ولحساب المساحة المحصورة بين منحنيين ص₁ و ص₂نوجد أولاً نقط تقاطعهما بحل المعادلة ص₁ = ص₂ لتحديد حدود التكامل [أ، ب]؛
وتكون المساحةم = ∫ₐᵇ (ص_الأعلى – ص_الأسفل) دس.
المناهج الدراسية
الرياضيات
الفصل الأول - التفاضل والتكامل (Calculus)
0/86
1.1المصطلحات العلمية1.2القوانين والعلاقات1.3أولاً: اشتقاق الدوال المثلثية المقلوبة وقواعد الدوال الأسية واللوغاريتمية1.4ثانياً: الاشتقاق الضمني والبارامتري والمشتقات العليا ذات الرتب المرتفعة1.5ثالثاً: المعدلات الزمنية المرتبطة والتطبيقات الهندسية والفيزيائية1.6رابعاً: دراسة سلوك المنحنيات والقيم العظمى والصغرى وتطبيقات الاستمثال1.7أمثلة محلولة1.8تكات وملاحظات امتحانية1.9تطبيقات حياتية1.10الجداول والمخططات التوضيحية المستخرجة من أصول المنهج1.11📌 قاموس المصطلحات والمفاهيم العلمية الدقيقة:1.12⚖️ القوانين والعلاقات الرياضية والفيزيائية الحاكمة:1.13🔍 الشرح والتحليل المستفيض وتفسيرات علل والاستنتاجات:1.14ملخص الدرس
2.1مقدمة2.2الدالة الصريحة والعلاقة الضمنية2.3الاشتقاق الضمني2.4الاشتقاق البارامتري2.5المشتقات العليا للدالة2.6المشتقة الثانية للدالة الضمنية والبارامترية2.7المعدلات الزمنية المرتبطة: المفهوم2.8تطبيقات هندسية: الحجم والمساحة2.9تطبيقات: السلم والظل2.10تطبيقات فيزيائية2.11الموسوعة التعليمية الشاملة والمصطلحات الدقيقة — الاشتقاق الضمني والبارامتري والمشتقات العليا والمعدلات الزمنية المرتبطة (كتب الوزارة + الامتحان + المعاصر + الوسام)
3.1مقدمة3.2تزايد وتناقص الدوال3.3القيم العظمى والصغرى (القيم القصوى)3.4تحدب المنحنيات ونقط الانقلاب3.5رسم الشكل العام لمنحنى الدالة3.6تطبيقات على القيم العظمى والصغرى3.7الموسوعة التعليمية الشاملة والمصطلحات الدقيقة — سلوك الدالة والتزايد والتناقص ونقاط الانقلاب ورسم المنحنيات وتطبيقات القيم العظمى والصغرى (كتب الوزارة + الامتحان + المعاصر + الوسام)
4.1مقدمة4.2المشتقة العكسية والتكامل غير المحدد4.3تكامل الدوال الأسية4.4تكامل الدوال اللوغاريتمية (الدالة 1 x )4.5تطبيقات التكامل غير المحدد4.6طرق التكامل: التفاضلات4.7التكامل بالتعويض4.8التكامل بالتجزئ4.9الشرح الموسوعي المعتمد والمصطلحات الكاملة (كتب الوزارة + الامتحان + المعاصر + الوسام)4.10📌 قاموس المصطلحات والمفاهيم العلمية الدقيقة:4.11⚖️ القوانين والعلاقات الرياضية والفيزيائية الحاكمة:4.12🔍 الشرح والتحليل المستفيض وتفسيرات علل والاستنتاجات:4.13🔬 مخططات ورسوم علمية تخصصية داعمة للفهم
5.1مقدمة5.2المصطلحات العلمية5.3القوانين والعلاقات5.4أولاً: تكاملات الدوال الأساسية والمتسامية وقوانين التكامل المباشر5.5ثانياً: استراتيجيات التكامل بالتعويض والتكامل بالتجزيء5.6ثالثاً: خواص التكامل المحدد وحساب المساحات المستوية بدقة5.7رابعاً: حساب حجوم الأجسام الدورانية حول محوري السينات والصادات5.8أمثلة محلولة5.9تكات وملاحظات امتحانية5.10تطبيقات حياتية5.11الجداول والمخططات التوضيحية المستخرجة من أصول المنهج5.12الشرح الموسوعي المعتمد والمصطلحات الكاملة (كتب الوزارة + الامتحان + المعاصر + الوسام)5.13📌 قاموس المصطلحات والمفاهيم العلمية الدقيقة:5.14⚖️ القوانين والعلاقات الرياضية والفيزيائية الحاكمة:5.15🔍 الشرح والتحليل المستفيض وتفسيرات علل والاستنتاجات:5.16🔬 مخططات ورسوم علمية تخصصية داعمة للفهم5.17ملخص الدرس
6.1مقدمة6.2مقدمة الدرس6.3المفاهيم والمصطلحات الأساسية6.4المفاهيم والمصطلحات العلمية واللغوية الأساسية (Core Terminology):6.5الشرح والتفصيل العلمي الشامل6.6الشرح التفصيلي المستفيض لكافة محاور الدرس:6.7المقارنات وخريطة المفاهيم الجوهرية6.8الملخص الشامل وخريطة المفاهيم وجداول المقارنة ★6.9الخريطة الذهنية والمفاهيم الجوهرية (Mind Map Outline):6.10جداول المقارنة والتصنيف والتلخيص الشامل:6.11أمثلة ومسائل محلولة بالخطوات6.12قاعدة الدالة، والمجال، والمدى، والتطبيقات الواقعية6.13التطبيقات الإحصائية6.14التطبيقات والمسائل النموذجية المحلولة بالخطوات (Step-by-Step Worked Examples):6.15التطبيقات الحياتية والصناعية والتكنولوجية (Real-World Applications):6.16تريكات الامتحان وكبسولة التفوق الوزاري6.17كبسولة المراجعة السريعة وأهم فنيات الامتحان:6.18دليل استفسارات وأسئلة الطلاب الشائعة: الدرس 2 - المجموعات والعمليات عليها
الفصل الثاني - الجبر والهندسة الفراغية (Algebra & Solid Geometry)
0/501.1مقدمة1.2مراجعة: مبدأ العد والتباديل والتوافيق1.3نظرية ذات الحدين بأس صحيح موجب1.4الحد العام وحدود المفكوك1.5إيجاد الحد المشتمل على x k من المفكوك1.6الحد الأوسط في مفكوك ( x + a ) n1.7النسبة بين حدين متتاليين1.8الموسوعة التعليمية الشاملة والمصطلحات الدقيقة — مبدأ العد والتباديل والتوافيق ونظرية ذات الحدين (كتب الوزارة + الامتحان + المعاصر + الوسام)
2.1مقدمة2.2مراجعة: الصورة الجبرية ومستوى أرجاند2.3المقياس والسعة الأساسية2.4الصورة المثلثية (القطبية) للعدد المركب2.5ضرب وقسمة الأعداد المركبة بالصورة المثلثية2.6الصورة الأسية (صورة أويلر)2.7نظرية دي موافر بأس صحيح2.8نظرية دي موافر بأس نسبي موجب2.9الجذور النونية وتمثيلها2.10الجذور التكعيبية للواحد الصحيح2.11خواص الجذور التكعيبية للواحد2.12الشرح الموسوعي المعتمد والمصطلحات الكاملة (كتب الوزارة + الامتحان + المعاصر + الوسام)
3.1مقدمة3.2المصطلحات العلمية3.3القوانين والعلاقات3.4علم المصفوفات ونظمها والعمليات الجبرية وشرط الضرب3.5المحددات وطرق فكها وخواصها الأساسية3.6حل المعادلات بطريقة كرامر وبالمعكوس الضربي للمصفوفة3.7جداول المقارنة3.8أمثلة محلولة3.9تكات وملاحظات امتحانية3.10الجداول والمخططات التوضيحية المستخرجة من أصول المنهج3.11الشرح الموسوعي المعتمد والمصطلحات الكاملة (كتب الوزارة + الامتحان + المعاصر + الوسام)3.12📌 قاموس المصطلحات والمفاهيم العلمية الدقيقة:3.13⚖️ القوانين والعلاقات الرياضية والفيزيائية الحاكمة:3.14🔍 الشرح والتحليل المستفيض وتفسيرات علل والاستنتاجات:
4.1مقدمة4.2المصطلحات العلمية4.3القوانين والعلاقات4.4أولاً: الهندسة الإحداثية في الفراغ ثلاثي الأبعاد ومعادلة الكرة4.5ثانياً: جبر المتجهات في الفراغ: الضرب القياسي والضرب الاتجاهي والضرب الثلاثي4.6ثالثاً: معادلة الخط المستقيم في الفراغ ثلاثي الأبعاد والعلاقات بين المستقيمات4.7رابعاً: معادلة المستوى في الفراغ والمسافات وتقاطع المستويات4.8أمثلة محلولة4.9تكات وملاحظات امتحانية4.10تطبيقات حياتية4.11الجداول والمخططات التوضيحية المستخرجة من أصول المنهج4.12الشرح الموسوعي المعتمد والمصطلحات الكاملة (كتب الوزارة + الامتحان + المعاصر + الوسام)4.13📌 قاموس المصطلحات والمفاهيم العلمية الدقيقة:4.14⚖️ القوانين والعلاقات الرياضية والفيزيائية الحاكمة:4.15🔍 الشرح والتحليل المستفيض وتفسيرات علل والاستنتاجات:4.16ملخص الدرس
الفصل الثالث - الاستاتيكا (Statics)
0/211.1مقدمة1.2السطوح الملساء والسطوح الخشنة1.3خواص قوة الاحتكاك السكوني1.4قوة الاحتكاك الحركي1.5رد الفعل المحصل1.6زاوية الاحتكاك1.7العلاقة بين معامل الاحتكاك وزاوية الاحتكاك1.8اتزان جسم على مستوى أفقي خشن1.9اتزان جسم على مستوى مائل خشن1.10الموسوعة التعليمية الشاملة والمصطلحات الدقيقة — الاحتكاك على مستوى أفقي ومستوى مائل خشن (كتب الوزارة + الامتحان + المعاصر + الوسام)
2.1مقدمة2.2عزم قوة بالنسبة لنقطة2.3مبدأ العزوم (نظرية فارينيون)2.4مجموع عزوم القوى المتلاقية والنظرية العامة للعزوم2.5محصلة القوى المتوازية المستوية2.6اتزان مجموعة من القوى المستوية2.7الازدواج2.8تكافؤ ازدواجين2.9الازدواج المحصل2.10مركز الثقل2.11الموسوعة التعليمية الشاملة والمصطلحات الدقيقة — العزوم والاتزان العام والازدواج ومركز الثقل (كتب الوزارة + الامتحان + المعاصر + الوسام)
الفصل الرابع - الديناميكا (Dynamics)
0/351.1مقدمة1.2كمية الحركة والتغير فيها1.3قانونا نيوتن الأول والثالث1.4متجه الموضع والإزاحة والمسافة1.5السرعة المتوسطة واللحظية1.6العجلة (التسارع)1.7الدوال المتجهة في المستوى1.8التكامل لإيجاد السرعة والموضع1.9تحليل الحركة بيانيًّا1.10القانون الثاني لنيوتن ومعادلة الحركة1.11حركة الأجسام ذات الكتلة المتغيرة1.12استخدام التكامل مع القانون الثاني1.13الشرح الموسوعي المعتمد والمصطلحات الكاملة (كتب الوزارة + الامتحان + المعاصر + الوسام)1.14📌 قاموس المصطلحات والمفاهيم العلمية الدقيقة:1.15⚖️ القوانين والعلاقات الرياضية والفيزيائية الحاكمة:1.16🔍 الشرح والتحليل المستفيض وتفسيرات علل والاستنتاجات:1.17🔬 مخططات ورسوم علمية تخصصية داعمة للفهم
2.1مقدمة2.2الدفع2.3الدفع وكمية الحركة2.4القوى الدفعية والتصادم2.5الشغل المبذول من قوة ثابتة2.6الشغل المبذول من قوة متغيرة2.7طاقة الحركة2.8مبدأ الشغل والطاقة2.9طاقة الوضع2.10بقاء الطاقة الميكانيكية2.11الحركة على مستوى مائل خشن2.12القدرة2.13تطبيقات على القدرة2.14الشرح الموسوعي المعتمد والمصطلحات الكاملة (كتب الوزارة + الامتحان + المعاصر + الوسام)2.15📌 قاموس المصطلحات والمفاهيم العلمية الدقيقة:2.16⚖️ القوانين والعلاقات الرياضية والفيزيائية الحاكمة:2.17🔍 الشرح والتحليل المستفيض وتفسيرات علل والاستنتاجات:2.18ملخص الدرس
الفصل الخامس - الجبر الأساسي وحساب المثلثات والإحصاء والاحتمال
0/401.1المصطلحات العلمية1.2القوانين والعلاقات1.3مفهوم النسبة وخواصها والمعدل الرياضي1.4التناسب وخواصه الخمس والتناسب المتسلسل1.5تطبيقات حياتية1.6جداول المقارنة1.7أمثلة محلولة1.8تكات وملاحظات امتحانية1.9الجداول والمخططات التوضيحية المستخرجة من أصول المنهج1.10📌 قاموس المصطلحات والمفاهيم العلمية الدقيقة:1.11⚖️ القوانين والعلاقات الرياضية والفيزيائية الحاكمة:1.12🔍 الشرح والتحليل المستفيض وتفسيرات علل والاستنتاجات:
2.1مقدمة2.2المصطلحات العلمية2.3القوانين والعلاقات2.4النسب المثلثية الأساسية ومتطابقات الزوايا الحادة والخاصة2.5قاعدة الجيب وحساب نصف قطر الدائرة الخارجة للمثلث2.6قاعدة جيب التمام وزوايا الارتفاع والانخفاض والتطبيقات2.7جداول المقارنة2.8أمثلة محلولة2.9تكات وملاحظات امتحانية2.10الجداول والمخططات التوضيحية المستخرجة من أصول المنهج2.11الشرح الموسوعي المعتمد والمصطلحات الكاملة (كتب الوزارة + الامتحان + المعاصر + الوسام)2.12📌 قاموس المصطلحات والمفاهيم العلمية الدقيقة:2.13⚖️ القوانين والعلاقات الرياضية والفيزيائية الحاكمة:2.14🔍 الشرح والتحليل المستفيض وتفسيرات علل والاستنتاجات:
3.1مقدمة3.2المصطلحات العلمية3.3القوانين والعلاقات3.4الاحتمال الشرطي والأحداث المستقلة وتطبيقات الجداول المتقاطعة3.5المتغيرات العشوائية المتقطعة وحساب التوقع والانحراف المعياري3.6التوزيع الطبيعي المعياري ومنحنى الجرس والتطبيقات العملية3.7جداول المقارنة3.8أمثلة محلولة3.9تكات وملاحظات امتحانية3.10الجداول والمخططات التوضيحية المستخرجة من أصول المنهج3.11الشرح الموسوعي المعتمد والمصطلحات الكاملة (كتب الوزارة + الامتحان + المعاصر + الوسام)3.12📌 قاموس المصطلحات والمفاهيم العلمية الدقيقة:3.13⚖️ القوانين والعلاقات الرياضية والفيزيائية الحاكمة:3.14🔍 الشرح والتحليل المستفيض وتفسيرات علل والاستنتاجات:
دروس إضافية
0/1931.1مقدمة1.2المصطلحات العلمية1.3القوانين والعلاقات1.4مفاهيم الزوايا والعلاقات والتقابل بالرأس1.5التوازي ونظريات القاطع والزوايا المتبادلة والمتناظرة1.6نظريات المثلث ومتباينة المثلث وفيثاغورس وإقليدس1.7جداول المقارنة1.8أمثلة محلولة1.9تكات وملاحظات امتحانية1.10الجداول والمخططات التوضيحية المستخرجة من أصول المنهج1.11الشرح الموسوعي المعتمد والمصطلحات الكاملة (كتب الوزارة + الامتحان + المعاصر + الوسام)1.12📌 قاموس المصطلحات والمفاهيم العلمية الدقيقة:1.13⚖️ القوانين والعلاقات الرياضية والفيزيائية الحاكمة:1.14🔍 الشرح والتحليل المستفيض وتفسيرات علل والاستنتاجات:
2.1مقدمة2.2المصطلحات العلمية2.3القوانين والعلاقات2.4الحدود والمقادير الجبرية والعمليات والتحليل بإخراج العامل المشترك2.5حل المعادلات الخطية بيانياً وجبرياً (الحذف والتعويض)2.6هندسة الخط المستقيم: الميل، التوازي والتعامد، ونمذجة المشكلات2.7جداول المقارنة2.8أمثلة محلولة2.9تكات وملاحظات امتحانية2.10الجداول والمخططات التوضيحية المستخرجة من أصول المنهج2.11الشرح الموسوعي المعتمد والمصطلحات الكاملة (كتب الوزارة + الامتحان + المعاصر + الوسام)2.12📌 قاموس المصطلحات والمفاهيم العلمية الدقيقة:2.13⚖️ القوانين والعلاقات الرياضية والفيزيائية الحاكمة:2.14🔍 الشرح والتحليل المستفيض وتفسيرات علل والاستنتاجات:
3.1مقدمة3.2المصطلحات العلمية3.3القوانين والعلاقات3.4تنظيم البيانات الإحصائية والجداول التكرارية3.5مقاييس النزعة المركزية: الوسط والوسيط والمنوال وتأثير القيم المتطرفة3.6مقاييس التشتت: المدى والتباين والانحراف المعياري وتطبيقاتها3.7جداول المقارنة3.8أمثلة محلولة3.9تكات وملاحظات امتحانية3.10الجداول والمخططات التوضيحية المستخرجة من أصول المنهج3.11الشرح الموسوعي المعتمد والمصطلحات الكاملة (كتب الوزارة + الامتحان + المعاصر + الوسام)3.12📌 قاموس المصطلحات والمفاهيم العلمية الدقيقة:3.13⚖️ القوانين والعلاقات الرياضية والفيزيائية الحاكمة:3.14🔍 الشرح والتحليل المستفيض وتفسيرات علل والاستنتاجات:
4.1مقدمة4.2المصطلحات العلمية4.3القوانين والعلاقات4.4مبادئ نظرية المجموعات وطرق التعبير عنها والعلاقات الأساسية4.5العمليات الأربع على المجموعات وأشكال فن وقوانين دي مورجان4.6تطبيقات حياتية4.7جداول المقارنة4.8أمثلة محلولة4.9تكات وملاحظات امتحانية4.10الجداول والمخططات التوضيحية المستخرجة من أصول المنهج4.11الشرح الموسوعي المعتمد والمصطلحات الكاملة (كتب الوزارة + الامتحان + المعاصر + الوسام)4.12📌 قاموس المصطلحات والمفاهيم العلمية الدقيقة:4.13⚖️ القوانين والعلاقات الرياضية والفيزيائية الحاكمة:4.14🔍 الشرح والتحليل المستفيض وتفسيرات علل والاستنتاجات:
5.13-1 النظام الإحداثي المتعامد في ثلاثة أبعاد5.23-1 البعد بين نقطتين في الفراغ5.33-1 منتصف قطعة مستقيمة في الفراغ5.43-2 متجه الموضع ومعيار المتجه5.53-2 العمليات على المتجهات في الفراغ5.63-2 متجهات الوحدة الأساسية والصورة الكارتيزية5.73-2 القطعة المستقيمة الموجهة بدلالة إحداثيات طرفيها5.83-2 تساوي متجهين في الفراغ5.93-2 متجه الوحدة في اتجاه متجه معلوم5.103-2 زوايا الاتجاه وجيوب تمام الاتجاه5.113-2 تقسيم قطعة مستقيمة بنسبة معلومة
7.13-3-8 الضرب الاتجاهي لمتجهين7.23-3-9 الضرب الاتجاهي لمتجهات الوحدة الأساسية7.33-3-10 الضرب الاتجاهي في الإحداثيات الكارتيزية7.43-3-11 خواص الضرب الاتجاهي وشرط توازي متجهين7.53-3-12 المعنى الهندسي للضرب الاتجاهي: المساحة7.63-3-13 الضرب الثلاثي القياسي7.73-3-14 حجم متوازي السطوح ورباعي الوجوه7.83-3-15 ملخص: متى نستخدم أي نوع من الضرب
8.12-2 الضغط ورد الفعل8.22-2 حركة المصاعد: القوى المؤثرة على الشخص8.32-2 المصعد والشخص معًا: الشد في الحبل8.42-2 الميزان الزنبركي وميزان الضغط والميزان المعتاد8.52-2 جسمان معلقان بخيط يمر على بكرة ملساء8.62-2 الضغط على محور البكرة8.72-2 قطع الخيط بين الجسمين8.82-2 إضافة كتلة صغيرة إلى أحد الجسمين وانفصالها8.9ثلاثة أجسام وخيطان8.10سرعة ابتدائية وحالات الحركة8.11📌 قاموس المفاهيم والمصطلحات العلمية الدقيقة:8.12⚖️ القوانين والعلاقات الرياضية والفيزيائية الحاكمة:8.13🔍 الشرح المستفيض والتعليلات العلمية المعتمدة ("علل"):8.14📊 القوانين الحاكمة لأنظمة البكرات والأجسام المتصلة في الديناميكا:8.15💡 كبسولة الفنيات وتريكات الامتحانات والأسئلة الوزارية 2026/2027:
9.1مقدمة9.2مقدمة الدرس9.3المفاهيم والمصطلحات الأساسية9.4المفاهيم والمصطلحات العلمية واللغوية الأساسية (Core Terminology):9.5الشرح والتفصيل العلمي الشامل9.6الشرح التفصيلي المستفيض لكافة محاور الدرس:9.7المقارنات وخريطة المفاهيم الجوهرية9.8الملخص الشامل وخريطة المفاهيم وجداول المقارنة ★9.9الخريطة الذهنية والمفاهيم الجوهرية (Mind Map Outline):9.10جداول المقارنة والتصنيف والتلخيص الشامل:9.11أمثلة ومسائل محلولة بالخطوات9.12كتاب الشرح المفصل: النسبة والتناسب والخواص الرياضية وتطبيقات التقسيم التناسبي والتغير الطردي والعكسي9.13حل التطبيقات الحياتية للتقسيم التناسبي وحسابات مقياس9.14تطبيقات مقياس الرسم9.15التطبيقات والمسائل النموذجية المحلولة بالخطوات (Step-by-Step Worked Examples):9.16التطبيقات الحياتية والصناعية والتكنولوجية (Real-World Applications):9.17تريكات الامتحان وكبسولة التفوق الوزاري9.18كبسولة المراجعة السريعة وأهم فنيات الامتحان:9.19دليل استفسارات وأسئلة الطلاب الشائعة: الدرس 1 - التناسب وتطبيقات النسبة
11.1مقدمة11.2مقدمة الدرس11.3المفاهيم والمصطلحات الأساسية11.4المفاهيم والمصطلحات العلمية واللغوية الأساسية (Core Terminology):11.5الشرح والتفصيل العلمي الشامل11.6الشرح التفصيلي المستفيض لكافة محاور الدرس:11.7المقارنات وخريطة المفاهيم الجوهرية11.8الملخص الشامل وخريطة المفاهيم وجداول المقارنة ★11.9الخريطة الذهنية والمفاهيم الجوهرية (Mind Map Outline):11.10جداول المقارنة والتصنيف والتلخيص الشامل:11.11أمثلة ومسائل محلولة بالخطوات11.12شكل توضيحي (شكل 2 - نظريات المثلث ونظرية فيثاغورس وإقليدس): التطبيقات الهندسية للمثلث القائم ونظرية إقليدس وحساب المساقط11.13التطبيقات والمسائل النموذجية المحلولة بالخطوات (Step-by-Step Worked Examples):11.14التطبيقات الحياتية والصناعية والتكنولوجية (Real-World Applications):11.15تريكات الامتحان وكبسولة التفوق الوزاري11.16كبسولة المراجعة السريعة وأهم فنيات الامتحان:11.17دليل استفسارات وأسئلة الطلاب الشائعة: الدرس 1 - أنواع الزوايا والتوازي والمثلث
13.1مقدمة13.2مقدمة الدرس13.3المفاهيم والمصطلحات الأساسية13.4المفاهيم والمصطلحات العلمية واللغوية الأساسية (Core Terminology):13.5الشرح والتفصيل العلمي الشامل13.6الشرح التفصيلي المستفيض لكافة محاور الدرس:13.7المقارنات وخريطة المفاهيم الجوهرية13.8الملخص الشامل وخريطة المفاهيم وجداول المقارنة ★13.9الخريطة الذهنية والمفاهيم الجوهرية (Mind Map Outline):13.10جداول المقارنة والتصنيف والتلخيص الشامل:13.11أمثلة ومسائل محلولة بالخطوات13.12تطبيق المعادلات الخطية في حل المسائل اللفظية والحسابات المالية والتطبيقات الهندسية.13.13الحل البياني والمسائل اللفظية والتطبيقات الواقعية13.14التطبيقات والمسائل النموذجية المحلولة بالخطوات (Step-by-Step Worked Examples):13.15مثال نموذجي 2: حل مسألة لفظية حسابية وتطبيقات الأعمار13.16التطبيقات الحياتية والصناعية والتكنولوجية (Real-World Applications):13.17تريكات الامتحان وكبسولة التفوق الوزاري13.18كبسولة المراجعة السريعة وأهم فنيات الامتحان:13.19دليل استفسارات وأسئلة الطلاب الشائعة: الدرس 1 - التعبيرات والصيغ الرياضية والمعادلات الخطية
15.1مقدمة15.2مقدمة الدرس15.3المفاهيم والمصطلحات الأساسية15.4المفاهيم والمصطلحات العلمية واللغوية الأساسية (Core Terminology):15.5الشرح والتفصيل العلمي الشامل15.6الشرح التفصيلي المستفيض لكافة محاور الدرس:15.7المقارنات وخريطة المفاهيم الجوهرية15.8الملخص الشامل وخريطة المفاهيم وجداول المقارنة ★15.9الخريطة الذهنية والمفاهيم الجوهرية (Mind Map Outline):15.10جداول المقارنة والتصنيف والتلخيص الشامل:15.11أمثلة ومسائل محلولة بالخطوات15.12التطبيقات والمسائل النموذجية المحلولة بالخطوات (Step-by-Step Worked Examples):15.13التطبيقات الحياتية والصناعية والتكنولوجية (Real-World Applications):15.14تريكات الامتحان وكبسولة التفوق الوزاري15.15كبسولة المراجعة السريعة وأهم فنيات الامتحان:15.16دليل استفسارات وأسئلة الطلاب الشائعة: الدرس 1 - تنظيم البيانات ومقاييس النزعة المركزية
نص الدرس
الدرس الخامس: التكامل المحدد وحساب المساحات وحجوم الأجسام الدورانية
الدرس الخامس: التكامل المحدد وحساب المساحات وحجوم الأجسام الدورانية
مقدمة
مقدمة
الدرس الخامس: التكامل المحدد وحساب المساحات وحجوم الأجسام الدورانية · 1 / 17
المصطلحات العلمية
المصطلحات العلمية
🧊 مجسم ثلاثي الأبعاد لحجم الجسم الدوراني الناتج عن دوران منحنى حول محور السينات
D Scientific Render
- يوضح المجسم الجسم الدوراني الناتج عن دوران المنحنى y = √x حول محور السينات في الفترة من 0 إلى 4، ويُحسب حجمه بقانون الحجوم الدورانية V = π∫y2 dx.
- وبذلك يساوي الحجم 8π وحدة مكعبة، ويتضح أن التكامل المحدد يجمع مساحات المقاطع الدائرية الرقيقة للحصول على الحجم الكلي.
- تمثيل هندسي فراغي ثلاثي الأبعاد لدوران المنحنى y = √x حول محور السينات في الفترة [0, 4] وفق قانون الحجم الدوراني V = π ∫ y2 dx.
| وجه المقارنة | الفكرة الأساسية | مثال | كلمات مفتاحية |
|---|---|---|---|
| التكامل كعملية عكسية للتفاضل (Antiderivative) | مقداراً ثابتاً يعبر عن عدد لا نهائي من المنحنيات المتوازية | إيجادالدالةالأصليةمشتقتها | |
| التكامل بالتعويض (Integration by Substitution) | طريقة تكامل تعتمد على تبسيط الدالة المعقدة بفرض متغير جديد ع = ر(س) وتغيير متغير التكامل من دس إلى دع؛ وتستخدم خاصة عندما يحتوي التكامل على دالة مضروبة في مشتقتها: ∫
[f(x)]n · f'(x) dx = ([f(x)]n+1) / (n+1) + C . | — | طريقةتعتمدتبسيطالدالة |
| التكامل بالتجزيء (Integration by Parts) |
| طريقةمستنتجةقاعدةتفاضل | |
| التكامل المحدد (Definite Integral) |
| يحسبفترةمحددةويمثل | |
| تطبيقات حساب المساحات المستوية (Plane Areas) |
| — | مساحةالمنطقةالمحصورةمنحنى |
| حجوم الأجسام الدورانية (Solids of Revolution) | الحجم الهندسي المجسم الناشئ عن دوران منطقة مستوية محصورة دورة كاملة (360°): 1) حول محور السينات: الحجم ح = π ∫ₐᵇ (ص)2 دس. 2) حول محور الصادات: الحجم ح = π ∫_cᵈ (س)2 دص | — | الحجمالهندسيالمجسمالناشئ |
الدرس الخامس: التكامل المحدد وحساب المساحات وحجوم الأجسام الدورانية · 2 / 17
القوانين والعلاقات
القوانين والعلاقات
| وجه المقارنة | الفكرة الأساسية | كلمات مفتاحية |
|---|---|---|
| قانون التكامل بالتجزيء وترتيب اختيار الدوال (LIATE) |
| الصيغةأولويةلوغاريتميةعكسية |
| قوانين حجوم الأجسام الدورانية الناشئة عن الدوران الكامل | [ الصيغة: دوران حول محور السينات: ح = π ∫ₐᵇ (ص₁2 – ص₂2) dx | دوران حول الصادات: ح = π ∫_cᵈ (س₁2 – س₂2) dy ] يضرب التكامل دائماً في الثابت الهندسي π لأنه يمثل تجميعاً لمساحات عدد لا نهائي من الأقراص الدائرية الميكروسكوبية
(dV = π r2 dx) . | الصيغةمحورالسيناتالصادات |
الدرس الخامس: التكامل المحدد وحساب المساحات وحجوم الأجسام الدورانية · 3 / 17
أولاً: تكاملات الدوال الأساسية والمتسامية وقوانين التكامل المباشر
أولاً: تكاملات الدوال الأساسية والمتسامية وقوانين التكامل المباشر
تُمثل قواعد التكامل المباشر الأساس المتين للعمليات الحسابية1) تكامل القوى: ∫ سن دس = [سن+1 / (ن+1)] + ث (بشرط ن ≠ -1).
وإذا كانت ن = -1، فإن تكامل 1/س هو اللوغاريتم الطبيعي∫ (1/س) دس = لو|س| + ث؛
وتعميماً لذلكإذا كان البسط مشتقة المقام فإن التكامل يساوي اللوغاريتم الطبيعي للمقام: ∫ [د'(س) / د(س)] دس = لو|د(س)| + ث.
| وجه المقارنة | الفكرة الأساسية | مثال | كلمات مفتاحية |
|---|---|---|---|
| تكامل الدوال المثلثية |
|
| قتا2وعنددالةدائرية |
| تكامل الدوال الأسية |
| — | الدالةالطبيعيةوتكاملمضروبة |
الدرس الخامس: التكامل المحدد وحساب المساحات وحجوم الأجسام الدورانية · 4 / 17
ثانياً: استراتيجيات التكامل بالتعويض والتكامل بالتجزيء
ثانياً: استراتيجيات التكامل بالتعويض والتكامل بالتجزيء
| وجه المقارنة | الفكرة الأساسية | كلمات مفتاحية |
|---|---|---|
| التكامل بالتعويض (Substitution) |
| طريقةالعزلوالاستبدالوتستخدم |
| التكامل بالتجزيء (Integration by Parts) |
| أسلوبتفكيكحاصلالضرب |
الدرس الخامس: التكامل المحدد وحساب المساحات وحجوم الأجسام الدورانية · 5 / 17
ثالثاً: خواص التكامل المحدد وحساب المساحات المستوية بدقة
ثالثاً: خواص التكامل المحدد وحساب المساحات المستوية بدقة
| وجه المقارنة | الفكرة الأساسية | كلمات مفتاحية |
|---|---|---|
| خواص التكامل المحدد |
| حدوديعكسالإشارةانعدام |
| حساب المساحات المستوية |
| لحسابالمساحةالمحصورةمنحنى |
- التكامل المحدد (Definite Integral) تكامل يحسب على فترة محددة [أ، ب]؛ ويمثل بيانياً المساحة الصافية المحصورة بين منحنى الدالة ومحور السينات؛ وتتعين قيمته بالنظرية الأساسية للتفاضل والتكامل: ∫ₐᵇ
- توضح الصورة المساحة المحصورة بين المنحنى ومحور السينات في فترة محددة، ويُحسب مقدارها بإيجاد التكامل المحدد للدالة على هذه الفترة.
الدرس الخامس: التكامل المحدد وحساب المساحات وحجوم الأجسام الدورانية · 6 / 17
رابعاً: حساب حجوم الأجسام الدورانية حول محوري السينات والصادات
رابعاً: حساب حجوم الأجسام الدورانية حول محوري السينات والصادات
- يُمثل حساب الحجم الدوراني التطبيق الفراغي المجسم الأبرز للتكامل المحدد: 1) الدوران حول محور السينات (Rotation about X-axis): عند دوران المنطقة المحصورة بين المنحنى ص = د(س) ومحور السينات والمستقيمين س = أ وس = ب دورة كاملة حول محور السينات، يتولد جسم دوراني مصمت يتكون عند كل مقطع من قرص دائري مساحته π نق2 = π ص2؛
- ويصبح الحجم الكلي هو تجميع هذه الأقراص بالتكامل ح = π ∫ₐᵇ [ص]2 دس = π ∫ₐᵇ [د(س)]2 دس.
| وجه المقارنة | الفكرة الأساسية | كلمات مفتاحية |
|---|---|---|
| الدوران حول محور الصادات (Rotation about Y-axis) |
| المنطقةالمحصورةالمنحنىومحور |
| الحجم المحصور بين منحنيين دورانيين | عند دوران المنطقة المحصورة بين منحنيين ص₁ و ص₂ (حيث ص₁ ≥ ص₂): أ- حول محور السينات: ح = π ∫ₐᵇ (ص₁2 – ص₂2) دس (مع الانتباه لتربيع كل دالة بمفردها وليس تربيع الفرق). ب- حول محور الصادات: ح = π ∫_cᵈ (س₁2 – س₂2) دص | المنطقةالمحصورةمحورالسينات |
الدرس الخامس: التكامل المحدد وحساب المساحات وحجوم الأجسام الدورانية · 7 / 17
أمثلة محلولة
أمثلة محلولة
✍️ أمثلة محلولة
| وجه المقارنة | الفكرة الأساسية | كلمات مفتاحية |
|---|---|---|
| مثال نموذجي 1 | مسألة تكامل بالتجزيء لحاصل ضرب دالة جبرية في دالة أسية | مسألةتكاملبالتجزيءلحاصل |
| نص المسألة / السؤال | احسب قيمة التكامل غير المحدد: ت = ∫ (2س + 1) هـ3س دس | احسبقيمةالتكاملالمحدد |
| خطوات الحل والشرح النموذجي | 1) اختيار الدوال للتجزيء وفق قاعدة LIATE:نفرض الدالة الجبرية: u = 2س + 1 –> نشتق لإيجاد du: du = 2 دس.نفرض الدالة الأسية: dv = هـ3س دس -> نكامل لإيجاد v: v = (1 / 3) هـ3س.2) تطبيق قانون التكامل بالتجزيء: ∫ | اختيارالدوالللتجزيءقاعدة |
u dv = u · v –
∫ v du←ت = (2س + 1) × [(1 / 3) هـ3س] – ∫ [(1 / 3) هـ3س] × (2 دس)ت = (1 / 3) (2س + 1) هـ3س – (2 / 3) ∫ هـ3س دس3) إجراء التكامل المتبقي البسيط:∫ هـ3س دس = (1 / 3) هـ3سإذن: ت = (1 / 3) (2س + 1) هـ3س – (2 / 3) × [(1 / 3) هـ3س] + ثت = (1 / 3) (2س + 1) هـ3س – (2 / 9) هـ3س + ثبأخذ (1 / 9) هـ3س عامل مشترك للتبسيط:ت = (1 / 9) هـ3س [3(2س + 1) – 2] + ث = (1 / 9) هـ3س [6س + 3 – 2] + ث = (1 / 9) هـ3س (6س + 1) + ث.
✍️ أمثلة محلولة
| وجه المقارنة | الفكرة الأساسية | كلمات مفتاحية |
|---|---|---|
| مثال نموذجي 2 | حساب مساحة وحجم جسم دوراني لمنحنى دالة تربيعية ومستقيم | حسابمساحةوحجمدوراني |
| نص المسألة / السؤال |
| أوجدمساحةالمنطقةالمستوية |
| خطوات الحل والشرح النموذجي |
| إيجادحدودالتكاملبإيجاد |
(2)2 – (1 / 3)(2)3] – [0] = [4 – 8 / 3] = 4 / 3
- وحدة مساحة مربعة (حوالي 1.33 وحدة مربعة).3) حساب حجم الجسم الدوراني حول محور السينات ح:ح = π ∫₀2 (ص₁2 – ص₂2) دس = π ∫₀2 [(2س)2 – (س2)2] دس = π ∫₀2 (4س2 – س4) دسح = π [ (4 / 3) س3 – (1 / 5) س5 ]₀2بالتعويض بالحد العلوي س = 2:ح =
- π [ (4 / 3)(8) – (1 / 5)(32) ] = π [ 32 / 3 – 32 / 5 ]
- بتوحيد المقامات على 15 ح =
π [ (160 – 96) / 15 ] = (64 / 15) π
- وحدة حجم مكعبة (حوالي 4.267 π وحدة مكعبة).
الدرس الخامس: التكامل المحدد وحساب المساحات وحجوم الأجسام الدورانية · 8 / 17
تكات وملاحظات امتحانية
تكات وملاحظات امتحانية
| وجه المقارنة | الفكرة الأساسية | مثال | كلمات مفتاحية |
|---|---|---|---|
| فخ تربيع الفرق في حجوم الأجسام الدورانية |
| — | احذرتماماكتابةالحجم |
| التكامل المحدد للدوال الفردية المتماثلة |
| كانتحدودمتناظرةوكانت | |
| تكامل الدالة اللوغاريتمية الطبيعية |
| — | يوجدقانونمباشرلتكامل |
الدرس الخامس: التكامل المحدد وحساب المساحات وحجوم الأجسام الدورانية · 9 / 17
تطبيقات حياتية
تطبيقات حياتية
| وجه المقارنة | الفكرة الأساسية | كلمات مفتاحية |
|---|---|---|
| حساب سعة الخزانات والسدود المائية غير المنتظمة | استخدام التكامل المحدد ونماذج الأجسام الدورانية لحساب الحجم المائي الدقيق للبحيرات والخزانات وسدود توليد الكهرباء بناءً على مقاطع المسح الطبوغرافي | استخدامالتكاملالمحددونماذج |
| حساب الشغل الفيزيائي لقوى متغيرة | حساب الشغل المبذول بواسطة قوى الجاذبية لإطلاق الأقمار الصناعية لمداراتها (W = ∫ F dr) وحساب الشغل اللازم لضغط الغازات في محركات الاحتراق الداخلي بالتكامل (W = ∫ P dV) | المبذولبواسطةالجاذبيةلإطلاق |
| • |
| margin18pxbordersolid |
الدرس الخامس: التكامل المحدد وحساب المساحات وحجوم الأجسام الدورانية · 10 / 17
الجداول والمخططات التوضيحية المستخرجة من أصول المنهج
الجداول والمخططات التوضيحية المستخرجة من أصول المنهج
💡 بيانات وجداول قياسية←تم استخراج كافة البيانات والجداول والمخططات التشريحية من أصول المنهج المعتمد بدقة عالية لتثبيت الفهم وربط النظري بالعملي.
🔬 شكل 1 – القواعد الأساسية للتكامل وطرق التعويض والتجزيء
- التفاصيل العلمية والملاحظات الدقيقة المأخوذة من الرسم التوضيحي:
- 07 إذا كان ؟ “س وسطين حسابيين بيس » ص
05 أسرك اسصدة
- لك –
- الأسئلة الهامة.
1 (مطاى – ايلنيا 6؟)
500 (ب) > لج” (داء
0 4 14 9 سا + 3
(3) إذا كان←ب وسطًا حسابيًا بين؟ » لح فإن ؛ 171207 + شلح د .,
(تلا – المنوفية 5)
50 (ب)ء (ج) 4 )1
🔬 شكل 2 – حساب المساحات المستوية المحصورة ونقط التقاطع والتكامل المحدد
- التفاصيل العلمية والملاحظات الدقيقة المأخوذة من الرسم التوضيحي:
- 8 إذا كان 27 لي 1.2 ام 0 ابي دوم
- | سن دص – لمسسم مااي 0000000000 (شبرا الخيمة -القليوبية 6)
- ١) (ب) ” لج) ه ( ١
- [37] إذا كان ؛ “ل + تم -51 فإ بفمد ست (البلينا – سوهاج 06)
- (1) حذةأوم (ب)ام (لج) كأوحم )1
- > اخج لم رلا –
- © إذا كان ا ل ا كن
- + قم ا د سيت (حدائق القبةٌ – القاهرة 0)
- فق (ب) 06 لج 0ى 0 كل
🔬 شكل 3 – حجوم الأجسام الدورانية والأقراص الدائرية حول السينات والصادات
- التفاصيل العلمية والملاحظات الدقيقة المأخوذة من الرسم التوضيحي:
- سس” لسن” + )”و سن – 0110 (الحامول – كفر الشيخ 070
- )ب( ّ (سس؟ + 0″
- (1) ل سن” ل سن + سن
- الو
- .
- سن” (2+ سج وس – ل (بلقاس – الدقهلية 0؟)
- 1ل ( سن +76 (ب) ع (؟ سن +76
- (ج)(7 سن + م) (د) سن + )
- [ سسن” وى سن – ؟ سس؟ +اث فإن : ؟ – مسسد……….0 00 (القوصية – أسيوط 70)
الدرس الخامس: التكامل المحدد وحساب المساحات وحجوم الأجسام الدورانية · 11 / 17
الشرح الموسوعي المعتمد والمصطلحات الكاملة (كتب الوزارة + الامتحان + المعاصر + الوسام)
الشرح الموسوعي المعتمد والمصطلحات الكاملة (كتب الوزارة + الامتحان + المعاصر + الوسام)
- 📖
الدرس الخامس: التكامل المحدد وحساب المساحات وحجوم الأجسام الدورانية · 12 / 17
📌 قاموس المصطلحات والمفاهيم العلمية الدقيقة:
📌 قاموس المصطلحات والمفاهيم العلمية الدقيقة:
- التكامل كعملية عكسية للتفاضل (Antiderivative):
- إيجاد الدالة الأصلية F(x) التي مشتقتها تساوي الدالة المعطاة f(x)؛ حيث: ∫ f(x) dx = F(x) + C، وثابت التكامل C يمثل مقداراً ثابتاً يعبر عن عدد لا نهائي من المنحنيات المتوازية.
- التكامل بالتعويض (Integration by Substitution):
- طريقة تكامل تعتمد على تبسيط الدالة المعقدة بفرض متغير جديد ع = ر(س) وتغيير متغير التكامل من دس إلى دع؛ وتستخدم خاصة عندما يحتوي التكامل على دالة مضروبة في مشتقتها: ∫ [f(x)]n · f'(x) dx = [f(x)]n+1 / (n+1) + C.
- التكامل بالتجزيء (Integration by Parts):
- طريقة تكامل مستنتجة من قاعدة تفاضل حاصل ضرب دالتين، وتستخدم لتكامل حاصل ضرب دالتين لا إحداهما مشتقة للأخرى (مثل جبرية في مثلثية أو جبرية في أسية أو دوال لوغاريتمية)، وصيغتها الشهيرة: ∫ u dv = u · v – ∫ v du.
- التكامل المحدد (Definite Integral):
- تكامل يحسب على فترة محددة [أ، ب]؛ ويمثل بيانياً المساحة الصافية المحصورة بين منحنى الدالة ومحور السينات؛ وتتعين قيمته بالنظرية الأساسية للتفاضل والتكامل: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) – F(a) ولا يحتوي على ثابت تكامل.
- تطبيقات حساب المساحات المستوية (Plane Areas):
- حساب مساحة المنطقة المستوية المحصورة بين منحنى دالة ص = د(س) ومحور السينات: م = ∫ₐᵇ |ص| دس؛ أو المساحة المحصورة بين منحنيي دالتين ص₁ و ص₂: م = ∫ₐᵇ |ص₁ – ص₂| دس.
- حجوم الأجسام الدورانية (Solids of Revolution):
- الحجم الهندسي المجسم الناشئ عن دوران منطقة مستوية محصورة دورة كاملة (360°): 1) حول محور السينات: الحجم ح = π ∫ₐᵇ (ص)2 دس. 2) حول محور الصادات: الحجم ح = π ∫_cᵈ (س)2 دص.
الدرس الخامس: التكامل المحدد وحساب المساحات وحجوم الأجسام الدورانية · 13 / 17
⚖️ القوانين والعلاقات الرياضية والفيزيائية الحاكمة:
⚖️ القوانين والعلاقات الرياضية والفيزيائية الحاكمة:
| وجه المقارنة | الفكرة الأساسية | مثال | كلمات مفتاحية |
|---|---|---|---|
| قانون التكامل بالتجزيء وترتيب اختيار الدوال (LIATE) |
| — | الصيغةأولويةلوغاريتميةعكسية |
| قوانين حجوم الأجسام الدورانية الناشئة عن الدوران الكامل | [ الصيغة: دوران حول محور السينات: ح = π ∫ₐᵇ (ص₁2 – ص₂2) dx | دوران حول الصادات: ح = π ∫_cᵈ (س₁2 – س₂2) dy ] يضرب التكامل دائماً في الثابت الهندسي π لأنه ي | تجميعاً لمساحات عدد لا نهائي من الأقراص الدائرية الميكروسكوبية (dV = π r2 dx) | الصيغةمحورالسيناتالصادات |
الدرس الخامس: التكامل المحدد وحساب المساحات وحجوم الأجسام الدورانية · 14 / 17
🔍 الشرح والتحليل المستفيض وتفسيرات علل والاستنتاجات:
🔍 الشرح والتحليل المستفيض وتفسيرات علل والاستنتاجات:
★ كتاب الشرح والتفصيل العلمي الشامل المعتمد ★
- كتاب الشرح المفصل التكامل المتقدم والتطبيقات الهندسية: التكامل بالتعويض والتجزيء، النظرية الأساسية للتكامل، وحساب المساحات المستوية وحجوم الأجسام الدورانية
- الرياضيات | الصف الثالث الثانوي (الثانوية العامة) | 2026/2027 | الوحدة الخامسة – التفاضل والتكامل المتقدم
- 🎯 أهداف التعلم والمخرجات التعليمية المقررة بالتفصيل:
- • إتقان قواعد التكامل المباشر والتكامل بالتعويض والتكامل بالتجزيء (LIATE).
- • استيعاب خواص التكامل المحدد وحساب المساحات المستوية المحصورة بدقة.
- • فهم قوانين حجوم الأجسام الدورانية حول محوري السينات والصادات والتطبيقات الفيزيائية.
- ◄ أولاً تكاملات الدوال الأساسية والمتسامية وقوانين التكامل المباشر
| وجه المقارنة | الفكرة الأساسية | كلمات مفتاحية |
|---|---|---|
| تُمثل قواعد التكامل المباشر الأساس المتين للعمليات الحسابية | 1) تكامل القوى: ∫ سن دس = [سن+1 / (ن+1)] + ث (بشرط ن ≠ -1) | القوىبشرط |
| وإذا كانت ن = -1، فإن تكامل 1/س هو اللوغاريتم الطبيعي |
| وتعميمالذلكالبسطمشتقة |
- 2) تكامل الدوال المثلثية ∫ جا(س) دس = -جتا(س) + ث؛ ∫ جتا(س) دس = جا(س) + ث؛ ∫ قا2(س) دس = ظا(س) + ث؛ ∫ قتا2(س) دس = -ظتا(س) + ث؛ ∫ قا(س) ظا(س) دس = قا(س) + ث؛ ∫ قتا(س) ظتا(س) دس = -قتا(س) + ث.
- وعند تكامل دالة دائرية زاويتها خطية (أ س + ب) نقسم دائماً على معامل س (1/أ).
- وإذا وردت تكاملات مثل جا2(س) أو جتا2(س) تحول بمتطابقات ضعف الزاوية: جا2(س) = 1/2 [1 – جتا(2س)]، وجتا2(س) = 1/2 [1 + جتا(2س)].
| وجه المقارنة | الفكرة الأساسية | كلمات مفتاحية |
|---|---|---|
| 3) تكامل الدوال الأسية |
| الدالةالطبيعيةوتكاملمضروبة |
| وتكامل الدالة الأسية لأي أساس | ∫ أس دس = [أس / لو(أ)] + ث | |
| • | شكل توضيحي (شكل 1 – القواعد الأساسية للتكامل وطرق التعويض والتجزيء): جدول القوانين القياسية لتكامل الدوال المثلثية والأسية وصيغة التكامل بالتجزيء | توضيحيالقواعدالأساسيةللتكامل |
| ◄ ثانياً | استراتيجيات التكامل بالتعويض والتكامل بالتجزيء | استراتيجياتالتكاملبالتعويضوالتكامل |
| وجه المقارنة | الفكرة الأساسية | كلمات مفتاحية |
|---|---|---|
| 1) التكامل بالتعويض (Substitution) |
| طريقةالعزلوالاستبدالوتستخدم |
| • |
| نفرضالدالةالمعقدةونجد |
| وتستخدم بكثرة مع الجذور | كفرض ما تحت الجذر بـ ع2 لإنهاء الجذر نهائياً | كفرضالجذرلإنهاءنهائيا |
| وجه المقارنة | الفكرة الأساسية | كلمات مفتاحية |
|---|---|---|
| 2) التكامل بالتجزيء (Integration by Parts) |
| أسلوبتفكيكحاصلالضرب |
| ونتبع قاعدة الأولويات (LIATE) لاختيار u |
| الدوالاللوغاريتميةالعكسيةالجبرية |
| نوجد du باشتقاق u، ونوجد v بمكاملة dv؛ ونطبق القانون | ∫ u dv = u v – ∫ v du | |
| • |
| الحالاتتكاملنطبقالتجزيء |
| • | شكل توضيحي (شكل 2 – حساب المساحات المستوية المحصورة ونقط التقاطع والتكامل المحدد): رسم بياني يوضح المساحة المحصورة بين منحنيين وتقسيم الفترات وأخذ القيمة المطلقة | توضيحيحسابالمساحاتالمستوية |
◄ ثالثاً←خواص التكامل المحدد وحساب المساحات المستوية بدقة
| وجه المقارنة | الفكرة الأساسية | كلمات مفتاحية |
|---|---|---|
| 1) خواص التكامل المحدد | أ- عكس حدود التكامل يعكس الإشارة: ∫ₐᵇ د(س) دس = – ∫_bᵃ د(س) دس | حدوديعكسالإشارة |
| ب- انعدام التكامل إذا تساوى الحدان | ∫ₐᵃ د(س) دس = 0 | |
| ج- خاصية الإضافة | ∫ₐᵇ د(س) دس = ∫ₐᶜ د(س) دس + ∫_cᵇ د(س) دس | |
| د- خواص التماثل |
| كانتدالةزوجيةمتماثلة |
| 2) حساب المساحات المستوية |
| لحسابالمساحةالمحصورةمنحنى |
- ولحساب المساحة المحصورة بين منحنيين ص₁ و ص₂ نوجد أولاً نقط تقاطعهما بحل المعادلة ص₁ = ص₂ لتحديد حدود التكامل [أ، ب]؛ وتكون المساحة: م = ∫ₐᵇ (ص_الأعلى – ص_الأسفل) دس.
- شكل توضيحي (شكل 3 – حجوم الأجسام الدورانية والأقراص الدائرية حول السينات والصادات): مجسم هندسي ثلاثي الأبعاد لجسم دوراني ناشئ عن دوران منحنى حول محور السينات
- ◄ رابعاً حساب حجوم الأجسام الدورانية حول محوري السينات والصادات
- يُمثل حساب الحجم الدوراني التطبيق الفراغي المجسم الأبرز للتكامل المحدد: 1) الدوران حول محور السينات (Rotation about X-axis): عند دوران المنطقة المحصورة بين المنحنى ص = د(س) ومحور السينات والمستقيمين س = أ وس = ب دورة كاملة حول محور السينات، يتولد جسم دوراني مصمت يتكون عند كل مقطع من قرص دائري مساحته π نق2 = π ص2؛ ويصبح الحجم الكلي هو تجميع هذه الأقراص بالتكامل: ح = π ∫ₐᵇ [ص]2 دس = π ∫ₐᵇ [د(س)]2 دس.
2) الدوران حول محور الصادات (Rotation about Y-axis)←عند دوران المنطقة المحصورة بين المنحنى س = ر(ص) ومحور الصادات والمستقيمين ص = جـ وص = د دورة كاملة حول محور الصادات، يكون نصف قطر القرص هو الإحداثي السيني س؛ ويصبح الحجم: ح = π ∫_cᵈ [س]2 دص = π ∫_cᵈ [ر(ص)]2 دص.
| وجه المقارنة | الفكرة الأساسية | كلمات مفتاحية |
|---|---|---|
| 3) الحجم المحصور بين منحنيين دورانيين | عند دوران المنطقة المحصورة بين منحنيين ص₁ و ص₂ (حيث ص₁ ≥ ص₂): أ- حول محور السينات: ح = π ∫ₐᵇ (ص₁2 – ص₂2) دس (مع الانتباه لتربيع كل دالة بمفردها وليس تربيع الفرق) | المنطقةالمحصورةمحورالسينات |
| ب- حول محور الصادات | ح = π ∫_cᵈ (س₁2 – س₂2) دص | |
| • | 🧮 التطبيقات والمسائل النموذجية المحلولة بالخطوات (Step-by-Step Worked Examples) | التطبيقاتوالمسائلالنموذجيةالمحلولة |
| مثال نموذجي 1 | مسألة تكامل بالتجزيء لحاصل ضرب دالة جبرية في دالة أسية | مسألةتكاملبالتجزيءلحاصل |
| نص المسألة / السؤال | احسب قيمة التكامل غير المحدد: ت = ∫ (2س + 1) هـ3س دس | احسبقيمةالتكاملالمحدد |
| وجه المقارنة | الفكرة الأساسية | كلمات مفتاحية |
|---|---|---|
| خطوات الحل والشرح النموذجي | 1) اختيار الدوال للتجزيء وفق قاعدة LIATE: نفرض الدالة الجبرية: u = 2س + 1 -> نشتق لإيجاد du: du = 2 دس | اختيارالدوالللتجزيءقاعدة |
| نفرض الدالة الأسية | dv = هـ3س دس -> نكامل لإيجاد v: v = (1/3) هـ3س | نكامللإيجاد |
| 2) تطبيق قانون التكامل بالتجزيء | ∫ u dv = u · v – ∫ v du: ت = (2س + 1) × [(1/3) هـ3س] – ∫ [(1/3) هـ3س] × (2 دس) ت = (1/3) (2س + 1) هـ3س – (2/3) ∫ هـ3س دس 3) إجراء التكامل المتبقي البسيط: ∫ هـ3س دس = (1/3) هـ3س إذن: ت = (1/3) (2س + 1) هـ3س – (2/3) × [(1/3) هـ3س] + ث ت = (1/3) (2س + 1) هـ3س – (2/9) هـ3س + ث بأخذ (1/9) هـ3س عامل مشترك للتبسيط: ت = (1/9) هـ3س [3(2س + 1) – 2] + ث = (1/9) هـ3س [6س + 3 – 2] + ث = (1/9) هـ3س (6س + 1) + ث | إجراءالمتبقيالبسيطبأخذ |
| وجه المقارنة | الفكرة الأساسية | كلمات مفتاحية |
|---|---|---|
| مثال نموذجي 2 | حساب مساحة وحجم جسم دوراني لمنحنى دالة تربيعية ومستقيم | حسابمساحةوحجمدوراني |
| نص المسألة / السؤال |
| أوجدمساحةالمنطقةالمستوية |
| وجه المقارنة | الفكرة الأساسية | كلمات مفتاحية |
|---|---|---|
| خطوات الحل والشرح النموذجي | 1) إيجاد حدود التكامل بإيجاد نقط التقاطع: ص₁ = ص₂ -> س2 = 2س -> س2 – 2س = 0 -> س(س – 2) = 0 إذن حدود التكامل هي من س = 0 إلى س = 2 | إيجادحدودالتكاملبإيجاد |
| في هذه الفترة المستقيم أعلى من المنحنى (مثلاً عند س = 1 |
| |
| 2) حساب المساحة المستوية م | م = ∫₀2 (2س – س2) دس = [س2 – (1/3) س3]₀2 م = [(2)2 – (1/3)(2)3] – [0] = [4 – 8/3] = 4/3 وحدة مساحة مربعة (حوالي 1.33 وحدة مربعة) | وحدةمربعةحوالي |
| 3) حساب حجم الجسم الدوراني حول محور السينات ح | ح = π ∫₀2 (ص₁2 – ص₂2) دس = π ∫₀2 [(2س)2 – (س2)2] دس = π ∫₀2 (4س2 – س4) دس ح = π [ (4/3) س3 – (1/5) س5 ]₀2 بالتعويض بالحد العلوي س = 2: ح = π [ (4/3)(8) – (1/5)(32) ] = π [ 32/3 – 32/5 ] بتوحيد المقامات على 15: ح = π [ (160 – 96) / 15 ] = (64/15) π وحدة حجم مكعبة (حوالي 4.267 π وحدة مكعبة) | بالتعويضبالحدالعلويبتوحيد |
| وجه المقارنة | الفكرة الأساسية | مثال | كلمات مفتاحية |
|---|---|---|---|
| • | 💡 أسرار وتكات التفوق وملاحظات خبير المادة (Expert Notes & Exam Secrets) | — | أسراروتكاتالتفوقوملاحظات |
| ★ فخ تربيع الفرق في حجوم الأجسام الدورانية |
| — | احذرتماماكتابةالحجم |
| ★ التكامل المحدد للدوال الفردية المتماثلة |
| كانتحدودمتناظرةوكانت | |
| ★ تكامل الدالة اللوغاريتمية الطبيعية |
| — | يوجدقانونمباشرلتكامل |
| • | 🌍 التطبيقات الحياتية والصناعية والتكنولوجية (Real-World Applications) | — | التطبيقاتالحياتيةوالصناعيةوالتكنولوجية |
| وجه المقارنة | الفكرة الأساسية | كلمات مفتاحية |
|---|---|---|
| ✔ حساب سعة الخزانات والسدود المائية غير المنتظمة | استخدام التكامل المحدد ونماذج الأجسام الدورانية لحساب الحجم المائي الدقيق للبحيرات والخزانات وسدود توليد الكهرباء بناءً على مقاطع المسح الطبوغرافي | استخدامالتكاملالمحددونماذج |
| ✔ حساب الشغل الفيزيائي لقوى متغيرة | حساب الشغل المبذول بواسطة قوى الجاذبية لإطلاق الأقمار الصناعية لمداراتها (W = ∫ F dr) وحساب الشغل اللازم لضغط الغازات في محركات الاحتراق الداخلي بالتكامل (W = ∫ P dV) | المبذولبواسطةالجاذبيةلإطلاق |
الدرس الخامس: التكامل المحدد وحساب المساحات وحجوم الأجسام الدورانية · 15 / 17
🔬 مخططات ورسوم علمية تخصصية داعمة للفهم
🔬 مخططات ورسوم علمية تخصصية داعمة للفهم
- نقدم في هذا القسم رسوماً ومخططات بيانية توضيحية معتمدة لتعميق الاستيعاب البصري وتثبيت المفاهيم العلمية الأساسية وفق أحدث النماذج التعليمية التفاعلية.
- توضح الصورة المساحة المحصورة بين المنحنى ومحور السينات في فترة محددة، ويُحسب مقدارها بإيجاد التكامل المحدد للدالة على هذه الفترة.
- ويكون ذلك بإيجاد الدالة الأصلية ثم حساب الفرق بين قيمتها عند الحد الأعلى والحد الأدنى، وهو ما يربط المساحة بالتكامل كعملية عكسية للتفاضل.
- شكل 3 ميل المماس للمنحنى ومعدل التغير اللحظي وعلاقته بالنظرية الأساسية للتفاضل والتكامل
- يربط الشكل بين ميل المماس للمنحنى ومعدل التغير اللحظي للدالة، إذ يمثل الميل مشتقة الدالة عند نقطة معينة.
- وتبيّن النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل أن التفاضل والتكامل عمليتان عكسيتان، فتكامل معدل التغير يعطي التغير الكلي للدالة بين نقطتين.
الدرس الخامس: التكامل المحدد وحساب المساحات وحجوم الأجسام الدورانية · 16 / 17
ملخص الدرس
ملخص الدرس
- ★ الملخص الشامل وخريطة المفاهيم وجداول المقارنة ★
- 🗺️ الخريطة الذهنية والمفاهيم الجوهرية (Mind Map Outline):
- ✔ 1. القواعد الأساسية: تكامل القوى، الدوال المثلثية الست، والدوال الأسية واللوغاريتمية (البسط مشتقة المقام = لو|المقام|).
- ✔ 2. طرق التكامل المتقدمة: التعويض (فرض ع ودع) والتجزيء (∫ u dv = uv – ∫ v du بقاعدة LIATE).
- ✔ 3. التكامل المحدد والمساحات: م = ∫ |ص₁ – ص₂| dx بعد إيجاد نقط التقاطع وتجزئة الفترات لتفادي المساحات السالبة.
- ✔ 4. حجوم الأجسام الدورانية: حول السينات ح = π ∫ ص2 dx، وحول الصادات ح = π ∫ س2 dy، واستنتاج حجم الكرة والمخروط.
- 📊 جداول المقارنة والتصنيف والتلخيص الشامل:
- جدول مصفوفة القواعد الشاملة للتكاملات القياسية المباشرة للدوال الأساسية
| الدالة المراد مكاملتها د(س) | ناتج التكامل غير المحدد ∫ د(س) دس | الشروط والملاحظات الرياضية |
|---|---|---|
| سن (حيث ن ≠ -1) | [ سن+1 / (ن+1) ] + ث | قاعدة القوة العامة |
| 1 / س | لو |س| + ث | تكامل المقلوب يعطي اللوغاريتم الطبيعي |
| د'(س) / د(س) | لو |د(س)| + ث | البسط مشتقة المقام |
| جا(أ س) | -(1/أ) جتا(أ س) + ث | نقسم على معامل س |
| جتا(أ س) | (1/أ) جا(أ س) + ث | مشتقة الجيب جيب تمام |
| قا2(أ س) | (1/أ) ظا(أ س) + ث | تكامل مربع القاطع يعطي الظل |
| قتا2(أ س) | -(1/أ) ظتا(أ س) + ث | تكامل مربع قاطع التمام |
| قا(س) ظا(س) | قا(س) + ث | تكامل مباشر |
| هـأ س | (1/أ) هـأ س + ث | الدالة الأسية الطبيعية |
| أس | [ أس / لو(أ) ] + ث | الدالة الأسية لأي أساس أ > 0 |
| وجه المقارنة | الفكرة الأساسية | كلمات مفتاحية |
|---|---|---|
| • | 💡 كبسولة المراجعة السريعة وأهم فنيات الامتحان | كبسولةالمراجعةالسريعةوأهم |
| ★ كبسولة تكامل 1 | في حجوم الأجسام الدورانية نربع الدالتين أولاً ثم نطرح: ح = π ∫ (ص₁2 – ص₂2) dx وليس العكس | حجومالأجسامالدورانيةنربع |
| ★ كبسولة تكامل 2 | إذا كان البسط مشتقة المقام فإن التكامل هو اللوغاريتم الطبيعي لمطلق المقام: لو|المقام| + ث | البسطمشتقةالمقامالتكامل |
| ★ كبسولة تكامل 3 |
| التكاملالمحددلدالةفردية |
الدرس الخامس: التكامل المحدد وحساب المساحات وحجوم الأجسام الدورانية · 17 / 17
أحسنت! أنهيت هذا الدرس
ماذا تريد أن تفعل الآن؟