المناهج الدراسية
تسجيل الدخول

المناهج الدراسية

الرياضيات — الصف الثاني الإعدادي

الوحدة الأولى: الأعداد الحقيقية

0/35

الوحدة الثانية: الجبر

0/23

الوحدة الثالثة: الهندسة

0/33

الوحدة الرابعة: الإحصاء

0/12
نص الدرس

قوانين الأسس في الأعداد الحقيقية

الرياضيات — الصف الثاني الإعدادي

قوانين الأسس في الأعداد الحقيقية

معنى الأس

معنى الأس

  • الأس يدل على عدد مرات ضرب الأساس في نفسه. فمثلا 25 تعني 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32، حيث العدد 2 هو الأساس والعدد 5 هو الأس.
  • وعند كتابة أم يكون الأساس هو أ والأس هو م، حيث م عدد صحيح موجب. ويكون أ1 = أ دائما.
قوانين الأسس في الأعداد الحقيقية · 1 / 7
قوانين الأسس

قوانين الأسس

القانون مثال
أم × أن = أم+ن 23 × 24 = 27 = 128
أم ÷ أن = أم−ن 36 ÷ 32 = 34 = 81
(أم)ن = أم×ن (23)2 = 26 = 64
(أ × ب)ن = أن × بن (2 × 5)3 = 23 × 53 = 1000
ملاحظة مهمة←قوانين الضرب والقسمة تشترط أن يكون الأساس واحدا. فلا نكتب 23 × 32 = 65، لأن الأساسين مختلفان.
  1. لتكن أ و ب أعدادا حقيقية غير صفرية
  2. وتكون م و ن أعدادا صحيحة
  3. فإن:
صفوف من المكعبات تمثل قوانين الأسس: 2³ × 2² = 2⁵ أي 8 × 4 = 32 مكعبًا.
صفوف من المكعبات تمثل قوانين الأسس: 23 × 22 = 25 أي 8 × 4 = 32 مكعبًا.
صفوف من المكعبات تمثل قوانين الأسس←23 × 22 = 25 أي 8 × 4 = 32 مكعبًا.: قوانين الأسس
قوانين الأسس في الأعداد الحقيقية · 2 / 7
الأس صفر والأس السالب

الأس صفر والأس السالب

  • لأي عدد حقيقي أ لا يساوي صفرا:
  • أ0 = 1. فمثلا 50 = 1، ويمكن استنتاجها من قانون القسمة: 52 ÷ 52 = 50 = 25 ÷ 25 = 1.
  • أ−ن = 1 ÷ أن. فمثلا 2−3 = 1 ÷ 23 = 1/8.
  • ونلاحظ أن (3/2)−2 = (2/3)2 = 4/9، أي أن الأس السالب يقلب الكسر.
قوانين الأسس في الأعداد الحقيقية · 3 / 7
تبسيط المقادير الأسية

تبسيط المقادير الأسية

لتبسيط مقدار أسي نتبع الخطوات الآتية←نحول الأعداد إلى أساسات متماثلة إن أمكن، ثم نطبق قوانين الأسس، ثم نحسب الناتج النهائي. فمثلا 43 = (22)3 = 26 = 64، لأن 4 = 22.

قوى المقادير الجبرية

  • نطبق القوانين نفسها على الحروف، فمثلا س2 × س3 = س5، و(2س)3 = 23 × س3 = 8س3.
  • وعند القسمة نطرح الأسس: 12ص6 ÷ 3ص2 = 4ص4.
  • ومثال آخر: (2س2)3 ÷ 4س4 = 8س6 ÷ 4س4 = 2س2.
  • وللتحقق من أي ناتج نعوض بقيمة عددية للمتغير، فإذا كانت س = 2 يكون س2 × س3 = 4 × 8 = 32 = 25.
  • وللمقارنة بين القوى نحسب قيمتها 25 = 32 و52 = 25، إذن 25 أكبر من 52، مع أن الأساس 5 أكبر من الأساس 2.
  • ومن الأخطاء الشائعة أن يظن الطالب أن (أم)ن تساوي أم + أن، والصحيح أن الأسس تضرب في بعضها.
  • فمثلا (22)3 = 26 = 64، بينما 22 + 23 = 12.
قوانين الأسس في الأعداد الحقيقية · 4 / 7
أمثلة محلولة

أمثلة محلولة

وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
المثال الأولبسط 23 × 24.
الحلالأساس واحد، فنجمع الأسس: 23+4 = 27 = 128.الأساسواحدفنجمعالأسس
المثال الثانيبسط 36 ÷ 32.
الحلنطرح الأسس: 36−2 = 34 = 81.نطرحالأسس
المثال الثالثأوجد قيمة (23)2، ثم أوجد قيمة (2 × 5)3 ÷ 52.أوجدقيمة
الحل(23)2 = 26 = 64. أما (2 × 5)3 ÷ 52 = 23 × 53 ÷ 52 = 8 × 51 = 40.
المثال الرابعأوجد قيمة 2−3 + (3/2)−2.أوجدقيمة
الحل2−3 = 1/8، و(3/2)−2 = 4/9. إذن المجموع 1/8 + 4/9 = 9/72 + 32/72 = 41/72.المجموع
قوانين الأسس في الأعداد الحقيقية · 5 / 7
أخطاء شائعة

أخطاء شائعة

  • ضرب الأسس عند الضرب، فيكون 23 × 24 = 47، وهذا خطأ، والصحيح 27.
  • الخلط بين الأساس والأس في الضرب، فيكون 23 = 6، وهذا خطأ، والصحيح 23 = 8.
  • اعتبار الأس السالب عددا سالبا، فيكون 2−3 = −8، والصحيح 1/8.
  • كتابة (أ + ب)ن = أن + بن، فمثلا (2 + 3)2 = 25 وليس 4 + 9 = 13.
قوانين الأسس في الأعداد الحقيقية · 6 / 7
ملخص الدرس

ملخص الدرس

  1. أم × أن = أم+ن، و أم ÷ أن = أم−ن.
  2. (أم)ن = أم×ن، و(أ × ب)ن = أن × بن.
  3. أ0 = 1 لكل أ لا تساوي صفرا.
  4. أ−ن = 1 ÷ أن، أي أن الأس السالب يعطي مقلوب القوة.
قوانين الأسس في الأعداد الحقيقية · 7 / 7