| مشتقات الدوال المثلثية الست (Trigonometric Derivatives) | قواعد التفاضل الأساسية:
d / dx(sin x) = cos x, d / dx(cos x) = -sin x, d / dx(tan x) = sec 2 x, d / dx(sec x) = sec x · tan x, d / dx(csc x) = -csc x · cot x, d / dx(cot x) = -csc 2 x
، مع ضرب الناتج دائماً في مشتقة الزاوية د'(س). | قواعدالتفاضلالأساسيةالناتج |
| • | مشتقات الدوال الأسية واللوغاريتمية (Exponential & Logarithmic Derivatives): الدالة الأسية الطبيعية: d / dx(eᵘ) = eᵘ · du / dx؛ والدالة الأسية لأي أساس a: d / dx(aᵘ) = aᵘ · (ln a · du) / dx؛ والدالة اللوغاريتمية الطبيعية:
d / dx(ln u) = ((1 / u) · du) / dx
؛ والدالة اللوغاريتمية لأي أساس a:
d / dx(log a u) = ([1 / (u · ln a)] · du) / dx
. | مشتقاتالدوالالأسيةواللوغاريتمية |
| • | - الاشتقاق الضمني والبارامتري (Implicit &
- Parametric Differentiation): الاشتقاق الضمني: اشتقاق طرفي معادلة تتضمن متغيرين س و ص بالنسبة لـ س مع مراعاة وضع dy / dx عند اشتقاق أي حد يحتوي ص
- والاشتقاق البارامتري: عندما ترتبط س و ص بمتغير وسيط θ أو t
- حيث: dy / dx = (dy / dt) / (dx / dt)
| الاشتقاقالضمنيوالبارامتريImplicit |
| المعدلات الزمنية المرتبطة (Related Rates) | - تطبيقات هندسية وفيزيائية تعبر عن معدل تغير متغيرات هندسية (كالمساحة
- الحجم
- الطول
- والزاوية) بالنسبة للزمن t
- حيث تشتق العلاقة الهندسية الرابطة بين المتغيرات طرفياً بالنسبة للزمن dt
| تطبيقاتهندسيةوفيزيائيةتعبر |
| معادلتا المماس والعمودي لمنحنى دالة | معادلة خط المماس للمنحنى ص = د(س) عند النقطة (س₁، ص₁) وميله m = dy / dx: (ص – ص₁) = m (س – س₁)؛ ومعادلة الخط العمودي عليه: (ص – ص1) = (-1 / m) (س – س₁). | معادلةللمنحنىالنقطةوميله |
| القيم العظمى والصغرى ونقط الانقلاب | - تكون النقطة حرجة عندما f'(x) = 0 أو غير معرفة
- وتكون عظمى محلية إذا تغيرت إشارة المشتقة الأولى من موجب لسالب
- وصغرى محلية إذا تغيرت من سالب لموجب
- وتحدد نقط الانقلاب من انعدام المشتقة الثانية f”(x) = 0 وتغير التحدب بين الأعلى والأسفل
| تكونالنقطةحرجةعندما |
