخيط مشدوداً دائماً، ويختلف اتجاه العجلة بين الأجسام حسب ترتيبها ووضع كل منها.
  • وتفترض مسائل هذا الدرس أن الخيط خفيف (كتلته مهملة)، وغير قابل للامتداد، وأن البكرة ملساء ومهملة الكتلة، فيكون الشد في الخيط واحداً على جانبي البكرة.
  • وإذا لم تتحقق هذه الفروض تغير الحل كما سنرى في ملاحظات الدرس.
  • وفي المسائل نأخذ عجلة الجاذبية g = 10 م/ث2 لتبسيط الحسابات، ما لم تُذكر قيمة أخرى في المسألة.
  • وتحسب كل الكتل بالكيلوجرام، والقوى بالنيوتن.
  • ومن المفيد أن نتذكر أن الأجسام المتصلة تمثل تطبيقاً مباشراً لقانون نيوتن الثاني، فكل ما تعلمناه عن القوة المحصلة والعجلة يُستخدم هنا مرتين أو أكثر في الحل نفسه.
حركة الأجسام المتصلة · 1 / 10
تطبيق قانون نيوتن الثاني على كل جسم

تطبيق قانون نيوتن الثاني على كل جسم

  • القوة المحصلة المؤثرة على جسم تساوي كتلته في عجلته:

Σ ق = ك × ج

  • ولحل مسائل الأجسام المتصلة نطبق القانون على كل جسم على حدة، ثم نحل المعادلات معاً.
  • وتكون الخطوة المهمة هي اختيار اتجاه موجب واحد لكل جسم، فإذا اخترنا اتجاه الحركة الفعلية موجباً للجسم الأول، فيجب أن نستخدم الاتجاه نفسه في معادلة الجسم الثاني، وإلا تختلف الإشارات ويفسد الحل.
  • نرسم كل جسم منفصلاً ونوضح عليه الوزن ورد الفعل والشد والاحتكاك إن وُجد.
  • نحدد اتجاه الحركة المحتمل لكل جسم، ونعتبره موجباً.
  • نكتب معادلة نيوتن الثانية لكل جسم، ونحل المعادلات.
حركة الأجسام المتصلة · 2 / 10
جسمان على سطح أفقي أملس

جسمان على سطح أفقي أملس

  • إذا وُضع جسمان كتلتاهما ك1 و ك2 على سطح أفقي أملس، متصلين بخيط، وأثرت قوة ق على الجسم الأول في اتجاه الخيط، فإن:
  • للجسم الأول ق − ش = ك1 ج
  • للجسم الثاني ش = ك2 ج
  • وبالجمع نجد أن ق = (ك1 + ك2) ج، أي أن العجلة ج = ق ÷ (ك1 + ك2)، ومنها نحصل على الشد ش = ك2 ج.
  • وهنا لا توجد قوة احتكاك، فالسطح أملس.
  • ويلاحظ أن الشد ليس مساوياً للقوة المؤثرة، بل أقل منها، لأن جزءاً من القوة يُستخدم في تحريك الجسم الأول نفسه.
حركة الأجسام المتصلة · 3 / 10
جسم معلق وجسم على سطح أفقي عبر بكرة

جسم معلق وجسم على سطح أفقي عبر بكرة

  • إذا كان الجسم الأول على سطح أفقي، والجسم الثاني معلقاً رأسياً، ويمر الخيط على بكرة ملساء عند حافة السطح، فإن الجسم المعلق يهبط إذا كان وزنه كافياً، ويتحرك الجسم الأفقي نحو البكرة.
  • وتكون المعادلتان:
وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
للجسم المعلقك2 د − ش = ك2 ج
للجسم الأفقي
  • ش = ك1 ج
  • إذا كان السطح أملس
السطحأملس
•ومنها ج = ك2 د ÷ (ك1 + ك2). وهذه الحالة تشبه الحالة السابقة، لكن القوة المحركة هنا هي وزن الجسم المعلق.ومنهاوهذهالحالةتشبه
حركة الأجسام المتصلة · 4 / 10
بكرة ملساء وجسمان معلقان

بكرة ملساء وجسمان معلقان

  • يُعرف هذا الترتيب بآلة أتوود، وفيه يتدلى جسمان من طرفي خيط يمر على بكرة ملساء مهملة الكتلة.
  • إذا كانت الكتلة الأكبر ك1 والأصغر ك2، فإن:
بكرة ملساء تحمل كتلتين 3 و5 كجم تمثل حركة الأجسام المتصلة: العجلة 2.45 م/ث² والشد 36.75 نيوتن.
بكرة ملساء تحمل كتلتين 3 و5 كجم تمثل حركة الأجسام المتصلة: العجلة 2.45 م/ث2 والشد 36.75 نيوتن.
  • للجسم الأثقل ك1 د − ش = ك1 ج
  • للجسم الأخف ش − ك2 د = ك2 ج
  • بالجمع نجد ج = (ك1 − ك2) د ÷ (ك1 + ك2)، ويكون الشد ش = 2 ك1 ك2 د ÷ (ك1 + ك2).
  • ويلاحظ أن العجلة تتلاشى إذا تساوت الكتلتان، فيبقى الجسمان ساكنين أو متحركين بسرعة منتظمة، وأن الشد في هذه الحالة يساوي وزن أحدهما.
حركة الأجسام المتصلة · 5 / 10
الأجسام المتصلة على سطح خشن

الأجسام المتصلة على سطح خشن

  • على السطح الخشن يعمل الاحتكاك في الجسم الأفقي، ويعاكس اتجاه حركته أو اتجاه محاولة حركته.
  • ويكون مقدار الاحتكاك الحركي F = μ R، وفي الأفقي تكون R = و = ك د، فيكون F = μ ك د.
  • ولكي نعرف هل تتحرك المجموعة أم لا، نقارن أولاً القوة المحركة بأكبر احتكاك سكوني ممكن:
  • إذا كانت القوة المحركة أكبر من الاحتكاك الأعظم، فالمجموعة تتحرك، ونستخدم الاحتكاك الحركي.
  • إذا كانت القوة المحركة أقل من الاحتكاك الأعظم، فالمجموعة تبقى ساكنة، والاحتكاك يساوي القوة المحركة فقط، أي أنه أقل من μ R.
  • وهذه المقارنة أساسية في كل مسألة على سطح خشن، لأن الخطأ فيها يغير الحل كله.
  • ويمكن تلخيص الخطوات كالتالي نحسب وزن الجسم المعلق أو القوة المحركة، ثم نحسب أكبر احتكاك سكوني μ R، فإذا كانت القوة أكبر منه تتحرك المجموعة وتُكتب معادلات الحركة بالاحتكاك الحركي μ R، أما إذا كانت أقل فتبقى ساكنة، ويكون الاحتكاك مساوياً للقوة المحركة. وهذا الترتيب يمنع الخطأ الشائع بحساب الاحتكاك الأعظم دائماً حتى عندما لا تكون المجموعة على وشك الحركة.
حركة الأجسام المتصلة · 6 / 10
ملاحظات مهمة في الحل

ملاحظات مهمة في الحل

  • الشد في الخيط واحد على جانبي بكرة ملساء مهملة الكتلة، ويختلف عند بكرة لها كتلة أو عند وجود احتكاك في محورها.
  • الجسم المعلق يتحرك لأسفل بإشارة موجبة، والجسم الأفقي يتحرك نحو البكرة بإشارة موجبة، وهذا يحفظ توافق الإشارات.
  • إذا لم يكن الخيط مشدوداً، أي إذا كان الشد صفراً، فإن الجسمين يتحركان كل منهما على حدة.
  • يحسب الشد من معادلة أحد الجسمين بعد معرفة العجلة، ويُتحقق منه بمعادلة الجسم الآخر.
حركة الأجسام المتصلة · 7 / 10
أمثلة محلولة

أمثلة محلولة

المثال الأول: جسمان على سطح أفقي أملس

  • جسمان كتلتاهما 4 كجم و2 كجم متصلان بخيط على سطح أفقي أملس، أثرت قوة أفقية مقدارها 24 نيوتن على الجسم الأول في اتجاه الخيط.
  • أوجد العجلة والشد في الخيط.
  • الحل ج = ق ÷ (ك1 + ك2) = 24 ÷ 6 = 4 م/ث2. والشد ش = ك2 ج = 2 × 4 = 8 نيوتن.
  • التحقق للجسم الأول: 24 − 8 = 16 = 4 × 4، وهو صحيح.

المثال الثاني: جسم على سطح خشن مع جسم معلق عبر بكرة

  • جسم كتلته 5 كجم موضوع على سطح أفقي خشن معامل احتكاكه 0.2، متصل بخيط يمر على بكرة ملساء عند حافة السطح، والطرف الآخر للخيط يحمل جسماً معلقاً كتلته 3 كجم.
  • أوجد العجلة والشد.
  • الحل نفترض أن الحركة تبدأ بهبوط الجسم المعلق. الاحتكاك = 0.2 × 5 × 10 = 10 نيوتن.
  • للجسم المعلق 3 × 10 − ش = 3 ج، أي 30 − ش = 3 ج.
للجسم الأفقيش − 10 = 5 ج.
بالجمع20 = 8 ج، فتكون ج = 2.5 م/ث2، والشد ش = 30 − 3 × 2.5 = 22.5 نيوتن.
التحقق22.5 − 10 = 12.5 = 5 × 2.5، وهو صحيح.

المثال الثالث: آلة أتوود

وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
•جسمان كتلتاهما 6 كجم و4 كجم متصلان بخيط يمر على بكرة ملساء مهملة الكتلة. أوجد عجلة الجسمين والشد في الخيطجسمانكتلتاهمامتصلانبخيط
الحلج = (6 − 4) × 10 ÷ (6 + 4) = 2 م/ث2. والشد ش = 2 × 6 × 4 × 10 ÷ 10 = 48 نيوتنوالشدنيوتن
التحققللجسم الأخف: 48 − 40 = 8 = 4 × 2. وللجسم الأثقل: 60 − 48 = 12 = 6 × 2. كلاهما صحيحللجسمالأخفوللجسمالأثقل

المثال الرابع: جسم على مستوى مائل أملس مع جسم معلق

  • جسم كتلته 10 كجم موضوع على مستوى أملس يميل 30° على الأفقي، متصل بخيط يمر على بكرة ملساء عند أعلى المستوى، وطرفه الآخر يحمل جسماً معلقاً كتلته 4 كجم.
  • أوجد عجلة المجموعة والشد.
  • الحل مركبة وزن الجسم الأول على المستوى = 10 × 10 × جا 30° = 50 نيوتن إلى أسفل المستوى. وزن الجسم المعلق = 40 نيوتن.
  • نفرض أن الجسم الأول ينزل المستوى، فيصعد المعلق.
  • للجسم الأول: 50 − ش = 10 ج.
  • وللمعلق: ش − 40 = 4 ج.
  • بالجمع: 10 = 14 ج، فتكون ج = 5/7 ≈ 0.71 م/ث2، والشد ش = 50 − 10 × 5/7 = 300/7 ≈ 42.86 نيوتن.
  • التحقق للمعلق: 300/7 − 40 = 20/7 = 4 × 5/7، وهو صحيح.

المثال الخامس: الحركة تبدأ على سطح خشن

  • جسم كتلته 6 كجم على سطح أفقي خشن معامل احتكاكه 0.5، متصل بخيط يمر على بكرة ملساء ويحمل جسماً معلقاً كتلته 4 كجم.
  • أوجد العجلة والشد.
  • الحل أكبر احتكاك سكوني = 0.5 × 6 × 10 = 30 نيوتن. وزن المعلق = 40 نيوتن، وهو أكبر من 30، فالمجموعة تتحرك.
للمعلق40 − ش = 4 ج. وللجسم الأفقي: ش − 30 = 6 ج. بالجمع: 10 = 10 ج، فتكون ج = 1 م/ث2، والشد ش = 40 − 4 = 36 نيوتن.
التحقق36 − 30 = 6 = 6 × 1، وهو صحيح.

المثال السادس: المجموعة تبقى ساكنة

وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
•
  • جسم كتلته 6 كجم على سطح أفقي خشن معامل احتكاكه 0.5
  • متصل بخيط يمر على بكرة ملساء ويحمل جسماً معلقاً كتلته 2 كجم
كتلتهأفقيمعاملاحتكاكه
•أوجد العجلة وقوة الاحتكاكأوجدالعجلةوقوةالاحتكاك
الحل
  • أكبر احتكاك سكوني = 0.5 × 60 = 30 نيوتن. وزن المعلق = 20 نيوتن
  • وهو أقل من 30
  • فالمجموعة تبقى ساكنة
  • أي ج = 0
أكبراحتكاكسكونينيوتن
الشد = وزن المعلق = 20 نيوتن، وللجسم الأفقي
  • الشد = الاحتكاك
  • فيكون الاحتكاك = 20 نيوتن
  • وهو أقل من الحد الأعلى 30 نيوتن
  • وهذا يحقق السكون
الاحتكاكفيكونالحدالأعلى
التحقق
  • 20 ≤ 30
  • والمجموعة في حالة اتزان
والمجموعةحالةاتزان
حركة الأجسام المتصلة · 8 / 10
أخطاء شائعة

أخطاء شائعة

وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
اختيار اتجاهين موجبين مختلفين
  • إذا كان اتجاه الحركة للجسم الأول موجباً ونسينا أن الجسم الثاني يتحرك في الاتجاه المقابل
  • تختلف الإشارات ويخطئ الحل
الحركةللجسمالأولموجبا
اعتبار الشد مساوياً للوزن دائماً
  • الشد يساوي الوزن فقط عندما تكون العجلة صفراً
  • أو في حالة الاتزان
يساويالوزنعندماتكون
إضافة الاحتكاك دون التحقق من الحركة
  • نتحقق أولاً من أن القوة المحركة أكبر من الاحتكاك الأعظم
  • وإلا تبقى المجموعة ساكنة
نتحققأولاالقوةالمحركة
خلط الجرامات بالكيلوجراماتيجب تحويل الكتل إلى كيلوجرام قبل حساب الوزن بالنيوتنتحويلالكتلحسابالوزن
نسيان قيمة الاحتكاك في المعادلةيضاف الاحتكاك إلى الجانب المعاكس للحركة في معادلة الجسم الأفقييضافالجانبالمعاكسللحركة
حركة الأجسام المتصلة · 9 / 10
ملخص الدرس

ملخص الدرس

  • الأجسام المتصلة بخيط مشدود لها العجلة نفسها في المقدار، والشد واحد على جانبي البكرة الملساء.
  • نطبق قانون نيوتن الثاني على كل جسم، ونستخدم اتجاهاً موجباً واحداً متفقاً عليه لكل جسم.
  • في آلة أتوود ج = (ك1 − ك2) د ÷ (ك1 + ك2)، وش = 2 ك1 ك2 د ÷ (ك1 + ك2).
  • على السطح الخشن نقارن القوة المحركة بالاحتكاك الأعظم μR قبل الحكم بالحركة.
  • إذا بقيت المجموعة ساكنة فإن الاحتكاك يساوي القوة المحركة ولا يتجاوز μR.
  • يُحسب الشد من معادلة أحد الجسمين، ثم يُتحقق منه بمعادلة الجسم الآخر.
حركة الأجسام المتصلة · 10 / 10