قوانين الجذور التربيعية والتكعيبية

الجذر التربيعي

الجذر التربيعي للعدد أ هو العدد الذي إذا ربعناه كان الناتج أ.
فالجذر التربيعي للعدد 49 هو 7 لأن 7² = 49.
ويكون الجذر التربيعي الحسابي عددا موجبا أو صفرا دائما.
نتعامل مع مربع العدد بالقانون √(أ²) = |أ|، أي أن الجذر التربيعي لمربع أي عدد يساوي القيمة المطلقة لهذا العدد. فمثلا √((−5)²) = √25 = 5 = |−5|.

قوانين الجذور التربيعية والتكعيبية · 1 / 7

الجذر التكعيبي

الجذر التكعيبي للعدد أ هو العدد الذي إذا كعبناه كان الناتج أ، ويكتب بالرمز 3√أ.
ويختلف الجذر التكعيبي عن التربيعي في أنه معرف للأعداد السالبة أيضا، لأن مكعب العدد السالب يكون سالبا:

قوانين الجذور التربيعية والتكعيبية←مكعب حجمه 64 ومربع مساحته 25 يوضحان الجذر التربيعي والتكعيبي: الجذر التكعيبي 4 والتربيعي 5.: الجذر التكعيبي

قوانين الجذور التربيعية والتكعيبية · 2 / 7

قوانين الجذور

لتبسيط الجذر التربيعي نخرج من تحته أكبر مربع كامل يقسمه، فمثلا √72 = √36 × √2 = 6√2.
ويستخدم القانون نفسه مع الجذور التكعيبية، فمثلا ³√54 = ³√(27 × 2) = 3 ³√2، لأن ³√27 = 3. ويمكن التحقق: (3 ³√2)³ = 27 × 2 = 54.
ملاحظة لا نحتاج في الجذر التكعيبي إلى القيمة المطلقة، لأن 3√(أ³) = أ لكل عدد حقيقي أ، سواء كان موجبا أو سالبا.

قوانين الجذور التربيعية والتكعيبية · 3 / 7

الجذر التربيعي لمربع عدد

إذا كان المقدار تحت الجذر مربعا لعدد غير معلوم الإشارة، فإن الجذر يعطي القيمة المطلقة.
فمثلا √(4س²) = √(4) × √(س²) = 2|س|.
وإذا كان س = −3 فإن 2|س| = 6، وهو نفس ناتج √(4 × 9) = √36 = 6.
إذا كان الأس داخل الجذر عددا زوجيا، فإننا نقسم الأس على 2 ونأخذ القيمة المطلقة للأساس المرفوع للناتج، أي أن √(أ2ن) = |أن|.
فمثلا √(أ6) = |أ3|، و√(أ4) = |أ2| = أ2، لأن أ2 عدد غير سالب.
ويظهر الأمر نفسه مع الكسور، فـ√((−2/9)2) = |−2/9| = 2/9، وهي قيمة موجبة دائما.

قوانين الجذور التربيعية والتكعيبية · 4 / 7

أمثلة محلولة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
المثال الأول	أوجد قيمة √49 + ³√(−27).	أوجدقيمة
الحل	√49 = 7، و³√(−27) = −3، لأن (−3)³ = −27. إذن المجموع 7 + (−3) = 4.	المجموع
المثال الثاني	أوجد قيمة √((−5)²) ثم أوجد √(4س²) عندما س = −3	أوجدقيمةعندما
الحل	√((−5)²) = \|−5\| = 5. وعند س = −3 يكون 4س² = 4 × 9 = 36 إذن √36 = 6	وعنديكون
المثال الثالث	بسط √72
الحل	نخرج أكبر مربع كامل يقسم 72 وهو 36. إذن √72 = √36 × √2 = 6√2	نخرجأكبرمربعكامل
المثال الرابع	أوجد قيمة ³√(8 ÷ 27).	أوجدقيمة
الحل	نفصل الجذر على البسط والمقام: ³√8 ÷ ³√27 = 2 ÷ 3 = 2/3. والتحقق: (2/3)³ = 8/27.	نفصلالجذرالبسطوالمقام

قوانين الجذور التربيعية والتكعيبية · 5 / 7

أخطاء شائعة

كتابة √(س²) = س دائما، والصحيح √(س²) = |س|. فإذا كانت س = −7 فإن √(س²) = 7.
كتابة √(أ + ب) = √أ + √ب، فمثلا √(9 + 16) = 5 بينما √9 + √16 = 7.
الظن بأن الجذر التربيعي لعدد سالب موجود في مجموعة الأعداد الحقيقية، فالعدد √(−4) غير معرف في ح.
نسيان أن الجذر التكعيبي للعدد السالب سالب، فنكتب ³√(−8) = 2 بدلا من −2.

قوانين الجذور التربيعية والتكعيبية · 6 / 7

ملخص الدرس

قوانين الجذور التربيعية والتكعيبية · 7 / 7

الجذر التربيعي