المناهج الدراسية

الرياضيات

الفصل الأول - التفاضل والتكامل (Calculus)

0/86

الفصل الثاني - الجبر والهندسة الفراغية (Algebra & Solid Geometry)

0/50

الفصل الثالث - الاستاتيكا (Statics)

0/21

الفصل الرابع - الديناميكا (Dynamics)

0/35

الفصل الخامس - الجبر الأساسي وحساب المثلثات والإحصاء والاحتمال

0/40

دروس إضافية

0/193

نص الدرس

حركة الأجسام المتصلة

الرياضيات

حركة الأجسام المتصلة

مقدمة الدرس

الضغط ورد الفعل وحركة المصاعد والوزن الظاهري.
الميزان الزنبركي وميزان الضغط والميزان المعتاد.
جسمان معلقان بخيط على بكرة ملساء العجلة والشد والضغط على البكرة.
قطع الخيط وإضافة كتلة وانفصالها وسرعة ابتدائية.
نأخذ عجلة الجاذبية $g = 9.8 {m/s}^{2}$ ما لم يُذكر غير ذلك.

🌳 شجرة المفاهيم

حركة الأجسام المتصلة

├── 2-2 الضغط ورد الفعل

│ ├── القانون الثالث لنيوتن

│ ├── الضغط ورد الفعل

│ └── وحدات القوة

├── 2-2 حركة المصاعد←القوى المؤثرة على الشخص

│ ├── القوى

│ ├── معادلة الحركة

│ └── ملاحظات

├── 2-2 المصعد والشخص معًا←الشد في الحبل

│ ├── القوى على المصعد وحده

│ ├── القوى على المجموعة (المصعد والشخص معًا)

│ └── خطوات الحل

├── 2-2 الميزان الزنبركي وميزان الضغط والميزان المعتاد

│ ├── الميزان الزنبركي

│ ├── ميزان الضغط

│ ├── ميزان الكفتين المعتاد

│ └── تفسير قراءة الميزان

├── 2-2 جسمان معلقان بخيط يمر على بكرة ملساء

│ ├── وصف المنظومة

│ ├── معادلات الحركة

│ └── ملاحظات

├── 2-2 الضغط على محور البكرة

│ └── القانون

├── 2-2 قطع الخيط بين الجسمين

│ ├── ما يحدث عند القطع

│ ├── الجسم الأخف (كان صاعدًا)

│ ├── الجسم الأثقل (كان هابطًا)

│ └── خطوات الحل

├── 2-2 إضافة كتلة صغيرة إلى أحد الجسمين وانفصالها

│ ├── الحالة

│ ├── معادلات الحركة قبل الانفصال

│ └── بعد انفصال الكتلة الإضافية

└── 2-2 جسمان متصلان بخيطين وسرعة ابتدائية

├── ثلاثة أجسام وخيطان

└── سرعة ابتدائية وحالات الحركة

حركة الأجسام المتصلة · 1 / 16

2-2 الضغط ورد الفعل

القانون الثالث لنيوتن

القانون الثالث لكل فعل رد فعل مساوٍ له في المقدار ومضاد له في الاتجاه.
الفعل ورد الفعل يؤثران على جسمين مختلفين، لذلك لا يلغي أحدهما الآخر.

الضغط ورد الفعل

عندما يوضع جسم كتلته $m$ على سطح أفقي ساكن فإنه يضغط عليه بقوة تساوي وزنه $m g$ .
ينشأ عن ذلك رد فعل $R$ من السطح على الجسم، يساويه في المقدار ويضاده في الاتجاه.
يتغير الضغط إذا تحرك السطح صعودًا أو هبوطًا بعجلة، ويسمى الضغط عندئذ الوزن الظاهري.
رد الفعل يؤثر دائمًا على الجسم الموضوع، أما الضغط فيؤثر على السطح، ومقدارهما واحد.

وحدات القوة

الوزن بالنيوتن =mg، والوزن بثقل الكيلوجرام 1 kgwt=9.8 N.
لتحويل النيوتن إلى ث.كجم نقسم على $9.8$ ، ولتحويل ث.كجم إلى نيوتن نضرب في $9.8$ .
في المعادلات نستخدم النيوتن دائمًا (الوحدات المطلقة) ثم نحول النتيجة إذا طُلب الثقل.

حركة الأجسام المتصلة · 2 / 16

2-2 حركة المصاعد: القوى المؤثرة على الشخص

القوى

وزن الشخص $m g$ يؤثر لأسفل دائمًا مهما كان اتجاه حركة المصعد.
رد فعل أرضية المصعد $R$ يؤثر لأعلى دائمًا، ومقداره يساوي ضغط الشخص على الأرضية.

معادلة الحركة

نختار الاتجاه الموجب هو اتجاه عجلة المصعد.
المصعد يتحرك لأعلى بعجلة $a$ :

$R - m g = m a \Rightarrow R = m (g + a)$

مصعد وشخص على ميزان يمثلان حركة الأجسام المتصلة والضغط ورد الفعل: القراءة 708 نيوتن بعجلة 2 م/ث².

المصعد يتحرك لأسفل بعجلة $a$ :

mg−R=ma ⇒ R=m(g−a)

المصعد ساكن أو متحرك بسرعة منتظمة←

a = 0

فيكون

R = m g

ملاحظات

عندما يصعد المصعد بعجلة موجبة يزداد الوزن الظاهري عن الوزن الحقيقي، وعندما يهبط بعجلة موجبة يقل.
إذا تحرك المصعد لأعلى بعجلة ثم هبط بالعجلة نفسها فمجموع القراءتين يساوي ضعف الوزن الحقيقي: $m (g + a) + m (g - a) = 2 m g$ .
سقوط حر إذا هبط المصعد بعجلة $a = g$ فإن $R = 0$ ويشعر الشخص بانعدام الوزن.
إذا كانت العجلة المعطاة تحت اسم "تقصيرية" فقيمتها سالبة، فالمصعد الصاعد بعجلة تقصيرية يعامل كأنه هابط بعجلة موجبة.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1 شخص كتلته $60$ كجم داخل مصعد، أوجد ضغطه على الأرضية بثقل الكيلوجرام إذا كان المصعد: (أ) صاعدًا بعجلة $4.9 {m/s}^{2}$ ، (ب) هابطًا بالعجلة نفسها، (ج) متحركًا بسرعة منتظمة.
الحل:
(أ) $R = 60 (9.8 + 4.9) = 60 \times 14.7 = 882$ نيوتن $= \frac{882}{9.8} = 90$ ث.كجم.
(ب) $R = 60 (9.8 - 4.9) = 60 \times 4.9 = 294$ نيوتن $= 30$ ث.كجم.
(ج) $R = m g = 60 \times 9.8 = 588$ نيوتن $= 60$ ث.كجم.
ويلاحظ أن $90 + 30 = 2 \times 60$ كما ذكرنا.
مثال 2 رجل كتلته $80$ كجم يقف في مصعد، ضغطه على الأرضية $100$ ث.كجم. أوجد عجلة المصعد واتجاهها.
الحل:
$R = 100 \times 9.8 = 980$ نيوتن و $m g = 80 \times 9.8 = 784$ نيوتن.
بما أن $R > m g$ فالعجلة لأعلى (المصعد صاعد بعجلة أو هابط بعجلة تقصيرية).
$R - m g = m a$ فيكون $980 - 784 = 80 a$ .
$a = \frac{196}{80} = 2.45 {m/s}^{2}$ .

حركة الأجسام المتصلة · 3 / 16

2-2 المصعد والشخص معًا: الشد في الحبل

القوى على المصعد وحده

وزن المصعد $m_{1} g$ لأسفل، وضغط الشخص على أرضية المصعد $R$ لأسفل، والشد $T$ في الحبل لأعلى.
معادلة حركة المصعد وحده عند الحركة لأعلى بعجلة $a$ :

$T - m_{1} g - R = m_{1} a$

القوى على المجموعة (المصعد والشخص معًا)

وزن المجموعة $(m_{1} + m_{2}) g$ لأسفل، والشد $T$ لأعلى.
ضغط الشخص ورد الفعل قوتان داخليتان فلا تدخلان في معادلة المجموعة.
معادلة المجموعة عند الحركة لأعلى بعجلة $a$ :

T−(m1+m2)g=(m1+m2)a ⇒ T=(m1+m2)(g+a)

وعند الهبوط بعجلة a←T=(m1+m2)(g−a).

خطوات الحل

ارسم الأجسام وحدد القوى على كل جسم.
اختر اتجاهًا موجبًا في اتجاه الحركة.
اكتب معادلة حركة للشخص (لإيجاد $R$ ) ومعادلة للمجموعة (لإيجاد $T$ ).

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1 مصعد كتلته $400$ كجم به رجل كتلته $80$ كجم، يتحرك لأعلى بعجلة $4.9 {m/s}^{2}$ . أوجد الشد في الحبل وضغط الرجل على الأرضية.
الحل:
المجموعة T=(400+80)(9.8+4.9)=480×14.7=7056 نيوتن =720 ث.كجم.
الرجل R=80(9.8+4.9)=80×14.7=1176 نيوتن =120 ث.كجم.
التحقق من المصعد وحده T−400g−R=400a أي 7056−3920−1176=1960=400×4.9.
مثال 2 مصعد فارغ كتلته $500$ كجم يحمله حبل لا يتحمل شدًّا أكثر من $1500$ ث.كجم. أوجد أقصى حمولة (كتلة) يمكن أن يحملها وهو صاعد بعجلة $0.2 g$ .
الحل:
أقصى شد $T = 1500 g$ نيوتن.
$T = (500 + m) (g + 0.2 g) = (500 + m) (1.2 g)$ .
$1500 g = 1.2 g (500 + m)$ ومنها $500 + m = 1250$ .
$m = 750$ كجم.

حركة الأجسام المتصلة · 4 / 16

2-2 الميزان الزنبركي وميزان الضغط والميزان المعتاد

الميزان الزنبركي

يُعلَّق به الجسم من سقف المصعد، وقراءته تعبر عن الشد في سلك الميزان.
نكتب معادلة حركة الجسم T−mg=ma (للحركة لأعلى).
قراءة الميزان هي الوزن الظاهري للجسم.

ميزان الضغط

يُثبَّت في أرضية المصعد ويوضع الجسم عليه، وقراءته تعبر عن ضغط الجسم على الميزان، أي رد الفعل $R$ .

ميزان الكفتين المعتاد

يقارن الكتلة بكتلة أخرى، ولا يتأثر بحركة المصعد.
هو الميزان الوحيد الذي يقيس الوزن الحقيقي في كل الظروف.

تفسير قراءة الميزان

قراءة الميزان > الوزن الحقيقي mgالمصعد صاعد بعجلة موجبة أو هابط بعجلة تقصيرية.

قراءة الميزان < الوزن الحقيقيالمصعد هابط بعجلة موجبة أو صاعد بعجلة تقصيرية.

قراءة الميزان = الوزن الحقيقيالمصعد ساكن أو متحرك بسرعة منتظمة.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1 جسم معلق في ميزان زنبركي مثبت في سقف مصعد، قراءة الميزان $12$ ث.كجم أثناء صعود المصعد بعجلة $\frac{g}{3}$ .
أوجد كتلة الجسم، ثم قراءة الميزان إذا هبط المصعد بالعجلة نفسها.
الحل:
صعود T=m(g+g3)=4mg3 أي 4m3=12 ث.كجم.
$m = 9$ كجم.
هبوط T=m(g−g3)=2mg3=9×23=6 ث.كجم.
مثال 2 جسم معلق في ميزان زنبركي في سقف مصعد، سجل الميزان $55$ ث.كجم عندما كان المصعد صاعدًا بعجلة $a$ و $45$ ث.كجم عندما كان هابطًا بالعجلة نفسها.
أوجد كتلة الجسم والعجلة $a$ .
الحل:
صعود m(g+a)=55g، هبوط: m(g−a)=45g.
بالجمع 2mg=100g ومنها m=50 كجم.
بالطرح 2ma=10g ومنها a=10g100=0.1g=0.98 m/s2.

حركة الأجسام المتصلة · 5 / 16

2-2 جسمان معلقان بخيط يمر على بكرة ملساء

وصف المنظومة

البكرة تغير اتجاه القوة وتسهل الحركة، وهنا نتناول بكرة واحدة ثابتة.
بكرة ملساء معناها أن الشد في جزأي الخيط متساوٍ، وخيط خفيف غير مرن معناه أن العجلة متساوية في المقدار للجسمين.
جسمان كتلتاهما $m_{1} > m_{2}$ معلقان من طرفي الخيط. تبدأ المجموعة الحركة من السكون فيهبط الأثقل بعجلة $a$ ويصعد الأخف بالعجلة نفسها.

معادلات الحركة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
للجسم الأثقل (يهبط)	m1g−T=m1a
للجسم الأخف (يصعد)	T−m2g=m2a
•	بالجمع نحذف الشد	بالجمعنحذفالشد

a=(m1−m2) gm1+m2

ثم نوجد الشد من أي معادلة:

T=2m1m2 gm1+m2

ملاحظات

كلما تقارب الكتلتان صغرت العجلة، وإذا تساوتا $(m_{1} = m_{2})$ فإن $a = 0$ وتبقى المجموعة ساكنة أو تتحرك بسرعة منتظمة.
العجلة دائمًا أقل من $g$ ، والشد أقل من وزن الأثقل وأكبر من وزن الأخف.
معادلات الحركة السابقة هي كل ما نحتاجه مع قوانين الحركة بعجلة منتظمة: $v = u + a t$ و $s = u t + \frac{1}{2} a t^{2}$ و $v^{2} = u^{2} + 2 a s$ .
إذا بدأ الجسمان في مستوى أفقي واحد وتحركت المجموعة زمنًا $t$ فالمسافة الرأسية بينهما $= 2 s = a t^{2}$ .

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1 جسمان كتلتاهما $5$ كجم و $3$ كجم معلقان بطرفي خيط على بكرة ملساء، تحركت المجموعة من السكون.
أوجد العجلة والشد وسرعة المجموعة بعد $2$ ثانية.
الحل:
$a = \frac{(5 - 3) \times 9.8}{5 + 3} = \frac{19.6}{8} = 2.45 {m/s}^{2}$ .
$T = \frac{2 \times 5 \times 3 \times 9.8}{8} = \frac{294}{8} = 36.75$ نيوتن.
$v = u + a t = 0 + 2.45 \times 2 = 4.9 m/s$ .
مثال 2 جسمان كتلتاهما $200$ جم و $300$ جم على طرفي خيط يمر على بكرة ملساء، بدآ الحركة من السكون في مستوى أفقي واحد.
أوجد المسافة الرأسية بينهما بعد ثانية واحدة.
(استخدم $g = 980 {cm/s}^{2}$ ).
الحل:
$a = \frac{(300 - 200) \times 980}{500} = 196 {cm/s}^{2}$ .
كل جسم يقطع $s = \frac{1}{2} a t^{2} = \frac{1}{2} \times 196 \times 1 = 98$ سم.
المسافة الرأسية بينهما $= 2 \times 98 = 196$ سم.
مثال 3 علق جسمان كتلتاهما $m_{1}$ و $m_{2}$ حيث $m_{1} > m_{2}$ في طرفي خيط على بكرة ملساء، فتحركت المجموعة بعجلة $\frac{g}{4}$ . أوجد النسبة $m_{1} : m_{2}$ .
الحل:
$\frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}} = \frac{1}{4}$ ومنها $4 m_{1} - 4 m_{2} = m_{1} + m_{2}$ .
$3 m_{1} = 5 m_{2}$ .
m1 m2=5:3.

حركة الأجسام المتصلة · 6 / 16

2-2 الضغط على محور البكرة

القانون

الخيط المشدود على البكرة يؤثر على محورها بقوتين رأسيتين لأسفل مقدار كل منهما $T$ .
فيكون الضغط على محور البكرة هو محصلتهما:

P=2T=4m1m2 gm1+m2

يمكن كتابته بثقل الكيلوجرام بقسمة النتيجة على $9.8$ .
الضغط أقل من مجموع وزني الجسمين $(m_{1} + m_{2}) g$ ما دامت المجموعة تتحرك بعجلة، ويساويه عندما تكون المجموعة ساكنة.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1 أوجد الضغط على محور البكرة في المثال الذي كتلتاه $5$ كجم و $3$ كجم.
الحل:
$T = 36.75$ نيوتن.
$P = 2 T = 73.5$ نيوتن $= \frac{73.5}{9.8} = 7.5$ ث.كجم.
وهو أقل من مجموع الوزنين $8$ ث.كجم.
مثال 2 جسمان كتلتاهما $k$ و $3 k$ كجم معلقان بطرفي خيط على بكرة ملساء، والضغط على محورها $2.94 kgwt$ . أوجد $k$ .
الحل:
$P = \frac{4 (k) (3 k)}{4 k} g = 3 k g$ نيوتن $= 3 k$ ث.كجم.
$3 k = 2.94$ ومنها $k = 0.98$ كجم.

حركة الأجسام المتصلة · 7 / 16

2-2 قطع الخيط بين الجسمين

ما يحدث عند القطع

إذا قُطع الخيط بعد زمن $t$ من بدء الحركة فإن الشد يزول ويتحرك كل جسم حركة تحت تأثير الجاذبية وحدها بعجلة $g$ لأسفل.
السرعة الابتدائية لكل جسم بعد القطع هي سرعة المجموعة لحظة القطع $v = a t$ ، لكن باتجاهه: الجسم الأثقل لأسفل والأخف لأعلى.

الجسم الأخف (كان صاعدًا)

يستمر صاعدًا بالسرعة $v$ لأعلى بعجلة $g$ لأسفل (تقصيرية)، فيصعد ارتفاعًا إضافيًّا $h = \frac{v^{2}}{2 g}$ ثم يسكن لحظيًّا بعد زمن $\frac{v}{g}$ ثم يهبط حرًّا.
يعود إلى نقطة القطع بالسرعة $v$ لأسفل بعد زمن $\frac{2 v}{g}$ من القطع.

الجسم الأثقل (كان هابطًا)

يستمر هابطًا بالسرعة $v$ لأسفل وبعجلة $g$ لأسفل (تزايدية).
s=vt+12gt2.

خطوات الحل

أوجد العجلة $a$ قبل القطع ثم السرعة $v = a t$ والمسافة $\frac{1}{2} a t^{2}$ لحظة القطع.
اعتبر لحظة القطع بداية جديدة للحركة تحت الجاذبية.
لا تنسَ أن المسافة الرأسية بين الجسمين وقت القطع $= a t^{2}$ إذا كانا في مستوى واحد عند البدء.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1 جسمان كتلتاهما $6$ كجم و $2$ كجم على طرفي خيط على بكرة ملساء، بدآ الحركة من السكون والجسم $6$ كجم على ارتفاع $19.6$ م من الأرض.
أوجد السرعة بعد ثانيتين، ثم زمن وصول الجسم $6$ كجم إلى الأرض لو قُطع الخيط عند ذلك.
الحل:
$a = \frac{(6 - 2) \times 9.8}{8} = 4.9 {m/s}^{2}$ .
بعد ثانيتين v=4.9×2=9.8 m/s والمسافة المقطوعة =12×4.9×4=9.8 م.
الارتفاع المتبقي للجسم $6$ كجم $= 19.6 - 9.8 = 9.8$ م.
بعد القطع 9.8=9.8t+4.9t2 أي t2+2t−2=0.
$t = - 1 + \sqrt{3} \approx 0.73$ ثانية.
مثال 2 في المثال السابق، أوجد أقصى ارتفاع إضافي يبلغه الجسم $2$ كجم بعد القطع والزمن الذي يمضي حتى يسكن لحظيًّا.
الحل:
الجسم $2$ كجم يصعد بسرعة $9.8 m/s$ وتتناقص بعجلة $g = 9.8$ .
الارتفاع الإضافي h=v22g=96.0419.6=4.9 م.
الزمن حتى السكون اللحظي t=vg=9.89.8=1 ثانية.

حركة الأجسام المتصلة · 8 / 16

2-2 إضافة كتلة صغيرة إلى أحد الجسمين وانفصالها

الحالة

إذا كان الجسمان متساويين $m_{1} = m_{2} = m$ فالمجموعة متزنة. وإذا أضيفت كتلة صغيرة $μ$ إلى أحدهما تتحرك المجموعة في اتجاه الجسم الذي عليه الكتلة الزائدة.

2-2 إضافة كتلة صغيرة إلى أحد الجسمين وانفصالها

معادلات الحركة قبل الانفصال

(m+μ)g−T=(m+μ)a.
T−mg=ma.
بالجمع تكون العجلة:
$a = \frac{μ g}{2 m + μ}$

بعد انفصال الكتلة الإضافية

إذا انفصلت الكتلة $μ$ بعد زمن $t$ فإن الجسمين يصبحان متساويين، فتنعدم العجلة وتتحرك المجموعة بسرعة منتظمة هي سرعتها لحظة الانفصال $v = a t$ في الاتجاه السابق نفسه.
أما إذا بقي الجسمان غير متساويين بعد الانفصال (كأن كانت الكتلة المنفصلة جزءًا من الحمل فقط) فنحسب عجلة جديدة، قد تكون تقصيرية، فتسكن المجموعة لحظيًّا ثم تعكس اتجاهها.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1 جسمان كتلة كل منهما $40$ جم، وُضعت فوق أحدهما كتلة $20$ جم، فتحركت المجموعة من السكون.
أوجد العجلة والشد، ثم أوجد المسافة التي تقطعها المجموعة في $3$ ثوان بعد انفصال الكتلة الإضافية عند نهاية الثانيتين الأوليين.

(g=980 cm/s2)

الحل:
$a = \frac{20 \times 980}{40 + 40 + 20} = 196 {cm/s}^{2}$ .
للجسم الآخر (الصاعد) T=40(980+196)=40×1176=47040 داين =48 ث.جم.
سرعة الانفصال بعد ثانيتين v=196×2=392 cm/s.
بعد الانفصال يتساوى الجسمان $(40 = 40)$ فتتحرك المجموعة بسرعة منتظمة $392 cm/s$ .
المسافة في $3$ ثوان $= 392 \times 3 = 1176$ سم.
مثال 2 جسمان كتلة كل منهما $1.5$ كجم، وأضيفت كتلة $0.3$ كجم إلى أحدهما. أوجد العجلة.
الحل:
$a = \frac{0.3 \times 9.8}{3.0 + 0.3} = \frac{2.94}{3.3} \approx 0.89 {m/s}^{2}$ .

حركة الأجسام المتصلة · 9 / 16

ثلاثة أجسام وخيطان

قد يعلق في أحد طرفي الخيط الرئيسي جسمان متصلان بخيط ثانٍ (كالثقلين المتصلين معًا بخيط تحت بعضهما).
نعتبر المجموعة المربوطة جسمًا واحدًا لإيجاد العجلة المشتركة، ثم نكتب معادلة لكل جسم لإيجاد كل شد.
الشد في الخيط السفلي يحمل الجسم السفلي فقط، فهو يختلف عن الشد في الخيط الرئيسي.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1 يمر خيط على بكرة ملساء، في أحد طرفيه جسم كتلته $9$ كجم، وفي الطرف الآخر جسمان كتلتاهما $4$ كجم و $2$ كجم متصلان بخيط ثانٍ بحيث الجسم $2$ كجم أسفل الجسم $4$ كجم.
أوجد العجلة والشدين.
الحل:
الجسم $9$ كجم يهبط بعجلة $a$ والجسمان معًا $(6$ كجم $)$ يصعدان.
$a = \frac{(9 - 6) \times 9.8}{9 + 6} = \frac{29.4}{15} = 1.96 {m/s}^{2}$ .
الشد في الخيط الرئيسي T1=6(9.8+1.96)=6×11.76=70.56 نيوتن.
الشد في الخيط السفلي (يحمل الجسم 2 كجم) T2=2(9.8+1.96)=23.52 نيوتن.
تحقق 9(9.8−1.96)=9×7.84=70.56 نيوتن وهو T1.

حركة الأجسام المتصلة · 10 / 16

سرعة ابتدائية وحالات الحركة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
•	إذا علقت كتلتان مجهولتان على بكرة وأعطينا إحداهما سرعة ابتدائية $u$ ثم تحركت المجموعة فهناك ثلاث حالات:	علقتكتلتانمجهولتانبكرة
تتحرك بعجلة تقصيرية وتسكن لحظيًّا ثم تعكس اتجاهها	فالجسم الذي أخذ السرعة نحو الأعلى هو الأثقل، وتحسب العجلة من $v = 0$ .	فالجسمالسرعةالأعلىالأثقل
تتحرك بسرعة ثابتة	فالكتلتان متساويتان (قانون نيوتن الأول)	فالكتلتانمتساويتانقانوننيوتن
تتحرك بعجلة تزايدية	فالجسم الذي دُفع لأسفل هو الأثقل	فالجسملأسفلالأثقل

✍️ أمثلة محلولة

مثال 2 كتلتان $m_{1}$ و $m_{2}$ معلقتان بخيط على بكرة ملساء، أعطيت الكتلة $m_{1}$ سرعة $2 m/s$ لأعلى، فعادت المجموعة إلى موضعها الأصلي بعد $2$ ثانية بالضبط.
استنتج أي الكتلتين أكبر وأوجد العجلة.
الحل:
عودة المجموعة إلى مكانها بعد توقفها يدل على عجلة تقصيرية، فالكتلة التي صعدت $m_{1}$ هي الأكبر.
الإزاحة عن الموضع تساوي صفرًا 0=ut+12at2 أي 0=2×2+12a×4.
$a = - 2 {m/s}^{2}$ (أي عجلة تقصيرية مقدارها $2 {m/s}^{2}$ ).

حركة الأجسام المتصلة · 11 / 16

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
الأجسام المتصلة والبكرات الملساء	منظومة ديناميكية تتكون من كتلتين أو أكثر متصلة بخيط خفيف غير مرن يمر على بكرة ملساء فتتحرك المنظومة كلها بعجلة منتظمة موحدة جـ (تسارع مشترك) ويكون الشد في فرعي الخيط متساوياً	منظومةديناميكيةتتكونكتلتين
حركة كتلتين رأسياً على بكرة ملساء (آلة أتوود)	كتلتان ك₁ و ك₂ (ك₁ > ك₂) تتدليان رأسياً معادلات الحركة: ك₁ د – ش = ك₁ جـ و ش – ك₂ د = ك₂ جـ والعجلة المشتركة جـ = [(ك₁ – ك₂)/(ك₁ + ك₂)] د	كتلتانتتدليانمعادلاتالحركة
حركة جسم على نضد أفقي أملس ومتصل بجسم متدلي	كتلة ك₁ على نضد أملس متصلة بخيط يمر على بكرة عند حافة النضد بكتلة ك₂ تتدلى رأسياً معادلات الحركة: ش = ك₁ جـ و ك₂ د – ش = ك₂ جـ والعجلة جـ = [ك₂ / (ك₁ + ك₂)] د	كتلةمتصلةبخيطبكرة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
حركة جسم على نضد أفقي خشن	تؤثر قوة الاحتكاك الحركي ح_ك = م_ك ر = م_ك ك₁ د في عكس اتجاه الحركة والعجلة المشتركة جـ = [(ك₂ – م_ك ك₁) / (ك₁ + ك₂)] د	تؤثرالاحتكاكالحركياتجاه
الضغط على محور البكرة (R)	القوة المحصلة لشد الخيط الواقعة على محور البكرة: 1. في الحركة الرأسية: الضغط ض = 2ش 2. في حركة النضد الأفقي: ض = ش√2 3. إذا كان الخيطان يحصران زاوية θ: ض = 2ش جتا(θ/2)	القوةالمحصلةالخيطالواقعة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
(‘عجلة البكرة الرأسية	جـ = [(ك₁ – ك₂) / (ك₁ + ك₂)] · د والشد ش = [2 ك₁ ك₂ / (ك₁ + ك₂)] · د والضغط ض = 2ش.’	والشدوالضغط
(‘عجلة النضد الأفقي الأملس	جـ = [ك₂ / (ك₁ + ك₂)] · د والشد ش = [ك₁ ك₂ / (ك₁ + ك₂)] · د والضغط ض = ش √2.’	والشدوالضغط
(‘عجلة المستوى المائل الأملس بزاوية هـ	جـ = [(ك₂ – ك₁ جا هـ) / (ك₁ + ك₂)] · د (بفرض ك₂ هابطة).’	بفرضهابطة
(‘حالة قطع الخيط بعد زمن ن	تستمر الأجسام في الحركة بالسرعة المكتسبة ع = ع₀ + جـ ن كسرعة ابتدائية فالجسم الهابط يهبط سقوطاً حراً تحت تأثير الجاذبية الأرضية (د) والآخر يتباطأ حتى يسكن لحظياً.’	تستمرالأجسامالحركةبالسرعة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
علل	تساوي الشد في فرعي الخيط وعجلة الحركة للكتلتين: لأن الخيط خفيف لا وزن له وغير مرن (طوله ثابت دائم) والبكرة ملساء مهملة الاحتكاك والكتلة فيكون مقدار العجلة وقوة الشد متطابقين في جميع أجزاء الخيط	تساويالشدفرعيالخيط
علل	المسافة الرأسية بين كتلتين متدليتين رأسياً بعد مرور زمن ن تساوي 2ف: لأن الكتلة الهابطة تنزل مسافة ف وفي نفس اللحظة تصعد الكتلة الأخرى مسافة مساوية ف فتكون المسافة الرأسية الفاصلة بينهما ف + ف = 2ف = جـ ن²	المسافةالرأسيةكتلتينمتدليتين
علل	انعدام الشد في الخيط فور قطعه: لأن قوى الشد هي قوى داخلية متولدة عن القيد الهندسي للخيط غير المرن وبمجرد قطع الخيط يزول هذا القيد ويصبح الشد ش = 0 ويتحرك كل جسم كجسم حر مستقل وفق القوى الخارجية المؤثرة عليه فقط	انعدامالشدالخيطقطعه

نظام الحركة	معادلة العجلة المشتركة (جـ)	قيمة الشد في الخيط (ش)	الضغط على محور البكرة (ض)
كتلتان رأسيتان (ك₁ > ك₂)	[(ك₁ – ك₂) / (ك₁ + ك₂)] د	[2 ك₁ ك₂ / (ك₁ + ك₂)] د	ض = 2ش
نضد أفقي أملس + كتلة متدلية ك₂	[ك₂ / (ك₁ + ك₂)] د	[ك₁ ك₂ / (ك₁ + ك₂)] د	ض = ش √2 (يميل بزاوية 45°)
نضد أفقي خشن (م_ك) + ك₂ متدلية	[(ك₂ – م_ك ك₁) / (ك₁ + ك₂)] د	[ك₁ ك₂ (1 + م_ك) / (ك₁ + ك₂)] د	ض = ش √2
مستوى مائل أملس (هـ) + ك₂ متدلية	[(ك₂ – ك₁ جا هـ) / (ك₁ + ك₂)] د	[ك₁ ك₂ (1 + جا هـ) / (ك₁ + ك₂)] د	ض = 2ش جتا(45° – هـ/2)

💡 كبسولة الفنيات وتريكات الامتحانات والأسئلة الوزارية 2026/2027:

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
تريك امتحاني في قطع الخيط	السرعة المكتسبة لحظة قطع الخيط تصبح سرعة ابتدائية للمرحلة التالية والجسم المتدلي يسقط تحت عجلة الجاذبية د = 9.8 م/ث² أما الجسم الموضوع على نضد خشن فيتحرك بتقصير منتظم عجلته = – م_ك د حتى يسكن	السرعةالمكتسبةلحظةتصبح
سؤال وزاري	عند قياس الشد في خيط مصعد إذا كان المصعد صاعداً بعجلة جـ فإن قراءة الميزان (الوزن الظاهري) = ك(د + جـ) وتكون أكبر من الوزن الحقيقي وإذا كان هابطاً بعجلة جـ فإن الوزن الظاهري = ك(د – جـ) ويكون أقل من الحقيقي	قياسالشدمصعدالمصعد

حركة الأجسام المتصلة · 16 / 16