★ كتاب الشرح والتفصيل العلمي الشامل المعتمد ★

| | 2026/2027 |

• 🎯 أهداف التعلم والمخرجات التعليمية المقررة بالتفصيل:
• • تعريف النسب المثلثية الأساسية الثلاث للزاوية الحادة في المثلث القائم الزاوية (جا، جتا، ظا).
• • استنتاج العلاقة الرياضية بين زاويتين متتامتين sin θ = cos (90° – θ).
• • حفظ وتطبيق النسب المثلثية الدقيقة للزوايا الخاصة (30°, 45°, 60°).
• • استخدام الآلة الحاسبة لإيجاد قياس الزاوية بمعلومية إحدى نسبها المثلثية والعكس.
• ◄ أولاً تعريف النسب المثلثية في المثلث القائم وتطبيقات نظرية فيثاغورس
• تُعرّف النسب المثلثية حصرياً داخل المثلث القائم الزاوية؛ ففي المثلث $ABC$ القائم في B، يمثل الضلع المقابل للزاوية القائمة "الوتر" وهو أطول أضلاع المثلث.
• وبالنسبة لأي زاوية حادة مثل زاوية A:
• – الضلع $BC$ هو المقابل.
• – الضلع $AB$ هو المجاور.
• – الضلع $AC$ هو الوتر.
• وتحسب النسب مباشرة sin A = BC / AC، و cos A = AB / AC، و tan A = BC / AB. وتعد نظرية فيثاغورس (AC2 = AB2 + BC2) الأداة الحسابية المسبقة لحساب الضلع المجهول قبل إيجاد أي نسبة مثلثية.

• شكل توضيحي (prep3_trigonometry_triangles) شكل (3): النسب المثلثية في المثلث القائم والنسب المثلثية للزوايا الخاصة 30 و 45 و 60
• ◄ ثانياً العلاقة الذهبية بين الزوايا المتتامة (A + B = 90°)
• في المثلث القائم الزاوية، يكون مجموع الزاويتين الحادتين دائماً 90°، مما يجعلهما زاويتين متتامتين.
• ولأن ضلع المقابل للزاوية A هو نفسه ضلع المجاور للزاوية C، تنشأ القاعدة المثلثية الذهبية:
• "جيب أي زاوية حادة يساوي جيب تمام الزاوية المتممة لها":
• sin A = cos C و cos A = sin C.
• وعلى هذا الأساس sin 30° = cos 60° = 1 / 2، و sin 70° = cos 20°. وإذا ورد في الامتحان sin x = cos x، فإن ذلك يقتضي مباشرة أن الزاوية x = 45° لأن x + x = 90° ⇒ 2x = 90° ⇒ x = 45°.

1. المثلث الثلاثيني الستيني والمثلث المتساوي الساقين (الزوايا الخاصة)
2. تستنتج النسب المثلثية للزوايا الخاصة هندسياً دون الحاجة للحفظ الأعمى:
3. المثلث الثلاثيني الستيني (30° – 60°): الضلع المقابل للزاوية 30° يساوي نصف طول الوتر؛ فإذا فرضنا المقابل = 1 والوتر = 2، فإن الضلع المجاور لـ 30° (المقابل لـ 60°) يساوي √(22 – 12) = √3 بنظرية فيثاغورس، ومنها نستنتج نسب 30° و 60°.
4. المثلث القائم المتساوي الساقين (45° – 45°): يكون فيه طولا ضلعي القائمة متساويين (1 و 1)، والوتر يساوي √(12 + 12) = √2، ومنها sin 45° = 1 / √2 و cos 45° = 1 / √2 و tan 45° = 1 / 1 = 1.
5. 🧮 التطبيقات والمسائل النموذجية المحلولة بالخطوات (Step-by-Step Worked Examples):

• مثال نموذجي 1 مسألة نموذجية محلولة رقم 3 – إثبات متطابقة مثلثة بدون آلة حاسبة
• نص المسألة / السؤال المطلوب: بدون استخدام الآلة الحاسبة، أثبت صحة المتطابقة الآتية:
• cos 60° = 2cos ² 30° – 1.
• الحل بالخطوات الجبرية:
• 1) الطرف الأيمن (L.H.S):
• الطرف الأيمن = cos 60° = 1 / 2.
• 2) الطرف الأيسر (R.H.S):
• الطرف الأيسر = 2cos ² 30° – 1.
• بما أن cos 30° = √3 / 2:
• إذن cos 2 30° = (√3 / 2)2 = 3 / 4.
• بالتعويض الطرف الأيسر = 2 × 3 / 4 – 1 = 3 / 2 – 1 = 1 / 2.
• بما أن الطرف الأيمن = الطرف الأيسر = 1 / 2، إذن المتطابقة صحيحة ومثبتة تماماً.
• 💡 أسرار وتكات التفوق وملاحظات خبير المادة (Expert Notes & Exam Secrets):
• ★ تكة امتحانية إذا كان sin x = cos y فإن الزاويتين متتامتان: x + y = 90°. فإذا كان sin 2x = cos 3x، فإن 2x + 3x = 90° ⇒ 5x = 90° ⇒ x = 18°.