★ كتاب الشرح والتفصيل العلمي الشامل المعتمد ★

| | 2026/2027 |

• 🎯 أهداف التعلم والمخرجات التعليمية المقررة بالتفصيل:
• • استيعاب مفهوم الزوج المرتب $(a, b)$ وشرط تساوي زوجين مرتبين وحل المعادلات الناتجة.
• • إيجاد حاصل الضرب الديكارتي لمجموعتين منتهيتين X × Y وتمثيله بالمخطط السهمي والبياني.
• • تحديد مفهوم العلاقة والتمييز بين العلاقة والدالة وتحديد المجال والمجال المقابل والمدى.
• • دراسة الدوال كثيرة الحدود (الدالة الخطية، الدالة الثابتة، والدالة التربيعية وتمثيلها البياني ونقطة رأس المنحنى).
• ◄ أولاً الجبر الديكارتي وتساوي الأزواج المرتبة

• يمثل الزوج المرتب اللبنة الأساسية للهندسة التحليلية والجبر الحديث؛ إذ يحدد نقطة فريدة في المستوى الإحداثي الديكارتي ثنائي الأبعاد.
• وقاعدة تساوي الأزواج المرتبة تعد أداة جبرية بالغة الأهمية لحل أنظمة المعادلات الخطية والتربيعية المزدوجة بمساواة المساقط المتناظرة.
• أما حاصل الضرب الديكارتي X × Y فيعطي ناتج ضرب مجموعات وليس أرقاماً عادية، والناتج دائماً مجموعة من الأزواج المرتبة.
• ومن الخصائص الجوهرية: X × Y ≠ Y × X (عملية غير إبدالية)، بينما عدد العناصر إبدالي: n(X × Y) = n(Y × X) = n(X) × n(Y).
• شكل توضيحي (prep3_cartesian_and_quadratic_graph) شكل (1): حاصل الضرب الديكارتي وتمثيل منحنى الدالة التربيعية ونقطة رأس المنحنى

• ◄ ثانياً مفهوم الدالة والمجال والمدى وشروط بيان العلاقة
• تعد الدالة من أرقى المفاهيم الرياضية المعبرة عن العلاقات السببية في الكون؛ حيث ترتبط مدخلات (مجال X) بمخرجات وحيدة (مدى Y).
• وتكون العلاقة الرياضية المعرفة من X إلى Y دالة إذا وفقط إذا تحقق أحد الشروط المتكافئة التالية:
• 1. في بيان العلاقة (R): كل عنصر من عناصر المجموعة X يظهر كمسقط أول في زوج مرتب واحد فقط دون تكرار ودون غياب.
• 2. في المخطط السهمي: يخرج من كل عنصر من عناصر X سهم واحد وواحد فقط يتجه إلى أحد عناصر Y.
• 3. في المخطط البياني (الشبكة التربيعية): كل خط رأسي يمر بنقطة واحدة فقط من نقاط بيان العلاقة.
• المجموعة X تسمى "المجال"، والمجموعة Y تسمى "المجال المقابل"، ومجموعة الصور التي استقبلت الأسهم تسمى "المدى" (وهو مجموعة جزئية من Y).

• ◄ ثالثاً دراسة الدوال كثيرة الحدود وتمثيل الدالة التربيعية
• الدوال كثيرة الحدود هي دوال قاعدتها مقدار جبري ومجالها ومجالها المقابل هو مجموعة الأعداد الحقيقية ℝ، وأس المتغير x فيها عدد طبيعي ينتمي إلى ℕ.
• وتصنف حسب أعلى أس للمتغير إلى:
• – دالة ثابتة (درجة صفر) f(x) = c ويمثلها خط مستقيم أفقي يوازي محور السينات ويقطع محور الصادات في (0, c).
• – دالة خطية (درجة أولى) f(x) = ax + b ويمثلها خط مستقيم مائل يقطع محور الصادات في (0, b) ومحور السينات في (-b / a, 0).
• – دالة تربيعية (درجة ثانية) f(x) = ax2 + bx + c ويمثلها منحنى متماثل على شكل حرف U متصل أملس.
• يعد رسم الدالة التربيعية محوراً امتحانياً أساسياً؛ حيث نكون جدول قيم للفترة المعطاة، ومن خلال الجدول والمنحنى نستخرج مباشرة: 1) إحداثيات نقطة رأس المنحنى (x₀, y₀)، 2) معادلة محور التماثل x = x₀، 3) القيمة العظمى أو الصغرى وهي الإحداثي الصادي y = y₀.

• 🧮 التطبيقات والمسائل النموذجية المحلولة بالخطوات (Step-by-Step Worked Examples):
• مثال نموذجي 1 مسألة نموذجية محلولة رقم 1 – تمثيل الدالة التربيعية واستخراج الخصائص
• نص المسألة / السؤال المعطيات: مثل بيانياً الدالة f(x) = x2 – 2x – 3 في الفترة المغلقة [-2, 4].
• ومن الرسم استنتج 1) إحداثيي نقطة رأس المنحنى، 2) معادلة محور التماثل، 3) القيمة الصغرى للدالة.
• الحل بالخطوات الجبرية والبيانية:
• 1) تكوين جدول القيم بالتعويض عن x ∈ {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}:
• – f(-2) = (-2)² – 2(-2) – 3 = 4 + 4 – 3 = 5 ⇒ (-2, 5)
• – f(-1) = (-1)² – 2(-1) – 3 = 1 + 2 – 3 = 0 ⇒ (-1, 0)

– f(0) = (0)2 – 2(0) – 3 = -3 ⇒ (0, -3)

• – f(1) = (1)² – 2(1) – 3 = 1 – 2 – 3 = -4 ⇒ (1, -4)
• – f(2) = (2)² – 2(2) – 3 = 4 – 4 – 3 = -3 ⇒ (2, -3)
• – f(3) = (3)² – 2(3) – 3 = 9 – 6 – 3 = 0 ⇒ (3, 0)
• – f(4) = (4)² – 2(4) – 3 = 16 – 8 – 3 = 5 ⇒ (4, 5)
• 2) من التماثل البين في الجدول والرسم نجد:
• نقطة رأس المنحنى هي (1, -4).
• معادلة محور التماثل هي x = 1.
• القيمة الصغرى للدالة هي -4 (لأن معامل x2 موجب والمنحنى مفتوح لأعلى).