1. نرسم الجسم منفصلاً عن محيطه، ونوضح عليه جميع القوى المؤثرة، ومنها الوزن وردود الأفعال والشدود والاحتكاك.
2. نختار محورين متعامدين، ونحلل كل قوة مائلة إلى مركبتين أفقية ورأسية، أو موازية للمستوى وعمودية عليه في المسائل المائلة.
3. نطبق معادلات الاتزان الأفقية والرأسية، ونساوي كلاً منهما بصفر.
4. نأخذ العزوم حول نقطة تمر بها أكبر عدد من القوى المجهولة، فتختفي عزومها ويبسط الحل.
5. نحل المعادلات معاً، ثم نتحقق من النتيجة بمعادلة لم نستخدمها، ونتأكد من أن الإشارات منطقية.

1. ومن المهم أن نعرف متى يكون الاحتكاك في حالة وشك الانزلاق
2. فعندئذ يكون مقدار الاحتكاك مساوياً لأكبر قيمة له
3. أي F = μ R
4. أما إذا كان الجسم متزناً دون وشك الانزلاق فإن الاحتكاك يكون أقل من ذلك
5. ويُحسب من معادلات الاتزان فقط.

المثال الأول: جسم على مستوى أملس تمنعه قوة توازي المستوى

• جسم وزنه 60 نيوتن موضوع على مستوى أملس يميل 30° على الأفقي، ويتزن بتأثير قوة P توازي المستوى إلى أعلى.
• أوجد P ورد الفعل العمودي R.
• الحل بتحليل الوزن على المستوى: P = 60 × جا 30° = 60 × 0.5 = 30 نيوتن. وعمودياً على المستوى: R = 60 × جتا 30° = 60 × 0.866 = 51.96 نيوتن، أي 30√3 نيوتن تقريباً.
• التحقق P² + R² = 900 + 2700 = 3600 = 60²، وهو مربع الوزن، لأن القوى الثلاث متلاقية والمحصلة تساوي صفراً.

المثال الثاني: حدا القوة على مستوى مائل خشن

• جسم وزنه 100 نيوتن على مستوى خشن يميل 30° على الأفقي، ومعامل الاحتكاك السكوني بينه وبين المستوى 0.5.
• أوجد أصغر قوة وأكبر قوة P توازي المستوى تحفظ الجسم متزناً.

المثال الثالث: ردود الأفعال على عارضة أفقية

• عارضة أفقية AB طولها 2 م ووزنها 40 نيوتن، ترتكز على حاملين عند طرفيها A وB، ويحمل عليها جسم وزنه 60 نيوتن عند نقطة تبعد 0.5 م عن A.
• أوجد رد فعل كل حامل.
• الحل رد الفعل الكلي: R_A + R_B = 40 + 60 = 100 نيوتن. بأخذ العزوم حول B: R_A × 2 = 40 × 1 + 60 × 1.5 = 130، فتكون R_A = 65 نيوتن، ومنها R_B = 35 نيوتن.

المثال الرابع: جسم معلق بخيطين مائلين

• جسم وزنه 100 نيوتن معلق بخيطين يصنع الأول زاوية 45° مع الأفقي، ويصنع الثاني زاوية 60° مع الأفقي، والخيطان في مستوى رأسي واحد ويميلان إلى جهتين مختلفتين.
• أوجد الشد في كل خيط.
• الحل بالاتزان الأفقي: ش₁ جتا 45° = ش₂ جتا 60°، أي ش₁ × 0.7071 = ش₂ × 0.5. وبالاتزان الرأسي: ش₁ جا 45° + ش₂ جا 60° = 100، أي 0.7071 ش₁ + 0.866 ش₂ = 100.
• بالتعويض عن ش₁ = 0.7071 ش₂: 0.5 ش₂ + 0.866 ش₂ = 100، فتكون ش₂ ≈ 73.2 نيوتن، و ش₁ ≈ 51.8 نيوتن.
• التحقق 51.8 × 0.7071 ≈ 36.6، و73.2 × 0.5 = 36.6، والوضع الرأسي: 36.6 + 63.4 = 100.

المثال الخامس: قضيب مفصلي يتزن بخيط مائل

• قضيب منتظم AB طوله 4 م ووزنه 20 نيوتن، مفصلي عند A، ويتزن أفقياً بخيط يثبت عند B ويصنع مع القضيب زاوية 60°.
• أوجد الشد في الخيط ورد فعل المفصل.
• الحل الوزن يؤثر في منتصف القضيب على بعد 2 م من A. بأخذ العزوم حول A، وإهمال عزم رد فعل المفصل لأنه يمر بالنقطة: ش × جا 60° × 4 = 20 × 2، ومنها ش جا 60° = 10، أي ش = 10 ÷ 0.866 ≈ 11.55 نيوتن.
• ومركبة الشد الرأسية = 10 نيوتن، فيكون رد الفعل الرأسي للمفصل = 20 − 10 = 10 نيوتن لأعلى.
• ومركبة الشد الأفقية = ش جتا 60° = 5.77 نيوتن، فيكون رد المفصل الأفقي 5.77 نيوتن في الاتجاه المعاكس.
• التحقق مقدار رد المفصل = √(5.77² + 10²) ≈ 11.55 نيوتن، وهو يساوي الشد، كما يجب لثلاث قوى متلاقية في حالة اتزان.

المثال السادس: سلم يستند على حائط أملس

• سلم منتظم AB طوله 10 م ووزنه 40 نيوتن، طرفه A على أرض أفقية خشنة، وطرفه B مستند على حائط رأسي أملس، ويميل السلم على الأرض بزاوية 60°.
• أوجد رد فعل الحائط، وأقل معامل احتكاك يمنع الانزلاق.
• الحل رد فعل الحائط S أفقي. من الأرض: الرأسي R = 40 نيوتن، والاحتكاك F أفقي يساوي S في المقدار. بأخذ العزوم حول A: S × (10 جا 60°) = 40 × (5 جتا 60°)، أي S × 8.66 = 40 × 2.5 = 100، ومنها S = 11.55 نيوتن.
• إذن F = 11.55 نيوتن، وأقل معامل احتكاك = F ÷ R = 11.55 ÷ 40 ≈ 0.289.
• التحقق القيمة الدقيقة هي √3 ÷ 6 ≈ 0.289، وهي تتفق مع الحساب.