المناهج الدراسية
الرياضيات
الفصل الأول - التفاضل والتكامل (Calculus)
0/92
الفصل الثاني - الجبر والهندسة الفراغية (Algebra & Solid Geometry)
0/50الفصل الثالث - الاستاتيكا (Statics)
0/21الفصل الرابع - الديناميكا (Dynamics)
0/35الفصل الخامس - الجبر الأساسي وحساب المثلثات والإحصاء والاحتمال
0/40دروس إضافية
0/2049.1مقدمة9.2مقدمة الدرس9.3المفاهيم والمصطلحات الأساسية9.4المفاهيم والمصطلحات العلمية واللغوية الأساسية (Core Terminology):9.5الشرح والتفصيل العلمي الشامل9.6الشرح التفصيلي المستفيض لكافة محاور الدرس:9.7المقارنات وخريطة المفاهيم الجوهرية9.8الملخص الشامل وخريطة المفاهيم وجداول المقارنة ★9.9الخريطة الذهنية والمفاهيم الجوهرية (Mind Map Outline):9.10جداول المقارنة والتصنيف والتلخيص الشامل:9.11أمثلة ومسائل محلولة بالخطوات9.12كتاب الشرح المفصل: النسبة والتناسب والخواص الرياضية وتطبيقات التقسيم التناسبي والتغير الطردي والعكسي9.13حل التطبيقات الحياتية للتقسيم التناسبي وحسابات مقياس9.14تطبيقات مقياس الرسم9.15التطبيقات والمسائل النموذجية المحلولة بالخطوات (Step-by-Step Worked Examples):9.16التطبيقات الحياتية والصناعية والتكنولوجية (Real-World Applications):9.17تريكات الامتحان وكبسولة التفوق الوزاري9.18كبسولة المراجعة السريعة وأهم فنيات الامتحان:9.19دليل استفسارات وأسئلة الطلاب الشائعة: الدرس 1 - التناسب وتطبيقات النسبة
نص الدرس
الدرس 1 – التناسب وتطبيقات النسبة
الدرس 1 – التناسب وتطبيقات النسبة
الشرح التفصيلي المستفيض لكافة محاور الدرس:
الشرح التفصيلي المستفيض لكافة محاور الدرس:
- ◄ 1. البنية الجبرية للنسبة وخواص التناسب الخمس
- النسبة مقارنة بين كميتين من نفس النوع والوحدة، وتتميز بأن قيمتها لا تتغير إذا ضُرب حداها (المقدم والتالي) في عدد حقيقي غير صفري أو قُسما عليه.
- التناسب هو تساوي نسبتين أو أكثر a/b = c/d.
- الخواص الجبرية الخمس الأساسية للتناسب:
- الخاصية 1 حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين (a·d = b·c).
- الخاصية 2 مقدم على مقدم = تالٍ على تالٍ (إذا كان a/b = c/d فإن a/c = b/d).
- الخاصية 3 مقلوب النسبة الأولى = مقلوب النسبة الثانية (إذا كان a/b = c/d فإن b/a = d/c).
| وجه المقارنة | الفكرة الأساسية | كلمات مفتاحية |
|---|---|---|
| الخاصية 4 |
| فإنهالتعبيرعنهمابثابت |
| • | وتعد هذه الخاصية أقوى أداة في حل وإثبات صحة المعادلات والمتطابقات الجبرية | وتعدالخاصيةأقوىأداة |
| الخاصية 5 |
| مجموعالمقدماتالتوالييساوي |
| شكل توضيحي (شكل 1 – خواص التناسب وحاصل ضرب الطرفين والوسطين) | تمارين ونماذج محلولة لخواص التناسب الجبري والتعويض بثابت التناسب | تمارينونماذجمحلولةلخواص |
◄ 2. التناسب المتسلسل والأوساط المتناسبة
عندما ترتبط الكميات في تناسب مستمر يقال إنها في تناسب متسلسلa/b = b/c = c/d.
في حالة ثلاثة مقادير a, b, ca/b = b/c -> b2 = a·c -> b = ±√(a·c)، ويسمى b (الوسط المتناسب) بين a و c.
- في حالة أربعة مقادير a, b, c, d في تناسب متسلسل نساوي التناسب بالثابت m: c/d = m -> c = dm؛ b/c = m -> b = cm = (dm)m = dm2؛ a/b = m -> a = bm = (dm2)m = dm3.
- هذه الفرضية البسيطة (c = dm, b = dm2, a = dm3) تختزل أعقد المسائل الجبرية في سطور معدودة بالتعويض المباشر في الطرفين الأيمن والأيسر وإثبات تطابقهما.
- شكل توضيحي (شكل 2 – التمثيل البياني للتغير الطردي والتغير العكسي): رسم بياني للمستقيم المار بنقطة الأصل ومنحنى التغير العكسي المتماثل
- ◄ 3. النظرية الرياضية للتغير الطردي والتغير العكسي ومقياس الرسم
| وجه المقارنة | الفكرة الأساسية | كلمات مفتاحية |
|---|---|---|
| التغير الطردي | يقال إن y تتغير طردياً مع x (وتكتب y ∝ x) إذا كانت النسبة y/x مقداراً ثابتاً k ≠ 0 | يقالتتغيرطردياوتكتب |
| المعادلة الجبرية | y = kx | |
| قانون المقارنة | y₁ / y₂ = x₁ / x₂ | |
| • | والتمثيل البياني له خط مستقيم ميله k يمر بنقطة الأصل (0 | والتمثيلالبيانيمستقيمميله |
- التغير العكسي يقال إن y تتغير عكسياً مع x (وتكتب y ∝ 1/x) إذا كان حاصل ضربهما x·y مقداراً ثابتاً k ≠ 0.
- المعادلة الجبرية y = k / x.
- قانون المقارنة y₁ / y₂ = x₂ / x₁.
- بيانيا منحنى في الربعين الأول والثالث (إذا كان k > 0) يقترب من المحاور دون أن يمسها.
- يبين الشكل خاصية التناسب التي تنص على أن حاصل ضرب الطرفين يساوي حاصل ضرب الوسطين.
- وتطبقها الفقرة لحساب قيمة مجهولة في تناسبات مختلفة بعد كتابتها في صورة كسرين متساويين.
- يوضح الرسم التمثيل البياني للتغير الطردي عبر خط مستقيم يمر بالأصل، والتغير العكسي عبر منحنى الهذلول.
- وتشير الفقرة إلى أن ناتج قسمة y على x ثابت في الأول، بينما ناتج ضرب x في y ثابت في الثاني.
- يلخص الجدول خواص العمليات على المجموعات، ومنها الإبدال في الاتحاد والتقاطع والتجميع في العمليات المتتابعة.
- وتنبّه الفقرة إلى أن الفرق بين المجموعات ليس إبدالياً، فيجب الانتباه إلى ترتيب المجموعتين فيه.
- تظهر أشكال فن الاتحاد والتقاطع والفرق بين مجموعتين، فالاتحاد يشمل كل عناصر المجموعتين دون تكرار.
- والتقاطع يقتصر على العناصر المشتركة، وتعرض الفقرة مثالاً يوضح الفرق بين الحالتين.
- تمثل مخططات فن العمليات بمناطق مظللة تُقرأ بالنظر، فالمنطقة المشتركة بين الدائرتين تعبّر عن التقاطع.
- وتبيّن الفقرة أن قراءة هذه المناطق تساعد على التحقق من خواص العمليات قبل تطبيقها.
- يرسم الشكل الضرب الديكارتي لمجموعتين بالمخطط السهمي والمخطط البياني، حيث يمثل كل سهم أو نقطة زوجاً مرتباً.
- وترى الفقرة أن هذا التمثيل يوضح شروط الدالة، فلكل عنصر في الأولى صورة واحدة فقط في الثانية.
- يعرض الشكل قوانين ديمورجان، أي أن متمم الاتحاد يساوي تقاطع المتممين، وأن متمم التقاطع يساوي اتحادهما.
- وتطبق الفقرة هذه القوانين على الفترات الحقيقية لتسهيل حساب الفترات المتممة على خط الأعداد.
الدرس 1 – التناسب وتطبيقات النسبة · 6 / 19
أحسنت! أنهيت هذا الدرس
ماذا تريد أن تفعل الآن؟