المناهج الدراسية

الرياضيات

الفصل الأول - التفاضل والتكامل (Calculus)

0/86

الفصل الثاني - الجبر والهندسة الفراغية (Algebra & Solid Geometry)

0/50

الفصل الثالث - الاستاتيكا (Statics)

0/21

الفصل الرابع - الديناميكا (Dynamics)

0/35

الفصل الخامس - الجبر الأساسي وحساب المثلثات والإحصاء والاحتمال

0/40

دروس إضافية

0/193

نص الدرس

الدرس الرابع: التكامل غير المحدد وتكامل الدوال المثلثية والأسية واللوغاريتمية

الرياضيات

الدرس الرابع: التكامل غير المحدد وتكامل الدوال المثلثية والأسية واللوغاريتمية

المشتقة العكسية والتكامل غير المحدد

المشتقة العكسية

المشتقة العكسية عملية عكسية للاشتقاق: يقال إن $F (x)$ مشتقة عكسية للدالة $f (x)$ على فترة إذا كان $F^{'} (x) = f (x)$ لكل $x$ في الفترة.
عند إضافة أي ثابت إلى المشتقة العكسية نحصل على مشتقة عكسية أخرى، فلكل دالة عدد لا نهائي من المشتقات العكسية.
تسمى مجموعة المشتقات العكسية التكامل غير المحدد ويُرمز له $\int f (x) d x$ ، وتمثله مجموعة منحنيات متوازية تختلف عن بعضها في الثابت، وميل المماس لأي منها متساوٍ عند $x$ واحدة.

ثلاثة أسلاك منحنية متوازية ص = س² + ث تمثل التكامل غير المحدد وتكامل الدوال الأسية بميل 2 عند س = 1.

∫f(x) dx=F(x)+C←يسمى ثابت التكامل (الثابت الاختياري)، ويمكن تحديده إذا عُلمت نقطة على المنحنى.

خواص التكامل غير المحدد

تكامل المجموع أو الفرق∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x) dx±∫g(x) dx

إخراج الثابت∫k f(x) dx=k∫f(x) dx حيث k عدد حقيقي ثابت.

قاعدة القوة∫xn dx=xn+1n+1+C حيث n≠−1.

✍️ أمثلة محلولة

أوجد $\int (3 x^{2} + 4 x + 5) d x$ .
الحل:

∫3x2 dx=x3 و ∫4x dx=2x2 و ∫5 dx=5x

الناتج =x3+2x2+5x+C

التكاملات الأساسية (القياسية)

لا توجد طريقة عامة لتكامل أي دالة
فالتكامل عكس الاشتقاق ويعتمد على معرفة مشتقات الدوال الأساسية
وفي الجدول التالي نلخصها:

الدالة	مشتقتها	التكامل المناظر
قوة	$\frac{d}{d x} x^{n} = n x^{n - 1}$	$\int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C, n \neq - 1$
جيب	$\frac{d}{d x} \sin x = \cos x$	$\int \cos x d x = \sin x + C$
جيب تمام	$\frac{d}{d x} \cos x = - \sin x$	$\int \sin x d x = - \cos x + C$
ظل	$\frac{d}{d x} \tan x = \sec^{2} x$	$\int \sec^{2} x d x = \tan x + C$
ظل تمام	$\frac{d}{d x} \cot x = - \csc^{2} x$	$\int \csc^{2} x d x = - \cot x + C$
قاطع	$\frac{d}{d x} \sec x = \sec x \tan x$	$\int \sec x \tan x d x = \sec x + C$
قاطع تمام	$\frac{d}{d x} \csc x = - \csc x \cot x$	$\int \csc x \cot x d x = - \csc x + C$
أسية	$\frac{d}{d x} e^{x} = e^{x}$	$\int e^{x} d x = e^{x} + C$
لوغاريتم	$\frac{d}{d x} \ln x = \frac{1}{x}$	$\int \frac{1}{x} d x = \ln ∣ x ∣ + C, x \neq 0$

الدرس الرابع: التكامل غير المحدد وتكامل الدوال المثلثية والأسية واللوغاريتمية · 2 / 13

تكامل الدوال الأسية

قاعدتا التكامل

مشتقة $e^{x}$ هي $e^{x}$ نفسها، فإن $e^{x}$ مشتقة عكسية لنفسها.
إذا كان $k$ عددًا حقيقيًّا غير الصفر فإن:
$\int e^{x} d x = e^{x} + C, \int e^{k x} d x = \frac{1}{k} e^{k x} + C$

إذا كانت $f (x)$ دالة قابلة للاشتقاق فإن:

∫f′(x) ef(x) dx=ef(x)+C

✍️ أمثلة محلولة

أوجد: (أ) $\int e^{7 x} d x$ (ب) $\int e^{- \frac{3}{4} y} d y$ (ج) $\int 8 e^{4 z} d z$ .
الحل:

(أ) ∫e7x dx=17e7x+C

(ب) ∫e−34y dy=1−34e−34y+C=−43e−34y+C

(ج) ∫8e4z dz=84e4z+C=2e4z+C

أوجد: (أ) $\int \frac{e^{x} + e^{- x}}{2} d x$ (ب) $\int \frac{3 e^{x} - 2 e^{2 x}}{e^{x}} d x$ .
الحل:

(أ) 12∫(ex+e−x) dx=12(ex−e−x)+C

(ب) نقسم على ex ∫(3−2ex) dx=3x−2ex+C
مثال 4 أوجد: (أ) $\int \sin x e^{\cos x} d x$ (ب) $\int 4 x e^{x^{2} + 1} d x$ .
الحل:
(أ) نضع $f (x) = \cos x$ فتكون $f^{'} (x) = - \sin x$ ، ونكتب التكامل $- \int (- \sin x) e^{\cos x} d x = - e^{\cos x} + C$
(ب) نضع $f (x) = x^{2} + 1$ فتكون $f^{'} (x) = 2 x$ ، ونكتب $2 \int 2 x e^{x^{2} + 1} d x = 2 e^{x^{2} + 1} + C$
مثال 5 أوجد $\int (\cos x e^{\sin x} + 3 x^{2}) d x$ .
الحل:

∫cos⁡x esin⁡x dx=esin⁡x و ∫3x2 dx=x3

الناتج =esin⁡x+x3+C

الدرس الرابع: التكامل غير المحدد وتكامل الدوال المثلثية والأسية واللوغاريتمية · 3 / 13

تكامل الدوال اللوغاريتمية (الدالة 1 x )

القاعدة

نعلم أن $\frac{d}{d x} \ln x = \frac{1}{x}$ عندما $x > 0$ ، و $\frac{d}{d x} \ln (- x) = \frac{1}{x}$ عندما $x < 0$ .
وبوجه عام $\frac{d}{d x} \ln ∣ x ∣ = \frac{1}{x}$ حيث $x \neq 0$ .
$\int \frac{1}{x} d x = \ln ∣ x ∣ + C, x \neq 0$

وإذا كانت $f$ دالة قابلة للاشتقاق و $f (x) \neq 0$ فإن:
$\int \frac{f^{'} (x)}{f (x)} d x = \ln ∣ f (x) ∣ + C$

مضاعفات الدالة

✍️ أمثلة محلولة

أوجد: (أ) $\int \frac{2}{x} d x$ (ب) $\int \frac{7}{x \ln 3} d x$ .
الحل:

(أ) 2∫1x dx=2ln⁡∣x∣+C حيث x≠0

(ب) 7ln⁡3∫1x dx=7ln⁡3ln⁡∣x∣+C

مثال 7 أوجد: (أ) $\int (3 x^{2} + \frac{5}{x}) d x$ (ب) $\int (2 e^{x} - \frac{1}{x}) d x$ (ج) $\int \frac{(3 x - 1)^{2}}{x^{3}} d x$ .
الحل:

(أ) x3+5ln⁡∣x∣+C

(ب) 2ex−ln⁡∣x∣+C

(ج) 9x2−6x+1x3=9x−6x2+1x3

∫(9x−6x−2+x−3)dx=9ln⁡∣x∣+6x−12x2+C حيث x≠0

مثال 8 أوجد: (أ) $\int \frac{4}{1 + 2 x} d x$ (ب) $\int \frac{2 x + 3}{x^{2} + 3 x - 2} d x$ (ج) $\int \tan x d x$ .
الحل:
(أ) المقام $1 + 2 x$ ومشتقته $2$ ، فنكتب $2 \int \frac{2}{1 + 2 x} d x = 2 \ln ∣ 1 + 2 x ∣ + C$
(ب) مشتقة المقام $(x^{2} + 3 x - 2)^{'} = 2 x + 3$ ، فالتكامل $= \ln ∣ x^{2} + 3 x - 2 ∣ + C$
(ج) $\int \frac{\sin x}{\cos x} d x = - \int \frac{- \sin x}{\cos x} d x = - \ln ∣ \cos x ∣ + C = \ln ∣ \sec x ∣ + C$

تكامل مقلوب المتغير←تكامل الدوال اللوغاريتمية (الدالة 1 x )

الدرس الرابع: التكامل غير المحدد وتكامل الدوال المثلثية والأسية واللوغاريتمية · 4 / 13

تطبيقات التكامل غير المحدد

تطبيقات هندسية

إذا علمنا ميل المماس $\frac{d y}{d x}$ لمنحنى $y = f (x)$ عند أي نقطة عليه فإن $f (x) = \int \frac{d y}{d x} d x$ .
ينتج التكامل منحنيات كثيرة تختلف في الثابت $C$ ، ويحدد المنحنى المطلوب بنقطة معلومة عليه.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 9 ميل المماس لمنحنى عند أي نقطة $(x, y)$ عليه يساوي $\frac{3 x + 2}{x}$ ، أوجد معادلة المنحنى إذا علم أنه يمر بالنقطة $(e, 3 e + 5)$ .
الحل:

dydx=3+2x ومنها y=3x+2ln⁡∣x∣+C

بالتعويض بالنقطة (e,3e+5)←3e+5=3e+2ln⁡e+C=3e+2+C

C=3

معادلة المنحنى←y=3x+2ln⁡∣x∣+3

إذا علم معدل تغير كمية بالنسبة للزمن فإن الكمية نفسها هي تكامل المعدل، ويحدد ثابت التكامل من القيمة عند بداية التغير.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 10 يتغير مساحة سطح صفيحة بمعدل $\frac{d A}{d t} = e^{- 0.1 t}$ (بالسنتيمتر المربع لكل ثانية)، وكانت مساحة الصفيحة عند بداية التغير $80$ سم².
أوجد مساحتها بعد $10$ ثوانٍ.
الحل:

A=∫e−0.1t dt=−10 e−0.1t+C

عند t=0←80=−10+C ومنها C=90

A(t)=90−10 e−0.1t

بعد 10 ثوانٍ←A=90−10 e−1≈86.3 سم²

الدرس الرابع: التكامل غير المحدد وتكامل الدوال المثلثية والأسية واللوغاريتمية · 5 / 13

طرق التكامل: التفاضلات

تفاضلي دالة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
إذا كانت y=f(x) دالة قابلة للاشتقاق فمن تعريف المشتقة	ΔyΔx≈f′(x) عندما Δx→0 أي أن Δy≈f′(x) Δx	ΔyΔxعندما
تفاضلي y	ويرمز له $d y$ يساوي $f^{'} (x) Δ x$ ، و تفاضلي $x$ ويرمز له $d x$ يساوي $Δ x$ ، فيكون:	ويرمزيساويفيكون
•	$d y = f^{'} (x) d x$

إذا كانت y=x3 فإن dy=3x2 dx.
إذا كان كل من $u$ و $v$ دالة في $x$ فإن $d (u v) = u d v + v d u$ .

✍️ أمثلة محلولة

أوجد تفاضلي كلٍّ من: (أ) $y = \frac{x}{x - 1}$ (ب) $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ .
الحل:

(أ) y=1+1x−1 ومنها dy=−1(x−1)2 dx

(ب) dV=43π×3r2 dr=4πr2 dr

الدرس الرابع: التكامل غير المحدد وتكامل الدوال المثلثية والأسية واللوغاريتمية · 6 / 13

التكامل بالتعويض

الفكرة

من أهم طرق التكامل إيجاد تكامل حاصل ضرب دالتين على الصورة $\int f (g (x)) g^{'} (x) d x$ .
نضع $u = g (x)$ فيكون $d u = g^{'} (x) d x$ ويصبح التكامل:
$\int f (g (x)) g^{'} (x) d x = \int f (u) d u$

نختار التعويض $u$ المناسب (عادة المقدار الداخلي في قوس مرفوع لقوة، أو داخل جذر، أو الأس، أو المقام).
نحسب $d u$ .
نعوض ونبسط الصورة.
نحسب التكامل بالمتغير $u$ .
نكتب الناتج بدلالة المتغير الأصلي $x$ .
إن لم يصبح التكامل أسهل نعيد المحاولة بتعويض آخر.

✍️ أمثلة محلولة

أوجد: (أ) $\int x^{3} (2 x^{4} - 7)^{5} d x$ (ب) $\int \frac{x + 4}{(x^{2} + 8 x)^{3}} d x$ .
الحل:

(أ) نضع u=2x4−7 فيكون du=8x3 dx

18∫u5 du=18×u66+C=148(2x4−7)6+C

(ب) نضع u=x2+8x فيكون du=(2x+8) dx=2(x+4) dx

12∫u−3 du=12×u−2−2+C=−14(x2+8x)2+C

أوجد: (أ) $\int x (x + 4)^{7} d x$ (ب) $\int (x^{2} + 5) \sqrt{x - 1} d x$ .
الحل:

(أ) نضع u=x+4 فيكون x=u−4 و dx=du

∫(u−4)u7 du=∫(u8−4u7) du=u99−u82+C

=118(x+4)8(2(x+4)−9)+C=118(x+4)8(2x−1)+C

(ب) نضع u2=x−1 فيكون x=u2+1 و dx=2u du

∫[(u2+1)2+5]u×2u du=2∫(u6+2u4+6u2) du

=2[u77+2u55+2u3]+C=235u3(5u4+14u2+70)+C

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
بالتعويض عن u2=x−1	=235(x−1)3/2(5x2+4x+61)+C
مثال 14	أوجد: (أ) $\int \frac{\sqrt{1 + \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x$ (ب) $\int 6 x e^{x^{2}} d x$ .	أوجد
•	الحل	الحل

(أ) نضع u=1+x فيكون x=u−1 و dx=2(u−1) du

∫uu−1×2(u−1) du=2∫u1/2 du=43u3/2+C=43(1+x)3/2+C

(ب) نضع u=x2 فيكون du=2x dx

3∫eu du=3eu+C=3ex2+C

أوجد: (أ) $\int \frac{5 x}{3 x^{2} - 1} d x$ (ب) $\int \frac{\sqrt{\ln x}}{x} d x$ .
الحل:

(أ) نضع u=3x2−1 فيكون du=6x dx

56∫duu=56ln⁡∣3x2−1∣+C

(ب) نضع u=ln⁡x فيكون du=1x dx

∫u1/2 du=23u3/2+C=23(ln⁡x)3/2+C

قاعدتان مفيدتان

$\int [f (x)]^{n} f^{'} (x) d x = \frac{[f (x)]^{n + 1}}{n + 1} + C$ حيث $n \neq - 1$ .
$\int \frac{f^{'} (x)}{f (x)} d x = \ln ∣ f (x) ∣ + C$ حيث $f (x) \neq 0$ .

الدرس الرابع: التكامل غير المحدد وتكامل الدوال المثلثية والأسية واللوغاريتمية · 7 / 13

التكامل بالتجزئ

القاعدة

إذا كانت $u$ و $v$ دالتين قابلتين للاشتقاق في $x$ فإن $\frac{d}{d x} (u v) = u \frac{d v}{d x} + v \frac{d u}{d x}$ .
بتكامل الطرفين نحصل على قاعدة التكامل بالتجزئ:
$\int u d v = u v - \int v d u$

تُستخدم لإيجاد تكامل حاصل ضرب دالتين لا تكون إحداهما مشتقة للأخرى، باختيار مناسب لكل من $u$ و $d v$ بحيث يكون التكامل في الطرف الأيمن أسهل من التكامل الأصلي.

نختار $u$ بحيث يكون $d u$ أبسط من $u$ (كثيرات الحدود واللوغاريتم).
نختار $d v$ بحيث يسهل تكامله للحصول على $v$ .
إضافة ثابت إلى الدالة $v$ لا يغير من النتيجة.

✍️ أمثلة محلولة

أوجد: (أ) $\int x e^{x} d x$ (ب) $\int x^{2} e^{x} d x$ .
الحل:

(أ) نفرض u=x و dv=ex dx فيكون du=dx و v=ex

∫xex dx=xex−∫ex dx=xex−ex+C=ex(x−1)+C

(ب) نفرض u=x2 و dv=ex dx فيكون du=2x dx و v=ex

∫x2ex dx=x2ex−2∫xex dx

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
وبالتعويض من (أ)	=x2ex−2ex(x−1)+C=ex(x2−2x+2)+C	x2ex
مثال 17	أوجد: (أ) $\int \ln x d x$ (ب) $\int x \ln x d x$ .	أوجد
•	الحل	الحل

(أ) نفرض u=ln⁡x و dv=dx فيكون du=1x dx و v=x

∫ln⁡x dx=xln⁡x−∫x×1x dx=xln⁡x−x+C=x(ln⁡x−1)+C

(ب) نفرض u=ln⁡x و dv=x dx فيكون du=1x dx و v=x22

$\int x \ln x d x = \frac{x^{2}}{2} \ln x - \frac{1}{2} \int x d x = \frac{x^{2}}{2} \ln x - \frac{x^{2}}{4} + C = \frac{x^{2}}{2} (\ln x - \frac{1}{2}) + C$
أوجد: (أ) $\int \frac{x e^{x}}{(x + 1)^{2}} d x$ .
الحل:
نفرض u=xex و dv=(x+1)−2 dx

du=(xex+ex) dx=ex(x+1) dx و v=−1x+1

∫xex(x+1)2 dx=−xexx+1+∫ex dx

الناتج =−xexx+1+ex+C=exx+1+C

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
مثال 19	أوجد معادلة المنحنى الذي ميل مماسه عند أي نقطة $(x, y)$ عليه $\frac{x e^{x}}{(x + 1)^{2}}$ إذا مرّ بالنقطة $(1, 2 e)$ .	أوجدمعادلةالمنحنىمماسه
•	الحل	الحل
من المثال السابق	y=exx+1+C
بالتعويض بالنقطة (1,2e)	2e=e2+C ومنها C=3e2	ومنها
معادلة المنحنى	y=exx+1+3e2

ملخص اختيار الطريقة

إذا وُجد في التكامل مقدار ومشتقته (أو ما يتناسب مع مشتقته) فنستخدم التعويض.
إذا كان التكامل حاصل ضرب دالتين مختلفتي النوع (كثيرة حدود مع أسية أو لوغاريتمية) فنستخدم التجزئ.
يمكن استخدام التعويض أولًا ثم التجزئ في المسألة الواحدة، ويُتحقق من النتيجة دائمًا بالاشتقاق.
.egp-ex{margin:18px 0;border:1px solid rgba(79,63,224,.2);border-radius:16px;overflow:hidden;background:#fff}.egp-ex-h{padding:10px 16px;font-weight:800;background:linear-gradient(90deg,#4f3fe0,#22c1c3);color:#fff}.egp-ex-tabs{display:flex;flex-wrap:wrap;gap:6px;padding:10px 12px;background:#f7f6ff}.egp-ex-b{border:1px solid rgba(79,63,224,.3);background:#fff;border-radius:20px;padding:5px 14px;font-weight:700;cursor:pointer}.egp-ex-b.on{background:#4f3fe0;color:#fff}.egp-ex-p{padding:12px 16px}function egpEx(b,k){var w=b.closest(‘.egp-ex’);w.querySelectorAll(‘.egp-ex-b’).forEach(function(x,i){x.classList.toggle(‘on’,i===k)});w.querySelectorAll(‘.egp-ex-p’).forEach(function(x,i){x.hidden=i!==k})}

الدرس الرابع: التكامل غير المحدد وتكامل الدوال المثلثية والأسية واللوغاريتمية · 8 / 13

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
قواعد اشتقاق الدوال المركبة والضمنية وسلسلة المشتقات	[ الصيغة: dy/dx = (dy/du) · (du/dx) \| d²y/dx² = [d/dt (dy/dx)] / (dx/dt) ] قاعدة السلسلة تحكم اشتقاق الدوال المتراكبة وفي المشتقة الثانية البارامترية يشتق ناتج dy/dx بالنسبة للبارامتر t ثم يقسم على dx/dt	الصيغةقاعدةالسلسلةتحكم
اختبار المشتقة الثانية للقيم العظمى والصغرى المحلية	[ الصيغة: إذا كانت f'(c) = 0: f''(c) < 0 -> قيمة عظمى محلية \| f''(c) > 0 -> قيمة صغرى محلية \| f''(c) = 0 -> يفشل الاختبار ] توفر المشتقة الثانية وسيلة سريعة وحاسمة للتحقق من طبيعة النقط الحرجة وتحديد تقعر المنحنى وتحدبه	الصيغةكانتقيمةيفشل

🔍 الشرح والتحليل المستفيض وتفسيرات علل والاستنتاجات:

تُمثل دراسة تفاضل الدوال المتسامية (Transcendental Functions) حجر الأساس لحساب التفاضل المتقدم: 1) مشتقات الدوال المثلثية: بالإضافة لمشتقتي الجيب وجيب التمام، فإن الدوال الدائرية الأربع المتبقية تتفاضل وفق قواعد دقيقة: مشتقة د(س) = قا(س) هي قا(س) ظا(س)؛ ومشتقة د(س) = قتا(س) هي -قتا(س) ظتا(س)؛ ومشتقة د(س) = ظتا(س) هي -قتا²(س).
وتعتمد هذه القواعد على تحويل الدوال إلى كسور بسط ومقام واشتقاقها بقاعدة قسمة دالتين: [المقام × مشتقة البسط – البسط × مشتقة المقام] / (المقام)².
ويجب دائماً تذكر ضرب ناتج الاشتقاق في مشتقة الزاوية الداخلية د'(س).

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
2) تفاضل الدوال الأسية واللوغاريتمية	تتميز الدالة الأسية الطبيعية ص = هـ^س (حيث هـ هو العدد النيبيري e ≈ 2.71828) بخاصية رياضية فريدة تجعل مشتقتها مطابقة للدالة ذاتها: d/dx(e^x) = e^x	تتميزالدالةالطبيعيةالعدد
وإذا كان الأس دالة قابلة للاشتقاق ع(س)، فإن مشتقتها هي	هـ^ع(س) × ع'(س)
•	أما إذا كان الأساس عدداً موجباً أ (حيث أ ≠ 1) فإن مشتقة أ^س هي: أ^س × لطـهـ(أ)	الأساسعدداموجبامشتقة
•	وفي المقابل فإن مشتقة الدالة اللوغاريتمية الطبيعية ص = لطـهـ(س) هي: 1/س ومشتقة لطـهـ(د(س)) هي: د'(س) / د(س) (مشتقة الدالة مقسومة على الدالة ذاتها)	المقابلمشتقةالدالةاللوغاريتمية
وإذا كان الأساس أ فإن	d/dx(log_a x) = 1 / (x ln a)
3) التفاضل اللوغاريتمي (Logarithmic Differentiation)	تقنية جبرية بارعة تستخدم لاشتقاق الدوال المعقدة المكونة من حاصل ضرب وقسمة عدة دوال أو الدوال التي يكون فيها الأساس والأس متغيرين معاً كالدالة ص = س^س حيث نأخذ اللوغاريتم الطبيعي لطـهـ للطرفين أولاً لتبسيط الأسس ثم نشتق الطرفين ضمنياً بالنسبة لـ س	تقنيةجبريةبارعةتستخدم

شكل توضيحي (شكل 1 – قواعد اشتقاق الدوال الدائرية والأسية واللوغاريتمية): جدول القوانين الشاملة لمشتقات الدوال المثلثية والأسية واللوغاريتمية وقاعدة السلسلة
◄ ثانياً الاشتقاق الضمني والبارامتري والمشتقات العليا ذات الرتب المرتفعة

1) الاشتقاق الضمني في العلاقات الرياضية التي يصعب فيها فصل المتغير ص كدالة صريحة في س (مثل معادلة الدائرة س² + ص² = نق²، أو المعادلة س³ + ص³ = 3 أ س ص)، نشتق كل حد بالنسبة لـ س؛ وعند اشتقاق أي حد يتضمن ص نطبق قاعدة السلسلة ونضرب في (دص/دس).
ثم نجمع الحدود التي تحتوي على دص/دس في طرف بمفردها، ونخرجها كعامل مشترك، ونقسم على معاملها لإيجاد المشتقة الأولى بدلالة س و ص.

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
2) الاشتقاق البارامتري	في المنحنيات الهندسية المعرفة بمعادلات وسيطية: س = د(ن) ص = ر(ن) نوجد أولاً معدل تغير س بالنسبة لـ ن (دس/دن) ومعدل تغير ص بالنسبة لـ ن (دص/دن) ومنها نوجد المشتقة الأولى: دص/دس = (دص/دن) ÷ (دس/دن)	المنحنياتالهندسيةالمعرفةبمعادلات
•	وعند إيجاد 'المشتقة الثانية' د²ص/دس² يقع معظم الطلاب في فخ شائع باشتقاق البسط والمقام مباشرة والصواب الرياضي القطعي هو: د²ص/دس² = d/dn (دص/دس) × (دن/دس) أي نشتق ناتج المشتقة الأولى بالنسبة للبارامتر ن ثم نضرب الناتج في مقلوب دس/دن	وعندإيجادالمشتقةالثانية
3) المشتقات العليا (Higher-Order Derivatives)	إيجاد المشتقات من الرتب ن (المشتقة الثالثة الرابعة والمشتقة النونية) وتستخدم في متسلسلات تايلور وماكلورين لتقريب الدوال وتحديد نصف قطر انحناء المسارات المنحنية في الميكانيكا وحساب قوى القصور الذاتي	إيجادالرتبالمشتقةالثالثة

شكل توضيحي (شكل 2 – المنحنيات الهندسية والنقط الحرجة ونقط الانقلاب والتحدب): رسم بياني يوضح سلوك منحنى الدالة والمماسات الأفقية والتحدب لأعلى ولأسفل ونقط الانقلاب
◄ ثالثاً المعدلات الزمنية المرتبطة والتطبيقات الهندسية والفيزيائية

تُمثل مسألة المعدلات الزمنية التطبيق الأكثر إثارة وواقعية في حساب التفاضل: 1) استراتيجية الحل الرياضي الصارم: أ- رسم شكل توضيحي دقيق للمسألة وتحديد المتغيرات التي تتغير بمرور الزمن والثوابت الهندسية.
ب- تكوين 'العلاقة الرياضية الأساسية' التي تربط المتغيرات ببعضها (كنظرية فيثاغورس، قانون جيب التمام، تشابه المثلثات، قوانين المساحات والحجوم).
ج- اشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة للزمن t اشتقاقاً ضمنياً شاملاً، مع الانتباه إلى أن معدل الزيادة يكون موجباً ومعدل النقصان أو الانكماش أو الاقتراب يكون سالباً.
د- التعويض بالقيم اللحظية المعطاة عند اللحظة الزمنية المحددة فقط 'بعد إتمام الاشتقاق' وليس قبله لحساب المعدل المجهول.

2) نماذج كلاسيكية شهيرة أ- مسألة السلم المنزلق: سلم يستند بطرفه السفلي على أرض أفقية وطرفه العلوي على حائط رأسي (س² + ص² = ل² ثابتة طول السلم)؛ عند انزلاق الطرف السفلي بمعدل دس/دن، فإن الطرف العلوي يهبط بمعدل سالب دص/دن يتعين من: 2س (دس/دن) + 2ص (دص/دن) = 0.
ب- مسألة تسرب السوائل من الأوعية المخروطية أو تمدد البالونات الكروية (ح = 4/3 π نق³ -> دح/دن = 4π نق² دنق/دن).
ج- حركة الظل وزوايا الارتفاع والانخفاض ومعدل ابتعاد السفن والسيارات عند تقاطع الطرق المتعامدة.
شكل توضيحي (شكل 3 – تطبيقات المعدلات الزمنية ومسائل الاستمثال الهندسي): مخططات هندسية لمسائل السلم المنزلق والأوعية المخروطية والمساحات العظمى
◄ رابعاً دراسة سلوك المنحنيات والقيم العظمى والصغرى وتطبيقات الاستمثال

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
1) النقط الحرجة وفترات التزايد والتناقص	دالة معرفة على مجالها تكون النقطة (س₀ د(س₀)) نقطة حرجة إذا كانت المشتقة الأولى د'(س₀) = 0 (مماس أفقي) أو د'(س₀) غير معرفة (مماس رأسي)	دالةمعرفةمجالهاتكون
وتبحث فترات التزايد بدراسة إشارة المشتقة الأولى د'(س)	فإذا كانت د'(س) > 0 تكون الدالة متزايدة وإذا كانت د'(س) < 0 تكون الدالة متناقصة	فإذاكانتتكونالدالة

2) القيم العظمى والصغرى المحلية والمطلقة تختبر النقط الحرجة باختبار المشتقة الأولى أو اختبار المشتقة الثانية د''(س).
ولإيجاد 'القيم القصوى المطلقة' على فترة مغلقة [أ، ب]، نحسب قيم الدالة عند طرفي الفترة د(أ) ود(ب) وعند جميع النقط الحرجة الداخلية، وأعلى قيمة هي العظمى المطلقة وأدناها هي الصغرى المطلقة.

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
3) التحدب ونقط الانقلاب	تبحث إشارة المشتقة الثانية د''(س): إذا كانت د''(س) > 0 يكون المنحنى 'محدباً لأسفل' (مقعراً لأعلى كالكوب) وإذا كانت د''(س) < 0 يكون المنحنى 'محدباً لأعلى'	تبحثإشارةالمشتقةالثانية
•	ونقطة الانقلاب هي النقطة التي يفصل عندها المنحنى بين منطقتي تحدب متعاكستين وتكون عندها د''(س) = 0 أو غير معرفة مع شرط تغير الإشارة حولها	ونقطةالانقلابالنقطةيفصل
4) تطبيقات القيم العظمى والصغرى (الاستمثال Optimization)	توظيف التفاضل في الهندسة والاقتصاد لحساب: أقصى مساحة لقطعة أرض محاطة بسياج أقل تكلفة لتصنيع خزان أسطواني أقصى حجم لعلبة مقصوصة الأركان وأقصر مسافة بين نقطة ومنحنى وتتم بصياغة دالة الهدف في متغير واحد واشتقاقها ومساواة المشتقة بالصفر والتأكد من المشتقة الثانية	توظيفالتفاضلالهندسةوالاقتصاد

🧮 التطبيقات والمسائل النموذجية المحلولة بالخطوات (Step-by-Step Worked Examples):
مثال نموذجي 1 مسألة معدلات زمنية مرتبطة (انزلاق سلم مستند على حائط)

نص المسألة / السؤال سلم طوله 10 أمتار يستند بطرفه العلوي على حائط رأسي وبطرفه السفلي على أرض أفقية.
فإذا انزلق الطرف السفلي مبتعداً عن الحائط بمعدل ثابت قدره 2 م/ث؛ أوجد: 1) معدل انزلاق الطرف العلوي للسلم عندما يكون الطرف السفلي على بعد 6 أمتار من الحائط.
2) سرعة تغير الزاوية بين السلم والأرض عند نفس اللحظة.

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
خطوات الحل والشرح النموذجي	1) فرض المتغيرات: ليكن س بعد الطرف السفلي عن الحائط ص بعد الطرف العلوي عن الأرض	المتغيراتليكنالطرفالسفلي
العلاقة من فيثاغورس	س² + ص² = 10² = 100
عندما س = 6 م	ص = √(100 – 36) = √64 = 8 م
معطى	دس/دن = +2 م/ث
باشتقاق العلاقة بالنسبة للزمن ن	2س (دس/دن) + 2ص (دص/دن) = 0 -> س (دس/دن) + ص (دص/دن) = 0 بالتعويض: 6 × 2 + 8 × (دص/دن) = 0 -> 12 + 8 (دص/دن) = 0 دص/دن = -12 / 8 = -1.5 م/ث	بالتعويض
•	(الإشارة السالبة تعني أن الطرف العلوي يهبط وينزلق لأسفل بمعدل 1.5 م/ث)	الإشارةالسالبةتعنيالطرف
2) حساب معدل تغير الزاوية θ بين السلم والأرض	cos θ = س / 10 -> س = 10 cos θ باشتقاق الطرفين بالنسبة للزمن ن: دس/دن = -10 sin θ · (dθ/dn) نعلم أن sin θ = ص / 10 = 8 / 10 = 0.8 و دس/دن = 2: 2 = -10 × (0.8) × (dθ/dn) -> 2 = -8 (dθ/dn) dθ/dn = -2 / 8 = -0.25 rad/s (راديان لكل ثانية)	باشتقاقالطرفينبالنسبةللزمن

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	مثال	كلمات مفتاحية
مثال نموذجي 2	مسألة است	هندسي (أكبر مساحة لمستطيل داخل مثلث قائم)	مسألةاستمثالهندسيأكبر
نص المسألة / السؤال	أوجد بعدي أكبر مستطيل مساحة يمكن رسمه داخل مثلث قائم الزاوية طولا ضلعي قائمته 6 سم و 8 سم بحيث يقع رأسان من رؤوس المستطيل على ضلعي القائمة ويقع الرأس الثالث على الوتر والرأس الرابع عند رأس القائمة	—	أوجدبعديأكبرمستطيل

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
خطوات الحل والشرح النموذجي	1) فرض أبعاد المستطيل: ليكن طول المستطيل س مقاساً على ضلع القائمة ذي الطول 8 سم وعرضه ص مقاساً على ضلع القائمة ذي الطول 6 سم	أبعادالمستطيلليكنمقاسا
2) دالة الهدف المراد جعلها عظمى ما يمكن هي مساحة المستطيل	م = س · ص
3) إيجاد العلاقة المساعدة بين س و ص من تشابه المثلثات	من تشابه المثلث الصغير العلوي مع المثلث القائم الأصلي الكبير: (6 – ص) / 6 = س / 8 -> 8 (6 – ص) = 6 س -> 48 – 8 ص = 6 س ص = (48 – 6 س) / 8 = 6 – (3/4) س	الصغيرالعلويالقائمالأصلي
4) التعويض في دالة المساحة	م(س) = س [6 – (3/4) س] = 6 س – (3/4) س²
5) إيجاد المشتقة الأولى ومساواتها بالصفر	م'(س) = 6 – (3/2) س = 0 -> (3/2) س = 6 -> س = (6 × 2) / 3 = 4 سم
6) اختبار المشتقة الثانية للتأكد	م''(س) = -3/2 < 0 (قيمة عظمى مطلقة مؤكدة)	قيمةعظمىمطلقةمؤكدة
7) حساب البعد الآخر ص	ص = 6 – (3/4) × 4 = 6 – 3 = 3 سم
إذن بعدا أكبر مستطيل هما	4 سم و 3 سم وأكبر مساحة هي م = 4 × 3 = 12 سم²	وأكبرمساحة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
•	💡 أسرار وتكات التفوق وملاحظات خبير المادة (Expert Notes & Exam Secrets)	أسراروتكاتالتفوقوملاحظات
★ فخ المشتقة الثانية البارامترية	احذر دائماً عند حساب د²ص/دس² من اشتقاق البسط والمقام مباشرة الصواب الحتمي هو: د²ص/دس² = [d/dt (دص/دس)] ÷ (دس/dt)	احذردائماحساباشتقاق
★ الفرق بين النقط الحرجة ونقط الانقلاب	النقط الحرجة تبحث عند انعدام المشتقة الأولى د'(س) = 0 أو عدم تعريفها بينما نقط الانقلاب تبحث عند انعدام المشتقة الثانية د''(س) = 0 بشرط تغير إشارة التحدب قبلها وبعدها	تبحثانعدامالمشتقةالأولى
★ مشتقة الدوال المثلثية ذات الأسس	إذا كانت ص = ظا³(٥س) تشتق بقاعدة القوس أولاً: دص/دس = 3 ظا²(٥س) × مشتقة الظا وهي قا²(٥س) × مشتقة الزاوية ٥ = 15 ظا²(٥س) قا²(٥س)	كانتتشتقبقاعدةالقوس
•	🌍 التطبيقات الحياتية والصناعية والتكنولوجية (Real-World Applications)	التطبيقاتالحياتيةوالصناعيةوالتكنولوجية

✔ التصميم الإنشائي للجسور والكباري المعلقة استخدام معادلات التفاضل والمنحنيات لتحديد نقط أقصى إجهاد وأقصى انحناء وانقلاب تحت الأحمال الديناميكية لضمان السلامة الإنشائية ومقاومة الرياح.
✔ الذكاء الاصطناعي وخوارزمية الانحدار التدريجي (Gradient Descent): استخدام المشتقات الجزئية وتدرج الدوال لتقليل دوال الخطأ (Loss Functions) وتحديث أوزان الشبكات العصبية العميقة أثناء تدريب نماذج الذكاء الاصطناعي.

شكل 1: دائرة الوحدة والدوال المثلثية والزوايا الخاصة في المستوى الإحداثي تبيّن الصورة دائرة الوحدة حيث تكون إحداثيات أي نقطة على محيطها (cos θ، sin θ)، ومنها تُقرأ قيم الدوال المثلثية الأساسية ومقلوباتها للزوايا الخاصة. وتسهّل هذه القيم حساب التكاملات المثلثية المباشرة، لأنها تربط الزاوية بإحداثيات نقطة واضحة.

★ كتاب الشرح والتفصيل العلمي الشامل المعتمد ★

كتاب الشرح المفصل التفاضل والتطبيقات المتقدمة: قواعد اشتقاق الدوال الدائرية، الأسية، واللوغاريتمية، المشتقات العليا، والمعدلات الزمنية المرتبطة والقيم العظمى والصغرى
الرياضيات | الصف الثالث الثانوي (الثانوية العامة) | 2026/2027 | الوحدة الخامسة – التفاضل والتكامل المتقدم
🎯 أهداف التعلم والمخرجات التعليمية المقررة بالتفصيل:
• إتقان اشتقاق الدوال المثلثية الست والدوال الأسية واللوغاريتمية وقواعد السلسلة.
• استيعاب خطوات حل مسائل المعدلات الزمنية المرتبطة الهندسية والفيزيائية بدقة.
• فهم تطبيقات القيم العظمى والصغرى ونقط الانقلاب ومسائل الاستمثال والتصميم.
◄ أولاً اشتقاق الدوال المثلثية المقلوبة وقواعد الدوال الأسية واللوغاريتمية

الدرس الرابع: التكامل غير المحدد وتكامل الدوال المثلثية والأسية واللوغاريتمية · 12 / 13

المناهج الدراسية

الرياضيات

الفصل الأول - التفاضل والتكامل (Calculus)

الفصل الثاني - الجبر والهندسة الفراغية (Algebra & Solid Geometry)

الفصل الثالث - الاستاتيكا (Statics)

الفصل الرابع - الديناميكا (Dynamics)

الفصل الخامس - الجبر الأساسي وحساب المثلثات والإحصاء والاحتمال

دروس إضافية

الدرس الرابع: التكامل غير المحدد وتكامل الدوال المثلثية والأسية واللوغاريتمية

🌳 شجرة المفاهيم

├── 3-1 المشتقة العكسية والتكامل غير المحدد

│ ├── المشتقة العكسية

│ ├── خواص التكامل غير المحدد

│ └── التكاملات الأساسية (القياسية)

├── 3-1 تكامل الدوال الأسية

│ └── قاعدتا التكامل

├── 3-1 تكامل الدوال اللوغاريتمية (الدالة 1x)

│ ├── القاعدة

│ └── مضاعفات الدالة

├── 3-1 تطبيقات التكامل غير المحدد

│ ├── تطبيقات هندسية

│ └── تطبيقات فيزيائية

│ └── تفاضلي دالة

├── 3-2 التكامل بالتعويض

│ ├── الفكرة

│ ├── خطوات التكامل بالتعويض

│ └── قاعدتان مفيدتان

└── 3-2 التكامل بالتجزئ

├── القاعدة

├── اختيار u و dv

└── ملخص اختيار الطريقة

المشتقة العكسية

خواص التكامل غير المحدد

✍️ أمثلة محلولة

∫3x2 dx=x3 و ∫4x dx=2x2 و ∫5 dx=5x

الناتج =x3+2x2+5x+C

التكاملات الأساسية (القياسية)

قاعدتا التكامل

∫f′(x) ef(x) dx=ef(x)+C

✍️ أمثلة محلولة

(أ) ∫e7x dx=17e7x+C

(ب) ∫e−34y dy=1−34e−34y+C=−43e−34y+C

(ج) ∫8e4z dz=84e4z+C=2e4z+C

(أ) 12∫(ex+e−x) dx=12(ex−e−x)+C

∫cos⁡x esin⁡x dx=esin⁡x و ∫3x2 dx=x3

الناتج =esin⁡x+x3+C

القاعدة

مضاعفات الدالة

✍️ أمثلة محلولة

(أ) 2∫1x dx=2ln⁡∣x∣+C حيث x≠0

(ب) 7ln⁡3∫1x dx=7ln⁡3ln⁡∣x∣+C

(أ) x3+5ln⁡∣x∣+C

(ب) 2ex−ln⁡∣x∣+C

(ج) 9x2−6x+1x3=9x−6x2+1x3

∫(9x−6x−2+x−3)dx=9ln⁡∣x∣+6x−12x2+C حيث x≠0

تطبيقات هندسية

✍️ أمثلة محلولة

dydx=3+2x ومنها y=3x+2ln⁡∣x∣+C

C=3

✍️ أمثلة محلولة

A=∫e−0.1t dt=−10 e−0.1t+C

A(t)=90−10 e−0.1t

تفاضلي دالة

✍️ أمثلة محلولة

(أ) y=1+1x−1 ومنها dy=−1(x−1)2 dx

(ب) dV=43π×3r2 dr=4πr2 dr

الفكرة

✍️ أمثلة محلولة

(أ) نضع u=2x4−7 فيكون du=8x3 dx

18∫u5 du=18×u66+C=148(2x4−7)6+C

(ب) نضع u=x2+8x فيكون du=(2x+8) dx=2(x+4) dx

12∫u−3 du=12×u−2−2+C=−14(x2+8x)2+C

(أ) نضع u=x+4 فيكون x=u−4 و dx=du

∫(u−4)u7 du=∫(u8−4u7) du=u99−u82+C

=118(x+4)8(2(x+4)−9)+C=118(x+4)8(2x−1)+C

(ب) نضع u2=x−1 فيكون x=u2+1 و dx=2u du

∫[(u2+1)2+5]u×2u du=2∫(u6+2u4+6u2) du

=2[u77+2u55+2u3]+C=235u3(5u4+14u2+70)+C

(أ) نضع u=1+x فيكون x=u−1 و dx=2(u−1) du

∫uu−1×2(u−1) du=2∫u1/2 du=43u3/2+C=43(1+x)3/2+C