المناهج الدراسية
تسجيل الدخول

المناهج الدراسية

الرياضيات — الصف الثاني الإعدادي

الوحدة الأولى: الأعداد الحقيقية

0/35

الوحدة الثانية: الجبر

0/23

الوحدة الثالثة: الهندسة

0/33

الوحدة الرابعة: الإحصاء

0/12
نص الدرس

مقاييس النزعة المركزية

الرياضيات — الصف الثاني الإعدادي

مقاييس النزعة المركزية

مقاييس النزعة المركزية

مقاييس النزعة المركزية

  1. مقاييس النزعة المركزية قيم تمثل مجموعة من البيانات
  2. وتتجمع حولها القيم. وأشهرها ثلاثة مقاييس:
  • الوسط الحسابي مجموع القيم مقسوما على عددها.
  • الوسيط القيمة التي تقع في منتصف البيانات بعد ترتيبها تصاعديا.
  • المنوال القيمة الأكثر تكرارا في البيانات.
  • يتأثر الوسط الحسابي بشدة بالقيم المتطرفة، فإذا كانت درجات خمسة طلاب هي 12 و14 و15 و16 و95، فإن القيمة 95 ترفع الوسط ترفعاً لا يعبر عن أغلب الدرجات، بينما لا يتأثر الوسيط بها.
  • ولإيجاد الوسيط نرتب القيم تصاعدياً؛ فإذا كان عددها فردياً فالوسيط هو القيمة في الترتيب (n + 1) ÷ 2، وإذا كان زوجياً فالوسيط هو الوسط الحسابي للقيمتين في الترتيبين n ÷ 2 و(n ÷ 2) + 1.
  • والمنوال هو المقياس الوحيد الذي يصلح للبيانات الوصفية، مثل فصائل الدم أو الألوان.
مقاييس النزعة المركزية · 1 / 6
الوسط الحسابي والوسيط والمنوال

الوسط الحسابي والوسيط والمنوال

  1. إذا كانت القيم هي س₁
  2. س₂
  3. …
  4. سₙ
  5. فإن الوسط الحسابي = مجموع القيم ÷ n. ويرمز له عادة بالرمز س̄.
خمسة أنابيب متصلة بمستويات ماء 2 و4 و6 و8 و10 تستقر عند 6 تمثل مقاييس النزعة المركزية والوسط الحسابي.
خمسة أنابيب متصلة بمستويات ماء 2 و4 و6 و8 و10 تستقر عند 6 تمثل مقاييس النزعة المركزية والوسط الحسابي.
  • لإيجاد الوسيط نرتب القيم تصاعديا:
  • إذا كان عدد القيم فرديا، فالوسيط هو القيمة التي في المنتصف تماما.
  • إذا كان عدد القيم زوجيا، فالوسيط هو الوسط الحسابي للقيمتين اللتين في المنتصف.
  • أما المنوال فهو القيمة الأكثر تكرارا، وقد لا يوجد منوال إذا تكررت كل القيم بالتساوي، وقد يوجد أكثر من منوال.
مقاييس النزعة المركزية · 2 / 6
الوسط الحسابي لجدول تكراري

الوسط الحسابي لجدول تكراري

  1. إذا كانت البيانات معطاة في جدول تكراري
  2. فإن الوسط الحسابي = مجموع (القيمة × التكرار) ÷ مجموع التكرارات. أي أن:

الوسط الحسابي = Σ(س × ت) ÷ Σت

  • حيث س هي القيمة، وت هو تكرارها، و Σ تعني المجموع.
  • إذا كانت البيانات مبوبة في فئات، فإن x تمثل مركز كل فئة، ويحسب مركز الفئة بالعلاقة: (بداية الفئة + نهايتها) ÷ 2، ثم نحسب الوسط الحسابي بقسمة مجموع (مركز الفئة × التكرار) على مجموع التكرارات.
مقاييس النزعة المركزية · 3 / 6
أمثلة محلولة

أمثلة محلولة

وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
المثال الأولأوجد الوسط الحسابي والوسيط والمنوال للقيم: 4أوجدالوسطالحسابيوالوسيط
الحل
  • مجموع القيم = 37
  • وعددها 5
  • فالوسط = 37 ÷ 5 = 7.4. نرتب القيم: 4
  • فالوسيط هو القيمة في المنتصف = 7. والمنوال = 7 لأنها الأكثر تكرارا
مجموعالقيموعددهافالوسط
المثال الثانيأوجد الوسيط للقيم: 3أوجدالوسيطللقيم
الحل
  • عدد القيم زوجي (6)
  • فالقيمتان في المنتصف هما 8 و10. إذن الوسيط = (8 + 10) ÷ 2 = 9. والوسط الحسابي = (3 + 5 + 8 + 10 + 12 + 15) ÷ 6 = 53 ÷ 6 ≈ 8.83
القيمزوجيفالقيمتانالمنتصف
المثال الثالث
  • في الجدول التكراري الآتي: القيمة 2 تكرارها 3
  • والقيمة 5 تكرارها 4
  • والقيمة 8 تكرارها 2
  • والقيمة 10 تكرارها 1. أوجد الوسط الحسابي والوسيط
الجدولالتكراريالآتيالقيمة
الحل
  • مجموع التكرارات = 3 + 4 + 2 + 1 = 10. مجموع (القيمة × التكرار) = 6 + 20 + 16 + 10 = 52. إذن الوسط = 52 ÷ 10 = 5.2. ولإيجاد الوسيط نرتب 10 قيم: 2
  • 10. القيمتان في المنتصف هما الخامسة والسادسة وكلتاهما 5
  • إذن الوسيط = 5
مجموعالتكراراتالقيمةالتكرار
المثال الرابعمتوسط أربعة أعداد هو 6، وثلاثة منها هي 5 و7 و8. أوجد العدد الرابع.
الحلمجموع الأعداد الأربعة = 6 × 4 = 24. ومجموع الثلاثة المعلومة = 5 + 7 + 8 = 20. إذن العدد الرابع = 24 − 20 = 4.
مقاييس النزعة المركزية · 4 / 6
أخطاء شائعة

أخطاء شائعة

  • حساب الوسيط دون ترتيب القيم أولا، فيكون الناتج خاطئا.
  • قسمة مجموع القيم على عدد القيم المختلفة بدلا من عدد القيم كلها عند وجود تكرار.
  • اختيار القيمة الأولى أو الأخيرة في الترتيب بدلا من القيمة في المنتصف عند وجود عدد زوجي من القيم.
  • الخلط بين الوسط والمنوال، فالوسط هو المتوسط الحسابي، أما المنوال فهو الأكثر تكرارا.
مقاييس النزعة المركزية · 5 / 6
ملخص الدرس

ملخص الدرس

  • الوسط الحسابي = مجموع القيم ÷ عددها، ولجدول تكراري الوسط = Σ(س × ت) ÷ Σت.
  • الوسيط هو القيمة في منتصف البيانات المرتبة تصاعديا.
  • المنوال هو القيمة الأكثر تكرارا.
  • يمكن استخدام الوسط الحسابي لإيجاد قيمة مجهولة إذا علم الوسط وباقي القيم.
مقاييس النزعة المركزية · 6 / 6