المناهج الدراسية

تسجيل الدخول

المناهج الدراسية

الرياضيات

الفصل الأول - التفاضل والتكامل (Calculus)

0/86

الفصل الثاني - الجبر والهندسة الفراغية (Algebra & Solid Geometry)

0/50

الفصل الثالث - الاستاتيكا (Statics)

0/21

الفصل الرابع - الديناميكا (Dynamics)

0/35

الفصل الخامس - الجبر الأساسي وحساب المثلثات والإحصاء والاحتمال

0/40

دروس إضافية

0/193

نص الدرس

النظام الإحداثي المتعامد والمتجهات في الفراغ

الرياضيات

النظام الإحداثي المتعامد والمتجهات في الفراغ

3-1 النظام الإحداثي المتعامد في ثلاثة أبعاد

المحاور والمستويات الإحداثية

النظام الإحداثي ثلاثي الأبعاد يتكون من ثلاثة محاور متعامدة مثنى مثنى تتقاطع في نقطة واحدة هي نقطة الأصل $O (0, 0, 0)$ .
المحاور هي $O x$ و $O y$ و $O z$ ، وتسمى مجموعة المحاور الموجبة بترتيبها (س، ص، ع) مجموعة يمينية.
كل محورين يحددان مستوى إحداثيًّا المستوى xy ومعادلته z=0، والمستوى yz ومعادلته x=0، والمستوى xz ومعادلته y=0.
تقسم المستويات الثلاثة الفراغ إلى ثمانية أجزاء تسمى الثُّمونات.

3-1 النظام الإحداثي المتعامد في ثلاثة أبعاد

إحداثيات نقطة في الفراغ

كل نقطة $A$ في الفراغ تقابلها ثلاثية مرتبة وحيدة $(x, y, z)$ تسمى إحداثياتها، ونكتب $A (x, y, z)$ .
لتعيين النقطة $(a, b, c)$ نتحرك من الأصل $a$ وحدة في اتجاه محور $O x$ ، ثم $b$ وحدة موازيًا لمحور $O y$ ، ثم $c$ وحدة موازيًا لمحور $O z$ (للأعلى إن كانت موجبة وللأسفل إن كانت سالبة).
الإحداثي السالب يعني الحركة في الاتجاه السالب للمحور المقابل.

بعد النقطة عن المستويات والمحاور

بعد النقطة $(x, y, z)$ عن المستوى $x y$ يساوي $∣ z ∣$ .
بعدها عن المستوى $y z$ يساوي $∣ x ∣$ ، وعن المستوى $x z$ يساوي $∣ y ∣$ .
بعدها عن محور $O x$ يساوي $\sqrt{y^{2} + z^{2}}$ ، وعن محور $O y$ يساوي $\sqrt{x^{2} + z^{2}}$ ، وعن محور $O z$ يساوي $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

النقاط الواقعة على المحاور والمستويات

النقطة التي تقع في المستوى xy يكون إحداثيها الثالث صفرًا (x,y,0).
النقطة التي تقع على محور $O x$ على الصورة $(x, 0, 0)$ ، وعلى محور $O y$ على الصورة $(0, y, 0)$ ، وعلى محور $O z$ على الصورة $(0, 0, z)$ .
في مكعب طول ضلعه $a$ ينطبق أحد رءوسه على الأصل وتنطبق أحرفه على المحاور، تكون إحداثيات رءوسه كلها من الأعداد $0$ أو $a$ .

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1 عيّن بعد النقطة $A (3, - 2, 4)$ عن كل مستوى إحداثي وعن محور $O z$ .
الحل:
بعدها عن المستوى $x y$ يساوي $∣ 4 ∣ = 4$ وحدات.
بعدها عن المستوى $y z$ يساوي $∣ 3 ∣ = 3$ وحدات.
بعدها عن المستوى $x z$ يساوي $∣ - 2 ∣ = 2$ وحدة.
بعدها عن محور $O z$ يساوي $\sqrt{3^{2} + (- 2)^{2}} = \sqrt{13}$ وحدة.

النظام الإحداثي المتعامد والمتجهات في الفراغ · 2 / 12

3-1 البعد بين نقطتين في الفراغ

قانون البعد

إذا كانت $A (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ و $B (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ نقطتين في الفراغ فإن طول القطعة $\overline{A B}$ هو:
$A B = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} + (z_{2} - z_{1})^{2}}$

القانون امتداد لنظرية فيثاغورث في بعدين، ويُستخرج بتطبيقها مرتين على متوازي المستطيلات الذي قطره $A B$ .
ترتيب النقطتين لا يؤثر في النتيجة لأن الفروق تُربَّع.

تطبيقات القانون

إثبات أن مثلثًا قائم الزاويةاحسب أطوال أضلاعه الثلاثة، فإذا كان مربع الأكبر يساوي مجموع مربعي الآخرين فهو قائم عند الرأس المقابل للأكبر.

إثبات أن المثلث متساوي الساقينيكفي تساوي طولين من أضلاعه، وللمتساوي الأضلاع تتساوى الأطوال الثلاثة.

تعيين نقطة تحقق شرطًاضع الإحداثي المجهول

k

في القانون وساوِ الطولين فتحصل على معادلة في

k

✍️ أمثلة محلولة

أوجد البعد بين $A (1, 2, 3)$ و $B (4, 6, 15)$ .
الحل:

AB=(4−1)2+(6−2)2+(15−3)2

AB=9+16+144=169

$A B = 13$ وحدة طول.
مثال 2 أثبت أن المثلث $A B C$ قائم الزاوية حيث $A (1, 2, 3)$ و $B (2, 4, 5)$ و $C (4, 3, 5)$ ثم أوجد مساحته.
الحل:
$A B^{2} = 1 + 4 + 4 = 9$ ومنها $A B = 3$ .
$B C^{2} = 4 + 1 + 0 = 5$ ومنها $B C = \sqrt{5}$ .
$A C^{2} = 9 + 1 + 4 = 14$ .
بما أن $A B^{2} + B C^{2} = 9 + 5 = 14 = A C^{2}$ فالمثلث قائم الزاوية في $B$ .
المساحة $= \frac{1}{2} \times A B \times B C = \frac{1}{2} \times 3 \times \sqrt{5} = \frac{3 \sqrt{5}}{2}$ وحدة مربعة.
مثال 3 أوجد قيمة $k$ التي تجعل النقطة $P (k, 0, 0)$ متساوية البعد عن $A (1, 2, 2)$ و $B (3, 0, 2)$ .
الحل:
$P A^{2} = (k - 1)^{2} + 4 + 4 = (k - 1)^{2} + 8$ .
$P B^{2} = (k - 3)^{2} + 0 + 4 = (k - 3)^{2} + 4$ .
نساوي (k−1)2+8=(k−3)2+4 فينتج k2−2k+9=k2−6k+13.
$4 k = 4$ ومنها $k = 1$ .

قطر متوازي المستطيلات والمسافة بين نقطتين←3-1 البعد بين نقطتين في الفراغ

النظام الإحداثي المتعامد والمتجهات في الفراغ · 3 / 12

3-1 منتصف قطعة مستقيمة في الفراغ

قانون نقطة المنتصف

إذا كانت $A (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ و $B (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ فإن نقطة منتصف $\overline{A B}$ هي:

$M = (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2}, \frac{z_{1} + z_{2}}{2})$

إيجاد البعد بين نقطتين ومنتصف قطعة مستقيمة في الفراغ.

أي أن كل إحداثي للمنتصف هو المتوسط الحسابي للإحداثيين المتناظرين.

إيجاد أحد الطرفين

إذا عُلم المنتصف $M$ وأحد الطرفين $A$ فالطرف الآخر $B = 2 M - A$ (إحداثيًّا بإحداثي).
أي أن $x_{B} = 2 x_{M} - x_{A}$ وكذلك لبقية الإحداثيات.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1 أوجد منتصف $\overline{A B}$ حيث $A (2, - 4, 6)$ و $B (8, 2, - 2)$ .
الحل:
$x = \frac{2 + 8}{2} = 5$ .
$y = \frac{- 4 + 2}{2} = - 1$ .
$z = \frac{6 + (- 2)}{2} = 2$ .
المنتصف هو $(5, - 1, 2)$ .
مثال 2 النقطة $C (1, 3, - 2)$ منتصف $\overline{A B}$ وكانت $A (5, - 1, 4)$ ، أوجد $B$ .
الحل:
$x_{B} = 2 (1) - 5 = - 3$ .
$y_{B} = 2 (3) - (- 1) = 7$ .
$z_{B} = 2 (- 2) - 4 = - 8$ .
إذن $B (- 3, 7, - 8)$ .

النظام الإحداثي المتعامد والمتجهات في الفراغ · 4 / 12

3-2 متجه الموضع ومعيار المتجه

الكميات القياسية والمتجهة

الكمية القياسيةيكفي لتحديدها مقدار فقط، مثل الكتلة والزمن.

الكمية المتجهةتحتاج إلى مقدار واتجاه، مثل الإزاحة والقوة، ويمثلها قطعة مستقيمة موجهة.

متجه الموضع في الفراغ

متجه الموضع للنقطة $A (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ بالنسبة لنقطة الأصل هو القطعة الموجهة $\vec{O A}$ التي بدايتها الأصل ونهايتها $A$ .
يُرمز له بالرمز $\vec{A}$ ويُكتب بدلالة مركباته $\vec{A} = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ .
$a_{1}$ مركبة المتجه في اتجاه محور $O x$ ، و $a_{2}$ في اتجاه $O y$ ، و $a_{3}$ في اتجاه $O z$ .

معيار المتجه

معيار المتجه←

∥ \vec{A} ∥

هو طول القطعة الموجهة التي تمثله، ويُحسب من قانون البعد بين نقطتين:

∥A⃗∥=a12+a22+a32

المعيار دائمًا عدد غير سالب، ولا يساوي صفرًا إلا للمتجه الصفري.
إذا انعدمت إحدى مركبات المتجه فهو يوازي المستوى الإحداثي المقابل لمركبتيه الباقيتين؛ فمثلًا المتجه $(0, b, c)$ يقع في المستوى $y z$ .

✍️ أمثلة محلولة

أوجد معيار $\vec{A} = (2, - 3, 6)$ .
الحل:

∥A⃗∥=4+9+36

$∥ \vec{A} ∥ = \sqrt{49} = 7$ وحدات.

النظام الإحداثي المتعامد والمتجهات في الفراغ · 5 / 12

3-2 العمليات على المتجهات في الفراغ

جمع المتجهات وطرحها

إذا كان $\vec{A} = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ و $\vec{B} = (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ فإن:

$\vec{A} + \vec{B} = (a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}, a_{3} + b_{3})$
$\vec{A} - \vec{B} = (a_{1} - b_{1}, a_{2} - b_{2}, a_{3} - b_{3})$

خواص الجمع

الإبدال

\vec{A} + \vec{B} = \vec{B} + \vec{A}

الدمج

(\vec{A} + \vec{B}) + \vec{C} = \vec{A} + (\vec{B} + \vec{C})

المحايد الجمعيالمتجه الصفري

\vec{0} = (0, 0, 0)

حيث

\vec{A} + \vec{0} = \vec{A}

المعكوس الجمعيلكل متجه

\vec{A}

المتجه

- \vec{A}

بحيث

\vec{A} + (- \vec{A}) = \vec{0}

ضرب المتجه في عدد حقيقي

إذا كان $k$ عددًا حقيقيًّا فإن $k \vec{A} = (k a_{1}, k a_{2}, k a_{3})$ .
يكون $k \vec{A}$ في اتجاه $\vec{A}$ إذا كان $k > 0$ وفي عكس اتجاهه إذا كان $k < 0$ ، ومعياره $∥ k \vec{A} ∥ = ∣ k ∣ ∥ \vec{A} ∥$ .

خواص الضرب في عدد

$k (\vec{A} + \vec{B}) = k \vec{A} + k \vec{B}$ .
$(k + m) \vec{A} = k \vec{A} + m \vec{A}$ .
$k (m \vec{A}) = (k m) \vec{A}$ .
$1 \cdot \vec{A} = \vec{A}$ .

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1 إذا كان $\vec{A} = (2, - 1, 3)$ و $\vec{B} = (1, 4, - 2)$ فأوجد $\vec{A} + \vec{B}$ و $2 \vec{A} - 3 \vec{B}$ .
الحل:
$\vec{A} + \vec{B} = (2 + 1, - 1 + 4, 3 - 2) = (3, 3, 1)$ .
$2 \vec{A} = (4, - 2, 6)$ و $3 \vec{B} = (3, 12, - 6)$ .
$2 \vec{A} - 3 \vec{B} = (4 - 3, - 2 - 12, 6 + 6) = (1, - 14, 12)$ .
مثال 2 أوجد المتجه $\vec{X}$ إذا كان $3 \vec{X} + (2, - 1, 4) = (11, 5, - 2)$ .
الحل:
نطرح (2,−1,4) من الطرفين 3X⃗=(9,6,−6).
نقسم على 3 X⃗=(3,2,−2).

3-2 تساوي متجهين في الفراغ←3-2 العمليات على المتجهات في الفراغ

النظام الإحداثي المتعامد والمتجهات في الفراغ · 6 / 12

3-2 متجهات الوحدة الأساسية والصورة الكارتيزية

متجه الوحدة

متجه الوحدة←هو متجه معياره يساوي وحدة الأطوال.

متجهات الوحدة الأساسية

هي ثلاثة متجهات بدايتها الأصل وتشير إلى الاتجاهات الموجبة للمحاور:

i^=(1,0,0),j^=(0,1,0),k^=(0,0,1)

معيار كل منها يساوي $1$ وهي متعامدة مثنى مثنى.
تسمى ${\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}}$ مجموعة يمينية من متجهات الوحدة.

التعبير عن متجه بدلالة متجهات الوحدة

أي متجه $\vec{A} = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ يمكن كتابته على الصورة الكارتيزية:

A⃗=a1i^+a2j^+a3k^

لأن $(a_{1}, a_{2}, a_{3}) = a_{1} (1, 0, 0) + a_{2} (0, 1, 0) + a_{3} (0, 0, 1)$ .
وبالعكس فإن $2 \hat{i} - \hat{k}$ يساوي $(2, 0, - 1)$ .

✍️ أمثلة محلولة

إذا كان $\vec{A} = 3 \hat{i} - 4 \hat{j} + 12 \hat{k}$ فأوجد $∥ \vec{A} ∥$ .
الحل:

∥A⃗∥=32+(−4)2+122

$∥ \vec{A} ∥ = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$ .
إذا كان $\vec{A} = 2 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ و $\vec{B} = \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$ فأوجد $∥ \vec{A} + \vec{B} ∥$ .
الحل:
$\vec{A} + \vec{B} = 3 \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$ .
$∥ \vec{A} + \vec{B} ∥ = \sqrt{9 + 4 + 9} = \sqrt{22}$ .
ويلاحظ أن $∥ \vec{A} + \vec{B} ∥ \neq ∥ \vec{A} ∥ + ∥ \vec{B} ∥$ في الحالة العامة.

النظام الإحداثي المتعامد والمتجهات في الفراغ · 7 / 12

3-2 القطعة المستقيمة الموجهة بدلالة إحداثيات طرفيها

القاعدة

إذا كانت $A$ و $B$ نقطتين في الفراغ ومتجها موضعهما $\vec{A}$ و $\vec{B}$ فإن:

3-2 القطعة المستقيمة الموجهة بدلالة إحداثيات طرفيها

AB→=B⃗−A⃗

أي أن متجه القطعة من $A$ إلى $B$ هو إحداثيات النهاية ناقص إحداثيات البداية.
المتجهان AB→ وBA→ متساويان في المعيار ومتضادان في الاتجاه BA→=−AB→.
طول القطعة $A B = ∥ \vec{A B} ∥$ .

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1 إذا كانت $A (1, 2, 3)$ و $B (4, - 2, 15)$ فأوجد $\vec{A B}$ وطول $\overline{A B}$ .
الحل:
$\vec{A B} = (4 - 1, - 2 - 2, 15 - 3) = (3, - 4, 12)$ .
$A B = \sqrt{9 + 16 + 144} = 13$ وحدة.
مثال 2 إذا كان $\vec{A B} = (2, - 1, 5)$ و $A (1, 3, - 2)$ فأوجد إحداثيات $B$ .
الحل:
$\vec{B} = \vec{A} + \vec{A B}$ .
$\vec{B} = (1 + 2, 3 - 1, - 2 + 5) = (3, 2, 3)$ .
إذن $B (3, 2, 3)$ .

النظام الإحداثي المتعامد والمتجهات في الفراغ · 8 / 12

3-2 تساوي متجهين في الفراغ

شرط التساوي

يتساوى المتجهان $\vec{A} = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ و $\vec{B} = (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ إذا وفقط إذا تساوت مركباتهما المتناظرة:

a1=b1,a2=b2,a3=b3

التساوي في المتجهات يعطي ثلاث معادلات منفصلة، تستخدم لإيجاد ثلاثة مجاهيل.
المتجهان المتساويان لهما المعيار نفسه والاتجاه نفسه، حتى لو اختلفت نقطتا البداية.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1 أوجد قيم $a$ و $b$ و $c$ التي تجعل $(2 a - 1, 3, b + 2) = (5, c - 1, 4)$ .
الحل:
من المركبة الأولى 2a−1=5 ومنها a=3.
من الثانية 3=c−1 ومنها c=4.
من الثالثة b+2=4 ومنها b=2.
مثال 2 إذا كان $\vec{A} = (x + y, x - y, 2 z)$ و $\vec{B} = (7, 1, - 6)$ وكان $\vec{A} = \vec{B}$ فأوجد $x, y, z$ .
الحل:
$x + y = 7$ و $x - y = 1$ ومنها بالجمع $2 x = 8$ فيكون $x = 4$ و $y = 3$ .
$2 z = - 6$ ومنها $z = - 3$ .

النظام الإحداثي المتعامد والمتجهات في الفراغ · 9 / 12

3-2 متجه الوحدة في اتجاه متجه معلوم

القاعدة

متجه الوحدة $\hat{A}$ في اتجاه المتجه غير الصفري $\vec{A}$ يُحصل عليه بقسمة المتجه على معياره:

A^=A⃗∥A⃗∥

النتيجة معيارها $1$ وفي اتجاه $\vec{A}$ نفسه.
إذا أردنا متجهًا معياره $m$ في اتجاه $\vec{A}$ فهو $m \hat{A}$ ، وإذا أردنا متجهًا في الاتجاه المضاد فهو $- m \hat{A}$ .

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1 أوجد متجه الوحدة في اتجاه $\vec{A B}$ حيث $A (1, 2, 3)$ و $B (4, - 2, 15)$ .
الحل:
$\vec{A B} = (3, - 4, 12)$ ومعياره $13$ .
$\hat{u} = \frac{1}{13} (3, - 4, 12) = (\frac{3}{13}, - \frac{4}{13}, \frac{12}{13})$ .
مثال 2 أوجد متجهًا معياره $10$ في اتجاه $\vec{A} = (2, 3, 6)$ .
الحل:
$∥ \vec{A} ∥ = \sqrt{4 + 9 + 36} = 7$ .
المتجه المطلوب $= 10 \times \frac{1}{7} (2, 3, 6) = (\frac{20}{7}, \frac{30}{7}, \frac{60}{7})$ .

النظام الإحداثي المتعامد والمتجهات في الفراغ · 10 / 12

3-2 زوايا الاتجاه وجيوب تمام الاتجاه

التعريف

إذا صنع المتجه $\vec{A} = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ الزوايا $α$ و $β$ و $γ$ مع الاتجاهات الموجبة لمحاور $O x$ و $O y$ و $O z$ على الترتيب فهذه هي زوايا الاتجاه، وكل منها في الفترة $[0, π]$ .
وتسمى $\cos α$ و $\cos β$ و $\cos γ$ جيوب تمام الاتجاه للمتجه.

القوانين

cos⁡α=a1∥A⃗∥,cos⁡β=a2∥A⃗∥,cos⁡γ=a3∥A⃗∥

وبالتالي فإن متجه الوحدة في اتجاه $\vec{A}$ هو $(\cos α, \cos β, \cos γ)$ .
وبما أن معياره يساوي $1$ فإن:

cos⁡2α+cos⁡2β+cos⁡2γ=1

هذه العلاقة تُستخدم لإيجاد جيب تمام الاتجاه الثالث إذا عُلم اثنان.
وإذا عُلمت زوايا الاتجاه ومعيار المتجه $m$ فإن $\vec{A} = m (\cos α, \cos β, \cos γ)$ .

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1 أوجد جيوب تمام الاتجاه وزوايا الاتجاه للمتجه $\vec{A} = (2, 3, 6)$ .
الحل:
$∥ \vec{A} ∥ = 7$ .
$\cos α = \frac{2}{7}$ ومنها $α \approx 73. 4^{\circ}$ .
$\cos β = \frac{3}{7}$ ومنها $β \approx 64. 6^{\circ}$ .
$\cos γ = \frac{6}{7}$ ومنها $γ \approx 31. 0^{\circ}$ .
التحقق 449+949+3649=1.
مثال 2 قوة معيارها $12$ نيوتن تصنع زاوية $6 0^{\circ}$ مع $O x$ وزاوية $4 5^{\circ}$ مع $O y$ وزاوية حادة مع $O z$ ، عبّر عنها بالصورة الكارتيزية.
الحل:
$\cos^{2} γ = 1 - \cos^{2} 6 0^{\circ} - \cos^{2} 4 5^{\circ} = 1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ .
بما أن الزاوية حادة فإن $\cos γ = \frac{1}{2}$ أي $γ = 6 0^{\circ}$ .
$\vec{F} = 12 (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}) = (6, 6 \sqrt{2}, 6)$ نيوتن.
مثال 3 هل يمكن أن يصنع متجه زوايا $3 0^{\circ}$ و $6 0^{\circ}$ و $6 0^{\circ}$ مع المحاور؟
الحل:
$\cos^{2} 3 0^{\circ} + \cos^{2} 6 0^{\circ} + \cos^{2} 6 0^{\circ} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{5}{4} \neq 1$ .
إذن لا يمكن.

النظام الإحداثي المتعامد والمتجهات في الفراغ · 11 / 12

3-2 تقسيم قطعة مستقيمة بنسبة معلومة

نقطة تقسّم القطعة داخليًّا

إذا قسمت النقطة P القطعة AB‾ داخليًّا بنسبة m←n (أي AP:PB=m:n) فإن:

P⃗=nA⃗+mB⃗m+n

AP→=mm+nAB→ ومنها P⃗=A⃗+mm+n(B⃗−A⃗).
عندما $m = n$ نحصل على قانون المنتصف $\frac{\vec{A} + \vec{B}}{2}$ .

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1 أوجد النقطة $P$ التي تقسم $\overline{A B}$ بنسبة $1 : 2$ من جهة $A$ حيث $A (1, 2, 3)$ و $B (7, 8, 9)$ .
الحل:
$m = 1$ و $n = 2$ ومنها $\vec{P} = \frac{2 \vec{A} + \vec{B}}{3}$ .
$\vec{P} = \frac{(2, 4, 6) + (7, 8, 9)}{3} = \frac{(9, 12, 15)}{3} = (3, 4, 5)$ .
التحقق AP→=(2,2,2)=13(6,6,6)=13AB→.

النظام الإحداثي المتعامد والمتجهات في الفراغ · 12 / 12

المناهج الدراسية

الرياضيات

الفصل الأول - التفاضل والتكامل (Calculus)

الفصل الثاني - الجبر والهندسة الفراغية (Algebra & Solid Geometry)

الفصل الثالث - الاستاتيكا (Statics)

الفصل الرابع - الديناميكا (Dynamics)

الفصل الخامس - الجبر الأساسي وحساب المثلثات والإحصاء والاحتمال

دروس إضافية

النظام الإحداثي المتعامد والمتجهات في الفراغ

🌳 شجرة المفاهيم

النظام الإحداثي المتعامد والمتجهات في الفراغ

├── 3-1 النظام الإحداثي المتعامد في ثلاثة أبعاد

│ ├── المحاور والمستويات الإحداثية

│ ├── إحداثيات نقطة في الفراغ

│ ├── بعد النقطة عن المستويات والمحاور

│ └── النقاط الواقعة على المحاور والمستويات

├── 3-1 البعد بين نقطتين في الفراغ

│ ├── قانون البعد

│ └── تطبيقات القانون

├── 3-1 منتصف قطعة مستقيمة في الفراغ

│ ├── قانون نقطة المنتصف

│ └── إيجاد أحد الطرفين

├── 3-2 متجه الموضع ومعيار المتجه

│ ├── الكميات القياسية والمتجهة

│ ├── متجه الموضع في الفراغ

│ └── معيار المتجه

├── 3-2 العمليات على المتجهات في الفراغ

│ ├── جمع المتجهات وطرحها

│ ├── خواص الجمع

│ ├── ضرب المتجه في عدد حقيقي

│ └── خواص الضرب في عدد

│ ├── متجه الوحدة

│ ├── متجهات الوحدة الأساسية

│ └── التعبير عن متجه بدلالة متجهات الوحدة

│ └── القاعدة

├── 3-2 تساوي متجهين في الفراغ

│ └── شرط التساوي

├── 3-2 متجه الوحدة في اتجاه متجه معلوم

│ └── القاعدة

├── 3-2 زوايا الاتجاه وجيوب تمام الاتجاه

│ ├── التعريف

│ └── القوانين

└── 3-2 تقسيم قطعة مستقيمة بنسبة معلومة

└── نقطة تقسّم القطعة داخليًّا

المحاور والمستويات الإحداثية

إحداثيات نقطة في الفراغ

بعد النقطة عن المستويات والمحاور

النقاط الواقعة على المحاور والمستويات

✍️ أمثلة محلولة

قانون البعد

تطبيقات القانون

✍️ أمثلة محلولة

AB=(4−1)2+(6−2)2+(15−3)2

AB=9+16+144=169

قانون نقطة المنتصف

إيجاد أحد الطرفين

✍️ أمثلة محلولة

الكميات القياسية والمتجهة

متجه الموضع في الفراغ

معيار المتجه

∥A⃗∥=a12+a22+a32

✍️ أمثلة محلولة

∥A⃗∥=4+9+36

جمع المتجهات وطرحها

ضرب المتجه في عدد حقيقي

خواص الضرب في عدد

✍️ أمثلة محلولة

متجه الوحدة

متجهات الوحدة الأساسية

i^=(1,0,0),j^=(0,1,0),k^=(0,0,1)

التعبير عن متجه بدلالة متجهات الوحدة

A⃗=a1i+a2j+a3k^

✍️ أمثلة محلولة

∥A⃗∥=32+(−4)2+122

القاعدة

AB→=B⃗−A⃗

✍️ أمثلة محلولة

شرط التساوي

a1=b1,a2=b2,a3=b3

✍️ أمثلة محلولة

A⃗=a1i^+a2j^+a3k^