الفكرة

• المركبة الجبرية للمتجه $\vec{A}$ في اتجاه المتجه $\vec{B}$ تساوي $\mathrm{\parallel }\vec{A}\mathrm{\parallel }\cos \theta$ حيث $\theta$ هي الزاوية بينهما.
• حاصل ضرب معيار $\vec{B}$ في هذه المركبة هو مساحة مستطيل بعداه $\mathrm{\parallel }\vec{B}\mathrm{\parallel }$ و$\mathrm{\parallel }\vec{A}\mathrm{\parallel }\cos \theta$، وهذا هو الضرب القياسي.

• إذا كان $\vec{A}$ و$\vec{B}$ متجهين والزاوية بينهما $\theta$ فإن الضرب القياسي (الضرب النقطي) هو:
• $$\vec{A}\cdot \vec{B}=\mathrm{\parallel }\vec{A}\mathrm{\parallel }\mathrm{\parallel }\vec{B}\mathrm{\parallel }\cos \theta$$

• يُقرأ "$\vec{A}$ ضرب قياسي $\vec{B}$"، والناتج عدد حقيقي وليس متجهًا.
• يكون الناتج موجبًا إذا كانت $\theta$ حادة، وسالبًا إذا كانت $\theta$ منفرجة، وصفرًا إذا كانت $\theta =90^{\circ }$.

• لتحديد الزاوية بين متجهين يجب أن يخرجا (أو يدخلا) من النقطة نفسها، فإن لم يكونا كذلك ننقل أحدهما بالتوازي.
• الزاوية بين المتجهين تقع بين $0^{\circ }$ و$180^{\circ }$.
• معيار متجه الوحدة يساوي $1$.

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 1 إذا كان $\mathrm{\parallel }\vec{A}\mathrm{\parallel }=4$ و$\mathrm{\parallel }\vec{B}\mathrm{\parallel }=3$ والزاوية بينهما $60^{\circ }$ فأوجد $\vec{A}\cdot \vec{B}$.
• الحل:

A⃗⋅B⃗=4×3×cos⁡60∘

• $\vec{A}\cdot \vec{B}=12\times {\displaystyle \frac{1}{2}}=6$.
• مثال 2 إذا كان $\mathrm{\parallel }\vec{A}\mathrm{\parallel }=5$ و$\mathrm{\parallel }\vec{B}\mathrm{\parallel }=2$ والزاوية بينهما $120^{\circ }$ فأوجد $\vec{A}\cdot \vec{B}$.
• الحل:

A⃗⋅B⃗=5×2×cos⁡120∘

• $\vec{A}\cdot \vec{B}=10\times (-{\displaystyle \frac{1}{2}})=-5$.
• مثال 3 في المثلث المتساوي الأضلاع $ABC$ طول ضلعه $6$ سم، أوجد $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$ ثم $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CA}$.
• الحل:
• المتجهان $\overrightarrow{AB}$ و$\overrightarrow{AC}$ يخرجان من $A$ والزاوية بينهما $60^{\circ }$.
• $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=6\times 6\times \cos 60^{\circ }=18$.
• $\overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AC}$ فتصبح الزاوية بين $\overrightarrow{AB}$ و$\overrightarrow{CA}$ هي $120^{\circ }$.
• $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CA}=6\times 6\times \cos 120^{\circ }=-18$.

المركبة الجبرية

1. مركبة (المركبة الجبرية) المتجه $\vec{A}$ في اتجاه المتجه $\vec{B}$ هي:
2. $${\text{comp}}_{\vec{B}}\vec{A}=\mathrm{\parallel }\vec{A}\mathrm{\parallel }\cos \theta =\frac{\vec{A}\cdot \vec{B}}{\mathrm{\parallel }\vec{B}\mathrm{\parallel }}=\vec{A}\cdot \widehat{B}$$

• هي عدد حقيقي إشارته من إشارة cos⁡θ موجبة إذا كانت الزاوية حادة، وسالبة إذا كانت منفرجة، وتنعدم إذا كان المتجهان متعامدين.
• تنعدم مركبة متجه في اتجاه متجه آخر عندما يكون المتجهان متعامدين.

• المركبة الاتجاهية للمتجه $\vec{A}$ في اتجاه $\vec{B}$ هي متجه في اتجاه $\vec{B}$ نفسه:
• $${\text{proj}}_{\vec{B}}\vec{A}=\left(\frac{\vec{A}\cdot \vec{B}}{\mathrm{\parallel }\vec{B}{\mathrm{\parallel }}^2}\right)\vec{B}$$

1. أي أنها المركبة الجبرية مضروبة في متجه الوحدة $\widehat{B}$.
2. المتجه $\vec{A}-{\text{proj}}_{\vec{B}}\vec{A}$ عمودي على $\vec{B}$، وهو المركبة العمودية.

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 1 أوجد مركبة $\vec{A}=(2,3,6)$ في اتجاه $\vec{B}=(1,2,2)$ ثم المركبة الاتجاهية.
• الحل:
• $\vec{A}\cdot \vec{B}=2+6+12=20$ و$\mathrm{\parallel }\vec{B}\mathrm{\parallel }=3$.
• المركبة الجبرية $={\displaystyle \frac{20}{3}}\approx 6.67$.
• المركبة الاتجاهية $={\displaystyle \frac{20}{9}}(1,2,2)=({\displaystyle \frac{20}{9}},{\displaystyle \frac{40}{9}},{\displaystyle \frac{40}{9}})$.
• مثال 2 أوجد مركبة القوة $\vec{F}=(3,-2,5)$ نيوتن في اتجاه $\overrightarrow{AB}$ حيث $A(1,0,2)$ و$B(3,1,4)$.
• الحل:
• $\overrightarrow{AB}=(2,1,2)$ ومعياره $3$.
• $\vec{F}\cdot \overrightarrow{AB}=6-2+10=14$.
• المركبة $={\displaystyle \frac{14}{3}}$ نيوتن.
• مثال 3 مكعب طول ضلعه $a$ ورءوسه $O(0,0,0)$ و$A(a,0,0)$ و$C(0,a,0)$ و$D(0,0,a)$، أوجد مركبة $\overrightarrow{OG}$ حيث $G(a,a,a)$ في اتجاه $\overrightarrow{OA}$.
• الحل:
• $\overrightarrow{OG}=(a,a,a)$ و$\overrightarrow{OA}=(a,0,0)$.
• $\overrightarrow{OG}\cdot \overrightarrow{OA}=a^2$ و$\mathrm{\parallel }\overrightarrow{OA}\mathrm{\parallel }=a$.
• المركبة $=a$ وحدة.