المناهج الدراسية
تسجيل الدخول

المناهج الدراسية

الرياضيات — الصف الثاني الإعدادي

الوحدة الأولى: الأعداد الحقيقية

0/35

الوحدة الثانية: الجبر

0/23

الوحدة الثالثة: الهندسة

0/33
نص الدرس

نظرية فيثاغورس

الرياضيات — الصف الثاني الإعدادي

نظرية فيثاغورس

نص النظرية

نص النظرية

  • في المثلث القائم الزاوية مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين.
  • والوتر هو الضلع المقابل للزاوية القائمة، وهو أطول ضلع في المثلث.
  • إذا رمزنا لطول الوتر بـ ج، ولطولي الضلعين الآخرين بـ أ وب، فإن:

ج2 = أ2 + ب2

  • ومن هذه العلاقة نستنتج أن الوتر ج = √(أ2 + ب2)، وأن أي ضلع قائم أ = √(ج2 − ب2).
  • ومن أشهر الأعداد التي تحقق النظرية ثلاثيات فيثاغورس، مثل (3، 4، 5) و(5، 12، 13) و(7، 24، 25)، وفيها تكون الأعداد الثلاثة أعدادا صحيحة.
نظرية فيثاغورس · 1 / 6
عكس النظرية

عكس النظرية

عكس نظرية فيثاغورس يقول←إذا كان في المثلث ج2 = أ2 + ب2، حيث ج أطول الأضلاع، فإن المثلث قائم الزاوية، والزاوية المقابلة لـ ج قائمة. فمثلا المثلث الذي أضلاعه 7 و24 و25 قائم الزاوية، لأن 72 + 242 = 49 + 576 = 625 = 252.
نظرية فيثاغورس · 2 / 6
تطبيقات على النظرية

تطبيقات على النظرية

  1. تستخدم النظرية في حساب أطوال غير معلومة في مواقف كثيرة
  2. مثل:
سلم مستند إلى حائط يكوّن مثلثاً قائم الزاوية: أ ب = 3 م، ب ج = 4 م، أ ج = 5 م
سلم مستند إلى حائط يكوّن مثلثاً قائم الزاوية: أ ب = 3 م، ب ج = 4 م، أ ج = 5 م
  • حساب طول قطر المستطيل أو المربع.
  • حساب ارتفاع سلم يستند على حائط عندما نعرف بعد قاعدته عن الحائط وطوله.
  • التحقق من أن زاوية في مبنى أو ركن ما قائمة، باستخدام الأضلاع المقاسة.
نظرية فيثاغورس · 3 / 6
أمثلة محلولة

أمثلة محلولة

وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
المثال الأولمثلث قائم الزاوية طولا ضلعيه القائمين 6 سم و8 سم. أوجد طول الوترمثلثقائمالزاويةطولا
الحل
  • ج2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100
  • إذن ج = 10 سم
المثال الثاني
  • مثلث قائم الزاوية طول وتره 13 سم
  • وأحد ضلعيه القائمين 5 سم. أوجد طول الضلع الآخر
مثلثقائمالزاويةوتره
الحلالضلع المجهول = √(132 − 52) = √(169 − 25) = √144 = 12 سم. والتحقق: 52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132الضلعالمجهولوالتحقق
المثال الثالث
  • سلم طوله 13 م يستند بقمته على حائط رأسي
  • وقاعدته تبعد 5 م عن الحائط. ما ارتفاع نقطة استناد السلم على الحائط؟
طولهيستندبقمتهحائط
الحلالارتفاع = √(132 − 52) = √144 = 12 م. ويكون المثلث المكون من الحائط والأرض والسلم قائم الزاوية عند قاعدة الحائطالارتفاعويكونالمثلثالمكون
المثال الرابع
  • مستطيل بعداه 9 سم و12 سم. أوجد طول قطره
  • ثم أوجد طول قطر مربع طول ضلعه 5 سم بصورة تقريبية
مستطيلبعداهأوجدقطره
الحل←قطر المستطيل = √(92 + 122) = √(81 + 144) = √225 = 15 سم. أما قطر المربع فيساوي √(52 + 52) = √50 = 5√2 ≈ 7.07 سم.
نظرية فيثاغورس · 4 / 6
أخطاء شائعة

أخطاء شائعة

  • تطبيق النظرية على مثلث غير قائم الزاوية، فمثلا المثلث 5 و6 و7 ليس قائما، لأن 52 + 62 = 61 لا تساوي 72 = 49.
  • وضع الوتر في غير مكانه في القانون، فالوتر دائما هو الضلع المقابل للزاوية القائمة وهو الأكبر.
  • كتابة ج2 = أ2 + ب2 ثم نسيان الجذر التربيعي عند إيجاد الطول.
  • الخلط بين العلاقة بالجمع والعلاقة بالتربيع، فالصحيح أ2 + ب2 = ج2، وليس أ + ب = ج.
نظرية فيثاغورس · 5 / 6
ملخص الدرس

ملخص الدرس

  • في المثلث القائم الزاوية الوتر2 = مجموع مربعي الضلعين الآخرين.
  • الوتر هو أطول ضلع في المثلث القائم.
  • عكس النظرية إذا تحقق ج2 = أ2 + ب2 فالمثلث قائم الزاوية.
  • نستخدم النظرية في حساب أطوال الأضلاع والأقطار والمسافات.
نظرية فيثاغورس · 6 / 6