المناهج الدراسية
تسجيل الدخول

المناهج الدراسية

الرياضيات

الفصل الأول - التفاضل والتكامل (Calculus)

0/86

الفصل الثاني - الجبر والهندسة الفراغية (Algebra & Solid Geometry)

0/50

الفصل الثالث - الاستاتيكا (Statics)

0/21

الفصل الرابع - الديناميكا (Dynamics)

0/35

الفصل الخامس - الجبر الأساسي وحساب المثلثات والإحصاء والاحتمال

0/40

دروس إضافية

0/193
نص الدرس

الدرس 1 – التعبيرات والصيغ الرياضية والمعادلات الخطية – شرح

الرياضيات

الدرس 1 – التعبيرات والصيغ الرياضية والمعادلات الخطية – شرح

مقدمة

مقدمة

🌳 شجرة المفاهيم

  • الدرس 1 – التعبيرات والصيغ الرياضية والمعادلات الخطية

├── المصطلحات العلمية

├── القوانين والعلاقات

  • ├── الحدود والمقادير الجبرية والعمليات والتحليل بإخراج العامل المشترك
  • ├── حل المعادلات الخطية بيانياً وجبرياً (الحذف والتعويض)
  • ├── هندسة الخط المستقيم الميل، التوازي والتعامد، ونمذجة المشكلات

├── جداول المقارنة

├── أمثلة محلولة

└── تكات وملاحظات امتحانية

الدرس 1 – التعبيرات والصيغ الرياضية والمعادلات الخطية – شرح · 1 / 14
المصطلحات العلمية

المصطلحات العلمية

وجه المقارنةالفكرة الأساسيةمثالكلمات مفتاحية
الحد الجبري (Algebraic Term)
  • ما تكون من حاصل ضرب عامل أو أكثر (عامل عددي يسمى المعامل
  • وعوامل جبرية تسمى الرموز أو المتغيرات)
  • ودرجته هي مجموع أسوس عوامله الجبرية (الرمزية)
—تكونحاصلعاملأكثر
المقدار الجبري (Algebraic Expression)
  • ما تكون من حد جبري واحد أو أكثر تفصل بينها إشارات الجمع (+) أو الطرح (-)
  • ودرجته هي درجة أعلى حد من حدوده المكونة له
—تكونواحدأكثرتفصل
المعادلة الخطية (Linear Equation)معادلة جبرية من الدرجة الأولى ت
  • بيانياً بخط مستقيم في المستوى الإحداثي
  • وصيغتها العامة في مجهولين: ax + by + c = 0
جبريةالدرجةالأولىتمثل
ميل الخط المستقيم (Slope – m)نسبة التغير الرأسي إلى التغير الأفقي، أو ظل الزاوية الموجبة التي يصنعها الخط المستقيم مع الاتجاه الموجب لمحور السينات:

m = (y2 – y1) / (x2 – x1) = tan θ

.		—نسبةالتغيرالرأسيالأفقي
طريقة الحذف (Elimination Method)طريقة جبرية لحل معادلتين آنيتين بضرب إحداهما أو كلتيهما في ثوابت مناسبة لجعل معاملي أحد المتغيرين متساويين في المقدار ومتضادين في الإشارة ثم الجمع للتخلص منه—جبريةمعادلتينآنيتينبضرب
طريقة التعويض (Substitution Method)طريقة جبرية يتم فيها التعبير عن أحد المتغيرين بدلالة الآخر من إحدى المعادلتين ثم التعويض به في المعادلة الأخرى للحصول على معادلة في مجهول واحد—جبريةفيهاالتعبيرالمتغيرين
الدرس 1 – التعبيرات والصيغ الرياضية والمعادلات الخطية – شرح · 2 / 14
القوانين والعلاقات

القوانين والعلاقات

شكل 1: رسم توضيحي — النقطة 1: القوانين والعلاقات يُظهر الشكل الصيغ المختلفة لمعادلة الخط المستقيم، فالصورة y = mx + c تعطي الميل m والجزء المقطوع c من محور الصادات. ويعرض الشكل أيضًا معادلة المستقيم المار بنقطة معلومة وميله، وشرط توازي المستقيمين وتعامدهما، وهي أدوات أساسية لتمثيل العلاقات الخطية بيانيًا.
شكل 1: رسم توضيحي — النقطة 1: القوانين والعلاقات يُظهر الشكل الصيغ المختلفة لمعادلة الخط المستقيم، فالصورة y = mx + c تعطي الميل m والجزء المقطوع c من محور الصادات. ويعرض الشكل أيضًا معادلة المستقيم المار بنقطة معلومة وميله، وشرط توازي المستقيمين وتعامدهما، وهي أدوات أساسية لتمثيل العلاقات الخطية بيانيًا.
وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
معادلة الخط المستقيم بدلالة الميل والجزء المقطوع
  • [ الصيغة الفيزيائية والرياضية: y = m × x + c ]
  • m هو الميل
  • و c هو الجزء المقطوع من محور الصادات (النقطة (0
  • c))
الصيغةالفيزيائيةوالرياضيةمحور
معادلة الخط المستقيم المار بنقطة معلومة وميل[ الصيغة الفيزيائية والرياضية:

y – y1 = m × (x – x1) ]

صيغة الميل ونقطة.		الصيغةالفيزيائيةوالرياضيةصيغة
شرط توازي وتعامد مستقيمين[ الصيغة الفيزيائية والرياضية: Parallel:

m1 = m2 | Perpendicular

:

m1 × m2 = -1 (m2 = -1 / m1) ]

المستقيمان المتوازيان لهما نفس الميل، والمتعامدان حاصل ضرب ميليهما -1.		الصيغةالفيزيائيةوالرياضيةParallel
ميل المستقيم من معادلته العامة
  • [ الصيغة الفيزيائية والرياضية: m = – (معامل x) / (معامل y) = – a / b ]
  • المعادلة: a x + b y + c = 0
الصيغةالفيزيائيةوالرياضيةمعامل
الدرس 1 – التعبيرات والصيغ الرياضية والمعادلات الخطية – شرح · 3 / 14
الحدود والمقادير الجبرية والعمليات والتحليل بإخراج العامل المشترك

الحدود والمقادير الجبرية والعمليات والتحليل بإخراج العامل المشترك

  • شكل 2 رسم توضيحي — النقطة 2: الحدود والمقادير الجبرية والعمليات والتحليل بإخراج العامل المشترك
  • يصف الشكل مفاهيم الحدود والمقادير الجبرية، فالحد 5x2y3 معامله 5 ودرجته 5، والعدد الثابت حد من الدرجة صفر.
  • كما يبين قواعد الجمع والضرب والقسمة للحدود الجبرية، وطريقة التحليل بإخراج العامل المشترك الأكبر، وهي خطوة لازمة قبل حل كثير من المعادلات.
الحدود والمقادير الجبرية والعمليات والتحليل بإخراج العامل المشترك
الحدود والمقادير الجبرية والعمليات والتحليل بإخراج العامل المشترك
  • الجبر هو علم العلاقات والتعميم الرياضي.
  • يتكون الحد الجبري من معامل عددي وعوامل رمزية.
  • فمثلاً الحد 5 x2 y3 معامله 5 ودرجته هي الخامسة (2 + 3 = 5).
  • والحد المطلق (العدد الثابت الخالي من الرموز مثل 7) يعتبر حداً جبرياً من الدرجة صفر لأن 7 = 7 x0.
  • جمع وطرح المقادير الجبرية يشترط أن تكون الحدود متشابهة (لها نفس الرموز وبنفس الأسوس).
  • أما عند ضرب الحدود الجبرية فنضرب المعاملات ونجمع الأسوس لنفس الأساس (xᵃ × xᵇ = xᵃ+ᵇ)، وعند القسمة نطرح الأسوس (xᵃ / xᵇ = xᵃ−ᵇ).
  • إخراج العامل المشترك الأكبر (HCF) أهم مهارة جبرية على الإطلاق؛
  • نحدد العامل المشترك الأكبر للأعداد ثم الرمز المشترك بأصغر أس، ونقسم كل حد من حدود المقدار على العامل المشترك ونضع الناتج داخل القوسين:

    6x3y2 – 9x2y3 = 3x2y2 (2x – 3y)

    .
الدرس 1 – التعبيرات والصيغ الرياضية والمعادلات الخطية – شرح · 4 / 14
حل المعادلات الخطية بيانياً وجبرياً (الحذف والتعويض)

حل المعادلات الخطية بيانياً وجبرياً (الحذف والتعويض)

حل المعادلات الخطية بيانياً وجبرياً (الحذف والتعويض)
حل المعادلات الخطية بيانياً وجبرياً (الحذف والتعويض)
  • شكل 3 رسم توضيحي — النقطة 3: حل المعادلات الخطية بيانياً وجبرياً (الحذف والتعويض)
  • يبرز الشكل الحل البياني لمعادلتين خطيتين، فنقطة تقاطع المستقيمين هي الحل المشترك لهما.
  • ويبين الشكل ثلاث حالات، فالتقاطع في نقطة يعطي حلًا وحيدًا، والتوازي يعطي مجموعة خالية، والانطباق يعطي عددًا لا نهائيًا من الحلول.
  • ميزان ذو كفتين يمثل حل المعادلات الخطية 2س + 3 = 11 فيكون س = 4.
  • حل معادلتين خطيتين من الدرجة الأولى في متغيرين x و y يهدف إلى إيجاد نقطة التقاطع المشتركة (x, y) التي تحقق كلتا المعادلتين في آن واحد.
  • الحل البياني نرسم المستقيمين في المستوى الإحداثي الديكارتي المتعامد:
  1. يكون للنظام حل وحيد هو مجموعة النقطة {(x1, y1)}، والمستقيمان متقاطعان.

  2. إذا كان المستقيمان متوازيين تماماً ولا يتقاطعان (m1 = m2 و c1 ≠ c2): تكون مجموعة الحل هي المجموعة الخالية ∅ وعدد الحلول صفر.

  3. إذا انطبق المستقيمان تماماً على بعضهما البعض (m1 = m2 و c1 = c2): يكون للنظام عدد لا نهائي من الحلول.

الحل الجبري بطريقة الحذف←نرتب المعادلتين بحيث تكون المتغيرات x و y في طرف والثوابت في طرف آخر، ثم نعدل المعاملات بالضرب ونجمع لحذف أحد المتغيرين وإيجاد المتغير الآخر ثم التعويض.
ميزان ذو كفتين يمثل حل المعادلات الخطية: 2س + 3 = 11 فيكون س = 4.
ميزان ذو كفتين يمثل حل المعادلات الخطية: 2س + 3 = 11 فيكون س = 4.
ميزان ذو كفتين يمثل حل المعادلات الخطية: 2س + 3 = 11 فيكون س = 4.←حل المعادلات الخطية بيانياً وجبرياً (الحذف والتعويض)
الدرس 1 – التعبيرات والصيغ الرياضية والمعادلات الخطية – شرح · 5 / 14
هندسة الخط المستقيم: الميل، التوازي والتعامد، ونمذجة المشكلات

هندسة الخط المستقيم: الميل، التوازي والتعامد، ونمذجة المشكلات

  • شكل 4 رسم توضيحي — النقطة 4: هندسة الخط المستقيم: الميل، التوازي والتعامد، ونمذجة المشكلات
  • يمثل الشكل هندسة الخط المستقيم، فالميل موجب إذا كان المستقيم صاعدًا لليمين وسالب إذا كان هابطًا، وصفر للمستقيم الأفقي، وغير معين للرأسي.
  • كما يوضح شرط التوازي تساوي الميلين وشرط التعامد أن يكون حاصل ضرب الميلين يساوي −1، وهو ما يساعد على نمذجة المسائل الهندسية.
هندسة الخط المستقيم: الميل، التوازي والتعامد، ونمذجة المشكلات
هندسة الخط المستقيم: الميل، التوازي والتعامد، ونمذجة المشكلات
وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
•ميل الخط المستقيم (Slope – m) يعبر عن انحدار المستقيم رياضياًالخطالمستقيمSlopeيعبر
إذا كانت الزاوية θ حادةيكون الميل موجباً (m > 0) والمستقيم صاعد لليمينيكونالميلموجباوالمستقيم
إذا كانت الزاوية θ منفرجةيكون الميل سالباً (m < 0) والمستقيم هابط لليمينيكونالميلسالباوالمستقيم
إذا كان المستقيم أفقياً موازياً لمحور السيناتيكون ميله صفراً (m = 0) ومعادلته y = cيكونميلهصفراومعادلته
إذا كان المستقيم رأسياً موازياً لمحور الصاداتيكون ميله غير معرف (غير معين m = ∞) ومعادلته x = kيكونميلهمعرفمعين
المستقيمان المتوازيان والمتعامدان
  • شرط التوازي هو تساوي الميلين m1 = m2
  • وشرط التعامد هو أن أحدهما معكوس جمعي وضربي للآخر
التوازيتساويالميلينوشرط

m1 × m2 = -1

  • (أي m2 = -1 / m1).
  • التطبيقات الاقتصادية والحياتية دالة التكلفة الخطية الإجمالية = التكلفة الثابتة + (التكلفة المتغيرة للوحدة × عدد الوحدات): C(x) = m x + c .
  • ونقطة التعادل المالي (Break-Even Point) هي النقطة التي تتساوى عندها الإيرادات الكلية مع التكاليف الكلية.
الدرس 1 – التعبيرات والصيغ الرياضية والمعادلات الخطية – شرح · 6 / 14
جداول المقارنة

جداول المقارنة

شكل 5: رسم توضيحي — النقطة 5: جداول المقارنة يعرض الجدول مقارنة لحالات حل معادلتين خطيتين بيانيًا وجبريًا، فإذا اختلف الميلان فللنظام حل وحيد، وإذا تساوى الميلان واختلف الجزء المقطوع فلا توجد حلول، وإذا تطابق المستقيمان فلها عدد لا نهائي من الحلول. ويربط الجدول بين الشكل الهندسي والمجموعة الخالية أو المجموعة الحل.
شكل 5: رسم توضيحي — النقطة 5: جداول المقارنة يعرض الجدول مقارنة لحالات حل معادلتين خطيتين بيانيًا وجبريًا، فإذا اختلف الميلان فللنظام حل وحيد، وإذا تساوى الميلان واختلف الجزء المقطوع فلا توجد حلول، وإذا تطابق المستقيمان فلها عدد لا نهائي من الحلول. ويربط الجدول بين الشكل الهندسي والمجموعة الخالية أو المجموعة الحل.
جدول←مقارنة حالات حل معادلتين خطيتين بيانياً وجبرياً
الحالة الهندسية للمستقيمين العلاقة بين الميلين والجزء المقطوع عدد الحلول الممكنة مجموعة الحل (S.S)
المستقيمان متقاطعان في نقطة الميلان غير متساويين (m1 ≠ m2) حل وحيد فقط {(x, y)} نقطة التقاطع
المستقيمان متوازيان تماماً الميلان متساويان والجزء المقطوع مختلف

(m1 = m2, c1 ≠ c2)

 صفر (لا توجد حلول) المجموعة الخالية ∅
المستقيمان منطبقان تماماً الميلان متساويان والجزء المقطوع متطابق

(m1 = m2, c1 = c2)

 عدد لا نهائي من الحلول {(x, y) : a x + b y + c = 0}
الدرس 1 – التعبيرات والصيغ الرياضية والمعادلات الخطية – شرح · 7 / 14
أمثلة محلولة

أمثلة محلولة

شكل 6: رسم توضيحي — النقطة 6: أمثلة محلولة يعرض الشكل مثالًا محلولًا لحل معادلتين بطريقة الحذف، إذ تُضرب المعادلة الأولى في 3 لحذف المتغير y عند جمعها مع الثانية، فنحصل على معادلة في x وحدها. ويبين الخطوات بالترتيب حتى نصل إلى قيمة x ثم نعوض بها لإيجاد y، وبذلك تُحدد مجموعة الحل بدقة.
شكل 6: رسم توضيحي — النقطة 6: أمثلة محلولة يعرض الشكل مثالًا محلولًا لحل معادلتين بطريقة الحذف، إذ تُضرب المعادلة الأولى في 3 لحذف المتغير y عند جمعها مع الثانية، فنحصل على معادلة في x وحدها. ويبين الخطوات بالترتيب حتى نصل إلى قيمة x ثم نعوض بها لإيجاد y، وبذلك تُحدد مجموعة الحل بدقة.
  • حل معادلتين خطيتين آنيتين بطريقة الحذفالمعطيات والمطلوب أوجد مجموعة الحل في R × R للمعادلتين الآتيتين جبرياً: 2x – y = 5 و x + 3y = 6.خطوات الحل والبرهان الفيزيائي: [1] نرتب المعادلتين: المعادلة (1): 2x – y = 5. المعادلة (2):

    x + 3y = 6. [2]

    نقرر حذف المتغير y: نلاحظ أن معامل y في المعادلة (1) هو -1، وفي المعادلة (2) هو +3. [3] نضرب المعادلة (1) كاملة في العدد 3: 3 × (2x – y = 5) == & gt ; 6x – 3y = 15 (المعادلة 3). [4] نجمع المعادلة (2) مع المعادلة (3):

    (x + 6x) + (3y – 3y) = 6 + 15. [5] 7x + 0 = 21 == amp; gt; 7x = 21 == amp; gt; x = 21 / 7 = 3

    . [6] نعوض بقيمة x = 3 في المعادلة (2) لإيجاد y:

    3 + 3y = 6 ==

    &gt;

    3y = 6 – 3 = 3 == amp; gt; y = 3 / 3 = 1

    . [7] التحقق من صحة الحل بالمعادلة (1):

    2(3) – (1) = 6 – 1 = 5

    (صحيحة تماماً). [8] مجموعة الحل:

    S.S = (3, 1)

    .💡 فنية وتريك للحل السريع وتجنب الخطأ: تذكر دائماً: مجموعة الحل في R × R تكتب كزوج مرتب داخل قوسي مجموعة: {(x, y)}!
  • إيجاد معادلة الخط المستقيم المار بنقطة والعمودي على مستقيمالمعطيات والمطلوب: أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة (2, -3) والعمودي على المستقيم الذي معادلته:

    3x – 4y + 7 = 0

    .خطوات الحل والبرهان الفيزيائي: [1] أولاً: نوجد ميل المستقيم المعطى (m1): المعادل:

    3x – 4y + 7 = 0. [2] m1 = –

    (معامل x) / (معامل

    y) = – 3 / (-) 4 = 3 / 4. [3]

    ثانياً: بما أن المستقيم المطلوب عمودي على هذا المستقيم، فإن ميل المستقيم المطلوب (m) هو المعكوس الجمعي والضربي لـ m1:

    m = – 1 / m1 = – 4 / 3. [4]

    ثالثاً: نكتب معادلة المستقيم بصيغة الميل ونقطة

    (x1 = 2, y1 = -3)

    :

    y – y1 = m (x – x1). [5] y – (-3) = – 4 / 3 (x – 2) == amp; gt; y + 3 = – 4 / 3 (x – 2)

    . [6] نضرب المعادلة كلها في 3 للتخلص من المقام:

    3(y + 3) = – 4(x – 2) == amp; gt; 3y + 9 = – 4x + 8

    . [7] ننقل الحدود للطرف الأيمن:

    4x + 3y + 9 – 8 = 0 == amp; gt; 4x + 3y + 1 = 0

    . [8] الاستنتاج: معادلة الخط المستقيم المطلوب هي

    4x + 3y + 1 = 0

    .💡 فنية وتريك للحل السريع وتجنب الخطأ: قاعدة سريعة للامتحانات: ميل العمودي على الكسر أ/ب هو قلب الكسر وتغيير إشارته: -ب/أ!
الدرس 1 – التعبيرات والصيغ الرياضية والمعادلات الخطية – شرح · 8 / 14
تكات وملاحظات امتحانية

تكات وملاحظات امتحانية

شكل 7: رسم توضيحي — النقطة 7: تكات وملاحظات امتحانية يلخص الشكل تكات امتحانية في الجبر والهندسة التحليلية، مثل أن درجة المقدار الجبري هي أعلى درجة لحدوده، وأن المستقيمين المتوازيين لهما الميل نفسه والمتعامدين حاصل ضرب ميليهما −1. كما يبين أن المستقيم الأفقي ميله صفر والرأسي ميله غير معين.
شكل 7: رسم توضيحي — النقطة 7: تكات وملاحظات امتحانية يلخص الشكل تكات امتحانية في الجبر والهندسة التحليلية، مثل أن درجة المقدار الجبري هي أعلى درجة لحدوده، وأن المستقيمين المتوازيين لهما الميل نفسه والمتعامدين حاصل ضرب ميليهما −1. كما يبين أن المستقيم الأفقي ميله صفر والرأسي ميله غير معين.
  • درجة الحد الجبري هي مجموع أسوس رموزه، ودرجة المقدار الجبري هي أعلى درجة حد من حدوده.
  • المستقيمان المتوازيان لهما نفس الميل (m1 = m2)، والمتعامدان حاصل ضرب ميليهما يساوي -1.
  • المستقيم الأفقي الموازي لمحور السينات ميله صفر (y = c)، والرأسي ميله غير معرف (x = k).
  • مجموعة حل معادلتين خطيتين تمثل نقطة تقاطع المستقيمين بيانياً.
  • إذا تساوى الميلان وتساوى الجزء المقطوع يكون للمنظومة عدد لا نهائي من الحلول لانطباق المستقيمين.
  • .egp-ex{margin:18px 0;border:1px solid rgba(79,63,224,.2);border-radius:16px;overflow:hidden;background:#fff}.egp-ex-h{padding:10px 16px;font-weight:800;background:linear-gradient(90deg,#4f3fe0,#22c1c3);color:#fff}.egp-ex-tabs{display:flex;flex-wrap:wrap;gap:6px;padding:10px 12px;background:#f7f6ff}.egp-ex-b{border:1px solid rgba(79,63,224,.3);background:#fff;border-radius:20px;padding:5px 14px;font-weight:700;cursor:pointer}.egp-ex-b.on{background:#4f3fe0;color:#fff}.egp-ex-p{padding:12px 16px}function egpEx(b,k){var w=b.closest(‘.egp-ex’);w.querySelectorAll(‘.egp-ex-b’).forEach(function(x,i){x.classList.toggle(‘on’,i===k)});w.querySelectorAll(‘.egp-ex-p’).forEach(function(x,i){x.hidden=i!==k})}
الدرس 1 – التعبيرات والصيغ الرياضية والمعادلات الخطية – شرح · 9 / 14
الجداول والمخططات التوضيحية المستخرجة من أصول المنهج

الجداول والمخططات التوضيحية المستخرجة من أصول المنهج

شكل 8: رسم توضيحي — النقطة 8: ★ الجداول والمخططات التوضيحية المستخرجة من أصول المنهج يعرض الجدول خطوات حل المتباينات الخطية وتمثيل مجموعة حلها على خط الأعداد الحقيقي، ويذكر القاعدة الأساسية بأن ضرب طرفي المتباينة في عدد سالب يعكس اتجاهها. ويساعد الجدول على تحديد مجموعة الحل بدقة قبل كتابتها على خط الأعداد.
شكل 8: رسم توضيحي — النقطة 8: ★ الجداول والمخططات التوضيحية المستخرجة من أصول المنهج يعرض الجدول خطوات حل المتباينات الخطية وتمثيل مجموعة حلها على خط الأعداد الحقيقي، ويذكر القاعدة الأساسية بأن ضرب طرفي المتباينة في عدد سالب يعكس اتجاهها. ويساعد الجدول على تحديد مجموعة الحل بدقة قبل كتابتها على خط الأعداد.
💡 بيانات وجداول قياسية←تم استخراج كافة البيانات والجداول والمخططات التشريحية من أصول المنهج المعتمد بدقة عالية لتثبيت الفهم وربط النظري بالعملي.
  • 📊 جدول 1 – حل المتباينات الخطية وقواعد خط الأعداد الحقيقية
العنصر / وجه المقارنة البيانات والخصائص المستخرجة
نقطة 1 ع .10
نقطة 2 ا غ0ع0معمع170 .0 .11
نقطة 3 عاطا0/الاعمع؟ .0 .13
نقطة 4 0205 . .14
نقطة 5 01600 . ,16
نقطة 6 0م600 .0 .18
نقطة 7 6100 .20.0
نقطة 8 50م .22.0
نقطة 9 ل6معنا) .ء .12
نقطة 10 105-كاء76© .0 .15
نقطة 11 00 أنااملاء ع .17
نقطة 12 +0100 . .19
  1. 🔬 شكل 1 – التحليل الجبري وطرق فك الأقواس والمقادير الثلاثية
  2. التفاصيل العلمية والملاحظات الدقيقة المأخوذة من الرسم التوضيحي:
  3. (2) بلاعأياء8]
  4. يار وأناطمعملا 8
  5. 5اء للاكقه أعع زم [2] 11//0 عا عدمهط6 .1
  6. ع نأو كمماغمه [5] ع/ا1ع عط 6ه غناه
  7. امأمعناكما .ع عاطه »ا مممع.؟ .1.0
  8. لامع -معع .0 امم ماهم .2.5
  9. ععمع ناماع 0م15 .3,0
  10. ممع ]ألما .ع ا2ه! .0 .4
  11. ممع .ع عاممماد .ط .5
  1. 🔬 شكل 1 – الحل البياني للمعادلتين الخطيتين والتقاطع
  2. التفاصيل العلمية والملاحظات الدقيقة المأخوذة من الرسم التوضيحي:
  3. (2) بلاعأياء8]
  4. يار وأناطمعملا 8
  5. 5اء للاكقه أعع زم [2] 11//0 عا عدمهط6 .1
  6. ع نأو كمماغمه [5] ع/ا1ع عط 6ه غناه
  7. امأمعناكما .ع عاطه »ا مممع.؟ .1.0
  8. لامع -معع .0 امم ماهم .2.5
  9. ععمع ناماع 0م15 .3,0
  10. ممع ]ألما .ع ا2ه! .0 .4
  11. ممع .ع عاممماد .ط .5
  • 🔬 شكل 2 – الحل البياني لنظام معادلتين خطيتين ونقطة التقاطع
  • التفاصيل العلمية والملاحظات الدقيقة المأخوذة من الرسم التوضيحي:
  • (2) بلاعأياء 8
  • 256
  • زان وأناطوعملا .8
  • 5اء للاكقه أعع زم [2] 11//0 عا عدهمه6 .1
  • ع نأو كمماغمه [5] ع/ا1ع عط 6ه غناه
  • امأمعناكما .ع عاطه »ا مممع.؟ .1.0
  • لامع -معع .0 امم ماهم .2.6
  • ععمع ناماع 0م15 .3,0
  • +معمع] ألم ,ع ا2ه! .0 .4
  • ممع .ع عاممماد .ط .5
  • 🔬 شكل 2 – خطوات الحل بطريقة الحذف والتعويض الجبري
  • التفاصيل العلمية والملاحظات الدقيقة المأخوذة من الرسم التوضيحي:
  • (2) بلاعأياء 8
  • 256
  • زان وأناطوعملا .8
  • 5اء للاكقه أعع زم [2] 11//0 عا عدهمه6 .1
  • ع نأو كمماغمه [5] ع/ا1ع عط 6ه غناه
  • امأمعناكما .ع عاطه »ا مممع.؟ .1.0
  • لامع -معع .0 امم ماهم .2.6
  • ععمع ناماع 0م15 .3,0
  • +معمع] ألم ,ع ا2ه! .0 .4
  • ممع .ع عاممماد .ط .5
الدرس 1 – التعبيرات والصيغ الرياضية والمعادلات الخطية – شرح · 10 / 14
الشرح الموسوعي المعتمد والمصطلحات الكاملة (كتب الوزارة + الامتحان + المعاصر + الوسام)

الشرح الموسوعي المعتمد والمصطلحات الكاملة (كتب الوزارة + الامتحان + المعاصر + الوسام)

  • 📖
الدرس 1 – التعبيرات والصيغ الرياضية والمعادلات الخطية – شرح · 11 / 14
📌 قاموس المصطلحات والمفاهيم العلمية الدقيقة:

📌 قاموس المصطلحات والمفاهيم العلمية الدقيقة:

  • الحد الجبري (Algebraic Term):
  • ما تكون من حاصل ضرب عامل أو أكثر (عامل عددي يسمى المعامل، وعوامل جبرية تسمى الرموز أو المتغيرات)، ودرجته هي مجموع أسوس عوامله الجبرية (الرمزية).
  • المقدار الجبري (Algebraic Expression):
  • ما تكون من حد جبري واحد أو أكثر تفصل بينها إشارات الجمع (+) أو الطرح (-)، ودرجته هي درجة أعلى حد من حدوده المكونة له.
  • المعادلة الخطية (Linear Equation):
  • معادلة جبرية من الدرجة الأولى تمثل بيانياً بخط مستقيم في المستوى الإحداثي، وصيغتها العامة في مجهولين: ax + by + c = 0.
  • ميل الخط المستقيم (Slope:
  • m) نسبة التغير الرأسي إلى التغير الأفقي، أو ظل الزاوية الموجبة التي يصنعها الخط المستقيم مع الاتجاه الموجب لمحور السينات: m = (y2 – y1) / (x2 – x1) = tan θ.
  • طريقة الحذف (Elimination Method):
  • طريقة جبرية لحل معادلتين آنيتين بضرب إحداهما أو كلتيهما في ثوابت مناسبة لجعل معاملي أحد المتغيرين متساويين في المقدار ومتضادين في الإشارة ثم الجمع للتخلص منه.
  • طريقة التعويض (Substitution Method):
  • طريقة جبرية يتم فيها التعبير عن أحد المتغيرين بدلالة الآخر من إحدى المعادلتين ثم التعويض به في المعادلة الأخرى للحصول على معادلة في مجهول واحد.
الدرس 1 – التعبيرات والصيغ الرياضية والمعادلات الخطية – شرح · 12 / 14
⚖️ القوانين والعلاقات الرياضية والفيزيائية الحاكمة:

⚖️ القوانين والعلاقات الرياضية والفيزيائية الحاكمة:

وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
معادلة الخط المستقيم بدلالة الميل والجزء المقطوع
  • [ الصيغة الفيزيائية والرياضية: y = m × x + c ]
  • m هو الميل
  • و c هو الجزء المقطوع من محور الصادات (النقطة (0
  • c))
الصيغةالفيزيائيةوالرياضيةمحور
معادلة الخط المستقيم المار بنقطة معلومة وميل[ الصيغة الفيزيائية والرياضية: y – y1 = m × (x – x1) ] صيغة الميل ونقطةالصيغةالفيزيائيةوالرياضيةصيغة
شرط توازي وتعامد مستقيمين
  • [ الصيغة الفيزيائية والرياضية: Parallel: m1 = m2 | Perpendicular: m1 × m2 = -1 (m2 = -1/m1) ] المستقيمان المتوازيان لهما نفس الميل
  • والمتعامدان حاصل ضرب ميليهما -1
الصيغةالفيزيائيةوالرياضيةParallel
ميل المستقيم من معادلته العامة
  • [ الصيغة الفيزيائية والرياضية: m = – (معامل x) / (معامل y) = – a / b ]
  • المعادلة: a x + b y + c = 0
الصيغةالفيزيائيةوالرياضيةمعامل
الدرس 1 – التعبيرات والصيغ الرياضية والمعادلات الخطية – شرح · 13 / 14
🔍 الشرح والتحليل المستفيض وتفسيرات علل والاستنتاجات:

🔍 الشرح والتحليل المستفيض وتفسيرات علل والاستنتاجات:

  • ★ كتاب الشرح والتفصيل العلمي الشامل المعتمد 2026 / 2027 ★
  • كتاب الشرح المفصل التعبيرات والصيغ الرياضية والمعادلات الخطية
  • المرحلة الإعدادية والثانوية | الوحدة الثانية – الجبر | المنهج المصري الحديث 2026/2027
  • 🎯 أهداف التعلم ومخرجات الفهم الوزارية المقررة 2026/2027:
  • • التمييز بين الحد الجبري، المقدار الجبري، والتعبير الرياضي وتحديد درجة ومعامل كل منها.
  • • إجراء العمليات الجبرية الأساسية الجمع، الطرح، ضرب وقسمة المقادير الجبرية وإخراج العامل المشترك الأكبر.
  • • حل المعادلات الخطية من الدرجة الأولى في مجهول واحد ومجهولين بيانياً وجبرياً بطريقتي الحذف والتعويض.
  • • دراسة ميل الخط المستقيم (Slope – m) والعلاقة بين ميلي المستقيمين المتوازيين (m1 = m2) والمتعامدين (m1 × m2 = -1).
  • • تطبيقات حياتية واقتصادية على نمذجة وحل المعادلات الخطية لحساب التكاليف والأرباح.
  • الجبر هو علم العلاقات والتعميم الرياضي.
  • يتكون الحد الجبري من معامل عددي وعوامل رمزية.
  • فمثلاً الحد 5 x2 y3 معامله 5 ودرجته هي الخامسة (2 + 3 = 5).
  • والحد المطلق (العدد الثابت الخالي من الرموز مثل 7) يعتبر حداً جبرياً من الدرجة صفر لأن 7 = 7 x0.
  • جمع وطرح المقادير الجبرية يشترط أن تكون الحدود متشابهة (لها نفس الرموز وبنفس الأسوس).
  • أما عند ضرب الحدود الجبرية فنضرب المعاملات ونجمع الأسوس لنفس الأساس (xᵃ × xᵇ = xᵃ+ᵇ)، وعند القسمة نطرح الأسوس (xᵃ / xᵇ = xᵃ−ᵇ).
  • إخراج العامل المشترك الأكبر (HCF) أهم مهارة جبرية على الإطلاق؛ نحدد العامل المشترك الأكبر للأعداد ثم الرمز المشترك بأصغر أس، ونقسم كل حد من حدود المقدار على العامل المشترك ونضع الناتج داخل القوسين: 6x3y2 – 9x2y3 = 3x2y2 (2x – 3y).

2. حل المعادلات الخطية بيانياً وجبرياً (الحذف والتعويض)

  • حل معادلتين خطيتين من الدرجة الأولى في متغيرين x و y يهدف إلى إيجاد نقطة التقاطع المشتركة (x, y) التي تحقق كلتا المعادلتين في آن واحد.
الحل البياني←نرسم المستقيمين في المستوى الإحداثي الديكارتي المتعامد:

3. إذا انطبق المستقيمان تماماً على بعضهما البعض (m1 = m2 و c1 = c2): يكون للنظام عدد لا نهائي من الحلول.

الحل الجبري بطريقة الحذف←نرتب المعادلتين بحيث تكون المتغيرات x و y في طرف والثوابت في طرف آخر، ثم نعدل المعاملات بالضرب ونجمع لحذف أحد المتغيرين وإيجاد المتغير الآخر ثم التعويض.
وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
•ميل الخط المستقيم (Slope – m) يعبر عن انحدار المستقيم رياضياًالخطالمستقيمSlopeيعبر
– إذا كانت الزاوية θ حادةيكون الميل موجباً (m > 0) والمستقيم صاعد لليمينيكونالميلموجباوالمستقيم
– إذا كانت الزاوية θ منفرجةيكون الميل سالباً (m < 0) والمستقيم هابط لليمينيكونالميلسالباوالمستقيم
– إذا كان المستقيم أفقياً موازياً لمحور السيناتيكون ميله صفراً (m = 0) ومعادلته y = cيكونميلهصفراومعادلته
– إذا كان المستقيم رأسياً موازياً لمحور الصاداتيكون ميله غير معرف (غير معين m = ∞) ومعادلته x = kيكونميلهمعرفمعين
المستقيمان المتوازيان والمتعامدان
  • شرط التوازي هو تساوي الميلين m1 = m2
  • وشرط التعامد هو أن أحدهما معكوس جمعي وضربي للآخر: m1 × m2 = -1 (أي m2 = -1/m1)
التوازيتساويالميلينوشرط
  • التطبيقات الاقتصادية والحياتية دالة التكلفة الخطية الإجمالية = التكلفة الثابتة + (التكلفة المتغيرة للوحدة × عدد الوحدات): C(x) = m x + c.
  • ونقطة التعادل المالي (Break-Even Point) هي النقطة التي تتساوى عندها الإيرادات الكلية مع التكاليف الكلية.
  • جدول مقارنة حالات حل معادلتين خطيتين بيانياً وجبرياً
  • ✏️ أمثلة ومسائل وتطبيقات محلولة بالخطوات النموذجية والبرهان العلمي:
وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
★ حل معادلتين خطيتين آنيتين بطريقة الحذف المعطيات والمطلوبأوجد مجموعة الحل في R × R للمعادلتين الآتيتين جبرياً: 2x – y = 5 و x + 3y = 6أوجدمجموعةالحلللمعادلتين
خطوات الحل والبرهان الفيزيائي[1] نرتب المعادلتين: المعادلة (1): 2x – y = 5نرتبالمعادلتينالمعادلة
المعادلة (2)x + 3y = 6
[2] نقرر حذف المتغير y
  • نلاحظ أن معامل y في المعادلة (1) هو -1
  • وفي المعادلة (2) هو +3
نلاحظمعاملالمعادلة
[3] نضرب المعادلة (1) كاملة في العدد 33 × (2x – y = 5) ==> 6x – 3y = 15 (المعادلة 3)
[4] نجمع المعادلة (2) مع المعادلة (3)(x + 6x) + (3y – 3y) = 6 + 15
•[5] 7x + 0 = 21 ==> 7x = 21 ==> x = 21 / 7 = 3
[6] نعوض بقيمة x = 3 في المعادلة (2) لإيجاد y3 + 3y = 6 ==> 3y = 6 – 3 = 3 ==> y = 3 / 3 = 1
[7] التحقق من صحة الحل بالمعادلة (1)2(3) – (1) = 6 – 1 = 5 (صحيحة تماماً)صحيحةتماما
[8] مجموعة الحل
  • S.S = {(3
  • 1)}
💡 فنية وتريك للحل السريع وتجنب الخطأ
  • تذكر دائماً: مجموعة الحل في R × R تكتب كزوج مرتب داخل قوسي مجموعة: {(x
  • y)}!
تذكردائمامجموعةالحل
وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
•
  • ★ إيجاد معادلة الخط المستقيم المار بنقطة والعمودي على مستقيم المعطيات والمطلوب: أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة (2
  • -3) والعمودي على المستقيم الذي معادلته: 3x – 4y + 7 = 0
إيجادمعادلةالخطالمستقيم
خطوات الحل والبرهان الفيزيائي[1] أولاً: نوجد ميل المستقيم المعطى (m1): المعادل: 3x – 4y + 7 = 0أولانوجدالمستقيمالمعطى
•[2] m1 = – (معامل x) / (معامل y) = – 3 / – 4 = 3/4معامل
[3] ثانياً
  • بما أن المستقيم المطلوب عمودي على هذا المستقيم
  • فإن ميل المستقيم المطلوب (m) هو المعكوس الجمعي والضربي لـ m1: m = – 1 / m1 = – 4/3
المستقيمالمطلوبعموديالمعكوس
[4] ثالثاً
  • نكتب معادلة المستقيم بصيغة الميل ونقطة (x1 = 2
  • y1 = -3): y – y1 = m (x – x1)
نكتبمعادلةالمستقيمبصيغة
•[5] y – (-3) = – 4/3 (x – 2) ==> y + 3 = – 4/3 (x – 2)
[6] نضرب المعادلة كلها في 3 للتخلص من المقام3(y + 3) = – 4(x – 2) ==> 3y + 9 = – 4x + 8
[7] ننقل الحدود للطرف الأيمن4x + 3y + 9 – 8 = 0 ==> 4x + 3y + 1 = 0
[8] الاستنتاجمعادلة الخط المستقيم المطلوب هي 4x + 3y + 1 = 0معادلةالخطالمستقيمالمطلوب
💡 فنية وتريك للحل السريع وتجنب الخطأقاعدة سريعة للامتحانات: ميل العمودي على الكسر أ/ب هو قلب الكسر وتغيير إشارته: -ب/أ!قاعدةسريعةللامتحاناتالعمودي
الحالة الهندسية للمستقيمين العلاقة بين الميلين والجزء المقطوع عدد الحلول الممكنة مجموعة الحل (S.S)
المستقيمان متقاطعان في نقطة الميلان غير متساويين (m1 ≠ m2) حل وحيد فقط {(x, y)} نقطة التقاطع
المستقيمان متوازيان تماماً
  • الميلان متساويان والجزء المقطوع مختلف (m1 = m2
  • c1 ≠ c2)
 صفر (لا توجد حلول) المجموعة الخالية ∅
المستقيمان منطبقان تماماً
  • الميلان متساويان والجزء المقطوع متطابق (m1 = m2
  • c1 = c2)
 عدد لا نهائي من الحلول {(x, y) : a x + b y + c = 0}
  • 💡 💡 كبسولة الفنيات وتريكات الامتحانات والأسئلة الوزارية 2026/2027:
  • درجة الحد الجبري هي مجموع أسوس رموزه، ودرجة المقدار الجبري هي أعلى درجة حد من حدوده.
  • المستقيمان المتوازيان لهما نفس الميل (m1 = m2)، والمتعامدان حاصل ضرب ميليهما يساوي -1.
  • المستقيم الأفقي الموازي لمحور السينات ميله صفر (y = c)، والرأسي ميله غير معرف (x = k).
  • مجموعة حل معادلتين خطيتين تمثل نقطة تقاطع المستقيمين بيانياً.
  • إذا تساوى الميلان وتساوى الجزء المقطوع يكون للمنظومة عدد لا نهائي من الحلول لانطباق المستقيمين.
الدرس 1 – التعبيرات والصيغ الرياضية والمعادلات الخطية – شرح · 14 / 14