ملخص الدرس 2: الاحتمال الشرطي والمتغيرات العشوائية والتوزيع الطبيعي

الرياضيات

أقسام الدرس

الاحتمال الشرطي

احتمال الحدث A بشرط وقوع الحدث B هو احتمال وقوع A داخل الفضاء الجديد الذي أصبح فيه B هو كل الفضاء الممكن.
ويكتب P(A | B) ويحسب بالقانون:

القانونP(A | B) = P(A ∩ B) ÷ P(B)، بشرط أن يكون P(B) أكبر من صفر.

مثالإذا كان P(B) = 0.4 وP(A ∩ B) = 0.2 فإن P(A | B) = 0.2 ÷ 0.4 = 0.5.

كيس به 3 كرات حمراء وكرتان زرقاوان يبين الاحتمال الشرطي←احتمال الحمراء الثانية بعد الأولى 2/4.: الاحتمال الشرطي

ملخص الدرس 2: الاحتمال الشرطي والمتغيرات العشوائية والتوزيع الطبيعي · 1 / 6

الاستقلال

يكون الحدثان A وB مستقلين إذا كان وقوع أحدهما لا يغير احتمال وقوع الآخر، أي إذا تحقق: P(A ∩ B) = P(A) × P(B)، أو P(A | B) = P(A).
مثال إذا كان P(A) = 0.5، وP(B) = 0.4، وP(A ∩ B) = 0.2، فإن P(A) × P(B) = 0.2 = P(A ∩ B)، إذن الحدثان مستقلان. ويؤكد ذلك أن P(A | B) = 0.5 = P(A).

ملخص الدرس 2: الاحتمال الشرطي والمتغيرات العشوائية والتوزيع الطبيعي · 2 / 6

المتغير العشوائي المتقطع والتوقع

المتغير العشوائي هو متغير قيمته تتحدد بنتيجة تجربة عشوائية.
وإذا كان المتغير X يأخذ قيماً منفصلة، فإن مجموع احتمالاتها يساوي 1، ويكون التوقع (المتوسط المتوقع) هو:
القانون E(X) = مجموع (x × P(x)).
مثال إذا كان X يأخذ القيم 0، 1، 2 باحتمالات 0.2، 0.5، 0.3 على الترتيب، فإن E(X) = 0 × 0.2 + 1 × 0.5 + 2 × 0.3 = 1.1.
ولحساب التوقع في مسائل الألعاب أو الاستثمار نضرب كل قيمة في احتمالها ثم نجمع النواتج، فيكون التوقع متوسطاً على المدى البعيد، وليس قيمة يحدث فيها المتغير بالضبط في كل مرة.

ملخص الدرس 2: الاحتمال الشرطي والمتغيرات العشوائية والتوزيع الطبيعي · 3 / 6

التوزيع الطبيعي

نحو 68% من القيم تقع في المدى من μ − σ إلى μ + σ.
نحو 95% من القيم تقع في المدى من μ − 2σ إلى μ + 2σ.
نحو 99.7% من القيم تقع في المدى من μ − 3σ إلى μ + 3σ.
مثال إذا كان الوسط 50 والانحراف المعياري 5، فإن نحو 68% من القيم تقع بين 45 و55، ونحو 95% منها تقع بين 40 و60.
ولا يُحسب احتمال الفترة بالتكامل في هذا المستوى، بل نعتمد على القاعدة السابقة أو على حساب عدد الانحرافات المعيارية بين القيمة والوسط.

ملخص الدرس 2: الاحتمال الشرطي والمتغيرات العشوائية والتوزيع الطبيعي · 4 / 6

جدول المقارنة

المفهوم	القانون	المعنى
الاحتمال الشرطي	P(A \| B) = P(A ∩ B) ÷ P(B)	احتمال A بعد العلم بوقوع B
الاستقلال	P(A ∩ B) = P(A) × P(B)	وقوع أحدهما لا يؤثر في الآخر
التوقع	E(X) = مجموع x × P(x)	المتوسط المتوقع لقيم المتغير

ملخص الدرس 2: الاحتمال الشرطي والمتغيرات العشوائية والتوزيع الطبيعي · 5 / 6

ملخص الدرس

الاحتمال الشرطي P(A | B) = P(A ∩ B) ÷ P(B).
الحدثان المستقلان يحققان P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
مجموع احتمالات المتغير العشوائي المتقطع يساوي 1، وتوقعه مجموع x × P(x).
التوزيع الطبيعي متماثل حول الوسط، ونسب 68% و95% و99.7% تقع في مدى 1 و2 و3 انحرافات معيارية.

ملخص الدرس 2: الاحتمال الشرطي والمتغيرات العشوائية والتوزيع الطبيعي · 6 / 6

ماذا تريد أن تفعل الآن؟