المناهج الدراسية
تسجيل الدخول

المناهج الدراسية

الرياضيات

الفصل الأول - التفاضل والتكامل (Calculus)

0/92

الفصل الثاني - الجبر والهندسة الفراغية (Algebra & Solid Geometry)

0/50

الفصل الثالث - الاستاتيكا (Statics)

0/21

الفصل الرابع - الديناميكا (Dynamics)

0/35

الفصل الخامس - الجبر الأساسي وحساب المثلثات والإحصاء والاحتمال

0/40

دروس إضافية

0/204
نص الدرس

ملخص الدرس 2: المجموعات والعمليات عليها

الرياضيات

ملخص الدرس 2: المجموعات والعمليات عليها

الفكرة الأساسية

الفكرة الأساسية

  • المجموعة تجمع محددة من العناصر المتميزة، ونكتبها بين قوسين معقوفين، مثل A = {1، 2، 3، 4}.
  • والعنصر ينتمي إلى المجموعة (∈) أو لا ينتمي إليها (∉).
  • والمجموعة الخالية ∅ ليس لها عناصر، والمجموعة الشاملة U تضم كل العناصر محل الدراسة.
  • تكون المجموعة B جزءاً من A (B ⊂ A) إذا كان كل عنصر في B موجوداً في A.
ملخص الدرس 2: المجموعات والعمليات عليها · 1 / 6
العمليات على المجموعات

العمليات على المجموعات

العملية الرمز المعنى
الاتحاد A ∪ B العناصر التي في A أو في B أو فيهما
التقاطع A ∩ B العناصر المشتركة بين A وB
الفرق A − B العناصر التي في A وليست في B
المتممة A′ العناصر التي في U وليست في A
حلقتان متقاطعتان على الأرض تمثلان المجموعات: المجموعة أ بها 12 كرة وب بها 9 والتقاطع 5 فيكون الاتحاد 16.
حلقتان متقاطعتان على الأرض تمثلان المجموعات: المجموعة أ بها 12 كرة وب بها 9 والتقاطع 5 فيكون الاتحاد 16.
  • مثال للتوضيح إذا كانت A = {1، 2، 3، 4} وB = {3، 4، 5} وU = {1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8}، فإن A ∪ B = {1، 2، 3، 4، 5}، وA ∩ B = {3، 4}، وA − B = {1، 2}، وA′ = {5، 6، 7، 8}.
  • ويلاحظ أن الاتحاد والتقاطع إبداليان، أي A ∪ B = B ∪ A وA ∩ B = B ∩ A، أما الفرق فليس إبدالياً، فإن {1، 2} − {2، 3} = {1} بينما {2، 3} − {1، 2} = {3}.
ملخص الدرس 2: المجموعات والعمليات عليها · 2 / 6
قانون عدد العناصر

قانون عدد العناصر

  • إذا رمزنا لعدد عناصر المجموعة بالرمز n، فإن القانون الأساسي هو:
  • قانون الاتحاد n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B).
  • لماذا نطرح التقاطع؟
  • لأن العناصر المشتركة تُعد مرتين عند جمع n(A) وn(B)، فنطرحها مرة واحدة.
  • وفي المثال السابق: n(A ∪ B) = 4 + 3 − 2 = 5، وهو عدد عناصر {1، 2، 3، 4، 5}.
  • وعدد عناصر المتممة n(A′) = n(U) − n(A) = 8 − 4 = 4.
ملخص الدرس 2: المجموعات والعمليات عليها · 3 / 6
قانون دي مورغان

قانون دي مورغان

  • متمم الاتحاد يساوي تقاطع المتممتين، أي (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′. وبالمثل (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′.
  • مثال في المثال السابق A ∪ B = {1، 2، 3، 4، 5}، فيكون (A ∪ B)′ = {6، 7، 8}. ومن جهة أخرى A′ = {5، 6، 7، 8}، وB′ = {1، 2، 6، 7، 8}، فيكون A′ ∩ B′ = {6، 7، 8}، وهو المطلوب.
ملخص الدرس 2: المجموعات والعمليات عليها · 4 / 6
أمثلة قصيرة لكل قاعدة

أمثلة قصيرة لكل قاعدة

وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
الانتماء
  • إذا كانت A = {1
  • 3} فإن 2 ∈ A
  • و5 ∉ A
كانت
الاتحاد
  • 2} ∪ {2
  • 5} = {1
  • لأن العنصر 2 يُكتب مرة واحدة فقط
العنصرواحدة
التقاطع
  • 3} ∩ {3
  • 4} = {3}
الفرق
  • 3} − {2
  • 4} = {1}
عدد العناصرإذا كان n(A) = 10 وn(B) = 7 وn(A ∩ B) = 3 فإن n(A ∪ B) = 14
ملخص الدرس 2: المجموعات والعمليات عليها · 5 / 6
ملخص الدرس

ملخص الدرس

  • المجموعة مجموعة محددة من العناصر المتميزة، ونستخدم ∈ و∉ للدلالة على الانتماء.
  • الاتحاد يضم كل العناصر، والتقاطع يضم المشترك فقط، والفرق يضم ما في الأولى دون الثانية.
  • n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B).
  • قانون دي مورغان (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′ و(A ∩ B)′ = A′ ∪ B′.
ملخص الدرس 2: المجموعات والعمليات عليها · 6 / 6