• لعزم الازدواج خاصيتان أساسيتان نحتاجهما في حل المسائل:

• ثبات العزم عزم الازدواج لا يتغير بتغير النقطة التي نأخذ العزوم حولها، لأن المحصلة الخطية للقوتين صفر، فتكون عزومهما حول أي نقطة متساوية في الحاصل.
• يتحدد بالمقدار والاتجاه فقط يعتمد العزم على مقدار القوتين والبعد العمودي بينهما، ولا يهم موقع الازدواج في المستوى.
• ويترتب على ذلك أن الازدواج يمكن نقله في مستوى الجسم أو تدويره دون أن يتغير تأثيره، طالما بقي العزم كما هو.
• فقوتان مقدار كل منهما 6 نيوتن والبعد بينهما 1 م تكافئان قوتين مقدار كل منهما 3 نيوتن والبعد بينهما 2 م، لأن حاصل ضرب القوة في البعد في الحالتين يساوي 6 نيوتن.متر.
• وهذا يعني أن العامل الحاسم في تأثير الازدواج هو حاصل الضرب، وليس كل مقدار على حدة.

المثال الأول: حساب عزم ازدواج

المثال الثاني: ثبات العزم بتغير النقطة

• قوتان مقدار كل منهما 5 نيوتن، مؤثرتان أفقيتان ومتضادتان، الأولى عند النقطة A(0، 0) والثانية عند النقطة B(3، 4) بالسنتيمتر، والقوة الأولى في اتجاه محور السينات الموجب، والثانية في الاتجاه السالب.
• أوجد عزم الازدواج حول النقطة O(1، 1).
• الحل نستخدم العلاقة م = س × ق_ص − ص × ق_س. بالنسبة للقوة الأولى: الذراع (س، ص) = (0 − 1، 0 − 1) = (−1، −1)، والقوة (5، 0)، فيكون عزمها = (−1)(0) − (−1)(5) = 5 نيوتن.سم.

• بالنسبة للقوة الثانية الذراع = (3 − 1، 4 − 1) = (2، 3)، والقوة (−5، 0)، فيكون عزمها = 2 × 0 − 3 × (−5) = 15 نيوتن.سم.
• مجموع العزمين = 5 + 15 = 20 نيوتن.سم = 0.2 نيوتن.متر.
• ونجد أن البعد العمودي بين الخطين هو 4 سم، والقوة 5 نيوتن، فحاصل الضرب 20 نيوتن.سم، وهو يساوي المجموع السابق كما تنص القاعدة.

المثال الثالث: نقل قوة إلى نقطة أخرى

• قوة مقدارها 10 نيوتن تؤثر في نقطة A من جسم متماسك، ونريد نقلها إلى نقطة B تبعد عنها 0.4 متر عمودياً على خط عمل القوة، دون أن يتغير تأثيرها.
• أوجد الازدواج الذي يجب إضافته.
• الحل نضيف عند B قوتين متساويتين ومتضادتين مقدار كل منهما 10 نيوتن ومتوازيتين مع القوة الأصلية، فتلغى القوتان المضافتان، وتبقى قوة 10 نيوتن عند B، ويتكون ازدواج عزمه = 10 × 0.4 = 4 نيوتن.متر.

المثال الرابع: الازدواج المحصل لعدة ازدواجات

المثال الخامس: استبدال مجموعة قوى بازدواج

• قوى مقاديرها 10 و24 و26 نيوتن تؤثر في جسم في اتجاهات أضلاع مثلث قائم أطوال أضلاعه 5 و12 و13 سم، وتمثلها تمثيلاً تاماً أضلاعه مأخوذة في ترتيب دوري.
• أثبت أن المجموعة تكافئ ازدواجاً وأوجد عزمه.
• الحل نسبة القوة إلى طول الضلع: 10 ÷ 5 = 24 ÷ 12 = 26 ÷ 13 = 2 نيوتن لكل سم، إذن القوى تمثلها أضلاع المثلث تماماً. ومحصلة الثلاث صفر، فالمجموعة تكافئ ازدواجاً.
• مساحة المثلث = ½ × 5 × 12 = 30 سم²، ومعيار عزم الازدواج = 2 × 30 × 2 = 120 نيوتن.سم = 1.2 نيوتن.متر.
• التحقق بأخذ العزوم حول أحد رؤوس المثلث نحصل على القيمة نفسها 120 نيوتن.سم.

المثال السادس: عزم مجموعة قوى متوازية الأضلاع

• مستطيل ABCD طول AB = 40 سم وطول BC = 30 سم.
• تؤثر قوة 10 نيوتن عند A في اتجاه AB، وقوة 10 نيوتن عند C في اتجاه CD، وتؤثر قوة 6 نيوتن عند B في اتجاه BC، وقوة 6 نيوتن عند D في اتجاه DA.
• أوجد عزم الازدواج المحصل.