المناهج الدراسية

الرياضيات

الفصل الأول - التفاضل والتكامل (Calculus)

0/86

الفصل الثاني - الجبر والهندسة الفراغية (Algebra & Solid Geometry)

0/50

الفصل الثالث - الاستاتيكا (Statics)

0/21

الفصل الرابع - الديناميكا (Dynamics)

0/35

الفصل الخامس - الجبر الأساسي وحساب المثلثات والإحصاء والاحتمال

0/40

دروس إضافية

0/193

نص الدرس

الضرب الاتجاهي والضرب الثلاثي القياسي

الرياضيات

الضرب الاتجاهي والضرب الثلاثي القياسي

مقدمة الدرس

تعريف الضرب الاتجاهي وقاعدة اليد اليمنى وحسابه بالمحدد.
خواص الضرب الاتجاهي وشرط توازي متجهين.
مساحة متوازي الأضلاع والمثلث.
الضرب الثلاثي القياسي وحجم متوازي السطوح ورباعي الوجوه.

🌳 شجرة المفاهيم

الضرب الاتجاهي والضرب الثلاثي القياسي

├── 3-3-8 الضرب الاتجاهي لمتجهين

│ ├── التعريف

│ ├── قاعدة اليد اليمنى

│ └── ملاحظات هامة

├── 3-3-9 الضرب الاتجاهي لمتجهات الوحدة الأساسية

│ ├── المجموعة اليمينية

│ └── طريقة التذكر

├── 3-3-10 الضرب الاتجاهي في الإحداثيات الكارتيزية

│ ├── القانون

│ └── حالة خاصة (متجهان في المستوى xy)

├── 3-3-11 خواص الضرب الاتجاهي وشرط توازي متجهين

│ ├── الخواص

│ └── شرط التوازي

├── 3-3-12 المعنى الهندسي للضرب الاتجاهي←المساحة

│ ├── مساحة متوازي الأضلاع

│ └── مساحة المثلث

├── 3-3-13 الضرب الثلاثي القياسي

│ ├── التعريف

│ └── خواصه

├── 3-3-14 حجم متوازي السطوح ورباعي الوجوه

│ ├── حجم متوازي السطوح

│ └── حجم رباعي الوجوه (الهرم الثلاثي)

└── 3-3-15 ملخص←متى نستخدم أي نوع من الضرب

├── مقارنة بين الضربين

└── كيف تختار

الضرب الاتجاهي والضرب الثلاثي القياسي · 1 / 9

3-3-8 الضرب الاتجاهي لمتجهين

التعريف

إذا كان $\vec{A}$ و $\vec{B}$ متجهين في مستوى والزاوية بينهما $θ$ فإن الضرب الاتجاهي هو:

صندوق خشبي بثلاثة أحرف متعامدة يمثل الضرب الاتجاهي والضرب الثلاثي القياسي: أ × ب = (0 , 0 , 6) والحجم 24.

A⃗×B⃗=(∥A⃗∥ ∥B⃗∥sin⁡θ)n^

حيث $\hat{n}$ متجه وحدة عمودي على المستوى الذي يحوي $\vec{A}$ و $\vec{B}$ .
الناتج متجه (وليس عددًا كما في الضرب القياسي)، ومعياره $∥ \vec{A} \times \vec{B} ∥ = ∥ \vec{A} ∥ ∥ \vec{B} ∥ \sin θ$ .

قاعدة اليد اليمنى

يتحدد اتجاه $\hat{n}$ (لأعلى أم لأسفل المستوى) بقاعدة اليد اليمنى.
نحني أصابع اليد اليمنى من المتجه الأول $\vec{A}$ نحو المتجه الثاني $\vec{B}$ فيشير الإبهام إلى اتجاه $\vec{A} \times \vec{B}$ .
لذلك فإن $\vec{B} \times \vec{A}$ يخالفه في الاتجاه.

ملاحظات هامة

إذا كان $\vec{A} \times \vec{B}$ في اتجاه $\hat{n}$ فإن $\vec{B} \times \vec{A}$ في اتجاه $- \hat{n}$ .
الناتج عمودي على كل من $\vec{A}$ و $\vec{B}$ معًا.
لأي متجه $\vec{A}$ فإن $\vec{A} \times \vec{A} = \vec{0}$ و $\vec{A} \times \vec{0} = \vec{0}$ (المتجه الصفري).
∥A⃗×B⃗∥2+(A⃗⋅B⃗)2=∥A⃗∥2∥B⃗∥2.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1 إذا كان $∥ \vec{A} ∥ = 4$ و $∥ \vec{B} ∥ = 5$ والزاوية بينهما $3 0^{\circ}$ فأوجد معيار $\vec{A} \times \vec{B}$ .
الحل:

∥A⃗×B⃗∥=4×5×sin⁡30∘

$∥ \vec{A} \times \vec{B} ∥ = 20 \times \frac{1}{2} = 10$ .
مثال 2 إذا كان $∥ \vec{A} ∥ = 6$ و $∥ \vec{B} ∥ = 4$ وكان $∥ \vec{A} \times \vec{B} ∥ = 12$ فأوجد الزاوية الحادة بين المتجهين.
الحل:
$12 = 6 \times 4 \times \sin θ$ ومنها $\sin θ = \frac{1}{2}$ .
إذن $θ = 3 0^{\circ}$ (أو $15 0^{\circ}$ إذا كانت منفرجة).

اتجاه الضرب الاتجاهي العمودي على المستوى

مساحة أو متجه عمودي على مستوى أو التوازي←الضرب الاتجاهي.

الضرب الاتجاهي والضرب الثلاثي القياسي · 2 / 9

3-3-9 الضرب الاتجاهي لمتجهات الوحدة الأساسية

المجموعة اليمينية

بتطبيق قاعدة اليد اليمنى على المجموعة اليمينية $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ نحصل على:

3-3-9 الضرب الاتجاهي لمتجهات الوحدة الأساسية

i^×j^=k^,j^×k^=i^,k^×i^=j^

وعند عكس الترتيب تتغير الإشارةj^×i^=−k^ وk^×j^=−i^ وi^×k^=−j^.

وكل متجه وحدة مضروب في نفسه يعطي الصفرi^×i^=j^×j^=k^×k^=0⃗.

طريقة التذكر

نرتب الحروف دائريًّا $i \to j \to k \to i$ .
الضرب في اتجاه الدوران يعطي الحرف الثالث بإشارة موجبة، وعكس الدوران يعطي إشارة سالبة.

✍️ أمثلة محلولة

أوجد $(2 \hat{i}) \times (3 \hat{j})$ و $\hat{k} \times (- \hat{j})$ .
الحل:
$(2 \hat{i}) \times (3 \hat{j}) = 6 (\hat{i} \times \hat{j}) = 6 \hat{k}$ .
$\hat{k} \times (- \hat{j}) = - (\hat{k} \times \hat{j}) = - (- \hat{i}) = \hat{i}$ .

الضرب الاتجاهي والضرب الثلاثي القياسي · 3 / 9

3-3-10 الضرب الاتجاهي في الإحداثيات الكارتيزية

القانون

إذا كان $\vec{A} = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ و $\vec{B} = (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ فبتطبيق خاصية التوزيع وجداول الضرب نحصل على:

A⃗×B⃗=(a2b3−a3b2)i^−(a1b3−a3b1)j^+(a1b2−a2b1)k^ويُحسب بسهولة بنشر المحدد:

A⃗×B⃗=∣i^j^k^a1a2a3b1b2b3∣الصف الأول متجهات الوحدة، والثاني مركبات المتجه الأول، والثالث مركبات المتجه الثاني؛ وننتبه إلى أن إشارة حد

\hat{j}

سالبة عند النشر.

حالة خاصة (متجهان في المستوى xy)

إذا كان $\vec{A} = (a_{1}, a_{2}, 0)$ و $\vec{B} = (b_{1}, b_{2}, 0)$ فإن $\vec{A} \times \vec{B} = (a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) \hat{k}$ .
الناتج في اتجاه محور $O z$ أي عمودي على المستوى $x y$ .

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1 أوجد $\vec{A} \times \vec{B}$ إذا كان $\vec{A} = (1, 2, 3)$ و $\vec{B} = (2, - 1, 1)$ .
الحل:
مركبة i^ (2)(1)−(3)(−1)=2+3=5.
مركبة j^ −[(1)(1)−(3)(2)]=−(1−6)=5.
مركبة k^ (1)(−1)−(2)(2)=−1−4=−5.
إذن $\vec{A} \times \vec{B} = (5, 5, - 5)$ .
التحقق (5,5,−5)⋅(1,2,3)=5+10−15=0 فالناتج عمودي على A⃗.
مثال 2 أوجد متجه وحدة عموديًّا على المستوى الذي يحوي $\vec{A} = (1, 2, 3)$ و $\vec{B} = (2, - 1, 1)$ .
الحل:
من المثال السابق $\vec{A} \times \vec{B} = (5, 5, - 5)$ ومعياره $5 \sqrt{3}$ .
متجه الوحدة $= \pm \frac{(5, 5, - 5)}{5 \sqrt{3}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} (1, 1, - 1)$ .
يوجد متجها وحدة متضادان، وكل منهما عمودي على المستوى.

│ └── طريقة التذكر←├── 3-3-10 الضرب الاتجاهي في الإحداثيات الكارتيزية

الضرب الاتجاهي والضرب الثلاثي القياسي · 4 / 9

3-3-11 خواص الضرب الاتجاهي وشرط توازي متجهين

الخواص

غير إبدالي

\vec{A} \times \vec{B} = - (\vec{B} \times \vec{A})

التوزيع

\vec{A} \times (\vec{B} + \vec{C}) = \vec{A} \times \vec{B} + \vec{A} \times \vec{C}

الضرب في عدد

(k \vec{A}) \times \vec{B} = k (\vec{A} \times \vec{B}) = \vec{A} \times (k \vec{B})

المتجهان المتوازيان

\vec{A} \times \vec{B} = \vec{0}

لأن

\sin 0^{\circ} = \sin 18 0^{\circ} = 0

3-3-11 خواص الضرب الاتجاهي وشرط توازي متجهين

شرط التوازي

المتجهان غير الصفريين $\vec{A}$ و $\vec{B}$ متوازيان إذا وفقط إذا كان $\vec{A} \times \vec{B} = \vec{0}$ .
وهذا يكافئ تناسب المركبات a1b1=a2b2=a3b3=k.
إذا كانت $k > 0$ فالمتجهان في اتجاه واحد، وإذا كانت $k < 0$ فهما متضادان.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1 المتجه $\vec{A} = (m, - 4, 6)$ يوازي المتجه $\vec{B} = (3, 2, n)$ ، أوجد $m$ و $n$ .
الحل:
شرط التوازي m3=−42=6n.
$\frac{- 4}{2} = - 2$ فيكون $m = - 6$ .
$\frac{6}{n} = - 2$ ومنها $n = - 3$ .
النسبة سالبة فالمتجهان متوازيان في اتجاهين متضادين.
مثال 2 إذا كان $\vec{A} = (1, - 2, 3)$ و $\vec{B} ∥ \vec{A}$ وكان $∥ \vec{B} ∥ = 2 \sqrt{14}$ فأوجد $\vec{B}$ .
الحل:
$∥ \vec{A} ∥ = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$ .
$\vec{B} = k \vec{A}$ ومنها $∣ k ∣ \sqrt{14} = 2 \sqrt{14}$ أي $k = \pm 2$ .
$\vec{B} = (2, - 4, 6)$ أو $\vec{B} = (- 2, 4, - 6)$ .

الضرب الاتجاهي والضرب الثلاثي القياسي · 5 / 9

3-3-12 المعنى الهندسي للضرب الاتجاهي: المساحة

مساحة متوازي الأضلاع

إذا كان $\vec{A}$ و $\vec{B}$ ضلعين متجاورين في متوازي أضلاع فمساحته $=$ القاعدة $\times$ الارتفاع $= ∥ \vec{A} ∥ \cdot ∥ \vec{B} ∥ \sin θ$ .
إذن:

3-3-12 المعنى الهندسي للضرب الاتجاهي- المساحة

$مساحة متوازي الأضلاع = ∥ \vec{A} \times \vec{B} ∥$

مساحة المثلث

المثلث الذي ضلعاه المتجاوران $\vec{A}$ و $\vec{B}$ مساحته نصف مساحة متوازي الأضلاع المناظر:

مساحة المثلث ABC=12∥AB→×AC→∥

لحساب مساحة مثلث معلوم رءوسه نكوّن المتجهين من أي رأس إلى الرأسين الآخرين.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1 أوجد مساحة متوازي الأضلاع الذي فيه $\vec{A} = (1, 2, 3)$ و $\vec{B} = (2, - 1, 1)$ ضلعان متجاوران.
الحل:
$\vec{A} \times \vec{B} = (5, 5, - 5)$ .
المساحة $= \sqrt{25 + 25 + 25} = 5 \sqrt{3}$ وحدة مربعة.
مثال 2 أوجد مساحة المثلث $A B C$ حيث $A (1, 1, 1)$ و $B (2, 3, 4)$ و $C (4, 2, 3)$ .
الحل:
$\vec{A B} = (1, 2, 3)$ و $\vec{A C} = (3, 1, 2)$ .
مركبة i^ (2)(2)−(3)(1)=1.
مركبة j^ −[(1)(2)−(3)(3)]=7.
مركبة k^ (1)(1)−(2)(3)=−5.
$\vec{A B} \times \vec{A C} = (1, 7, - 5)$ ومعياره $\sqrt{1 + 49 + 25} = \sqrt{75} = 5 \sqrt{3}$ .
المساحة $= \frac{1}{2} \times 5 \sqrt{3} = \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ وحدة مربعة.
مثال 3 إذا كان $\vec{A} = (1, 2, 3)$ و $\vec{B} = (2, - 1, 1)$ فتحقق من العلاقة $∥ \vec{A} \times \vec{B} ∥^{2} + (\vec{A} \cdot \vec{B})^{2} = ∥ \vec{A} ∥^{2} ∥ \vec{B} ∥^{2}$ .
الحل:
$∥ \vec{A} \times \vec{B} ∥^{2} = 75$ .
$\vec{A} \cdot \vec{B} = 2 - 2 + 3 = 3$ ومربعه $9$ .
المجموع $= 84$ .
$∥ \vec{A} ∥^{2} ∥ \vec{B} ∥^{2} = 14 \times 6 = 84$ فالعلاقة صحيحة.

الضرب الاتجاهي والضرب الثلاثي القياسي · 6 / 9

3-3-13 الضرب الثلاثي القياسي

التعريف

إذا كانت $\vec{A}$ و $\vec{B}$ و $\vec{C}$ ثلاثة متجهات فإن المقدار $\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C})$ يسمى حاصل الضرب الثلاثي القياسي، وهو عدد حقيقي.
بدلالة المركبات يساوي قيمة المحدد:

A⃗⋅(B⃗×C⃗)=∣a1a2a3b1b2b3c1c2c3∣←وقيمة المحدد

= a_{1} (b_{2} c_{3} - b_{3} c_{2}) - a_{2} (b_{1} c_{3} - b_{3} c_{1}) + a_{3} (b_{1} c_{2} - b_{2} c_{1})

خواصه

الترتيب الدوري←لا تتغير قيمته إذا بقيت المتجهات في ترتيب دوري واحد:

A⃗⋅(B⃗×C⃗)=B⃗⋅(C⃗×A⃗)=C⃗⋅(A⃗×B⃗)

تبديل موضع متجهين يغير الإشارة فقط (لأن الضرب الاتجاهي غير إبدالي).
إذا كانت المتجهات الثلاثة في مستوى واحد (متحدة المستوى) فإن حاصل الضرب الثلاثي القياسي يساوي صفرًا.
يساوي صفرًا أيضًا إذا تساوى متجهان أو توازيا.
لمجموعة يمينية i^⋅(j^×k^)=i^⋅i^=1.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1 أوجد $\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C})$ إذا كان $\vec{A} = (1, 2, 0)$ و $\vec{B} = (0, 1, 3)$ و $\vec{C} = (2, 0, 1)$ .
الحل:
$\vec{B} \times \vec{C} = ((1) (1) - (3) (0), - [(0) (1) - (3) (2)], (0) (0) - (1) (2)) = (1, 6, - 2)$ .
$\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = 1 + 12 + 0 = 13$ .
بالمحدد 1(1⋅1−3⋅0)−2(0⋅1−3⋅2)+0=1+12=13.
مثال 2 أوجد قيمة $k$ التي تجعل المتجهات $\vec{A} = (1, 1, 1)$ و $\vec{B} = (1, 2, 3)$ و $\vec{C} = (1, k, 5)$ في مستوى واحد.
الحل:
شرط وقوعها في مستوى واحد أن يكون المحدد صفرًا.
$1 (10 - 3 k) - 1 (5 - 3) + 1 (k - 2) = 10 - 3 k - 2 + k - 2 = 6 - 2 k$ .
$6 - 2 k = 0$ ومنها $k = 3$ .
التحقق C⃗=(1,3,5)=2B⃗−A⃗.

الضرب الاتجاهي والضرب الثلاثي القياسي · 7 / 9

3-3-14 حجم متوازي السطوح ورباعي الوجوه

حجم متوازي السطوح

إذا مثلت المتجهات $\vec{A}$ و $\vec{B}$ و $\vec{C}$ ثلاثة أحرف متجاورة غير مستوية في متوازي سطوح فإن:

V=∣A⃗⋅(B⃗×C⃗)∣

التفسير ∥B⃗×C⃗∥ مساحة القاعدة، وارتفاع المجسم هو مركبة A⃗ في اتجاه العمودي على القاعدة.
القيمة المطلقة تضمن أن الحجم موجب أيًّا كان ترتيب المتجهات.

حجم رباعي الوجوه (الهرم الثلاثي)

رباعي الوجوه الذي أحرفه المتجاورة $\vec{A}$ و $\vec{B}$ و $\vec{C}$ حجمه سدس حجم متوازي السطوح المناظر:

V=16∣A⃗⋅(B⃗×C⃗)∣

يمكن استخدام ذلك لإيجاد حجم هرم قاعدته مثلث بمعرفة إحداثيات رءوسه الأربعة (نأخذ المتجهات من أحد الرءوس).

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1 أوجد حجم متوازي السطوح الذي أحرفه المتجاورة $\vec{A} = (1, 2, 0)$ و $\vec{B} = (0, 1, 3)$ و $\vec{C} = (2, 0, 1)$ .
الحل:
من المثال السابق $\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = 13$ .
$V = ∣ 13 ∣ = 13$ وحدة حجم.
مثال 2 أوجد حجم رباعي الوجوه رءوسه $O (0, 0, 0)$ و $P (2, 0, 0)$ و $Q (0, 3, 0)$ و $R (0, 0, 4)$ .
الحل:
$\vec{O P} = (2, 0, 0)$ و $\vec{O Q} = (0, 3, 0)$ و $\vec{O R} = (0, 0, 4)$ .
المحدد $= 2 \times 3 \times 4 = 24$ .
$V = \frac{1}{6} \times 24 = 4$ وحدات حجم.
مثال 3 أوجد حجم رباعي الوجوه رءوسه $A (1, 0, 0)$ و $B (2, 1, 1)$ و $C (1, 2, 0)$ و $D (1, 0, 3)$ .
الحل:
من الرأس A AB→=(1,1,1) وAC→=(0,2,0) وAD→=(0,0,3).
$\vec{A C} \times \vec{A D} = (6, 0, 0)$ .
$\vec{A B} \cdot (6, 0, 0) = 6$ .
$V = \frac{1}{6} \times 6 = 1$ وحدة حجم.

الضرب الاتجاهي والضرب الثلاثي القياسي · 8 / 9

3-3-15 ملخص: متى نستخدم أي نوع من الضرب

وجه المقارنة	الضرب القياسي	الضرب الاتجاهي
الرمز	$\vec{A} \cdot \vec{B}$	$\vec{A} \times \vec{B}$
نوع الناتج	عدد حقيقي	متجه
القانون	$∥ \vec{A} ∥ ∥ \vec{B} ∥ \cos θ$	$∥ \vec{A} ∥ ∥ \vec{B} ∥ \sin θ \hat{n}$
الإبدال	إبدالي	غير إبدالي
يساوي صفرًا عند	التعامد	التوازي
أهم استخدام	الزاوية والمركبة والشغل	المساحة واتجاه العمودي على المستوى

كيف تختار

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
الزاوية بين متجهين أو التعامد أو المركبة	الضرب القياسي	الضربالقياسي
مساحة أو متجه عمودي على مستوى أو التوازي	الضرب الاتجاهي	الضربالاتجاهي
حجم متوازي سطوح أو رباعي وجوه أو وقوع ثلاثة متجهات في مستوى	الضرب الثلاثي القياسي	الضربالثلاثيالقياسي
•	egp-ex{margin:18px 0 border:1px solid rgba(79 224 border-radius:16px overflow:hidden background:#fff}.egp-ex-h{padding:10px 16px font-weight:800 background:linear-gradient(90deg #4f3fe0 #22c1c3) color:#fff}.egp-ex-tabs{display:flex flex-wrap:wrap gap:6px padding:10px 12px background:#f7f6ff}.egp-ex-b{border:1px solid rgba(79 224 background:#fff border-radius:20px padding:5px 14px font-weight:700 cursor:pointer}.egp-ex-b.on{background:#4f3fe0 color:#fff}.egp-ex-p{padding:12px 16px}	margin18pxbordersolid

الضرب الاتجاهي والضرب الثلاثي القياسي · 9 / 9

المناهج الدراسية

الرياضيات

الفصل الأول - التفاضل والتكامل (Calculus)

الفصل الثاني - الجبر والهندسة الفراغية (Algebra & Solid Geometry)

الفصل الثالث - الاستاتيكا (Statics)

الفصل الرابع - الديناميكا (Dynamics)

الفصل الخامس - الجبر الأساسي وحساب المثلثات والإحصاء والاحتمال

دروس إضافية

الضرب الاتجاهي والضرب الثلاثي القياسي

🌳 شجرة المفاهيم

الضرب الاتجاهي والضرب الثلاثي القياسي

├── 3-3-8 الضرب الاتجاهي لمتجهين

│ ├── التعريف

│ ├── قاعدة اليد اليمنى

│ └── ملاحظات هامة

├── 3-3-9 الضرب الاتجاهي لمتجهات الوحدة الأساسية

│ ├── المجموعة اليمينية

│ └── طريقة التذكر

│ ├── القانون

│ └── حالة خاصة (متجهان في المستوى xy)

├── 3-3-11 خواص الضرب الاتجاهي وشرط توازي متجهين

│ ├── الخواص

│ └── شرط التوازي

│ ├── مساحة متوازي الأضلاع

│ └── مساحة المثلث

├── 3-3-13 الضرب الثلاثي القياسي

│ ├── التعريف

│ └── خواصه

├── 3-3-14 حجم متوازي السطوح ورباعي الوجوه

│ ├── حجم متوازي السطوح

│ └── حجم رباعي الوجوه (الهرم الثلاثي)

├── مقارنة بين الضربين

└── كيف تختار

التعريف

A⃗×B⃗=(∥A⃗∥ ∥B⃗∥sin⁡θ)n^

قاعدة اليد اليمنى

ملاحظات هامة

✍️ أمثلة محلولة

∥A⃗×B⃗∥=4×5×sin⁡30∘

المجموعة اليمينية

طريقة التذكر

✍️ أمثلة محلولة

القانون

حالة خاصة (متجهان في المستوى xy)

✍️ أمثلة محلولة

الخواص

شرط التوازي

✍️ أمثلة محلولة

مساحة متوازي الأضلاع

مساحة المثلث

مساحة المثلث ABC=12∥AB→×AC→∥

✍️ أمثلة محلولة

التعريف

خواصه

A⃗⋅(B⃗×C⃗)=B⃗⋅(C⃗×A⃗)=C⃗⋅(A⃗×B⃗)

✍️ أمثلة محلولة

حجم متوازي السطوح

V=∣A⃗⋅(B⃗×C⃗)∣

حجم رباعي الوجوه (الهرم الثلاثي)

V=16∣A⃗⋅(B⃗×C⃗)∣

✍️ أمثلة محلولة

كيف تختار

أحسنت! أنهيت هذا الدرس