المناهج الدراسية
تسجيل الدخول

المناهج الدراسية

الرياضيات

الفصل الأول - التفاضل والتكامل (Calculus)

0/86

الفصل الثاني - الجبر والهندسة الفراغية (Algebra & Solid Geometry)

0/50

الفصل الثالث - الاستاتيكا (Statics)

0/21

الفصل الرابع - الديناميكا (Dynamics)

0/35

الفصل الخامس - الجبر الأساسي وحساب المثلثات والإحصاء والاحتمال

0/40

دروس إضافية

0/193
نص الدرس

الدرس الأول: التناسب وتطبيقات النسبة ومقياس الرسم والتقسيم التناسبي

الرياضيات

الدرس الأول: التناسب وتطبيقات النسبة ومقياس الرسم والتقسيم التناسبي

مقدمة الدرس

مقدمة الدرس

🌳 شجرة المفاهيم

  • الدرس الأول التناسب وتطبيقات النسبة ومقياس الرسم والتقسيم التناسبي
  • ├── المصطلحات العلمية
  • ├── القوانين والعلاقات
  • ├── مفهوم النسبة وخواصها والمعدل الرياضي
  • ├── التناسب وخواصه الخمس والتناسب المتسلسل
  • ├── تطبيقات حياتية
  • ├── جداول المقارنة
  • ├── أمثلة محلولة
  • └── تكات وملاحظات امتحانية
الدرس الأول: التناسب وتطبيقات النسبة ومقياس الرسم والتقسيم التناسبي · 1 / 14
المصطلحات العلمية

المصطلحات العلمية

وجه المقارنةالفكرة الأساسيةمثالكلمات مفتاحية
النسبة (Ratio)
  • مقارنة رياضية بالقسمة بين كميتين أو عددين من نفس النوع ونفس وحدات القياس
  • وتكتب في صورة كسر أ / ب أو أ : ب
  • والعدد الأول يسمى مقدم النسبة والعدد الثاني يسمى تالي النسبة
—مقارنةرياضيةبالقسمةكميتين
المعدل (Rate)مقارنة بين كميتين من نوعين مختلفين ووحدتي قياس مختلفتينسرعة السيارة (كم/ساعة) أو معدل إنتاج الآلة (متر/دقيقة)مقارنةكميتيننوعينمختلفين
التناسب (Proportion)
  • تساوي نسبتين أو أكثر
  • فإذا كان أ / ب = جـ / د فإن الأعداد أ
  • د تسمى كميات متناسبة (أ هو الأول المتناسب
  • ب هو الثاني المتناسب
  • جـ هو الثالث
  • د هو الرابع المتناسب)
—تساوينسبتينأكثرفإذا
الوسط المتناسب (Mean Proportional)
  • في التناسب المتسلسل أ / ب = ب / جـ
  • يسمى ب الوسط المتناسب بين أ و جـ
  • ويحسب من العلاقة: ب2 = أ × جـ أو ب = ± √(أ × جـ)
—التناسبالمتسلسليسمىويحسب
مقياس الرسم (Drawing Scale)
  • النسبة بين الطول في الرسم (أو الخريطة) إلى الطول الحقيقي المقابل له في الواقع
  • فإذا كان مقياس الرسم أصغر من 1 دل على التصغير
  • وإذا كان أكبر من 1 دل على التكبير
—النسبةالطولالخريطةالحقيقي
التقسيم التناسبي (Proportional Division)
  • تقسيم كمية معينة (أموال
  • أراضي
  • أرباح
  • أو تركات) بنسب معلومة بين عدة أطراف مستحقين وفق حصصهم المتفق عليها شرعاً أو قانوناً
—كميةمعينةأموالأراضي
الدرس الأول: التناسب وتطبيقات النسبة ومقياس الرسم والتقسيم التناسبي · 2 / 14
القوانين والعلاقات

القوانين والعلاقات

وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
الخاصية الأساسية للتناسب
  • [ الصيغة الفيزيائية والرياضية: a / b = c / d &lt
  • ==&gt
  • a × d = b × c ] حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين (الضرب التبادلي المقص)
الصيغةالفيزيائيةوالرياضيةحاصل
خاصية مجموع المقدمات ومجموع التوالي[ الصيغة الفيزيائية والرياضية: (a + c + e +…) / (b + d + f +…) = a / b = c / d ] مجموع المقدمات على مجموع التوالي يساوي إحدى النسبالصيغةالفيزيائيةوالرياضيةيساوي
قانون الوسط المتناسب[ الصيغة الفيزيائية والرياضية: b = ± √(a × c) ] الوسط المتناسب بين عددين موجبينالصيغةالفيزيائيةوالرياضيةعددين
قانون مقياس الرسم
  • [ الصيغة الفيزيائية والرياضية: Drawing Scale = (Length in Drawing) / Actual Length ] يشترط توحيد وحدات القياس (التحويل من متر أو كم إلى سم بضرب كم في 100
  • 000 والمتر في 100)
الصيغةالفيزيائيةوالرياضيةDrawing
الدرس الأول: التناسب وتطبيقات النسبة ومقياس الرسم والتقسيم التناسبي · 3 / 14
مفهوم النسبة وخواصها والمعدل الرياضي

مفهوم النسبة وخواصها والمعدل الرياضي

  • النسبة هي أساس التفكير الكمي والمقارنة في الرياضيات والحياة العملية.
  • عند مقارنة وزنين أو طولين أو مبلغين ماليين، نقسم الكمية الأولى على الثانية.
  • من أهم خواص النسبة:

  1. النسبة لا تتغير قيمتها إذا ضرب أو قسم حداها (المقدم والتالي) في نفس العدد الحقيقي غير الصفري.

  2. النسبة ليس لها وحدة تمييز (عديمة الأبعاد) لأنها نسبة بين كميتين من نفس النوع والوحدة، فإذا كان الطول الأول 2 متر والثاني 50 سم، نحول المتر إلى سم أولاً (200 سم) فتصبح النسبة 200 : 50 = 4 : 1.

  1. المعدل هو المقارنة بين كميتين مختلفتين
  2. وله دائماً وحدة تمييز مركبة
  3. مثل استهلاك الوقود: (لتر / 100 كم) أو معدل ضخ المياه (لتر / ثانية)
  4. وهو أساس دراسة السرعة والمعدلات الزمنية في علم التفاضل لاحقاً.
الدرس الأول: التناسب وتطبيقات النسبة ومقياس الرسم والتقسيم التناسبي · 4 / 14
التناسب وخواصه الخمس والتناسب المتسلسل

التناسب وخواصه الخمس والتناسب المتسلسل

وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
•التناسب هو تساوي نسبتين أو أكثر. الخواص الجوهرية للتناسبالتناسبتساوينسبتينأكثر
الخاصية 1
  • حاصل ضرب الطرفين يساوي حاصل ضرب الوسطين: a.d = b.c
  • ومنها يمكن إيجاد أي حد مجهول مباشرة
حاصلالطرفينيساويالوسطين
الخاصية 2
  • إذا كان a.d = b.c
  • فإن a / b = c / d وكذلك a / c = b / d (مقدم على مقدم = تالٍ على تالٍ)
وكذلكمقدم
الخاصية 3إذا كان

a / b = c / d = m

  • (ثابت التناسب)، فإن a = b.m و c = d.m، وتستخدم هذه الفرضية لحل براهين المتطابقات الجبرية المعقدة.
  • الخاصية 4 إذا كان a / b = c / d، فإن

(a + b) / b = (c + d) / d

و

(a – b) / b = (c – d) / d

  • .
  • الخاصية 5 مجموع المقدمات على مجموع التوالي يساوي إحدى النسب:

(a + c) / (b + d) = a / b

  • .
التناسب المتسلسليقال للكميات a, b, c أنها في تناسب متسلسل إذا كان a / b = b / c.
وفي هذه الحالةb2 = a.c و b = ±√(a.c).
وإذا كانت الكميات أربعة a, b, c, d في تناسب متسلسلa / b = b / c = c / d = m ، فإن: c = d.m، و b = d.m2، و a = d.m3.
الدرس الأول: التناسب وتطبيقات النسبة ومقياس الرسم والتقسيم التناسبي · 5 / 14
تطبيقات حياتية

تطبيقات حياتية

مقياس الرسم في الهندسة والخرائطمقياس الرسم = الطول في الرسم / الطول الحقيقي.
إذا كان مقياس الرسم 1500,000، فهذا يعني أن كل 1 سم على الخريطة يمثل في الواقع الحقيقي 500,000 سم = 5,000 متر = 5 كم على الأرض.
التقسيم التناسبي وحساب الأرباح والشركات←عند توزيع أرباح شركة بين ثلاثة شركاء ساهموا برؤوس أموال مختلفة، نحسب مجموع الأجزاء (Sum of Ratio Parts)، ثم نحسب قيمة الجزء الواحد بقسمة إجمالي المبلغ المراد توزيعه على مجموع الأجزاء، ثم نضرب قيمة الجزء الواحد في عدد أجزاء كل شريك لمعرفة نصيبه الدقيق.
مقياس الرسم
مقياس الرسم
وجه المقارنةالفكرة الأساسيةمثالكلمات مفتاحية
مقياس الرسم في الهندسة والخرائطمقياس الرسم = الطول في الرسم / الطول الحقيقي—الطولالحقيقي
إذا كان مقياس الرسم 1
  • 500
  • 000
  • فهذا يعني أن كل 1 سم على الخريطة ي
  • في الواقع الحقيقي 500
  • 000 سم = 5
  • 000 متر = 5 كم على الأرض
فهذايعنيالخريطةيمثل
مقياس الرسم (Drawing Scale)
  • النسبة بين الطول في الرسم (أو الخريطة) إلى الطول الحقيقي المقابل له في الواقع
  • فإذا كان مقياس الرسم أصغر من 1 دل على التصغير
  • وإذا كان أكبر من 1 دل على التكبير
—النسبةالطولالخريطةالحقيقي
التقسيم التناسبي
التقسيم التناسبي
مسائل الميراث والتركات الشرعية←تطبيق مباشر على التقسيم التناسبي بعد سداد الديون والوصايا وتوزيع الفروض المقدرة شرعاً للزوجة والوالدين، ثم تقسيم الباقي على الأبناء للذكر مثل حظ الأنثيين بنسبة (2 : 1).
نموذج خشبي لمنزل بمقياس الرسم 1 : 50 فطوله 20 سم يقابل 10 م في الحقيقة.
نموذج خشبي لمنزل بمقياس الرسم 1 : 50 فطوله 20 سم يقابل 10 م في الحقيقة.
نموذج خشبي لمنزل بمقياس الرسم 1←50 فطوله 20 سم يقابل 10 م في الحقيقة.: تطبيقات حياتية
الدرس الأول: التناسب وتطبيقات النسبة ومقياس الرسم والتقسيم التناسبي · 6 / 14
جداول المقارنة

جداول المقارنة

جدول←جدول مقارنة بين النسبة والتناسب والتناسب المتسلسل
وجه المقارنة النسبة (Ratio) التناسب (Proportion) التناسب المتسلسل (Continued Proportion)
التعريف الرياضي مقارنة بالقسمة بين كميتين من نفس النوع تساوي نسبتين أو أكثر رياضياً تساوي نسب متتابعة بحيث تالي الأولى هو مقدم الثانية
الصيغة الرمزية أ : ب (أو أ / ب) أ / ب = جـ / د أ / ب = ب / جـ = جـ / د
العلاقة الجبرية الأساسية لا تتغير بالضرب أو القسمة في ثابت حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين ب2 = أ × جـ (مربع الوسط = حاصل ضرب الطرفين)
عدد الكميات الأدنى كميتان اثنتان فقط أربع كميات متناسبة ثلاث كميات على الأقل (أ، ب، جـ)
أهم التطبيقات المقارنات والنسب المئوية والكسور مقياس الرسم والتقسيم التناسبي المتتاليات الهندسية والنمو والاضمحلال
الدرس الأول: التناسب وتطبيقات النسبة ومقياس الرسم والتقسيم التناسبي · 7 / 14
أمثلة محلولة

أمثلة محلولة

وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
إثبات صحة متطابقة بالتناسب المتسلسلالمعطيات والمطلوبإذا كانت الكميات أ، ب، جـ، د في تناسب متسلسل، فأثبت أن: (أ – 2 ب) / (ب – 2 جـ) = (أ + 3 ب) / (ب + 3 جـ).خطوات الحل والبرهان الفيزيائي: [1] بما أن أ، ب، جـ، د في تناسب متسلسل، فإن: أ / ب = ب / جـ = جـ / د = م (حيث م ثابت لا يساوي الصفر). [2] نستنتج أن: جـ = د م، و ب = جـ م = د م2، و أ = ب م = د م3. [3] أولاً: نبسط الطرف الأيمن: (أ – 2 ب) / (ب – 2 جـ) = (د م3 – 2 د م2) / (د م2 – 2 د م). [4] بأخذ العامل المشترك في البسط والمقام: البسط = د م2 (م – 2)، والمقام = د م (م – 2). [5] باختصار المقدار المشترك (م – 2) واختصار د م: الطرف الأيمن = د م2 / د م = م. [6] ثانياً: نبسط الطرف الأيسر: (أ + 3 ب) / (ب + 3 جـ) = (د م3 + 3 د م2) / (د م2 + 3 د م). [7] بأخذ العامل المشترك: البسط = د م2 (م + 3)، والمقام = د م (م + 3). [8] باختصار المقدار (م + 3) واختصار د م: الطرف الأيسر = د م2 / د م = م. [9] الاستنتاج: بما أن الطرف الأيمن = م، والطرف الأيسر = م، إذاً الطرفان متساويان تماماً وهو المطلوب إثباته برهانياً.💡 فنية وتريك للحل السريع وتجنب الخطأ: طريقة التعويض بـ م هي الطريقة المعتمدة في الامتحانات لحل أي إثبات تناسب في دقيقة واحدة!كانتالكمياتفأثبتخطوات
مسألة مقياس الرسم والمسافة الحقيقيةالمعطيات والمطلوب
  • خريطة مرسومة بمقياس رسم 1 : 250
  • 000. إذا كانت المسافة بين مدينتين على الخريطة هي 6.4 cm. احسب المسافة الحقيقية بين المدينتين على أرض الواقع بالكيلومترات.خطوات الحل والبرهان الفيزيائي: [1] قانون مقياس الرسم: مقياس الرسم = الطول في الرسم / الطول الحقيقي. ([2] 1) / 250
  • 000 = 6.4 cm / الطول الحقيقي. [3] الطول الحقيقي بالسنتيمتر = 6.4 × 250
  • 000 = 1
  • 600
  • 000 cm. [4] للتحويل من سنتيمتر إلى كيلومتر
  • نقسم على 100
  • 000 (لأن الكيلومتر = 1000 متر = 100
  • 000 سم). [5] المسافة الحقيقية بالكيلومتر = 1
  • 600
  • 000 / 100
  • 000 = 16 km. [6] الاستنتاج: المسافة الحقيقية بين المدينتين تساوي 16 كيلومتراً.💡 فنية وتريك للحل السريع وتجنب الخطأ: تذكر دائماً: للتحويل من سم إلى كم نقسم على 100
  • 000
  • وللتحويل من كم إلى سم نضرب في 100
  • 000!
خريطةمرسومةبمقياسكانت
الدرس الأول: التناسب وتطبيقات النسبة ومقياس الرسم والتقسيم التناسبي · 8 / 14
تكات وملاحظات امتحانية

تكات وملاحظات امتحانية

  • النسبة تكون بين كميتين من نفس النوع والوحدة، بينما المعدل بين كميتين من نوعين مختلفين وله وحدة تمييز.
  • الوسط المتناسب بين عددين أ و جـ يساوي ±√(أ × جـ)، وإذا طلب الموجب فقط يحدد صراحة في السؤال.
  • مقياس الرسم أكبر من 1 يدل على التكبير (مثل فحص الحشرات والخلايا)، وأصغر من 1 يدل على التصغير (مثل الخرائط والتصميمات الهندسية).
  • مجموع المقدمات على مجموع التوالي يساوي إحدى النسب وهي مفتاح حل البراهين الرياضية.
  • التقسيم التناسبي يعتمد على خطوتين إيجاد قيمة الجزء الواحد، ثم ضربها في أجزاء كل طرف.
  • .egp-ex{margin:18px 0;border:1px solid rgba(79,63,224,.2);border-radius:16px;overflow:hidden;background:#fff}.egp-ex-h{padding:10px 16px;font-weight:800;background:linear-gradient(90deg,#4f3fe0,#22c1c3);color:#fff}.egp-ex-tabs{display:flex;flex-wrap:wrap;gap:6px;padding:10px 12px;background:#f7f6ff}.egp-ex-b{border:1px solid rgba(79,63,224,.3);background:#fff;border-radius:20px;padding:5px 14px;font-weight:700;cursor:pointer}.egp-ex-b.on{background:#4f3fe0;color:#fff}.egp-ex-p{padding:12px 16px}function egpEx(b,k){var w=b.closest(‘.egp-ex’);w.querySelectorAll(‘.egp-ex-b’).forEach(function(x,i){x.classList.toggle(‘on’,i===k)});w.querySelectorAll(‘.egp-ex-p’).forEach(function(x,i){x.hidden=i!==k})}
الدرس الأول: التناسب وتطبيقات النسبة ومقياس الرسم والتقسيم التناسبي · 9 / 14
الجداول والمخططات التوضيحية المستخرجة من أصول المنهج

الجداول والمخططات التوضيحية المستخرجة من أصول المنهج

💡 بيانات وجداول قياسية←تم استخراج كافة البيانات والجداول والمخططات التشريحية من أصول المنهج المعتمد بدقة عالية لتثبيت الفهم وربط النظري بالعملي.
العنصر / وجه المقارنة البيانات والخصائص المستخرجة
نقطة 1 ع .10
نقطة 2 ا غ0ع0معمع170 .0 .11
نقطة 3 عاطا0/الاعمع؟ .0 .13
نقطة 4 0205 . .14
نقطة 5 01600 . ,16
نقطة 6 0م600 .0 .18
نقطة 7 6100 .20.0
نقطة 8 50م .22.0
نقطة 9 ل6معنا) .ء .12
نقطة 10 105-كاء76© .0 .15
نقطة 11 00 أنااملاء ع .17
نقطة 12 +0100 . .19

🔬 شكل 1 – خواص التناسب وحاصل ضرب الطرفين والوسطين

  • التفاصيل العلمية والملاحظات الدقيقة المأخوذة من الرسم التوضيحي:
  • اعع؟ الأبلا ناميا ,لااأطغامع! أمع ناميا )1 .0 .50
  • تن
  • إعنع0 مم51
  • 5ع و7 أرلاهااه؟ عدا عام باع 8 .2
  • مغ كأعناعهةط ما [5]ل2منلا عطاة ومأكنا
  • .56017 عرهد عدا عزاو
  • .وتممع] لعييمام يعبعم علا .51
  • ع 0للنام عط يمام مغ لعدنا 56 .52
  • .لالط ه كملا عاد
  • .105 ]أ )أ عأمعام عط عباوط “مويه ع للا .53

🔬 شكل 2 – التمثيل البياني للتغير الطردي والتغير العكسي

  • التفاصيل العلمية والملاحظات الدقيقة المأخوذة من الرسم التوضيحي:
  • (2) بلاعأياء 8
  • 256
  • زان وأناطوعملا .8
  • 5اء للاكقه أعع زم [2] 11//0 عا عدهمه6 .1
  • ع نأو كمماغمه [5] ع/ا1ع عط 6ه غناه
  • امأمعناكما .ع عاطه »ا مممع.؟ .1.0
  • لامع -معع .0 امم ماهم .2.6
  • ععمع ناماع 0م15 .3,0
  • +معمع] ألم ,ع ا2ه! .0 .4
  • ممع .ع عاممماد .ط .5

🔬 prep3_direct_and_inverse_variation_graphs

  • التفاصيل العلمية والملاحظات الدقيقة المأخوذة من الرسم التوضيحي:
  • 2-2 (دجعن ‏ 6-0-عن ب ةرم (2) .ناوع هذ (1) .نا؟ 050 5منادانازطنات [1]
  • سةة 62 ادن 6-7 + 06-105 ..
  • كدو عه فعترث () سمع دسم 1 10

006:5 1-3 د 5ك مط 22+20 عات 6-0

2–26ع0 22-3

وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
-7-دات 2[10+2-7ا 3– لعن 2 – نز .’. : (1) .ناوء ما عمتانطاوطناهناوءعمتانطاوطناه
•ممنادناوء لمممععهة عط هذ عصتابةغ تقطن 3 [(3-:2(:)2: 3) 3.5.2 عطممنادناوءلمممععهةعصتابةغتقطن
– 7-220 2+3 +223(2) .ناو هذ (1) .نوع درم عمتاسانوطن5 [2]عمتاسانوطن5

21-62-19-0 وير +23 2-255( 5 ب

2-0+ع 22-5 2-5 بوه يوج برو 25-10

الدرس الأول: التناسب وتطبيقات النسبة ومقياس الرسم والتقسيم التناسبي · 10 / 14
الجزء 11

الجزء 11

  • 📖
الدرس الأول: التناسب وتطبيقات النسبة ومقياس الرسم والتقسيم التناسبي · 11 / 14
📌 قاموس المصطلحات والمفاهيم العلمية الدقيقة:

📌 قاموس المصطلحات والمفاهيم العلمية الدقيقة:

  • النسبة (Ratio):
  • مقارنة رياضية بالقسمة بين كميتين أو عددين من نفس النوع ونفس وحدات القياس، وتكتب في صورة كسر أ / ب أو أ : ب، والعدد الأول يسمى مقدم النسبة والعدد الثاني يسمى تالي النسبة.
  • المعدل (Rate):
  • مقارنة بين كميتين من نوعين مختلفين ووحدتي قياس مختلفتين، مثل سرعة السيارة (كم/ساعة) أو معدل إنتاج الآلة (متر/دقيقة).
  • التناسب (Proportion):
  • تساوي نسبتين أو أكثر، فإذا كان أ / ب = جـ / د فإن الأعداد أ، ب، جـ، د تسمى كميات متناسبة (أ هو الأول المتناسب، ب هو الثاني المتناسب، جـ هو الثالث، د هو الرابع المتناسب).
  • الوسط المتناسب (Mean Proportional):
  • في التناسب المتسلسل أ / ب = ب / جـ، يسمى ب الوسط المتناسب بين أ و جـ، ويحسب من العلاقة: ب2 = أ × جـ أو ب = ± √(أ × جـ).
  • مقياس الرسم (Drawing Scale):
  • النسبة بين الطول في الرسم (أو الخريطة) إلى الطول الحقيقي المقابل له في الواقع، فإذا كان مقياس الرسم أصغر من 1 دل على التصغير، وإذا كان أكبر من 1 دل على التكبير.
  • التقسيم التناسبي (Proportional Division):
  • تقسيم كمية معينة (أموال، أراضي، أرباح، أو تركات) بنسب معلومة بين عدة أطراف مستحقين وفق حصصهم المتفق عليها شرعاً أو قانوناً.
الدرس الأول: التناسب وتطبيقات النسبة ومقياس الرسم والتقسيم التناسبي · 12 / 14
⚖️ القوانين والعلاقات الرياضية والفيزيائية الحاكمة:

⚖️ القوانين والعلاقات الرياضية والفيزيائية الحاكمة:

وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
الخاصية الأساسية للتناسب[ الصيغة الفيزيائية والرياضية: a / b = c / d <==> a × d = b × c ] حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين (الضرب التبادلي المقص)الصيغةالفيزيائيةوالرياضيةحاصل
خاصية مجموع المقدمات ومجموع التوالي[ الصيغة الفيزيائية والرياضية: (a + c + e + …) / (b + d + f + …) = a / b = c / d ] مجموع المقدمات على مجموع التوالي يساوي إحدى النسبالصيغةالفيزيائيةوالرياضيةيساوي
قانون الوسط المتناسب[ الصيغة الفيزيائية والرياضية: b = ± √(a × c) ] الوسط المتناسب بين عددين موجبينالصيغةالفيزيائيةوالرياضيةعددين
قانون مقياس الرسم
  • [ الصيغة الفيزيائية والرياضية: Drawing Scale = Length in Drawing / Actual Length ] يشترط توحيد وحدات القياس (التحويل من متر أو كم إلى سم بضرب كم في 100
  • 000 والمتر في 100)
الصيغةالفيزيائيةوالرياضيةDrawing
الدرس الأول: التناسب وتطبيقات النسبة ومقياس الرسم والتقسيم التناسبي · 13 / 14
🔍 الشرح والتحليل المستفيض وتفسيرات علل والاستنتاجات:

🔍 الشرح والتحليل المستفيض وتفسيرات علل والاستنتاجات:

  • ★ كتاب الشرح والتفصيل العلمي الشامل المعتمد 2026 / 2027 ★
  • كتاب الشرح المفصل التناسب وتطبيقات النسبة
  • الصف الأول الإعدادي / مرحلة الإعدادية | الوحدة الأولى – الأعداد والعمليات عليها | المنهج المصري الحديث 2026/2027
  • 🎯 أهداف التعلم ومخرجات الفهم الوزارية المقررة 2026/2027:
  • • فهم مفهوم النسبة كعلاقة مقارنة بين كميتين من نفس النوع ولهما نفس وحدات القياس، والتمييز بين النسبة والمعدل.
  • • استيعاب خواص النسبة واختزالها إلى أبسط صورة ومقارنة النسب المتكافئة.
  • • دراسة التناسب وخواصه الخمس الأساسية حاصل ضرب الطرفين يساوي حاصل ضرب الوسطين ومقدم على مقدم يساوي تالٍ على تالٍ.
  • • استيعاب التناسب المتسلسل وحساب الوسط المتناسب بين كميتين موجبتين (b = ±√(a × c)).
• حل مسائل وتطبيقات التناسب في الحياة اليومية←مقياس الرسم (Drawing Scale)، والتقسيم التناسبي وحساب الأرباح والتركات وحساب النسبة المئوية والتخفيضات.

1. مفهوم النسبة وخواصها والمعدل الرياضي

  • النسبة هي أساس التفكير الكمي والمقارنة في الرياضيات والحياة العملية.
  • عند مقارنة وزنين أو طولين أو مبلغين ماليين، نقسم الكمية الأولى على الثانية.
  • من أهم خواص النسبة:
  1. المعدل هو المقارنة بين كميتين مختلفتين
  2. وله دائماً وحدة تمييز مركبة
  3. مثل استهلاك الوقود: (لتر / 100 كم) أو معدل ضخ المياه (لتر / ثانية)
  4. وهو أساس دراسة السرعة والمعدلات الزمنية في علم التفاضل لاحقاً.

2. التناسب وخواصه الخمس والتناسب المتسلسل

وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
•التناسب هو تساوي نسبتين أو أكثر. الخواص الجوهرية للتناسبالتناسبتساوينسبتينأكثر
الخاصية 1
  • حاصل ضرب الطرفين يساوي حاصل ضرب الوسطين: a.d = b.c
  • ومنها يمكن إيجاد أي حد مجهول مباشرة
حاصلالطرفينيساويالوسطين
الخاصية 2
  • إذا كان a.d = b.c
  • فإن a/b = c/d وكذلك a/c = b/d (مقدم على مقدم = تالٍ على تالٍ)
وكذلكمقدم
الخاصية 3
  • إذا كان a/b = c/d = m (ثابت التناسب)
  • فإن a = b.m و c = d.m
  • وتستخدم هذه الفرضية لحل براهين المتطابقات الجبرية المعقدة
ثابتالتناسبوتستخدمالفرضية
الخاصية 4
  • إذا كان a/b = c/d
  • فإن (a + b) / b = (c + d) / d و (a – b) / b = (c – d) / d
وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
الخاصية 5مجموع المقدمات على مجموع التوالي يساوي إحدى النسب: (a + c) / (b + d) = a/bمجموعالمقدماتالتوالييساوي
التناسب المتسلسل
  • يقال للكميات a
  • c أنها في تناسب متسلسل إذا كان a/b = b/c. وفي هذه الحالة: b2 = a.c و b = ±√(a.c). وإذا كانت الكميات أربعة a
  • d في تناسب متسلسل: a/b = b/c = c/d = m
  • فإن: c = d.m
  • و b = d.m2
  • و a = d.m3
يقالللكمياتأنهاالحالة

3. التطبيقات الحياتية للتناسب: مقياس الرسم والتقسيم التناسبي والتركات

وجه المقارنةالفكرة الأساسيةمثالكلمات مفتاحية
مقياس الرسم في الهندسة والخرائط
  • مقياس الرسم = الطول في الرسم / الطول الحقيقي. إذا كان مقياس الرسم 1 : 500
  • 000
  • فهذا يعني أن كل 1 سم على الخريطة ي
  • في الواقع الحقيقي 500
  • 000 سم = 5
  • 000 متر = 5 كم على الأرض
الطولالحقيقيفهذايعني
التقسيم التناسبي وحساب الأرباح والشركات
  • عند توزيع أرباح شركة بين ثلاثة شركاء ساهموا برؤوس أموال مختلفة
  • نحسب مجموع الأجزاء (Sum of Ratio Parts)
  • ثم نحسب قيمة الجزء الواحد بقسمة إجمالي المبلغ المراد توزيعه على مجموع الأجزاء
  • ثم نضرب قيمة الجزء الواحد في عدد أجزاء كل شريك لمعرفة نصيبه الدقيق
—توزيعشركةثلاثةشركاء
وجه المقارنةالفكرة الأساسيةمثالكلمات مفتاحية
مسائل الميراث والتركات الشرعيةحظ الأنثيين بنسبة (2 : 1)تطبيقمباشرالتقسيمالتناسبي
جدولجدول مقارنة بين النسبة والتناسب والتناسب المتسلسل—مقارنةالنسبةوالتناسبالمتسلسل
•✏️ أمثلة ومسائل وتطبيقات محلولة بالخطوات النموذجية والبرهان العلمي—أمثلةومسائلوتطبيقاتمحلولة

★ إثبات صحة متطابقة بالتناسب المتسلسل

وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
المعطيات والمطلوب
  • إذا كانت الكميات أ
  • د في تناسب متسلسل
  • فأثبت أن: (أ – 2 ب) / (ب – 2 جـ) = (أ + 3 ب) / (ب + 3 جـ)
كانتالكمياتتناسبمتسلسل
•خطوات الحل والبرهان الفيزيائيخطواتالحلوالبرهانالفيزيائي
[1] بما أن أ، ب، جـ، د في تناسب متسلسل، فإنأ / ب = ب / جـ = جـ / د = م (حيث م ثابت لا يساوي الصفر)ثابتيساويالصفر
[2] نستنتج أن
  • جـ = د م
  • و ب = جـ م = د م2
  • و أ = ب م = د م3
[3] أولاًنبسط الطرف الأيمن: (أ – 2 ب) / (ب – 2 جـ) = (د م3 – 2 د م2) / (د م2 – 2 د م)نبسطالطرفالأيمن
[4] بأخذ العامل المشترك في البسط والمقام
  • البسط = د م2 (م – 2)
  • والمقام = د م (م – 2)
[5] باختصار المقدار المشترك (م – 2) واختصار د مالطرف الأيمن = د م2 / د م = مالطرفالأيمن
[6] ثانياًنبسط الطرف الأيسر: (أ + 3 ب) / (ب + 3 جـ) = (د م3 + 3 د م2) / (د م2 + 3 د م)نبسطالطرفالأيسر
[7] بأخذ العامل المشترك
  • البسط = د م2 (م + 3)
  • والمقام = د م (م + 3)
البسطوالمقام
[8] باختصار المقدار (م + 3) واختصار د مالطرف الأيسر = د م2 / د م = مالطرفالأيسر
[9] الاستنتاج
  • بما أن الطرف الأيمن = م
  • والطرف الأيسر = م
  • إذاً الطرفان متساويان تماماً وهو المطلوب إثباته برهانياً
الطرفالأيمنوالطرفالأيسر
💡 فنية وتريك للحل السريع وتجنب الخطأطريقة التعويض بـ م هي الطريقة المعتمدة في الامتحانات لحل أي إثبات تناسب في دقيقة واحدة!طريقةالتعويضالطريقةالمعتمدة

★ مسألة مقياس الرسم والمسافة الحقيقية

  • المعطيات والمطلوب خريطة مرسومة بمقياس رسم 1 : 250,000. إذا كانت المسافة بين مدينتين على الخريطة هي 6.4 cm. احسب المسافة الحقيقية بين المدينتين على أرض الواقع بالكيلومترات.
  • خطوات الحل والبرهان الفيزيائي:
  • [1] قانون مقياس الرسم مقياس الرسم = الطول في الرسم / الطول الحقيقي.
  • [2] 1 / 250,000 = 6.4 cm / الطول الحقيقي.
  • [3] الطول الحقيقي بالسنتيمتر = 6.4 × 250,000 = 1,600,000 cm.
  • [4] للتحويل من سنتيمتر إلى كيلومتر، نقسم على 100,000 (لأن الكيلومتر = 1000 متر = 100,000 سم).
  • [5] المسافة الحقيقية بالكيلومتر = 1,600,000 / 100,000 = 16 km.
  • [6] الاستنتاج المسافة الحقيقية بين المدينتين تساوي 16 كيلومتراً.
  • 💡 فنية وتريك للحل السريع وتجنب الخطأ تذكر دائماً: للتحويل من سم إلى كم نقسم على 100,000، وللتحويل من كم إلى سم نضرب في 100,000!
وجه المقارنة النسبة (Ratio) التناسب (Proportion) التناسب المتسلسل (Continued Proportion)
التعريف الرياضي مقارنة بالقسمة بين كميتين من نفس النوع تساوي نسبتين أو أكثر رياضياً تساوي نسب متتابعة بحيث تالي الأولى هو مقدم الثانية
الصيغة الرمزية أ : ب (أو أ / ب) أ / ب = جـ / د أ / ب = ب / جـ = جـ / د
العلاقة الجبرية الأساسية لا تتغير بالضرب أو القسمة في ثابت حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين ب2 = أ × جـ (مربع الوسط = حاصل ضرب الطرفين)
عدد الكميات الأدنى كميتان اثنتان فقط أربع كميات متناسبة ثلاث كميات على الأقل (أ، ب، جـ)
أهم التطبيقات المقارنات والنسب المئوية والكسور مقياس الرسم والتقسيم التناسبي المتتاليات الهندسية والنمو والاضمحلال

💡 💡 كبسولة الفنيات وتريكات الامتحانات والأسئلة الوزارية 2026/2027:

  • النسبة تكون بين كميتين من نفس النوع والوحدة، بينما المعدل بين كميتين من نوعين مختلفين وله وحدة تمييز.
  • الوسط المتناسب بين عددين أ و جـ يساوي ±√(أ × جـ)، وإذا طلب الموجب فقط يحدد صراحة في السؤال.
  • مقياس الرسم أكبر من 1 يدل على التكبير (مثل فحص الحشرات والخلايا)، وأصغر من 1 يدل على التصغير (مثل الخرائط والتصميمات الهندسية).
  • مجموع المقدمات على مجموع التوالي يساوي إحدى النسب وهي مفتاح حل البراهين الرياضية.
  • التقسيم التناسبي يعتمد على خطوتين إيجاد قيمة الجزء الواحد، ثم ضربها في أجزاء كل طرف.
الدرس الأول: التناسب وتطبيقات النسبة ومقياس الرسم والتقسيم التناسبي · 14 / 14