المناهج الدراسية
تسجيل الدخول

المناهج الدراسية

الرياضيات — الصف الثاني الإعدادي

الوحدة الأولى: الأعداد الحقيقية

0/35

الوحدة الثانية: الجبر

0/23

الوحدة الثالثة: الهندسة

0/33

الوحدة الرابعة: الإحصاء

0/12
نص الدرس

تحليل الحالات الخاصة

الرياضيات — الصف الثاني الإعدادي

تحليل الحالات الخاصة

الفرق بين مربعين

الفرق بين مربعين

  • هناك مقادير لها صور خاصة يسهل تحليلها مباشرة دون البحث عن عددين. أولى هذه الصور هي الفرق بين مربعين:
لوح مربع يُقتطع منه مربع وتعاد صياغته مستطيلًا يبين تحليل الحالات الخاصة: 25 – 9 = (5 – 3)(5 + 3).
لوح مربع يُقتطع منه مربع وتعاد صياغته مستطيلًا يبين تحليل الحالات الخاصة: 25 – 9 = (5 – 3)(5 + 3).

أ2 − ب2 = (أ − ب)(أ + ب)

  • ويكون مربعا العددين كاملين أو مقدارين مربعين، وإشارة الطرح بينهما هي التي تميز الصورة.
  • فمثلا س2 − 49 = س2 − 72 = (س − 7)(س + 7).
  • ويمكن التحقق بالضرب، فالحدان الأوسطان يلغي أحدهما الآخر.
  • ملاحظة مجموع مربعين مثل س2 + 9 لا يتحلل إلى عوامل حقيقية، لأنه لا يأخذ صورة الفرق بين مربعين.
  • ويمكن استخدام الصور الخاصة في الحساب السريع، فمثلا 512 − 492 = (51 − 49)(51 + 49) = 2 × 100 = 200. والتحقق: 2601 − 2401 = 200.
تحليل الحالات الخاصة · 1 / 6
المربع الكامل

المربع الكامل

  • المقدار الثلاثي الذي يكون مربعا كاملا له صورتان:

أ2 + 2أب + ب2 = (أ + ب)2

أ2 − 2أب + ب2 = (أ − ب)2

  • ولمعرفة أن المقدار مربع كامل نتأكد من أن طرفيه مربعان كاملان، وأن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الجذرين.
  • فمثلا في المقدار س2 + 10س + 25 نجد أن س2 مربع، و25 = 52، والحد الأوسط 10س = 2 × س × 5.
  • إذن س2 + 10س + 25 = (س + 5)2.
تحليل الحالات الخاصة · 2 / 6
تكرار التحليل

تكرار التحليل

  • قد يمكن تحليل المقدار أكثر من مرة.
  • فإذا ظهر أحد العوامل على صورة فرق بين مربعين مرة أخرى، نحلله كذلك.
  • فمثلا 16س4 − 1 = (4س2)2 − 12 = (4س2 − 1)(4س2 + 1)، ثم نلاحظ أن 4س2 − 1 = (2س)2 − 12 = (2س − 1)(2س + 1).
  • أما 4س2 + 1 فمجموع مربعين، ولا يتحلل إلى عوامل حقيقية.
تحليل الحالات الخاصة · 3 / 6
أمثلة محلولة

أمثلة محلولة

وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
المثال الأولحلل المقدار س2 − 49المقدار
الحلهو فرق بين مربعين لأن 49 = 72. إذن س2 − 49 = (س − 7)(س + 7)مربعين
المثال الثانيحلل المقدار س2 + 10س + 25 ثم أوجد قيمته عندما س = 15المقدارأوجدقيمتهعندما
الحل
  • المقدار مربع كامل
  • فيكون (س + 5)2. وعند س = 15 يكون (15 + 5)2 = 202 = 400. والتحقق من المقدار الأصلي: 225 + 150 + 25 = 400
المقدارمربعكاملفيكون
المثال الثالثحلل المقدار 16س4 − 1 تحليلا كاملاالمقدار16س4تحليلاكاملا
الحل16س4 − 1 = (4س2 − 1)(4س2 + 1) = (2س − 1)(2س + 1)(4س2 + 1). ويتوقف التحليل لأن 4س2 + 1 لا يتحلل إلى عوامل حقيقية16س4ويتوقفالتحليليتحلل
المثال الرابعأوجد قيمة 1002 − 992 دون استخدام الآلة الحاسبةأوجدقيمة1002استخدام
الحل1002 − 992 = (100 − 99)(100 + 99) = 1 × 199 = 199. والتحقق: 10000 − 9801 = 1991002والتحقق100009801
المثال الخامسحلل المقدار 25س2 − 16ص2المقدار25س216ص2
الحل←هو فرق بين مربعين، لأن 25س2 = (5س)2 و16ص2 = (4ص)2. إذن 25س2 − 16ص2 = (5س − 4ص)(5س + 4ص). والتحقق: 25س2 + 20سص − 20سص − 16ص2 = 25س2 − 16ص2.
تحليل الحالات الخاصة · 4 / 6
أخطاء شائعة

أخطاء شائعة

  • كتابة (أ − ب)2 = أ2 − ب2، والصحيح (أ − ب)2 = أ2 − 2أب + ب2.
  • كتابة أ2 + ب2 = (أ + ب)2، فالحد الأوسط غير موجود، ولا يتحلل المجموع إلى عوامل حقيقية بهذه الصورة.
  • نسيان الحد الأوسط عند تحليل المربع الكامل، أو وضع إشارة خاطئة له.
  • تحليل الفرق بين مربعين بطريقة خاطئة، مثل كتابة س2 − 9 = (س − 3)2، والصحيح (س − 3)(س + 3).
تحليل الحالات الخاصة · 5 / 6
ملخص الدرس

ملخص الدرس

  1. أ2 − ب2 = (أ − ب)(أ + ب).
  2. أ2 ± 2أب + ب2 = (أ ± ب)2.
  3. نتحقق من وجود صورة خاصة قبل البحث عن عددين.
  4. قد نكرر التحليل حتى لا يبقى فرق بين مربعين.
تحليل الحالات الخاصة · 6 / 6