التعريف والفكرة

• لتكن $f$ دالة قابلة للاشتقاق على الفترة $]a,b[$:
• إذا كان $f^{\prime }(x)>0$ لجميع قيم $x\in ]a,b[$ فإن $f$ متزايدة على الفترة $]a,b[$.
• إذا كان $f^{\prime }(x)<0$ لجميع قيم $x\in ]a,b[$ فإن $f$ متناقصة على الفترة $]a,b[$.

• نوجد $f^{\prime }(x)$ ونتحقق من اتصال الدالة وقابليتها للاشتقاق.
• نحل المعادلة $f^{\prime }(x)=0$ ونحدد قيم $x$ التي تكون عندها المشتقة غير موجودة.
• هذه القيم هي التي تفصل بين فترات التزايد والتناقص، فنقسم مجال الدالة بها إلى فترات.
• نبحث إشارة $f^{\prime }(x)$ في كل فترة بجدول التغيرات، فتكون الدالة متزايدة حيث $f^{\prime }>0$ ومتناقصة حيث $f^{\prime }<0$.

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 1 حدد فترات التزايد وفترات التناقص للدالة $f(x)=x^3-3x+2$.
• الحل:
• $f$ كثيرة حدود متصلة وقابلة للاشتقاق على $\mathbb{R}$، و $f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$

f′(x)=0 عندما x=−1 أو x=1

1. موجبة في ]−∞,−1[ وسالبة في ]−1,1[ وموجبة في ]1,∞[
2. $f$ متزايدة على $]-\mathrm{\infty },-1]$ وعلى $[1,\mathrm{\infty }[$، ومتناقصة على $[-1,1]$
3. حدد فترات تزايد وتناقص $f(x)=x+2\sin x$ حيث $0<x<2\pi$.
4. الحل:

f′(x)=1+2cos⁡x

f′(x)=0 عندما cos⁡x=−12 أي x=2π3 أو x=4π3

1. f′=1>0، وعند x=π: f′=−1<0، وعند x=3π2: f′=1>0
2. $f$ متزايدة على $]0,{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}]$ وعلى $[{\displaystyle \frac{4\pi }{3}},2\pi [$، ومتناقصة على $[{\displaystyle \frac{2\pi }{3}},{\displaystyle \frac{4\pi }{3}}]$
3. حدد فترات تزايد وتناقص $g(x)=2\ln x-x^2$.
4. الحل:

مجال g هو x>0، و g′(x)=2x−2x=2(1−x2)x

ملاحظات

النمذجة الرياضية

• النمذجة الرياضية هي صياغة مشكلة وفق علاقات رياضية تسمى النموذج الرياضي.
• مراحل حل المشكلة:
• تحديد المشكلة الهدف (أكبر مساحة، أقل تكلفة، أكبر حجم…) والقيود والمعطيات.
• تحديد المجاهيل التي يجب إيجاد قيمتها.
• بيان العلاقات بين المجاهيل (معادلات أو متباينات).
• صياغة النموذج الرياضي تمثيل المشكلة في صورة دالة في متغير واحد.
• حل النموذج بحساب التفاضل نوجد النقاط الحرجة ونختبرها بالمشتقة الأولى أو الثانية، ونفسر النتائج وفق طبيعة المسألة.
• نتأكد من قيمة المتغير أنها تقع في مجال المسألة، ونقيم النتائج والبدائل.

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 14 (أكبر مساحة) أوجد بعدي مستطيل له أكبر مساحة يمكن رسمه داخل مثلث طول قاعدته 16 سم وارتفاعه 12 سم، بحيث ينطبق أحد أضلاعه على قاعدة المثلث وتقع رأسا الضلع المقابل على الضلعين الآخرين للمثلث.
• الحل:
• نفرض أن عرض المستطيل $x$ سم وطوله $y$ سم ومساحته $A$ سم²
• A=x y، ومن تشابه المثلثين y16=12−x12 ومنها y=43(12−x) حيث x∈ ]0,12[

A=43x(12−x)=16x−43x2

A′(x)=16−83x=0 ومنها x=6 وهي نقطة حرجة وحيدة

• $A^{\prime \prime }(x)=-{\displaystyle \frac{8}{3}}<0$ فتعطي القيمة العظمى المطلقة.
• عند x=6 y=43(12−6)=8
• أكبر مساحة عندما يكون بعدا المستطيل 6 سم و 8 سم، والمساحة $=48$ سم²
• مثال 15 (أقل تكلفة) يراد بناء صومعة حبوب على شكل أسطوانة رأسية سقفها نصف كرة، تتسع لتخزين $108\pi {\text{m}}^3$ من الحبوب (التخزين في الجزء الأسطواني فقط)، وتكلفة وحدة المساحة من السقف ضعف تكلفتها من الجدار الجانبي.
• أوجد الأبعاد التي تجعل التكلفة أقل ما يمكن.
• الحل:
• نفرض ارتفاع الأسطوانة $h$ ونصف قطر قاعدتها $r$، وتكلفة وحدة المساحة للجدار $c$ فتكون للسقف $2c$
• مساحة الجدار الجانبي $=2\pi rh$ ومساحة السقف (نصف كرة) $=2\pi r^2$
• التكلفة الكلية K=c×2πrh+2c×2πr2=2πc r (h+2r)

الحجم πr2h=108π ومنها h=108r2

K(r)=216πcr+4πc r2

• $K^{\prime }(r)=-{\displaystyle \frac{216\pi c}{r^2}}+8\pi cr=0$ ومنها $r^3=27$ أي $r=3$ (نقطة حرجة وحيدة)
• $K^{\prime \prime }(r)={\displaystyle \frac{432\pi c}{r^3}}+8\pi c>0$ فهي قيمة صغرى.
• تكون التكلفة أقل ما يمكن عندما $r=3$ م و $h={\displaystyle \frac{108}{9}}=12$ م
• مثال 16 (أقصر سلم) جدار ارتفاعه 2 م ويبعد مترين عن أحد المنازل، أوجد طول أقصر سلم يصل من الأرض إلى المنزل مرتكزًا على الجدار.
• الحل:
• نفرض طول السلم $L$ وارتفاع قمته عن الأرض $y$ وبعد طرفه السفلي عن الجدار $x$
• من فيثاغورث L2=(x+2)2+y2 … (1)
• من التشابه yx+2=2x ومنها y=2(x+2)x … (2)
• نشتق L2 بالنسبة إلى x d(L2)dx=2(x+2)+2y(−4x2)=2(x+2)(1−8x3)
• عند النقطة الحرجة x3=8 ومنها x=2
• إشارة المشتقة تتغير من سالبة إلى موجبة عند $x=2$ فتكون $L^2$ أصغر ما يمكن.
• عند x=2 y=2×42=4 و L2=16+16=32

أقصر سلم طوله L=42 م

المساحة 12ℓr=16 ومنها ℓ=32r

P(r)=2r+32r و P′(r)=2−32r2

• $P^{\prime }(r)=0$ ومنها $r=4$، و $P^{\prime \prime }(r)={\displaystyle \frac{64}{r^3}}>0$ فالمحيط أقل ما يمكن.

θ=ℓr=84=2 راديان

ملاحظة على حل المسائل التطبيقية

• بعد الوصول إلى قيمة المتغير نتحقق أنها تقع في المجال المنطقي للمسألة.
• إذا وُجدت نقطة حرجة وحيدة داخل المجال ومشتقتها الثانية موجبة أو سالبة فهي القيمة الصغرى أو العظمى المطلقة.
• .egp-ex{margin:18px 0;border:1px solid rgba(79,63,224,.2);border-radius:16px;overflow:hidden;background:#fff}.egp-ex-h{padding:10px 16px;font-weight:800;background:linear-gradient(90deg,#4f3fe0,#22c1c3);color:#fff}.egp-ex-tabs{display:flex;flex-wrap:wrap;gap:6px;padding:10px 12px;background:#f7f6ff}.egp-ex-b{border:1px solid rgba(79,63,224,.3);background:#fff;border-radius:20px;padding:5px 14px;font-weight:700;cursor:pointer}.egp-ex-b.on{background:#4f3fe0;color:#fff}.egp-ex-p{padding:12px 16px}function egpEx(b,k){var w=b.closest(‘.egp-ex’);w.querySelectorAll(‘.egp-ex-b’).forEach(function(x,i){x.classList.toggle(‘on’,i===k)});w.querySelectorAll(‘.egp-ex-p’).forEach(function(x,i){x.hidden=i!==k})}