الدرس 1 - التناسب وتطبيقات النسبة

مقدمة

الدرس 1 – التناسب وتطبيقات النسبة · 1 / 19

مقدمة الدرس

★ كتاب الشرح والتفصيل العلمي الشامل المعتمد ★

الدرس 1 – التناسب وتطبيقات النسبة · 2 / 19

المفاهيم والمصطلحات الأساسية

الدرس 1 – التناسب وتطبيقات النسبة · 3 / 19

المفاهيم والمصطلحات العلمية واللغوية الأساسية (Core Terminology):

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
النسبة (Ratio)	مقارنة رياضية بالقسمة بين كميتين أو مقدارين من نفس النوع ولهما نفس وحدات القياس	مقارنةرياضيةبالقسمةكميتين
التناسب (Proportion)	تساوي نسبتين رياضيتين أو أكثر	تساوينسبتينرياضيتينأكثر
التناسب المتسلسل	يقال إن الكميات a c في تناسب متسلسل إذا كان a/b = b/c ويسمى b وسطاً متناسباً بين a و c (حيث b = ±√(a·c))	يقالالكمياتويسمىوسطا
التغير الطردي (Direct Variation)	علاقة بين متغيرين x و y بحيث تتغير y طردياً مع x (y ∝ x) وتكتب جبرياً	علاقةمتغيرينبحيثتتغير
التغير العكسي (Inverse Variation)	علاقة بين متغيرين x و y بحيث تتغير y عكسياً مع x (y ∝ 1/x) وتكتب جبرياً	علاقةمتغيرينبحيثتتغير

الدرس 1 – التناسب وتطبيقات النسبة · 4 / 19

الشرح والتفصيل العلمي الشامل

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
قانون وعلاقة حاكمة	⚖️ القوانين والنظريات والعلاقات الحاكمة (Governing Laws & Principles)	القوانينوالنظرياتوالعلاقاتالحاكمة
★ خاصية التناسب الذهبية (حاصل ضرب الطرفين والوسطين)	[ الصيغة: إذا كان a/b = c/d فإن: a × d = b × c ] حاصل ضرب طرفي التناسب يساوي دائماً حاصل ضرب وسطيه وإذا كان حاصل ضرب كميتين يساوي حاصل ضرب كميتين أخريين فإنهما تشكلان تناسباً	الصيغةيساويدائماوسطيه

التناسب وتطبيقات النسبة: نموذج خشبي لمنزل بمقياس الرسم 1 : 50 فطوله 20 سم يقابل 10 م في الحقيقة.

★ خاصية مجموع المقدمات على مجموع التوالي←[ الصيغة: (مجموع المقدمات) / (مجموع التوالي) = إحدى النسب ] إذا ضربت حدود أي نسبة في أعداد حقيقية وجمعت المقدمات والتوالي، فإن النسبة الناتجة تساوي كل نسبة من نسب التناسب الأصلي.

الدرس 1 – التناسب وتطبيقات النسبة · 5 / 19

الشرح التفصيلي المستفيض لكافة محاور الدرس:

◄ 1. البنية الجبرية للنسبة وخواص التناسب الخمس

النسبة مقارنة بين كميتين من نفس النوع والوحدة، وتتميز بأن قيمتها لا تتغير إذا ضُرب حداها (المقدم والتالي) في عدد حقيقي غير صفري أو قُسما عليه.
التناسب هو تساوي نسبتين أو أكثر a/b = c/d.
الخواص الجبرية الخمس الأساسية للتناسب:
الخاصية 1 حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين (a·d = b·c).
الخاصية 2 مقدم على مقدم = تالٍ على تالٍ (إذا كان a/b = c/d فإن a/c = b/d).
الخاصية 3 مقلوب النسبة الأولى = مقلوب النسبة الثانية (إذا كان a/b = c/d فإن b/a = d/c).

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
الخاصية 4	إذا كان a/b = c/d فإنه يمكن التعبير عنهما بثابت حقيقي m ≠ 0 بحيث: a = b·m و c = d·m	فإنهالتعبيرعنهمابثابت
•	وتعد هذه الخاصية أقوى أداة في حل وإثبات صحة المعادلات والمتطابقات الجبرية	وتعدالخاصيةأقوىأداة
الخاصية 5	مجموع المقدمات على مجموع التوالي يساوي إحدى النسب: إذا كان a/b = c/d = e/f = m فإن (k₁a + k₂c + k₃e) / (k₁b + k₂d + k₃f) = m	مجموعالمقدماتالتوالييساوي
شكل توضيحي (شكل 1 – خواص التناسب وحاصل ضرب الطرفين والوسطين)	تمارين ونماذج محلولة لخواص التناسب الجبري والتعويض بثابت التناسب	تمارينونماذجمحلولةلخواص

◄ 2. التناسب المتسلسل والأوساط المتناسبة

عندما ترتبط الكميات في تناسب مستمر يقال إنها في تناسب متسلسلa/b = b/c = c/d.

في حالة ثلاثة مقادير a, b, ca/b = b/c -> b² = a·c -> b = ±√(a·c)، ويسمى b (الوسط المتناسب) بين a و c.

في حالة أربعة مقادير a, b, c, d في تناسب متسلسل نساوي التناسب بالثابت m: c/d = m -> c = dm؛ b/c = m -> b = cm = (dm)m = dm²؛ a/b = m -> a = bm = (dm²)m = dm³.
هذه الفرضية البسيطة (c = dm, b = dm², a = dm³) تختزل أعقد المسائل الجبرية في سطور معدودة بالتعويض المباشر في الطرفين الأيمن والأيسر وإثبات تطابقهما.
شكل توضيحي (شكل 2 – التمثيل البياني للتغير الطردي والتغير العكسي): رسم بياني للمستقيم المار بنقطة الأصل ومنحنى التغير العكسي المتماثل
◄ 3. النظرية الرياضية للتغير الطردي والتغير العكسي ومقياس الرسم

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
التغير الطردي	يقال إن y تتغير طردياً مع x (وتكتب y ∝ x) إذا كانت النسبة y/x مقداراً ثابتاً k ≠ 0	يقالتتغيرطردياوتكتب
المعادلة الجبرية	y = kx
قانون المقارنة	y₁ / y₂ = x₁ / x₂
•	والتمثيل البياني له خط مستقيم ميله k يمر بنقطة الأصل (0	والتمثيلالبيانيمستقيمميله

التغير العكسي يقال إن y تتغير عكسياً مع x (وتكتب y ∝ 1/x) إذا كان حاصل ضربهما x·y مقداراً ثابتاً k ≠ 0.
المعادلة الجبرية y = k / x.
قانون المقارنة y₁ / y₂ = x₂ / x₁.
بيانيا منحنى في الربعين الأول والثالث (إذا كان k > 0) يقترب من المحاور دون أن يمسها.
يبين الشكل خاصية التناسب التي تنص على أن حاصل ضرب الطرفين يساوي حاصل ضرب الوسطين.
وتطبقها الفقرة لحساب قيمة مجهولة في تناسبات مختلفة بعد كتابتها في صورة كسرين متساويين.
يوضح الرسم التمثيل البياني للتغير الطردي عبر خط مستقيم يمر بالأصل، والتغير العكسي عبر منحنى الهذلول.
وتشير الفقرة إلى أن ناتج قسمة y على x ثابت في الأول، بينما ناتج ضرب x في y ثابت في الثاني.
يلخص الجدول خواص العمليات على المجموعات، ومنها الإبدال في الاتحاد والتقاطع والتجميع في العمليات المتتابعة.
وتنبّه الفقرة إلى أن الفرق بين المجموعات ليس إبدالياً، فيجب الانتباه إلى ترتيب المجموعتين فيه.

تظهر أشكال فن الاتحاد والتقاطع والفرق بين مجموعتين، فالاتحاد يشمل كل عناصر المجموعتين دون تكرار.
والتقاطع يقتصر على العناصر المشتركة، وتعرض الفقرة مثالاً يوضح الفرق بين الحالتين.
تمثل مخططات فن العمليات بمناطق مظللة تُقرأ بالنظر، فالمنطقة المشتركة بين الدائرتين تعبّر عن التقاطع.
وتبيّن الفقرة أن قراءة هذه المناطق تساعد على التحقق من خواص العمليات قبل تطبيقها.
يرسم الشكل الضرب الديكارتي لمجموعتين بالمخطط السهمي والمخطط البياني، حيث يمثل كل سهم أو نقطة زوجاً مرتباً.
وترى الفقرة أن هذا التمثيل يوضح شروط الدالة، فلكل عنصر في الأولى صورة واحدة فقط في الثانية.
يعرض الشكل قوانين ديمورجان، أي أن متمم الاتحاد يساوي تقاطع المتممين، وأن متمم التقاطع يساوي اتحادهما.
وتطبق الفقرة هذه القوانين على الفترات الحقيقية لتسهيل حساب الفترات المتممة على خط الأعداد.

الدرس 1 – التناسب وتطبيقات النسبة · 6 / 19

المقارنات وخريطة المفاهيم الجوهرية

الدرس 1 – التناسب وتطبيقات النسبة · 7 / 19

الملخص الشامل وخريطة المفاهيم وجداول المقارنة ★

ملخص الدرس النسبة والتناسب والخواص الرياضية وتطبيقات التقسيم التناسبي والتغير الطردي والعكسي
الرياضيات | المرحلة الإعدادية / الثانوية | 2026 / 2027 | الوحدة الأولى: الأعداد والعمليات

الدرس 1 – التناسب وتطبيقات النسبة · 8 / 19

الخريطة الذهنية والمفاهيم الجوهرية (Mind Map Outline):

✔ النسبة والتناسبa/b مقارنة | a/b = c/d تناسب | الطرفان والوسطان ad = bc.

✔ خواص التناسبمقدم/مقدم = تالٍ/تالٍ | مقلوب النسبة | التعويض بالثابت m: a=bm, c=dm.

✔ تناسب متسلسلa/b = b/c -> b = ±√(ac) | 4 كميات: c=dm, b=dm², a=dm³.

✔ تغير طردي وعكسيطردي y=kx خط مستقيم بالأصل | عكسي xy=k منحنى متماثل | مقياس الرسم (رسم ÷ حقيقي).

الدرس 1 – التناسب وتطبيقات النسبة · 9 / 19

جداول المقارنة والتصنيف والتلخيص الشامل:

جدولمقارنة رياضية وبيانية بين التغير الطردي والتغير العكسي

★ إذا كانت الكميات a, b, c, d متناسبة، فإنa/b = c/d؛ أما إذا ذكر أنها في تناسب متسلسل، فإن: a/b = b/c = c/d.

★ الثالث المتناسب للعددين a و b يعنيa/b = b/x؛ وعليه فإن x = b² / a.

★ في التغير الطرديالنسبة بين المتغيرين ثابتة (y/x = k)؛ وفي التغير العكسي: حاصل ضرب المتغيرين ثابت (x·y = k).

وجه المقارنة	التغير الطردي (Direct Variation)	التغير العكسي (Inverse Variation)
الصيغة الرياضية العامة	y = k · x (أو y / x = k)	y = k / x (أو x · y = k)
قانون التناسب للمقارنة	y₁ / y₂ = x₁ / x₂	y₁ / y₂ = x₂ / x₁
الشكل البياني الهندسي	خط مستقيم يمر بنقطة الأصل (0,0) ميله k	منحنى قطعي متماثل في الربعين لا يقطع المحاور
سلوك المتغيرين	زيادة x تؤدي إلى زيادة y بنفس النسبة	زيادة x تؤدي إلى نقصان y والعكس صحيح

الدرس 1 – التناسب وتطبيقات النسبة · 10 / 19

أمثلة ومسائل محلولة بالخطوات

الدرس 1 – التناسب وتطبيقات النسبة · 11 / 19

كتاب الشرح المفصل: النسبة والتناسب والخواص الرياضية وتطبيقات التقسيم التناسبي والتغير الطردي والعكسي

الرياضيات | المرحلة الإعدادية / الثانوية | 2026 / 2027 | الوحدة الأولى: الأعداد والعمليات
التغير الطردي تكون العلاقة بين متغيرين طردية إذا بقيت النسبة بينهما ثابتة، أي أن y ÷ x = m حيث m عدد ثابت لا يساوي صفراً، ويكتب ذلك في صورة y = mx. ويمثل التغير الطردي بخط مستقيم يمر بنقطة الأصل (0، 0).
التغير العكسي تكون العلاقة عكسية إذا بقي حاصل ضرب المتغيرين ثابتاً، أي أن x × y = m، ويكتب في صورة y = m ÷ x. ويمثل بمنحنى من فرعين لا يمر بنقطة الأصل.
ولمعرفة نوع التغير من جدول، نحسب قيمة y ÷ x لكل عمود، فإن كانت ثابتة كان التغير طردياً.
وإن لم تكن كذلك، نحسب x × y، فإن كان الناتج ثابتاً كان التغير عكسياً.

الدرس 1 – التناسب وتطبيقات النسبة · 12 / 19

حل التطبيقات الحياتية للتقسيم التناسبي وحسابات مقياس

حل التطبيقات الحياتية للتقسيم التناسبي وحسابات مقياس الرسم في الخرائط والمخططات الهندسية.

الدرس 1 – التناسب وتطبيقات النسبة · 13 / 19

تطبيقات مقياس الرسم

تطبيقات مقياس الرسم←مقياس الرسم = الطول في الرسم ÷ الطول الحقيقي. إذا كانت النسبة 1 سمي (تكبير) كالرسوم المجهرية للحشرات والخلايا الحيوية.

الدرس 1 – التناسب وتطبيقات النسبة · 14 / 19

التطبيقات والمسائل النموذجية المحلولة بالخطوات (Step-by-Step Worked Examples):

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
مثال نموذجي 1	إثبات متطابقة بالتناسب المتسلسل	إثباتمتطابقةبالتناسبالمتسلسل
نص المسألة / السؤال	إذا كانت b وسطاً متناسباً بين a و c فأثبت جبرياً أن: (a² + b²) / (b² + c²) = a / c	كانتوسطامتناسبافأثبت
خطوات الحل والشرح النموذجي	الخطوة 1: بما أن b وسط متناسب بين a و c فإن: a/b = b/c = m	الخطوةمتناسب
ومنها	b = cm و a = cm²
الخطوة 2	نعوض في الطرف الأيسر (RHS): البسط = a² + b² = (cm²)² + (cm)² = c²m⁴ + c²m² = c²m²(m² + 1)	نعوضالطرفالأيسرالبسط
•	المقام = b² + c² = (cm)² + c² = c²m² + c² = c²(m² + 1)	المقامc²m²
الخطوة 3	الطرف الأيسر = [c²m²(m² + 1)] / [c²(m² + 1)] = m²	الطرفالأيسرc²m²
الخطوة 4	نعوض في الطرف الأيمن: a / c = (cm²) / c = m²	نعوضالطرفالأيمن
الخطوة 5	الطرف الأيمن = الطرف الأيسر = m² (وهو المطلوب إثباته)	الطرفالأيمنالأيسرالمطلوب
مثال نموذجي 2	مسألة تغير عكسي وتعيين الثابت	مسألةتغيرعكسيوتعيين

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	مثال	كلمات مفتاحية
نص المسألة / السؤال	إذا كانت y تتغير عكسياً مع x وكانت y = 6 عندما x = 2.5: (1) أوجد العلاقة الجبرية بين x و y (2) احسب قيمة y عندما x = 5	—	كانتتتغيرعكسياوكانت
خطوات الحل والشرح النموذجي	الخطوة 1: بما أن y ∝ 1/x فإن: y = k / x أو k = x × y	—	الخطوة
الخطوة 2	نعوض بالقيم المعطاة لحساب ثابت التناسب k: k = 2.5 × 6 = 15	—	نعوضبالقيمالمعطاةلحساب
إذن العلاقة الجبرية هي	y = 15 / x (أو x·y = 15)	—
الخطوة 3	لإيجاد قيمة y عندما x = 5: y = 15 / 5 = 3	—	لإيجادقيمةعندما
•	💡 أسرار وتكات التفوق وملاحظات خبير المادة (Expert Notes & Exam Secrets)	—	أسراروتكاتالتفوقوملاحظات
★ إذا ذكر أن	‘y تتناسب طردياً مع x وكانت y = ax + b’ فإنها لا ت	تغيراً طردياً صحيحاً إلا إذا كان b = 0 لأن مستقيم التغير الطردي يجب أن يمر بنقطة الأصل (0	تتناسبطردياوكانتفإنها

★ الوسط المتناسب للعددين a و c يحمل دائماً إشارتينb = ±√(ac)؛ ولا تهمل الإشارة السالبة إلا إذا نص السؤال على أن الكميات موجبة فقط.

★ في مسائل مقياس الرسمحول دائماً المسافات الحقيقية (كم أو متر) إلى سنتمترات أولاً (1 كم = 100,000 سم).

الدرس 1 – التناسب وتطبيقات النسبة · 15 / 19

التطبيقات الحياتية والصناعية والتكنولوجية (Real-World Applications):

✔ الهندسة المدنية والخرائط المساحيةاستخدام مقاييس الرسم الدقيقة في تصميم مخططات المدن الذكية الجديدة مثل العاصمة الإدارية والعلمين بمصر.

✔ قوانين الديناميكا الهوائية والغازاتتطبيق التغير العكسي في قانون بويل للغازات المحصورة (P ∝ 1/V) عند ثبوت درجة الحرارة في محركات السيارات.

✔ التقسيم المالي والميراث الشرعيتطبيق التقسيم التناسبي لتوزيع الأرباح بين الشركاء في الشركات وتوزيع التركات وفق الأنصبة المحددة.

الدرس 1 – التناسب وتطبيقات النسبة · 16 / 19

تريكات الامتحان وكبسولة التفوق الوزاري

الدرس 1 – التناسب وتطبيقات النسبة · 17 / 19

كبسولة المراجعة السريعة وأهم فنيات الامتحان:

الدرس 1 – التناسب وتطبيقات النسبة · 18 / 19

دليل استفسارات وأسئلة الطلاب الشائعة: الدرس 1 – التناسب وتطبيقات النسبة

دليل تفاعلي من دكتور خالد دبور (DABOURHUB) لإتقان مسائل هذا الدرس وتجنب أخطاء التقييمات الأسبوعية للثانوية والإعدادية.
س1 كيف أبدأ مذاكرة وفهم الدرس 1 – التناسب وتطبيقات النسبة بالخطوات وبدون تشتت؟
ابدأ بقراءة أهداف التعلم في القسم الأول، ثم احفظ المصطلحات الأساسية في القسم الثاني، وتابع خطوات إثبات القوانين والرسومات البيانية التوضيحية قبل حل المسائل.
س2 ما هي أهم التريكات التي تتكرر في امتحانات هذا الدرس؟
أهم النقاط هي تحويل الوحدات، وقراءة الرسوم البيانية بدقة وتحديد ميل المماس، ومراجعة كبسولة المراجعة في القسم السادس قبل الانتقال للاختبار التفاعلي.

الدرس 1 – التناسب وتطبيقات النسبة · 19 / 19

المناهج الدراسية

الرياضيات

الفصل الأول - التفاضل والتكامل (Calculus)

الفصل الثاني - الجبر والهندسة الفراغية (Algebra & Solid Geometry)

الفصل الثالث - الاستاتيكا (Statics)

الفصل الرابع - الديناميكا (Dynamics)

الفصل الخامس - الجبر الأساسي وحساب المثلثات والإحصاء والاحتمال

دروس إضافية

الدرس 1 – التناسب وتطبيقات النسبة