ملخص الدرس 2: المحددات والمصفوفات والمعكوس الضربي وطريقة كرامر

الرياضيات

أقسام الدرس

المحدد من الرتبة الثانية

المحدد من الرتبة الثانية للمصفوفة [[أ، ب]، [ج، د]] هو العددdet = أد − بج. ويُحسب بأن نطرح حاصل ضرب القطر الثاني من حاصل ضرب القطر الرئيسي.

مثالالمحدد للمصفوفة [[2، 3]، [1، −1]] = 2 × (−1) − 3 × 1 = −5.

ملخص الدرس 2: المحددات والمصفوفات والمعكوس الضربي وطريقة كرامر · 1 / 6

العمليات على المصفوفات

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
الجمع والطرح	نجمع العناصر المتناظرة ولا يتم ذلك إلا للمصفوفات المتساوية في الأبعاد	نجمعالعناصرالمتناظرةللمصفوفات
الضرب في عدد	نضرب كل عنصر في العدد	نضربعنصرالعدد
ضرب المصفوفات	نضرب صفوف الأولى في أعمدة الثانية ويشترط أن يساوي عدد أعمدة الأولى عدد صفوف الثانية	نضربالأولىأعمدةالثانية
مثال	[[1 4]] + [[0 0]] = [[1 4]]
مثال على الضرب	[[1 4]] × [[0 0]] = [[2 3]]

ملخص الدرس 2: المحددات والمصفوفات والمعكوس الضربي وطريقة كرامر · 2 / 6

المعكوس الضربي

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
•	معكوس المصفوفة A يوجد فقط إذا كان محددها لا يساوي صفراً وقانونه للمصفوفة [[أ د]]	معكوسالمصفوفةيوجدمحددها
القانون	A⁻¹ = (1 ÷ det) × [[د −ب] [−ج أ]]
مثال	للمصفوفة [[1 4]] يكون det = 4 − 6 = −2 فيكون A⁻¹ = [[−2 [1.5 −0.5]]	للمصفوفةيكونفيكون
والتحقق	حاصل ضرب A في معكوسها يعطي مصفوفة الوحدة [[1 1]]	حاصلمعكوسهايعطيمصفوفة
•	ويفيد المعكوس في حل نظام المعادلات بالصورة المصفوفية A X = B حيث نجد X = A⁻¹ B إذا كان المحدد لا يساوي صفراً	ويفيدالمعكوسنظامالمعادلات

ملخص الدرس 2: المحددات والمصفوفات والمعكوس الضربي وطريقة كرامر · 3 / 6

طريقة كرامر

D = a₁b₂ − a₂b₁ (محدد المعاملات).
Dس = c₁b₂ − c₂b₁ (بإحلال عمود الثوابت محل معاملات س).
Dص = a₁c₂ − a₂c₁ (بإحلال عمود الثوابت محل معاملات ص).
فإذا كان D ≠ 0 فإن س = Dس ÷ D، وص = Dص ÷ D.
مثال حل النظام 2س + 3ص = 8 و س − ص = −1. نجد D = 2 × (−1) − 1 × 3 = −5، وDس = 8 × (−1) − (−1) × 3 = −5، وDص = 2 × (−1) − 1 × 8 = −10. إذن س = 1، وص = 2. والتحقق: 2 + 6 = 8، و1 − 2 = −1.

ملخص الدرس 2: المحددات والمصفوفات والمعكوس الضربي وطريقة كرامر · 4 / 6

مساحة المثلث بالمحدد

إذا عرفنا إحداثيات رؤوس المثلث، فإن مساحته تساوي نصف القيمة المطلقة لمحدد مكون من الإحداثيات والعمود الأخير الذي يساوي 1 في كل صف.
وإذا كانت قيمة المحدد صفراً فإن النقاط الثلاث على استقامة واحدة.

مثال←للرؤوس (1، 2)، (4، 2)، (1، 6) نحسب المحدد فنجد 12، فتكون المساحة = ½ × 12 = 6 وحدات مربعة.

ملخص الدرس 2: المحددات والمصفوفات والمعكوس الضربي وطريقة كرامر · 5 / 6

ملخص الدرس

ملخص الدرس 2: المحددات والمصفوفات والمعكوس الضربي وطريقة كرامر · 6 / 6

ماذا تريد أن تفعل الآن؟