المناهج الدراسية
تسجيل الدخول

المناهج الدراسية

الرياضيات التطبيقية — الصف الثالث الثانوي

نص الدرس

الشغل والطاقة والقدرة

الرياضيات التطبيقية — الصف الثالث الثانوي

الشغل والطاقة والقدرة

مقدمة: الطاقة قدرة على إحداث الشغل

مقدمة: الطاقة قدرة على إحداث الشغل

  • عندما نرفع حقيبة من الأرض إلى رف، أو نسحب عربة على أرض أفقية، فإننا نبذل شغلاً، أي أن القوة تحرك الجسم مسافة في اتجاهها أو في اتجاه قريب منها.
  • ويرتبط الشغل بالطاقة، فالجسم الذي يتحرك يمتلك طاقة حركة، والجسم المرتفع يمتلك طاقة وضع، وتنتقل الطاقة من صورة إلى أخرى دون أن تفنى.
  • في هذا الدرس نتعرف على الشغل المبذول بقوة ثابتة ومتغيرة، ثم طاقة الحركة ومبدأ الشغل والطاقة، ثم طاقة الوضع وبقاء الطاقة الميكانيكية، وأخيراً القدرة والكفاءة.
الشغل والطاقة والقدرة · 1 / 10
الشغل المبذول من قوة ثابتة

الشغل المبذول من قوة ثابتة

  1. الشغل كمية قياسية تقيس تأثير القوة في تحريك الجسم
  2. ويساوي حاصل الضرب القياسي لمتجه القوة في متجه الإزاحة:

ش = ق × ف × جتا θ

  • حيث θ الزاوية المحصورة بين اتجاه القوة واتجاه الإزاحة.
  • ولا يُبذل الشغل إلا إذا تحرك الجسم، فالقوة المؤثرة على جسم ساكن لا تبذل شغلاً.
وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
θ = صفر
  • القوة في اتجاه الحركة
  • والشغل موجب وأكبر ما يمكن
القوةاتجاهالحركةوالشغل
0 < θ < 90°الشغل موجبالشغلموجب
θ = 90°
  • القوة عمودية على الإزاحة
  • والشغل صفر
  • كشغل رد الفعل العمودي
القوةعموديةالإزاحةوالشغل
90° < θ < 180°
  • الشغل سالب
  • ويسمى شغلاً مقاوماً كشغل الاحتكاك
الشغلسالبويسمىشغلا
•
  • وحدة الشغل في النظام الدولي هي الجول
  • وهو الشغل الذي تبذله قوة مقدارها 1 نيوتن عند إزاحة الجسم 1 متر في اتجاهها
  • أي أن 1 جول = 1 نيوتن.متر
وحدةالشغلالنظامالدولي
الشغل والطاقة والقدرة · 2 / 10
الشغل المبذول من قوة متغيرة

الشغل المبذول من قوة متغيرة

  1. إذا تغيرت القوة مع الموضع في خط مستقيم
  2. فإن الشغل بين موضعين يُحسب بالتكامل:

ش = ∫ ق ds من s1 إلى s2

  • وهندسياً يساوي الشغل المساحة المحصورة بين منحنى (القوة – الموضع) ومحور الإزاحة بين الموضعين.
  • والمساحة فوق المحور تمثل شغلاً موجباً، والمساحة تحته تمثل شغلاً سالباً.
  • وعند الحساب من رسم بياني نقسم المساحة إلى أشكال بسيطة كالمستطيلات والمثلثات، ثم نجمع المساحات بإشاراتها.
  • وإذا كانت القوة معطاة كدالة في الموضع فنستخدم التكامل مباشرة.
الشغل والطاقة والقدرة · 3 / 10
طاقة الحركة

طاقة الحركة

  • طاقة الحركة هي الطاقة التي يمتلكها الجسم بسبب حركته، وتعطى بالعلاقة:
  • ط ح = ½ ك ع2
  • طاقة الحركة كمية قياسية موجبة دائماً، ولا تعتمد على اتجاه السرعة.
  • تتناسب طردياً مع الكتلة، وتتناسب مع مربع السرعة، فإذا تضاعفت السرعة زادت طاقة الحركة أربع مرات.
  • تكون صفراً إذا كان الجسم ساكناً.
  • وحدتها هي وحدة الشغل نفسها، أي الجول في النظام الدولي، والإرج في النظام السنتيمتري، حيث 1 جول = 107 إرج.
الشغل والطاقة والقدرة · 4 / 10
مبدأ الشغل والطاقة

مبدأ الشغل والطاقة

  • ينص مبدأ الشغل والطاقة على أن الشغل المبذول من القوة المحصلة المؤثرة على جسم يساوي التغير في طاقة حركته:

ش = ط ح2 − ط ح1

  • فإذا كان الشغل المحصل موجباً زادت طاقة الحركة، وإذا كان سالباً نقصت طاقة الحركة، كما يحدث عند الاحتكاك أو مقاومة الهواء.
  • وعند وجود عدة قوى نجمع أشغالها الجبرية، أو نحسب شغل المحصلة.
  • ويفيد هذا المبدأ كثيراً عندما لا يكون الزمن معلوماً، أو عندما تكون القوة متغيرة، لأنه لا يحتاج إلى حساب العجلة.
  • ومن التطبيقات المهمة على ذلك حساب سرعة سيارة تبدأ حركتها من السكون ويؤثر عليها محرك بقوة متغيرة مع المسافة، فنحسب الشغل الكلي للقوة من المساحة تحت منحنى القوة والإزاحة، ثم نساوي هذا الشغل بطاقة حركة السيارة النهائية، فنحصل على سرعتها دون الحاجة إلى معرفة الزمن الذي استغرقته.
الشغل والطاقة والقدرة · 5 / 10
طاقة الوضع وبقاء الطاقة الميكانيكية

طاقة الوضع وبقاء الطاقة الميكانيكية

  • طاقة الوضع للجسم عند موضع ما هي الشغل الذي تبذله القوة لو نقلت الجسم من هذا الموضع إلى موضع مرجعي اختياري.
  • وطاقة وضع الجاذبية لجسم على ارتفاع ف فوق المستوى المرجعي:
عربة قطار ملاهٍ على تل ارتفاعه 5 م تمثل الشغل والطاقة والقدرة: طاقة الوضع 10000 جول تصير حركة بسرعة 10 م/ث.
عربة قطار ملاهٍ على تل ارتفاعه 5 م تمثل الشغل والطاقة والقدرة: طاقة الوضع 10000 جول تصير حركة بسرعة 10 م/ث.

ط و = ك × د × ف

  • ويكون التغير في طاقة الوضع مساوياً لسالب الشغل المبذول بواسطة الوزن، أي أن ارتفاع الجسم يزيد طاقة وضعه، وهبوطه يقلل طاقة وضعه.
  • وإذا تحرك الجسم تحت تأثير الجاذبية فقط، دون مقاومات، فإن مجموع طاقتي الحركة والوضع يبقى ثابتاً:

ط ح1 + ط و1 = ط ح2 + ط و2

  1. أما إذا وُجدت مقاومات كالاحتكاك
  2. فإن الطاقة الميكانيكية تنقص بمقدار الشغل ضد هذه المقاومات
  3. وتتحول الطاقة المفقودة إلى حرارة وصوت.
الشغل والطاقة والقدرة · 6 / 10
القدرة والكفاءة

القدرة والكفاءة

  1. القدرة هي المعدل الزمني لبذل الشغل
  2. أي الشغل المبذول في وحدة الزمن:

القدرة = الشغل ÷ الزمن

  • وإذا كانت القوة تؤثر في اتجاه الحركة فإن القدرة = القوة × السرعة، أي ق × ع.
  • ولذلك تقل السرعة الممكنة لسيارة إذا زادت المقاومة، عند ثبوت قدرة المحرك.
  • الوات قدرة مقدارها 1 جول في الثانية.
  • الكيلووات 1000 وات.
  • الحصان الميكانيكي نحو 735 وات، أي 75 ثقل كجم.متر في الثانية.
  • أما الكفاءة فهي النسبة بين القدرة الخارجة المفيدة والقدرة الداخلة:
  • الكفاءة = (القدرة الخارجة ÷ القدرة الداخلة) × 100%
  • ولا تبلغ الكفاءة 100% في الآلات الحقيقية، لأن جزءاً من القدرة يضيع في الاحتكاك والحرارة.
الشغل والطاقة والقدرة · 7 / 10
أمثلة محلولة

أمثلة محلولة

المثال الأول: شغل قوة مائلة

وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
•
  • أثرت قوة مقدارها 40 نيوتن على جسم فحركته 5 م في اتجاه أفقي
  • وكانت القوة تميل على اتجاه الحركة بزاوية 60°. أوجد الشغل المبذول
أثرتمقدارهانيوتنفحركته
الحلش = ق × ف × جتا θ = 40 × 5 × جتا 60° = 40 × 5 × 0.5 = 100 جول
التحقق
  • المركبة الأفقية للقوة = 40 × 0.5 = 20 نيوتن
  • والشغل = 20 × 5 = 100 جول
المركبةالأفقيةللقوةنيوتن

المثال الثاني: شغل قوة متغيرة

وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
•
  • تؤثر على جسم قوة ق = 3s2 نيوتن
  • حيث s بالمتر
  • فيتحرك الجسم من s = 1 م إلى s = 2 م. أوجد الشغل المبذول
تؤثرنيوتنبالمترفيتحرك
الحلش = ∫12 3s2 ds = [s3] من 1 إلى 2 = 8 − 1 = 7 جول.
التحقق
  • المتوسط التقريبي للقوة بين الموضعين نحو 7 نيوتن
  • والإزاحة متر واحد
  • فالشغل قريب من 7 جول
المتوسطالتقريبيللقوةالموضعين
وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
•سيارة كتلتها 1200 كجم تزداد سرعتها من 10 م/ث إلى 25 م/ث. أوجد الشغل الكلي المؤثر على السيارةسيارةكتلتها1200تزداد
الحلش = ط ح2 − ط ح1 = ½ × 1200 × 252 − ½ × 1200 × 102 = 600 × (625 − 100) = 600 × 525 = 315000 جول = 315 كيلوجول.1200315000كيلوجول
التحقق
  • الشغل موجب لأن السرعة زادت
  • وهو صحيح
الشغلموجبالسرعةزادت

المثال الرابع: توقف جسم بفعل الاحتكاك

  • جسم كتلته 2 كجم يتحرك على سطح أفقي بسرعة 6 م/ث، فتأثر بقوة احتكاك ثابتة مقدارها 3 نيوتن حتى توقف.
  • أوجد المسافة التي قطعها قبل أن يتوقف.
  • الحل شغل الاحتكاك = −3 × ف. ومبدأ الشغل والطاقة: −3 ف = 0 − ½ × 2 × 36 = −36، ومنها ف = 12 م.
  • التحقق متوسط القوة المقاومة 3 نيوتن، والطاقة الابتدائية 36 جول، و36 ÷ 3 = 12 متراً.
وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
•
  • كرة كتلتها 0.5 كجم سقطت من ارتفاع 20 م فوق سطح الأرض
  • بإهمال مقاومة الهواء
  • وعجلة الجاذبية 10 م/ث2
كتلتهاسقطتارتفاعالأرض
•
  • أوجد سرعتها عند الأرض
  • وسرعتها عندما تكون على ارتفاع 5 أمتار
أوجدسرعتهاالأرضوسرعتها
الحل
  • طاقة الوضع الابتدائية = 0.5 × 10 × 20 = 100 جول
  • وطاقة الحركة الابتدائية صفر
طاقةالوضعالابتدائيةوطاقة
عند الأرض
  • ½ × 0.5 × ع2 = 100
  • فتكون ع2 = 400
  • إذن ع = 20 م/ث
فتكون
عند ارتفاع 5 م
  • طاقة الوضع = 0.5 × 10 × 5 = 25 جول
  • إذن طاقة الحركة = 100 − 25 = 75 جول. فتكون ع2 = 300
  • ومنها ع ≈ 17.32 م/ث
طاقةالوضعالحركةفتكون
التحقق
  • عند الأرض طاقة الوضع صفر
  • وطاقة الحركة 100 جول
  • وهذا يساوي الطاقة الابتدائية
الأرضطاقةالوضعوطاقة

المثال السادس: انزلاق جسم على مستوى مائل خشن

  • جسم كتلته 5 كجم ينزلق من السكون على مستوى خشن يميل 30° على الأفقي، ويقطع مسافة 4 م على المستوى، ومعامل الاحتكاك 0.2.
  • أوجد سرعته في نهاية المسافة، بعجلة الجاذبية 10 م/ث2.
الحلشغل الوزن = 5 × 10 × جا 30° × 4 = 100 جول. شغل الاحتكاك = −μ ك د جتا 30° × 4 = −0.2 × 50 × 0.866 × 4 ≈ −34.64 جول.
مبدأ الشغل والطاقة½ × 5 × ع2 = 100 − 34.64 = 65.36، فتكون ع2 ≈ 26.14، ومنها ع ≈ 5.11 م/ث.
التحققالنتيجة أقل من سرعة الجسم لو كان السطح أملساً، وهي √40 ≈ 6.32 م/ث، وهذا منطقي لأن الاحتكاك يبدد جزءاً من الطاقة.

المثال السابع: القدرة والسرعة المنتظمة

وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
•
  • محرك قدرته 5 كيلووات يرفع جسماً كتلته 200 كجم رأسياً إلى أعلى بسرعة منتظمة. أوجد سرعة الرفع
  • بعجلة الجاذبية 10 م/ث2
محركقدرتهكيلوواتيرفع
الحل
  • عند السرعة المنتظمة تتساوى قوة الرفع مع الوزن: ق = 200 × 10 = 2000 نيوتن. ومن القدرة P = ق × ع
  • فتكون ع = 5000 ÷ 2000 = 2.5 م/ث
السرعةالمنتظمةتتساوىالرفع
التحقق
  • القدرة = 2000 × 2.5 = 5000 وات = 5 كيلووات
  • وهو المعطى
القدرة20005000كيلووات
الشغل والطاقة والقدرة · 8 / 10
أخطاء شائعة

أخطاء شائعة

وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
نسيان جتا θعند القوة المائلة على الإزاحة يجب ضرب القوة في المركبة في اتجاه الحركة فقطالقوةالمائلةالإزاحةالمركبة
إغفال الإشارة
  • شغل الاحتكاك وشغل المقاومات سالب
  • وشغل الوزن عند الصعود سالب
الاحتكاكوشغلالمقاوماتسالب
استخدام بقاء الطاقة مع وجود احتكاك
  • إذا وُجد احتكاك تنقص الطاقة الميكانيكية بمقدار الشغل ضده
  • ولا تبقى ثابتة
تنقصالميكانيكيةبمقدارالشغل
الخلط بين الشغل والقدرة
  • الشغل كمية الطاقة المنتقلة
  • أما القدرة فهي معدل نقلها في الزمن
كميةالطاقةالمنتقلةمعدل
إهمال تحويل السرعة من كم/ساعة إلى م/ثنضرب في 5/18 قبل حساب الطاقة أو القدرةنضربحسابالطاقةالقدرة
الشغل والطاقة والقدرة · 9 / 10
ملخص الدرس

ملخص الدرس

  • الشغل ش = ق × ف × جتا θ، ويساوي المساحة تحت منحنى (القوة – الموضع) عندما تكون القوة متغيرة.
  • طاقة الحركة ط ح = ½ ك ع2، وهي كمية قياسية موجبة.
  • مبدأ الشغل والطاقة الشغل المحصل = التغير في طاقة الحركة.
  • طاقة الوضع للجاذبية ط و = ك د ف، وفي غياب المقاومات تبقى طاقة الحركة والوضع معاً ثابتة.
  • القدرة = الشغل ÷ الزمن = ق × ع، ووحدتها الوات، والكفاءة = القدرة الخارجة ÷ القدرة الداخلة × 100%.
  • عند وجود احتكاك نطبق مبدأ الشغل والطاقة مع إدخال شغل الاحتكاك السالب.
الشغل والطاقة والقدرة · 10 / 10