المناهج الدراسية

تسجيل الدخول

المناهج الدراسية

الرياضيات

الفصل الأول - التفاضل والتكامل (Calculus)

0/86

الفصل الثاني - الجبر والهندسة الفراغية (Algebra & Solid Geometry)

0/50

الفصل الثالث - الاستاتيكا (Statics)

0/21

الفصل الرابع - الديناميكا (Dynamics)

0/35

الفصل الخامس - الجبر الأساسي وحساب المثلثات والإحصاء والاحتمال

0/40

دروس إضافية

0/193

نص الدرس

الدرس الثاني: الأعداد المركبة والصورة المثلثية ونظرية دي موافر وجذور الوحدة

الرياضيات

الدرس الثاني: الأعداد المركبة والصورة المثلثية ونظرية دي موافر وجذور الوحدة

مراجعة: الصورة الجبرية ومستوى أرجاند

الصورة الجبرية

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
العدد المركب	يكتب على الصورة $z = x + y i$ حيث $x, y$ عددان حقيقيان و $i^{2} = - 1$ .	يكتبالصورةعددانحقيقيان
•	$x$ هو الجزء الحقيقي و $y$ هو الجزء التخيلي.	الجزءالحقيقيالتخيلي
مرافق	العدد $z$ هو $\overset{ˉ}{z} = x - y i$ .	العدد

قرص دوار بستة أوتاد يمثل الصورة المثلثية ونظرية ديموافر وجذور الوحدة السداسية كل 60 درجة.

مستوى أرجاند

مستوى أرجاند مستوى إحداثي متعامد محوره الأفقي $x$ يمثل الجزء الحقيقي ومحوره الرأسي $y$ يمثل الجزء التخيلي.
العدد $x + y i$ تمثله النقطة $(x, y)$ في المستوى.
النقطتان الممثلتان لعددين مرافقين متماثلتان بالنسبة للمحور الحقيقي.
النقطتان الممثلتان للعددين $z$ و $- z$ متماثلتان بالنسبة لنقطة الأصل.

الإحداثيات القطبية والديكارتية

إذا كانت النقطة $(x, y)$ على دائرة نصف قطرها $r$ وتصنع نصف القطر المار بها زاوية $θ$ مع الاتجاه الموجب لمحور السينات فإن:

x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θ,r=x2+y2,tan⁡θ=yx

تحويل الإحداثيات القطبية (r,θ) إلى ديكارتية←(x,y)=(rcos⁡θ, rsin⁡θ).

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1 النقطتان الممثلتان للعددين $z = 2 + 3 i$ و $- z$ في مستوى أرجاند، ما موضعهما؟
الحل:
العدد $z = 2 + 3 i$ تمثله النقطة $(2, 3)$ في الربع الأول.
العدد $- z = - 2 - 3 i$ تمثله النقطة $(- 2, - 3)$ في الربع الثالث.
النقطتان متماثلتان بالنسبة لنقطة الأصل.

تمثيل العدد المركب بيانيًّا في مستوى أرجاند وإيجاد مقياسه وسعته الأساسية.
مستوى أرجاند (Argand plane)مستوى إحداثي متعامد يُمثَّل فيه العدد المركب بنقطة، حيث يمثل المحور الأفقي الجزء الحقيقي والمحور الرأسي الجزء التخيلي.
أهداف الوحدة تمثيل العدد المركب ومرافقه في مستوى أرجاند، وتحديد مقياسه وسعته وسعته الأساسية، وكتابته في الصورتين المثلثية والأسية، وإجراء العمليات الأساسية عليه في الصورة المثلثية، وتطبيق نظرية ديموافر في إيجاد القوى والجذور النونية.

الدرس الثاني: الأعداد المركبة والصورة المثلثية ونظرية دي موافر وجذور الوحدة · 2 / 12

المقياس والسعة الأساسية

المقياس

مقياس العدد المركب←

z = x + y i

هو بعد النقطة الممثلة له عن نقطة الأصل، ويرمز له

∣ z ∣

أو

r

$∣ z ∣ = r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

السعة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
سعة العدد المركب	هي الزاوية $θ$ التي يصنعها الشعاع من نقطة الأصل إلى النقطة $(x, y)$ مع الاتجاه الموجب لمحور السينات، وتقاس موجبة عكس عقارب الساعة.	الزاويةيصنعهاالشعاعنقطة
السعة الأساسية	هي السعة التي تقع في الفترة $(- π, π]$ .	الفترة
•	تحدد قيمة $θ$ حسب الربع الذي تقع فيه النقطة، بحساب $α = \tan^{- 1} ∣ \frac{y}{x} ∣$ :	تحددقيمةالربعالنقطة

الموضع	قيمة $θ$
$x > 0, y > 0$ (الربع الأول)	$θ = α$
$x < 0, y > 0$ (الربع الثاني)	$θ = π - α$
$x < 0, y < 0$ (الربع الثالث)	$θ = - (π - α)$
$x > 0, y < 0$ (الربع الرابع)	$θ = - α$

الحالات الخاصةy=0, x>0 فالسعة 0، و y=0, x<0 فالسعة π، و x=0, y>0 فالسعة π2، و x=0, y<0 فالسعة −π2.

للتحويل بين الدرجات والراديانθcπ=θ∘180.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 2 أوجد المقياس والسعة الأساسية لكل من: (أ) $z_{1} = - \sqrt{3} + i$ (ب) $z_{2} = - 1 - i$ .
الحل:
(أ) $x = - \sqrt{3}, y = 1$ فالعدد في الربع الثاني.

r=3+1=2 و α=tan⁡−113=π6

θ=π−π6=5π6

(ب) $x = y = - 1$ فالعدد في الربع الثالث.

r=1+1=2 و α=π4

θ=−π+π4=−3π4

خواص المقياس والسعة

$∣ z ∣ \geq 0$ ، ويساوي صفرًا فقط عندما $z = 0$ .
سعة العدد المركب غير منتهية القيم، فهي $θ + 2 π n$ حيث $n$ عدد صحيح.
$∣ z ∣ = ∣ \overset{ˉ}{z} ∣ = ∣ - z ∣$ .
$z \overset{ˉ}{z} = ∣ z ∣^{2}$ .

الدرس الثاني: الأعداد المركبة والصورة المثلثية ونظرية دي موافر وجذور الوحدة · 3 / 12

الصورة المثلثية (القطبية) للعدد المركب

قاعدة الصورة المثلثية

إذا كان $z = x + y i$ مقياسه $r$ وسعته الأساسية $θ \in (- π, π]$ فإن:
$z = r (\cos θ + i \sin θ)$

الصورة المثلثية تُسمى أيضًا الصورة القطبية.

نحدد $x$ و $y$ ثم الربع الذي يقع فيه العدد.
نحسب $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .
نحسب $θ$ من الجدول السابق بحسب الربع.
نكتب $z = r (\cos θ + i \sin θ)$ .

✍️ أمثلة محلولة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
مثال 3	اكتب بالصورة المثلثية: (أ) $z_{1} = 2 - 2 \sqrt{3} i$ (ب) $z_{2} = - 4 i$ (ج) $z_{3} = - 3$ .	اكتببالصورةالمثلثية
•	الحل	الحل
(أ) x=2, y=−23 فالعدد في الربع الرابع	r=4+12=4

θ=−tan⁡−1(232)=−π3

z1=4(cos⁡(−π3)+isin⁡(−π3))

(ب) العدد على الجزء السالب من المحور التخيلي←r=4, θ=−π2

z2=4(cos⁡(−π2)+isin⁡(−π2))

(ج) العدد على الجزء السالب من المحور الحقيقي←r=3, θ=π

z3=3(cos⁡π+isin⁡π)

يجب أن يكون الجزء الحقيقي والتخيلي بين القوسين بنفس الزاوية cos⁡θ+isin⁡θ.
إذا ظهر قبل القوس عدد سالب أو ظهرت إشارة سالبة داخله فنعيد كتابته أولًا.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 4 أوجد المقياس والسعة الأساسية للعدد $z = - 8 (\cos 4 5^{\circ} + i \sin 4 5^{\circ})$ .
الحل:
$- \cos 4 5^{\circ} = \cos (18 0^{\circ} + 4 5^{\circ}) = \cos 22 5^{\circ}$ و $- \sin 4 5^{\circ} = \sin 22 5^{\circ}$

z=8(cos⁡225∘+isin⁡225∘)

السعة المطلوبة داخل الفترة الأساسية←225∘−360∘=−135∘

المقياس =8 والسعة الأساسية =−135∘=−3π4

$\cos (- θ) = \cos θ$ و $\sin (- θ) = - \sin θ$ .
$- \cos θ = \cos (π + θ)$ و $- \sin θ = \sin (π + θ)$ .
$\sin θ = \cos (\frac{π}{2} - θ)$ .

الدرس الثاني: الأعداد المركبة والصورة المثلثية ونظرية دي موافر وجذور الوحدة · 4 / 12

ضرب وقسمة الأعداد المركبة بالصورة المثلثية

القواعد

إذا كان $z_{1} = r_{1} (\cos θ_{1} + i \sin θ_{1})$ و $z_{2} = r_{2} (\cos θ_{2} + i \sin θ_{2})$ فإن:
$z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} [\cos (θ_{1} + θ_{2}) + i \sin (θ_{1} + θ_{2})]$
$\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} [\cos (θ_{1} - θ_{2}) + i \sin (θ_{1} - θ_{2})]$

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
أي أن	مقياس الحاصل = حاصل ضرب المقياسين وسعته = مجموع السعتين	مقياسالحاصلحاصلالمقياسين
•	ومقياس خارج القسمة = خارج قسمة المقياسين وسعته = الفرق بين السعتين	ومقياسخارجالقسمةقسمة
نتائج مهمة	1z=1r(cos⁡(−θ)+isin⁡(−θ)) و z2=r2(cos⁡2θ+isin⁡2θ)	isin
ويمكن تعميم الضرب	سعة حاصل ضرب عدة أعداد = مجموع سعاتها ومقياسه = حاصل ضرب مقاييسها	حاصلأعدادمجموعسعاتها

✍️ أمثلة محلولة

مثال 5 اكتب بالصورة $x + y i$ الناتج $3 (\cos \frac{5 π}{12} + i \sin \frac{5 π}{12}) \times 4 (\cos \frac{π}{12} + i \sin \frac{π}{12})$ .
الحل:

المقياس =3×4=12

السعة =5π12+π12=π2

الناتج =12(cos⁡π2+isin⁡π2)=12(0+i)=12i

مثال 6 إذا كان $∣ z_{1} ∣ = 2$ وسعته $10 0^{\circ}$ و $∣ z_{2} ∣ = 4$ وسعته $- 2 0^{\circ}$ فأوجد $\frac{z_{2}}{z_{1}}$ بالصورة $x + y i$ .
الحل:

المقياس =42=2

السعة =−20∘−100∘=−120∘

z2z1=2(cos⁡(−120∘)+isin⁡(−120∘))=2(−12−32i)

الناتج =−1−3 i

القوى بالصورة المثلثية

إذا ضربنا عددًا في نفسه n من المرات←zn=rn(cos⁡nθ+isin⁡nθ).

✍️ أمثلة محلولة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
مثال 7	ضع $1 - i$ على الصورة المثلثية ثم أوجد $(1 - i)^{8}$ .	الصورةالمثلثيةأوجد
•	الحل	الحل
x=1, y=−1 في الربع الرابع	r=2 و θ=−π4

1−i=2(cos⁡(−π4)+isin⁡(−π4))

(1−i)8=(2)8(cos⁡(−2π)+isin⁡(−2π))

=16 (1+0i)=16

ضرب الأعداد المركبة ودوران السعة←ضرب وقسمة الأعداد المركبة بالصورة المثلثية

الدرس الثاني: الأعداد المركبة والصورة المثلثية ونظرية دي موافر وجذور الوحدة · 5 / 12

الصورة الأسية (صورة أويلر)

متسلسلات ماكلورين

يمكن التعبير عن كل دالة في المتغير $x$ على صورة متسلسلة من قوى $x$ تسمى متسلسلة ماكلورين، ومنها:
$\sin x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \dots$
$\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \dots$
$e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots$

دالة الجيب فردية فتحتوي على قوى $x$ الفردية، ودالة جيب التمام زوجية فتحتوي على قوى $x$ الزوجية.
بوضع $i x$ بدل $x$ في متسلسلة $e^{x}$ وجمع الحدود الحقيقية والتخيلية نحصل على:
$e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ$

العدد المركب $z = r (\cos θ + i \sin θ)$ يكتب على الصورة الأسية (صورة أويلر):
$z = r e^{i θ}$

يجب أن تكون $θ$ بالتقدير الدائري (الراديان) في هذه الصورة.
eiπ+1=0.

✍️ أمثلة محلولة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
مثال 8	اكتب بالصورة الأسية: (أ) $z_{1} = 1 + i$ (ب) $z_{2} = - 1 + \sqrt{3} i$ (ج) $z_{3} = - 2 i$ .	اكتببالصورةالأسية
•	الحل	الحل
(أ) r=2 والربع الأول	θ=π4 فتكون z1=2 eπ4i	فتكونeπ4i
(ب) r=2 والربع الثاني	θ=π−π3=2π3 فتكون z2=2 e2π3i	فتكونe2π3i

(ج) r=2 و θ=−π2 فتكون z3=2 e−π2i

اكتب بالصورة الجبرية $z = \sqrt{2} e^{\frac{3 π}{4} i}$ .
الحل:

z=2(cos⁡3π4+isin⁡3π4)

=2(−12+12 i)

z=−1+i

إذا كان $z_{1} = r_{1} e^{i θ_{1}}$ و $z_{2} = r_{2} e^{i θ_{2}}$ فإن:

z1z2=r1r2 ei(θ1+θ2),z1z2=r1r2 ei(θ1−θ2)

✍️ أمثلة محلولة

أوجد في أبسط صورة ${(\frac{1 + i}{1 - i})}^{7}$ .
الحل:

1+i=2 eπ4i و 1−i=2 e−π4i

1+i1−i=eπ2i

(eπ2i)7=e7π2i=cos⁡7π2+isin⁡7π2=0−i

الناتج =−i=e−π2i

الدرس الثاني: الأعداد المركبة والصورة المثلثية ونظرية دي موافر وجذور الوحدة · 6 / 12

نظرية دي موافر بأس صحيح

نص النظرية

إذا كان $n$ عددًا صحيحًا موجبًا فإن:
$(\cos θ + i \sin θ)^{n} = \cos n θ + i \sin n θ$

تصلح النظرية أيضًا لـ n سالب صحيح، وتصلح كذلك بالصورة الأسية←(eiθ)n=einθ.

✍️ أمثلة محلولة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
مثال 11	عبر عن $\cos 3 θ$ بدلالة قوى $\cos θ$ .	بدلالة
•	الحل	الحل
بنظرية دي موافر	(cos⁡θ+isin⁡θ)3=cos⁡3θ+isin⁡3θ … (1)	isin
وبنظرية ذات الحدين	(cos⁡θ+isin⁡θ)3=cos⁡3θ+3icos⁡2θsin⁡θ−3cos⁡θsin⁡2θ−isin⁡3θ … (2)	isin3icos2θsin3cos
بمساواة الجزأين الحقيقيين في (1) و (2)	cos⁡3θ=cos⁡3θ−3cos⁡θsin⁡2θ	3cosθsin
نعوض sin⁡2θ=1−cos⁡2θ	cos⁡3θ=cos⁡3θ−3cos⁡θ+3cos⁡3θ	3cos

cos⁡3θ=4cos⁡3θ−3cos⁡θ

الدرس الثاني: الأعداد المركبة والصورة المثلثية ونظرية دي موافر وجذور الوحدة · 7 / 12

نظرية دي موافر بأس نسبي موجب

القاعدة

نعلم أن $\cos θ + i \sin θ = \cos (θ + 2 π r) + i \sin (θ + 2 π r)$ حيث $r$ عدد صحيح.
إذا كان $k$ عددًا صحيحًا موجبًا فإن:
$(\cos θ + i \sin θ)^{\frac{1}{k}} = \cos \frac{θ + 2 π r}{k} + i \sin \frac{θ + 2 π r}{k}$

هذا المقدار يأخذ قيمًا متعددة تبعًا لقيم $r$ ، وعدد قيمه المختلفة يساوي $k$ .
نحصل عليها بوضع $r = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$ مع الاكتفاء بالقيم التي تجعل السعة محصورة بين $- π$ و $π$ .

✍️ أمثلة محلولة

مثال 12 أوجد بالصورة المثلثية والأسية جذور المعادلة $z^{4} = 8 - 8 \sqrt{3} i$ في $C$ ، ثم اكتب مجموعة الحل.
الحل:
$x = 8, y = - 8 \sqrt{3}$ فالعدد في الربع الرابع، و $r = \sqrt{64 + 192} = 16$ و $θ = - \frac{π}{3}$

z4=16(cos⁡(−π3)+isin⁡(−π3))

z=2[cos⁡−π3+2πr4+isin⁡−π3+2πr4]

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
r=0	z1=2(cos⁡(−π12)+isin⁡(−π12))=2e−π12i	isinπ12i
r=1	z2=2(cos⁡5π12+isin⁡5π12)=2e5π12i	5π12isin2e5π12i
r=−1	z3=2(cos⁡(−7π12)+isin⁡(−7π12))=2e−7π12i	7π12isin7π12i
r=2	z4=2(cos⁡11π12+isin⁡11π12)=2e11π12i	11π12isin2e11π12i
•	مجموعة الحل $= {2 e^{- \frac{π}{12} i}, 2 e^{\frac{5 π}{12} i}, 2 e^{- \frac{7 π}{12} i}, 2 e^{\frac{11 π}{12} i}}$	مجموعةالحلπ12i2e5π12i

الدرس الثاني: الأعداد المركبة والصورة المثلثية ونظرية دي موافر وجذور الوحدة · 8 / 12

الجذور النونية وتمثيلها

جذور المعادلة $z^{n} = a$

المعادلة $z^{n} = a$ حيث $a$ عدد مركب لها $n$ من الجذور المختلفة هي القيم المختلفة لـ $a^{\frac{1}{n}}$ .
نحسبها بكتابة $a$ بالصورة المثلثية ثم تطبيق نظرية دي موافر.
التمثيل في مستوى أرجاند تقع الجذور كلها على دائرة مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها $∣ a ∣^{\frac{1}{n}}$ .
الزاوية بين كل جذر والذي يليه ثابتة وتساوي $\frac{2 π}{n}$ .
تكون النقاط رؤوس مضلع منتظم عدد أضلاعه $n$ .

✍️ أمثلة محلولة

مثل على شكل أرجاند الجذور الخمسية للعدد $- 32$ .
الحل:

الجذور هي حلول z5=−32=32(cos⁡π+isin⁡π)

z=2[cos⁡π+2πr5+isin⁡π+2πr5]

عند r=0 z1=2(cos⁡36∘+isin⁡36∘)
الزاوية بين كل جذر والذي يليه $\frac{36 0^{\circ}}{5} = 7 2^{\circ}$ ، فتكون سعات الجذور $3 6^{\circ}, 10 8^{\circ}, 18 0^{\circ}, 25 2^{\circ} (= - 10 8^{\circ}), 32 4^{\circ} (= - 3 6^{\circ})$

z3=2(cos⁡180∘+isin⁡180∘)=−2

الجذور الخمسة هي رؤوس خماسي منتظم مرسوم داخل دائرة نصف قطرها 2 ومركزها نقطة الأصل.

الجذور التربيعية لعدد مركب

للحصول على الجذرين التربيعيين للعدد $a + b i$ نفرض $\sqrt{a + b i} = x + y i$ ونربع الطرفين.
بمساواة الجزأين الحقيقيين والجزأين التخيليين نحصل على $x^{2} - y^{2} = a$ و $2 x y = b$ .

✍️ أمثلة محلولة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
مثال 14	أوجد الجذرين التربيعيين للعدد $3 + 4 i$ .	أوجدالجذرينالتربيعيينللعدد
•	الحل	الحل
•	نفرض $(x + y i)^{2} = 3 + 4 i$ فيكون $x^{2} - y^{2} = 3$ … (1) و $2 x y = 4$ … (2)	نفرضفيكون
نربع (1) و (2) ونجمع	x4−2x2y2+y4+4x2y2=9+16 أي (x2+y2)2=25 فيكون x2+y2=5 … (3)	2x2y24x2y2فيكون
بجمع (1) و (3)	2x2=8 ومنها x=±2	ومنها
عند x=2 من (2)	y=1 وعند x=−2: y=−1	وعند

الجذران هما 2+i و −2−i

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
مثال 15	أوجد في $C$ مجموعة حل المعادلة $z^{2} - (5 + i) z + 8 + i = 0$ .	أوجدمجموعةالمعادلة
•	الحل	الحل
القانون العام	z=(5+i)±(5+i)2−4(8+i)2

(5+i)2−4(8+i)=24+10i−32−4i=−8+6i

الجذران التربيعيان للمقدار −8+6i←نفرض (a+bi)2=−8+6i فنجد a=±1, b=±3 ومنها ±(1+3i)

z=5+i±(1+3i)2 ومنها z=3+2i أو z=2−i

الدرس الثاني: الأعداد المركبة والصورة المثلثية ونظرية دي موافر وجذور الوحدة · 9 / 12

الجذور التكعيبية للواحد الصحيح

الجذور

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
جذور المعادلة z3=1 بنظرية دي موافر	z=cos⁡2πr3+isin⁡2πr3 r=0	2πr3isin
عند r=0	z=1
عند r=1	z=cos⁡120∘+isin⁡120∘=−12+32 i	isin
عند r=−1	z=cos⁡120∘−isin⁡120∘=−12−32 i	isin
•	نلاحظ أن مربع أحد الجذرين المركبين يساوي الآخر، فنرمز لأحدهما بالرمز $ω$ فيكون الجذران الآخران $ω$ و $ω^{2}$ :	نلاحظمربعالجذرينالمركبين
•	$ω = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i, ω^{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$

الجذور التكعيبية للواحد الصحيح←هي

1, ω, ω^{2}

تقع الجذور الثلاثة على دائرة الوحدة (مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها 1).
تكون رؤوس مثلث متساوي الأضلاع، والزاوية بين كل جذر والذي يليه $12 0^{\circ}$ .

الدرس الثاني: الأعداد المركبة والصورة المثلثية ونظرية دي موافر وجذور الوحدة · 10 / 12

خواص الجذور التكعيبية للواحد

الخواص

مجموع الجذور الثلاثة يساوي صفرًا 1+ω+ω2=0، ومنها 1+ω=−ω2 و 1+ω2=−ω و ω+ω2=−1.
$ω^{3} = 1$ ، ومنها $ω^{3 n} = 1$ و $ω^{3 n + 1} = ω$ و $ω^{3 n + 2} = ω^{2}$ حيث $n$ عدد صحيح.
$ω = \frac{1}{ω^{2}}$ و $ω^{2} = \frac{1}{ω}$ .
$ω^{2} = \overset{ˉ}{ω}$ ، فكل من $ω$ و $ω^{2}$ مرافق للآخر.
$ω - ω^{2} = i \sqrt{3}$ و $ω^{2} - ω = - i \sqrt{3}$ .
$∣ ω ∣ = ∣ ω^{2} ∣ = 1$ .

✍️ أمثلة محلولة

مثال 16 إذا كانت $1, ω, ω^{2}$ هي الجذور التكعيبية للواحد الصحيح فأوجد قيمة: (أ) $5 + 5 ω + 5 ω^{2}$ (ب) $(1 - ω) (1 - ω^{2})$ .
الحل:

(أ) 5(1+ω+ω2)=5×0=0

(ب) (1−ω)(1−ω2)=1−ω−ω2+ω3

=1−(ω+ω2)+1=1+1+1=3

أوجد قيمة $(ω + \frac{1}{ω}) (ω^{2} + \frac{1}{ω^{2}})$ .
الحل:

ω=ω2 و 1ω2=ω

ω+1ω=ω+ω2=−1 و ω2+1ω2=ω2+ω=−1

الناتج =(−1)(−1)=1

أثبت أن $x = \frac{- 1 + \sqrt{3} i}{2}$ أحد حلول المعادلة $x^{10} + x^{5} + 1 = 0$ .
الحل:
$x = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ أي أن $x$ يمثل أحد الجذور المركبة للواحد، $x = ω$ .

x10=ω10=ω9×ω=ω و x5=ω5=ω3×ω2=ω2

x10+x5+1=ω+ω2+1=0

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
وكذلك عند x=ω2	ω20+ω10+1=ω2+ω+1=0
مثال 19	أوجد قيمة $(ω - ω^{2})^{4}$ و $(1 + ω)^{7}$ .	أوجدقيمة
•	الحل	الحل

(ω−ω2)4=(i3)4=9 i4=9

1+ω=−ω2 فيكون (1+ω)7=−ω14

ω14=ω12×ω2=ω2 فيكون الناتج −ω2

كوّن المعادلة التربيعية التي جذراها $2 ω$ و $2 ω^{2}$ .
الحل:

مجموع الجذرين =2(ω+ω2)=−2

حاصل ضربهما =4ω3=4

المعادلة←z2−(المجموع) z+(الحاصل)=0 أي z2+2z+4=0

.egp-ex{margin:18px 0;border:1px solid rgba(79,63,224,.2);border-radius:16px;overflow:hidden;background:#fff}.egp-ex-h{padding:10px 16px;font-weight:800;background:linear-gradient(90deg,#4f3fe0,#22c1c3);color:#fff}.egp-ex-tabs{display:flex;flex-wrap:wrap;gap:6px;padding:10px 12px;background:#f7f6ff}.egp-ex-b{border:1px solid rgba(79,63,224,.3);background:#fff;border-radius:20px;padding:5px 14px;font-weight:700;cursor:pointer}.egp-ex-b.on{background:#4f3fe0;color:#fff}.egp-ex-p{padding:12px 16px}function egpEx(b,k){var w=b.closest(‘.egp-ex’);w.querySelectorAll(‘.egp-ex-b’).forEach(function(x,i){x.classList.toggle(‘on’,i===k)});w.querySelectorAll(‘.egp-ex-p’).forEach(function(x,i){x.hidden=i!==k})}

الدرس الثاني: الأعداد المركبة والصورة المثلثية ونظرية دي موافر وجذور الوحدة · 11 / 12

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	مثال	كلمات مفتاحية
مستوى أرجاند (Argand plane)	مستوى إحداثي متعامد يُمثَّل فيه العدد المركب بنقطة حيث ي	المحور الأفقي الجزء الحقيقي والمحور الرأسي الجزء التخيلي	إحداثيمتعامدالعددالمركب
المقياس (Modulus)		العدد المركب عن نقطة الأصل ويُرمز له بالرمز \|ع\| أو ل	النقطةتمثلالعددالمركب
السعة (Amplitude)	الزاوية θ المرتبطة بالعدد المركب في الإحداثيات القطبية حيث س = ل جتا θ و ص = ل جا θ	—	الزاويةالمرتبطةبالعددالمركب
السعة الأساسية (Principal amplitude)	إحدى سعات العدد المركب وهي التي يُرمز لها بالرمز θ وتُختار من بين السعات التي تختلف عن بعضها بعدد صحيح من الدورات	—	إحدىسعاتالعددالمركب
الصورة المثلثية (Trigonometric form)	كتابة العدد المركب على الصورة ل(جتا θ + ت جا θ) حيث ل مقياسه و θ سعته الأساسية	—	كتابةالعددالمركبمقياسه
صورة أويلر (Euler form)	كتابة العدد المركب على الصورة ل ه^{ت θ}، حيث θ بالتقدير الدائري.	—	كتابةالعددالمركبالصورة
دائرة الوحدة (Unit circle)	دائرة مركزها نقطة الأصل وطول نصف قطرها الوحدة	—	مركزهانقطةالأصلوطول
الجذر التكعيبي للواحد الصحيح (Cube root of unity)	أحد الجذور الثلاثة للواحد الصحيح من الرتبة الثالثة ويُمثَّل كل منها بنقطة على مستوى أرجاند	—	الجذورالثلاثةالرتبةالثالثة
نظرية ديموافر (De Moivre’s theorem)	قاعدة لإيجاد قوة العدد المركب المكتوب في صورته المثلثية، وفيها (جتا θ + ت جا θ)^ن = جتا nθ + ت جا nθ حيث ن عدد صحيح.	—	قاعدةلإيجادالعددالمركب
الجذر النوني (nth root)	جذر العدد المركب من الدرجة ن ويُحسب بإيجاد الصورة المثلثية للعدد ثم تطبيق نظرية ديموافر	—	العددالمركبالدرجةبإيجاد

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
الصورة المثلثية	إذا كان ع = س + ت ص عددًا مركبًا مقياسه ل وسعته الأساسية θ فإن ع = ل(جتا θ + ت جا θ)	مركبمقياسهوسعتهالأساسية
العلاقة بين الإحداثيات القطبية والديكارتية	س = ل جتا θ ، ص = ل جا θ ، ومنها ل = √(س² + ص²).	ومنها
المقياس في الضرب	\|ع₁ ع₂\| = \|ع₁\| \|ع₂\|.
ضرب عددين مركبين	إذا كان ع₁ = ل₁(جتا θ₁ + ت جا θ₁) و ع₂ = ل₂(جتا θ₂ + ت جا θ₂) فإن ع₁ ع₂ = ل₁ ل₂[جتا(θ₁ + θ₂) + ت جا(θ₁ + θ₂)]، أي أن سعة الحاصل هي مجموع السعتين.	الحاصلمجموعالسعتين
السعة	تأخذ السعة عددًا غير محدود من القيم بإضافة عدد صحيح من الدورات أي θ + 2πن ن عدد صحيح	تأخذمحدودالقيمبإضافة
صورة أويلر	ع = ل ه^{ت θ} حيث ه^{ت θ} = جتا θ + ت جا θ، وتكون θ بالتقدير الدائري.	وتكونبالتقديرالدائري
نظرية ديموافر	(جتا θ + ت جا θ)^ن = جتا nθ + ت جا nθ حيث ن عدد صحيح، ولأي عدد مركب ع = ل(جتا θ + ت جا θ) يكون مقياس ع^ن هو ل^ن.	صحيحولأيمركبيكون
الجذور النونية	تُحسب بإيجاد الصورة المثلثية للعدد ثم تطبيق نظرية ديموافر، ومنها ع_r = ل^1/ن[جتا((θ + 2πr)/ن) + ت جا((θ + 2πr)/ن)] حيث r = 0 ، 1 ، 2 ، … ، ن − 1.	بإيجادالصورةالمثلثيةللعدد

المناهج الدراسية

الرياضيات

الفصل الأول - التفاضل والتكامل (Calculus)

الفصل الثاني - الجبر والهندسة الفراغية (Algebra & Solid Geometry)

الفصل الثالث - الاستاتيكا (Statics)

الفصل الرابع - الديناميكا (Dynamics)

الفصل الخامس - الجبر الأساسي وحساب المثلثات والإحصاء والاحتمال

دروس إضافية

الدرس الثاني: الأعداد المركبة والصورة المثلثية ونظرية دي موافر وجذور الوحدة

🌳 شجرة المفاهيم

│ ├── الصورة الجبرية

│ ├── مستوى أرجاند

│ └── الإحداثيات القطبية والديكارتية

├── 2-1 المقياس والسعة الأساسية

│ ├── المقياس

│ ├── السعة

│ └── خواص المقياس والسعة

├── 2-1 الصورة المثلثية (القطبية) للعدد المركب

│ ├── قاعدة الصورة المثلثية

│ ├── خطوات الكتابة بالصورة المثلثية

│ ├── أخطاء شائعة في الصورة المثلثية

│ └── ما يفيد في التحويل

│ ├── القواعد

│ └── القوى بالصورة المثلثية

├── 2-1 الصورة الأسية (صورة أويلر)

│ ├── متسلسلات ماكلورين

│ ├── الصورة الأسية

│ └── الضرب والقسمة بالصورة الأسية

├── 2-2 نظرية دي موافر بأس صحيح

│ └── نص النظرية

├── 2-2 نظرية دي موافر بأس نسبي موجب

│ └── القاعدة

├── 2-2 الجذور النونية وتمثيلها

│ ├── جذور المعادلة zn=a

│ └── الجذور التربيعية لعدد مركب

├── 2-3 الجذور التكعيبية للواحد الصحيح

│ ├── الجذور

│ └── التمثيل الهندسي

└── 2-3 خواص الجذور التكعيبية للواحد

└── الخواص

الصورة الجبرية

مستوى أرجاند

الإحداثيات القطبية والديكارتية

x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θ,r=x2+y2,tan⁡θ=yx

✍️ أمثلة محلولة

المقياس

السعة

✍️ أمثلة محلولة

r=3+1=2 و α=tan⁡−113=π6

θ=π−π6=5π6

r=1+1=2 و α=π4

θ=−π+π4=−3π4

خواص المقياس والسعة

قاعدة الصورة المثلثية

✍️ أمثلة محلولة

θ=−tan⁡−1(232)=−π3

z1=4(cos⁡(−π3)+isin⁡(−π3))

z2=4(cos⁡(−π2)+isin⁡(−π2))

z3=3(cos⁡π+isin⁡π)

✍️ أمثلة محلولة

z=8(cos⁡225∘+isin⁡225∘)

المقياس =8 والسعة الأساسية =−135∘=−3π4

القواعد

✍️ أمثلة محلولة

المقياس =3×4=12

السعة =5π12+π12=π2

الناتج =12(cos⁡π2+isin⁡π2)=12(0+i)=12i

المقياس =42=2

السعة =−20∘−100∘=−120∘

z2z1=2(cos⁡(−120∘)+isin⁡(−120∘))=2(−12−32i)

الناتج =−1−3 i

القوى بالصورة المثلثية

✍️ أمثلة محلولة

1−i=2(cos⁡(−π4)+isin⁡(−π4))

(1−i)8=(2)8(cos⁡(−2π)+isin⁡(−2π))

=16 (1+0i)=16

متسلسلات ماكلورين

✍️ أمثلة محلولة

(ج) r=2 و θ=−π2 فتكون z3=2 e−π2i

z=2(cos⁡3π4+isin⁡3π4)

جذور المعادلة $z^{n} = a$