العمليات على الأعداد الحقيقية

ترتيب العمليات

نجري العمليات على الأعداد الحقيقية بالترتيب المعتاد←الأقواس أولا، ثم الأسس والجذور، ثم الضرب والقسمة من اليسار إلى اليمين، ثم الجمع والطرح من اليسار إلى اليمين. وتطبق خواص الإبدال والتجميع والتوزيع بما لا يغير قيمة المقدار.

الإبدالأ + ب = ب + أ، أ × ب = ب × أ.

التجميع(أ + ب) + ج = أ + (ب + ج).

التوزيعأ × (ب + ج) = أ × ب + أ × ج.

العمليات على الأعداد الحقيقية · 1 / 7

جمع الجذور المتشابهة وطرحها

الجذور المتشابهة هي جذور لها الدليل نفسه والعدد تحت الجذر نفسه
مثل 3√5 و2√5. ويمكن جمعها أو طرحها بجمع أو طرح معاملاتها فقط:

3√5 + 2√5 = (3 + 2)√5 = 5√5.
قبل الجمع نبسط كل جذر، فالعدد √12 ليس متشابها مع √3 في صورته الأولى، لكن √12 = √4 × √3 = 2√3، فيصبح متشابها معه.

بلاطتان مربعتان مساحتاهما 12 و27 تبينان العمليات على الجذور←جذر 12 + جذر 27 = 5 جذر 3.: جمع الجذور المتشابهة وطرحها

العمليات على الأعداد الحقيقية · 2 / 7

ضرب الجذور وقسمتها

للجذور التربيعية للأعداد الموجبة القانونان الآتيان:

√أ × √ب = √(أ × ب)، مثل √2 × √8 = √16 = 4.
√أ ÷ √ب = √(أ ÷ ب)، مثل √50 ÷ √2 = √25 = 5.
ولتبسيط الجذر نخرج من تحته أكبر مربع كامل يقسمه. فمثلا √50 = √25 × √2 = 5√2.
مثال آخر √3 × √12 = √36 = 6، ويمكن التحقق بتبسيط √12 = 2√3 فيكون √3 × 2√3 = 2 × 3 = 6. وكذلك √20 ÷ √5 = √4 = 2.
وإذا ظهرت عدة جذور في المقدار، نجمعها أو نطرحها بعد تبسيطها فقط.
مثال للتأكد √27 − √12 = 3√3 − 2√3 = √3، لأن الجذرين بعد التبسيط أصبحا متشابهين.

العمليات على الأعداد الحقيقية · 3 / 7

إزالة الجذر من المقام

نكتب المقدار في صورة لا يوجد فيها جذر في المقام، وذلك بضرب البسط والمقام في العدد نفسه الذي يزيل الجذر، أو في المرافق.
فإذا كان المقام √أ نضرب في √أ.
وإذا كان المقام على الصورة (√أ − √ب) نضرب في مرافقه (√أ + √ب)، لأن (√أ − √ب)(√أ + √ب) = أ − ب.
عند إزالة الجذر من مقام الكسر 1 / (2 − √3) نضرب البسط والمقام في المرافق (2 + √3).
فيكون البسط 2 + √3، والمقام (2 − √3)(2 + √3) = 4 − 3 = 1، فتكون الصورة النهائية 2 + √3.
وفي المقام √2 مع العدد 3 مثل 1 / (3√2)، نضرب البسط والمقام في √2 فنحصل على √2 / 6.

العمليات على الأعداد الحقيقية · 4 / 7

أمثلة محلولة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
المثال الأول	بسط √12 + √27
الحل	√12 = 2√3 و√27 = 3√3. إذن √12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3
المثال الثاني	أوجد ناتج (2 + √3)(2 − √3)	أوجدناتج
الحل	نستخدم قانون الفرق بين مربعين: (2)² − (√3)² = 4 − 3 = 1	نستخدمقانونالفرقمربعين
المثال الثالث	أزل الجذر من المقام في العدد 2 ÷ (√5 − 1) ثم أوجد قيمته التقريبية	الجذرالمقامالعددأوجد
الحل	نضرب البسط والمقام في (√5 + 1): 2(√5 + 1) ÷ ((√5)² − 1²) = 2(√5 + 1) ÷ 4 = (√5 + 1) ÷ 2. وقيمته التقريبية ≈ 1.618	نضربالبسطوالمقاموقيمته
المثال الرابع	بسط المقدار (√8 + √18) ÷ √2	المقدار
الحل	√8 = 2√2 و√18 = 3√2 فيصبح المقدار (2√2 + 3√2) ÷ √2 = 5√2 ÷ √2 = 5	فيصبحالمقدار

العمليات على الأعداد الحقيقية · 5 / 7

أخطاء شائعة

جمع الجذور غير المتشابهة، مثل √2 + √3 = √5، وهذا خطأ.
الخطأ في الترتيب، والصحيح 2 + 3 × (−4) ÷ 2 = −4، أما الجمع أولاً فيعطي (2 + 3) × (−4) ÷ 2 = −10، لأن الضرب والقسمة يسبقان الجمع.
كتابة √(أ + ب) = √أ + √ب، فمثلا √(9 + 16) = 5 بينما 3 + 4 = 7.
نسيان تبسيط الجذر قبل الجمع أو الطرح.

العمليات على الأعداد الحقيقية · 6 / 7

ملخص الدرس

نطبق ترتيب العمليات ونستفيد من خواص الإبدال والتجميع والتوزيع.
لا نجمع أو نطرح إلا الجذور المتشابهة بعد تبسيطها.
√أ × √ب = √(أ × ب)، و√أ ÷ √ب = √(أ ÷ ب) للأعداد الموجبة.
نزيل الجذر من المقام بضرب البسط والمقام في العدد المناسب أو في المرافق.

العمليات على الأعداد الحقيقية · 7 / 7

المناهج الدراسية

الرياضيات — الصف الثاني الإعدادي

الوحدة الأولى: الأعداد الحقيقية

الوحدة الثانية: الجبر

الوحدة الثالثة: الهندسة

الوحدة الرابعة: الإحصاء

العمليات على الأعداد الحقيقية

العمليات على الأعداد الحقيقية

ترتيب العمليات

جمع الجذور المتشابهة وطرحها

ضرب الجذور وقسمتها

إزالة الجذر من المقام

أمثلة محلولة

أخطاء شائعة

ملخص الدرس

أحسنت! أنهيت هذا الدرس