محصلة القوى المتوازية المستوية

القوى المتوازية وخطوط عملها

القوى المتوازية المستوية هي مجموعة من القوى تقع كلها في مستوى واحد، وخطوط عملها متوازية، أي لا تتقاطع مهما امتدت.
ومن أمثلتها وزنان معلقان على قضيب أفقي من نقطتين مختلفتين، أو قوتان يدفع بهما شخصان جسماً من جانبيه في اتجاه واحد.
خط العمل هو المستقيم الذي تقع عليه القوة.
والمحصلة هي القوة الواحدة التي تكافئ مجموعة القوى في تأثيرها على الجسم.
وفي القوى المتوازية لا يكفي أن نعرف مقدار المحصلة واتجاهها، بل يلزم أيضاً تحديد نقطة تأثيرها، لأنها تؤثر في موضع معين من الجسم فتحدث له عزماً حول أي نقطة.

قوى في اتجاه واحد كأوزان معلقة على قضيب من جهة واحدة، وتكون المحصلة في نفس الاتجاه.
قوى في اتجاهين متضادين كقوة شد من جهة وقوة ضغط من الجهة الأخرى، وتكون المحصلة في اتجاه القوة الأكبر.
نرمز للقوة بالحرف ق، وللبعد بالحرف ف.
وتقاس القوة بالنيوتن، ويقاس البعد بالسنتيمتر أو بالمتر، ويجب أن تكون وحدة المسافة واحدة في جميع خطوات الحل.

محصلة القوى المتوازية المستوية · 1 / 8

محصلة قوتين متوازيتين في اتجاه واحد

إذا أثرت قوتان متوازيتان ومتحدتا الاتجاه، مقدارهما ق₁ و ق₂، في نقطتين A و B من جسم متماسك تبعد إحداهما عن الأخرى مسافة د، فإن:

عمال يحملون ثقلًا على عمود طوله 5 م يمثلون محصلة القوى المتوازية: المحصلة 50 نيوتن على بعد 2 م.

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
المقدار	المحصلة ح = ق₁ + ق₂.	المحصلة
الاتجاه	نفس اتجاه القوتين	القوتين
موضع خط العمل	يقع بين خطي عمل القوتين ويقسم المسافة بينهما من الداخل بنسبة عكسية لمقداري القوتين	القوتينويقسمالمسافةبينهما
•	إذا رمزنا بـ ف₁ لبعد المحصلة عن خط عمل ق₁، وبـ ف₂ لبعدها عن خط عمل ق₂، فإن:	رمزنالبعدالمحصلةلبعدها

ق1 × ف1 = ق2 × ف2، و ف1 + ف2 = د

ومن هذه العلاقة نستنتج أن نقطة تأثير المحصلة تقع أقرب إلى القوة الأكبر، وإذا تساوت القوتان كانت نقطة التأثير في منتصف المسافة بينهما.
ويمكن الوصول إلى الصيغة نفسها بأخذ العزوم حول إحدى النقطتين، فتكون عزوم القوتين حول نقطة تأثير المحصلة متساوية في المقدار ومختلفة في الإشارة، ومجموعها صفر.

شكل 2: محصلة قوتين متوازيتين في اتجاه واحد

محصلة قوتين متوازيتين ومتحدتي الاتجاه مقدارها 25 نيوتن، وتؤثر على بعد 12 سم من نقطة تأثير القوة الأولى A، والمسافة AB = 20 سم.
المحصلة لقوتين متوازيتين في اتجاه واحد ح = ق1 + ق2، وتقع بين خطي العمل.

محصلة القوى المتوازية المستوية · 2 / 8

محصلة قوتين متوازيتين في اتجاهين متضادين

إذا كانت القوتان المتوازيتان متضادتين في الاتجاه، وكانت ق₁ أكبر من ق₂، فإن:

المقدار المحصلة ح = ق₁ − ق₂، أي الفرق بين المقدارين.
الاتجاه اتجاه القوة الأكبر ق₁.
موضع خط العمل يقع خارج المسافة بين القوتين، من جهة القوة الكبرى، لا بينهما.
إذا كان البعد بين خطي عمل القوتين د، وكانت المسافة من خط عمل القوة الكبرى إلى المحصلة س، فإن المسافة من خط عمل القوة الصغرى إلى المحصلة تساوي س + د، ومن أخذ العزوم حول المحصلة نجد:
ق₁ × س = ق₂ × (س + د)، ومنها س = ق₂ × د ÷ (ق₁ − ق₂)
وإذا تساوت القوتان في المقدار وتضادتا في الاتجاه فلا توجد محصلة واحدة، لأن المحصلة تساوي صفراً، وتكونان ازدواجاً يدير الجسم دون أن يحركه انتقالياً.
وسيأتي الازدواج بالتفصيل في درس مستقل.

محصلة القوى المتوازية المستوية · 3 / 8

قاعدة العزوم لإيجاد موضع المحصلة

تنص نظرية العزوم للقوى المتوازية على أن مجموع عزوم القوى حول أي نقطة يساوي عزم المحصلة حول النقطة نفسها.
وبها نجد موضع المحصلة دون الاعتماد على الرسم.

نختار محوراً أفقياً
ونقيس مواضع القوى عليه من نقطة ثابتة O
فيكون موضع المحصلة س من O
وتكون:

ح × س = ق1 × س1 + ق2 × س2 + …

وعند استخدام القاعدة نعتبر العزم الناتج عن القوة الموجبة في اتجاه معين موجباً، والعزم الناتج عن القوة في الاتجاه المضاد سالباً، ثم نحسب المجموع الجبري.
ومن المفيد اختيار نقطة O تقع على خط عمل إحدى القوى، لأن عزم هذه القوة يصبح صفراً فنتخلص من حد في المعادلة.
القوة الموجبة في اتجاه واحد والقوة السالبة في الاتجاه المضاد تضيفان حدوداً بإشارتين مختلفتين.
المحصلة الجبرية هي مجموع المقادير مع الإشارات، والمحصلة المطلقة هي قيمتها بغير إشارة.
إذا كانت المحصلة صفراً والمجموع الجبري للعزوم لا يساوي صفراً، فالقوى تكافئ ازدواجاً.

شكل 4: قاعدة العزوم واتزان الأجسام←قاعدة العزوم لإيجاد موضع المحصلة

محصلة القوى المتوازية المستوية · 4 / 8

تحليل قوة إلى مركبتين متوازيتين

قد نحتاج إلى عكس عملية المحصلة، أي تحليل قوة معلومة ق إلى مركبتين متوازيتين تؤثران عند نقطتين A و B على خط مستقيم يحوي القوة الأصلية، والمسافة بينهما د.
إذا كانت ق_A و ق_B هما المركبتين، فإن:

مجموع المركبتين ق_A + ق_B = ق.
تحديد كل مركبة ق_A = ق × ف_B ÷ د، و ق_B = ق × ف_A ÷ د، حيث ف_A بعد خط عمل القوة عن A، و ف_B بعده عن B.
ويلاحظ أن المركبة عند الطرف الأقرب إلى القوة تكون أكبر من المركبة عند الطرف البعيد عنها، لأن الطرف القريب يتحمل الجزء الأكبر من الحمل.
ويستخدم هذا التحليل كثيراً في توزيع ثقل لوح أو كمرة على حاملين.
ولنفترض مثلاً أن كمرة طولها 4 م يقع عليها حمل مقداره 100 نيوتن على بعد 1 م من الحامل الأول، فإن الحامل الأول يتحمل الجزء الأكبر من الحمل لأنه أقرب إليه، والحامل الثاني يتحمل الباقي.
وبتطبيق القانون نجد أن الحامل الأول يتحمل 75 نيوتن، والحامل الثاني يتحمل 25 نيوتن، ويتحقق المجموع 100 نيوتن.
وهذا التحليل هو أساس تصميم الكباري والرفوف، لأن المهندس يحتاج إلى معرفة ما يتحمله كل دعامة قبل تحديد أبعادها.

محصلة القوى المتوازية المستوية · 5 / 8

أمثلة محلولة

المثال الأول: قوتان في اتجاه واحد

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
•	قوتان متوازيتان ومتحدتا الاتجاه مقدارهما 6 نيوتن و9 نيوتن والمسافة بين خطي عملهما 30 سم. أوجد المحصلة وموضعها	قوتانمتوازيتانومتحدتاالاتجاه
الحل	المحصلة = 6 + 9 = 15 نيوتن في نفس الاتجاه. نفرض أن ف₁ بعد المحصلة عن القوة 6 نيوتن، وف₂ بعدها عن القوة 9 نيوتن، فيكون ف₁ + ف₂ = 30، و6 × ف₁ = 9 × ف₂، أي ف₁ = 1.5 ف₂. بالتعويض: 2.5 ف₂ = 30، فتكون ف₂ = 12 سم، و ف₁ = 18 سم.	المحصلةنيوتنالاتجاهنفرض
التحقق	6 × 18 = 108 و9 × 12 = 108

المثال الثاني: قوتان متضادتان

قوتان متوازيتان ومتضادتان في الاتجاه مقدارهما 15 نيوتن و9 نيوتن، والمسافة بين خطي عملهما 24 سم. أوجد المحصلة وموضعها.
الحل المحصلة = 15 − 9 = 6 نيوتن في اتجاه القوة 15 نيوتن. موضعها خارج المسافة بين القوتين، من جهة القوة الكبرى. ومن القانون: س = 9 × 24 ÷ (15 − 9) = 216 ÷ 6 = 36 سم.

التحقق←15 × 36 = 540، و9 × (36 + 24) = 9 × 60 = 540. فالعزمان متساويان.

المثال الثالث: الازدواج

قوتان متساويتان في المقدار مقدارهما 8 نيوتن، متضادتان في الاتجاه، والبعد العمودي بينهما 25 سم. ماذا تكافئان؟
الحل المحصلة = 8 − 8 = صفر، فلا توجد محصلة واحدة، ولا يتحرك الجسم انتقالياً. العزم الناتج = 8 × 25 = 200 نيوتن.سم = 2 نيوتن.متر، ويكون الدوران في اتجاه واحد. وهذه الحالة هي الازدواج.

المثال الرابع: ثلاث قوى بإشارات مختلفة

ثلاث قوى متوازية في مستوى رأسي تؤثر على قضيب←قوة 4 نيوتن لأعلى عند النقطة O، وقوة 10 نيوتن لأسفل عند نقطة تبعد 20 سم عن O، وقوة 8 نيوتن لأعلى عند نقطة تبعد 50 سم عن O. أوجد المحصلة وموضعها بالنسبة للنقطة O.

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
الحل	نعتبر القوة لأعلى موجبة فتكون المحصلة = 4 − 10 + 8 = 2 نيوتن لأعلى. نأخذ العزوم حول O: 4 × 0 − 10 × 20 + 8 × 50 = 0 − 200 + 400 = 200. ومنها 2 × س = 200 أي س = 100 سم من O	نعتبرالقوةلأعلىموجبة
التحقق	عزم المحصلة حول O = 2 × 100 = 200 وهو يساوي مجموع العزوم	المحصلةيساويمجموعالعزوم

المثال الخامس: تحليل قوة إلى مركبتين

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
•	قوة مقدارها 30 نيوتن تؤثر في خط عمل يبعد 10 سم عن النقطة A والمسافة AB = 40 سم. أوجد المركبة عند A والمركبة عند B	مقدارهانيوتنتؤثريبعد
الحل	ف_A = 10 سم، و ف_B = 40 − 10 = 30 سم. ق_A = 30 × 30 ÷ 40 = 22.5 نيوتن، و ق_B = 30 × 10 ÷ 40 = 7.5 نيوتن.	نيوتن
التحقق	22.5 + 7.5 = 30 وعزم المركبتين حول B: 22.5 × 40 = 900 وعزم القوة الأصلية حول B: 30 × 30 = 900	وعزمالمركبتينالقوةالأصلية

محصلة قوتين متوازيتين ومتحدتي الاتجاه مقدارها 25 نيوتن، وتؤثر على بعد 12 سم من نقطة تأثير القوة الأولى A، والمسافة AB = 20 سم.
أوجد مقدار كل قوة.
الحل بما أن المحصلة تقع على بعد 12 سم من A، فإن البعد من B يساوي 8 سم. من قاعدة النسبة: ق₁ × 12 = ق₂ × 8، و ق₁ + ق₂ = 25. فتكون ق₁ = 2 ق₂ ÷ 3، ومنها (2/3) ق₂ + ق₂ = 25، إذن ق₂ = 15 نيوتن، و ق₁ = 10 نيوتن.
التحقق 10 × 12 = 120، و15 × 8 = 120.

محصلة القوى المتوازية المستوية · 6 / 8

أخطاء شائعة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
جمع المقدارين في حالة الاتجاهين المتضادين	الصواب أن تطرح القوة الصغرى من الكبرى وتكون المحصلة في اتجاه الكبرى	الصوابتطرحالقوةالصغرى
وضع المحصلة بين القوتين عند تضادهما	المحصلة تقع خارج المسافة بينهما من جهة القوة الكبرى أما عند اتحاد الاتجاه فتقع بينهما	خارجالمسافةبينهماالقوة
قلب النسبة	نكتب ق₁ × ف₁ = ق₂ × ف₂، حيث ف₁ هي البعد عن ق₁. فإذا قلبنا الأبعاد تصبح نقطة التأثير عند القوة الخطأ.	نكتبالبعدفإذاقلبنا
اعتبار القوتين المتساويتين والمتضادتين محصلة صفرية تعني الاتزان	هما ازدواج يحدث دوراناً ولا يتزن الجسم ما لم تكن العزوم صفراً	ازدواجيحدثدورانايتزن
خلط وحدات المسافة	إذا كان البعد معطى بالسنتيمتر والنتيجة مطلوبة بالمتر يجب التحويل قبل الحساب	البعدمعطىبالسنتيمتروالنتيجة

محصلة القوى المتوازية المستوية · 7 / 8

ملخص الدرس

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
المحصلة لقوتين متوازيتين في اتجاه واحد	ح = ق1 + ق2 وتقع بين خطي العمل	وتقعالعمل
المحصلة لقوتين متوازيتين في اتجاهين متضادين	ح = ق1 − ق2 وتقع خارج المسافة من جهة القوة الكبرى	وتقعخارجالمسافةالقوة
موضع المحصلة	ق1 × ف1 = ق2 × ف2 في الحالة المتحدة الاتجاه و ق2 × د ÷ (ق1 − ق2) للمسافة من القوة الكبرى في الحالة المتضادة	الحالةالمتحدةالاتجاهللمسافة
نظرية العزوم	مجموع عزوم القوى حول أي نقطة يساوي عزم المحصلة حول النقطة نفسها	مجموعالقوىنقطةيساوي
•	القوتان المتساويتان والمتضادتان تكونان ازدواجاً ولا توجد لهما محصلة واحدة	القوتانالمتساويتانوالمتضادتانتكونان
•	تحليل القوة إلى مركبتين متوازيتين يعتمد على قاعدة العزوم وعلى مجموع المركبتين المساوي للقوة الأصلية	تحليلالقوةمركبتينمتوازيتين

محصلة القوى المتوازية المستوية · 8 / 8

المناهج الدراسية

الرياضيات التطبيقية — الصف الثالث الثانوي

الاستاتيكا: الوحدة الأولى — محصلة القوى المتوازية المستوية

الاستاتيكا: الوحدة الثانية — اتزان مجموعة من القوى المستوية

الاستاتيكا: الوحدة الثالثة — الازدواجات

الديناميكا: الوحدة الأولى — حركة الأجسام بعجلة متغيرة

الديناميكا: الوحدة الثانية — حركة الأجسام المتصلة

الديناميكا: الوحدة الثالثة — الدفع والتصادم

الديناميكا: الوحدة الرابعة — الشغل والطاقة والقدرة

محصلة القوى المتوازية المستوية

محصلة القوى المتوازية المستوية

القوى المتوازية وخطوط عملها

محصلة قوتين متوازيتين في اتجاه واحد

ق1 × ف1 = ق2 × ف2، و ف1 + ف2 = د

محصلة قوتين متوازيتين في اتجاهين متضادين

قاعدة العزوم لإيجاد موضع المحصلة

ح × س = ق1 × س1 + ق2 × س2 + …

تحليل قوة إلى مركبتين متوازيتين

أمثلة محلولة

المثال الأول: قوتان في اتجاه واحد

المثال الثاني: قوتان متضادتان

المثال الثالث: الازدواج

المثال الرابع: ثلاث قوى بإشارات مختلفة

المثال الخامس: تحليل قوة إلى مركبتين

أخطاء شائعة

ملخص الدرس

أحسنت! أنهيت هذا الدرس