المناهج الدراسية

تسجيل الدخول

المناهج الدراسية

الرياضيات

الفصل الأول - التفاضل والتكامل (Calculus)

0/86

الفصل الثاني - الجبر والهندسة الفراغية (Algebra & Solid Geometry)

0/50

الفصل الثالث - الاستاتيكا (Statics)

0/21

الفصل الرابع - الديناميكا (Dynamics)

0/35

الفصل الخامس - الجبر الأساسي وحساب المثلثات والإحصاء والاحتمال

0/40

دروس إضافية

0/193

نص الدرس

الدرس 2 – المجموعات والعمليات الجبرية ومجموعات الأعداد – شرح

الرياضيات

الدرس 2 – المجموعات والعمليات الجبرية ومجموعات الأعداد – شرح

مقدمة

🌳 شجرة المفاهيم

الدرس 2 – المجموعات والعمليات الجبرية ومجموعات الأعداد

├── المصطلحات العلمية

├── القوانين والعلاقات

├── مبادئ نظرية المجموعات وطرق التعبير عنها والعلاقات الأساسية
├── العمليات الأربع على المجموعات وأشكال فن وقوانين دي مورجان

├── تطبيقات حياتية

├── جداول المقارنة

├── أمثلة محلولة

└── تكات وملاحظات امتحانية

الدرس 2 – المجموعات والعمليات الجبرية ومجموعات الأعداد – شرح · 1 / 14

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	مثال	كلمات مفتاحية
المجموعة (Set)	تجمع من الأشياء أو العناصر المعرفة تعريفاً تاماً ومحدداً بدقة لا تحتمل اللبس ولا يراعى في المجموعة ترتيب العناصر ولا تكرارها داخل قوسي المجموعة { }	—	تجمعالأشياءالعناصرالمعرفة
المجموعة الخالية (Empty / Null Set – ∅)	المجموعة التي لا تحتوي على أي عنصر على الإطلاق وعدد عناصرها يساوي صفراً وتعتبر مجموعة جزئية من أي مجموعة رياضية أخرى (∅ ⊆ A دائماً)	—	تحتويعنصرالإطلاقوعدد
المجموعة الشاملة (Universal Set – U)		عادة بمستطيل كبير يضم داخله جميع المجموعات الجزئية	الأمتحتويجميعالعناصر
تقاطع المجموعتين (Intersection – A ∩ B)	مجموعة العناصر المشتركة التي تنتمي إلى المجموعة A وتنتمي في نفس الوقت إلى المجموعة B: {x : x ∈ A and x ∈ B}	—	مجموعةالعناصرالمشتركةتنتمي
اتحاد المجموعتين (Union – A ∪ B)	مجموعة جميع العناصر التي تنتمي إلى المجموعة A أو تنتمي إلى المجموعة B أو تنتمي إليهما معاً (دون تكرار): {x : x ∈ A or x ∈ B}	—	مجموعةجميعالعناصرتنتمي
مكملة المجموعة (Complement – A’)	مجموعة العناصر التي تنتمي إلى المجموعة الشاملة U ولا تنتمي إلى المجموعة A: A’ = U – A	—	العناصرتنتميالشاملة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	مثال	كلمات مفتاحية
طريقة السرد (Listing Method)	نكتب جميع عناصر المجموعة داخل قوسين { } ونفصل بين كل عنصرين بفاصلة دون تكرار أي عنصر ولا يشترط الترتيب	مجموعة أرقام العدد 5352 هي {2	نكتبجميععناصرالمجموعة
طريقة الصفة المميزة (Set-Builder Notation)		A = {x : x ∈ N 2 ≤ x < 7} وهي تساوي بالسرد {2	تحديدالخاصيةالفريدةتجمع

العمليات الأربع على المجموعات وأشكال فن وقوانين دي مورجان

العمليات الرياضية على المجموعات تمثل المنطق الرياضي لعمليات البحث وقواعد البيانات ومحركات البحث:

حلقتان متقاطعتان على الأرض تمثلان المجموعات: المجموعة أ بها 12 كرة وب بها 9 والتقاطع 5 فيكون الاتحاد 16.

التقاطع (A ∩ B)المنطقة المشتركة بين الدائرتين في شكل فن. إذا كان A ∩ B = ∅ يقال للمجموعتين أنهما منفصلتان (Disjoint Sets).

الاتحاد (A ∪ B)تظليل كامل الدائرتين بما فيهما من عناصر مشتركة وغير مشتركة.

الفرق (A – B)العناصر التي تنتمي لـ A فقط ولا تنتمي لـ B (الجزء الهلالي من الدائرة A الخالي من التداخل مع B).

المكملة (A’)المنطقة الواقعة خارج الدائرة A وداخل المستطيل الشامل U.

قوانين دي مورجان وضعهما عالم المنطق البريطاني أوجستس دي مورجان، وتعدان من أهم القواعد الرياضية في الجبر البولي وتصميم الدوائر المنطقية للحواسيب: مكملة الاتحاد تقلب إلى تقاطع المكملات، ومكملة التقاطع تقلب إلى اتحاد المكملات.
تُبيّن مخططات فن عمليات الاتحاد والتقاطع والمكملة على المجموعات.
وترتبط بها قوانين دي مورجان، وهي أساس الجبر البولي وتصميم الدوائر المنطقية، فمكملة الاتحاد تساوي تقاطع المكملات، ومكملة التقاطع تساوي اتحاد المكملات.

اتحاد المجموعتين (Union – A ∪ B) مجموعة جميع العناصر التي تنتمي إلى المجموعة A أو تنتمي إلى المجموعة B أو تنتمي إليهما معاً (دون تكرار): {x : x ∈ A or x ∈ B}.
اتحاد المجموعتين (Union:

الدرس 2 – المجموعات والعمليات الجبرية ومجموعات الأعداد – شرح · 5 / 14

العملية الرياضية	الرمز والصيغة	المعنى اللغوي والمنطقي	التظليل في شكل فن
التقاطع (Intersection)	A ∩ B	العناصر المشتركة بين A و B معاً (و / AND)	منطقة التداخل المشتركة بين الدائرتين فقط
الاتحاد (Union)	A ∪ B	جميع عناصر A أو B أو كلاهما (أو / OR)	تظليل الدائرتين A و B بالكامل
الفرق (Difference)	A – B	العناصر الموجودة في A وغير موجودة في B	الجزء من دائرة A خارج دائرة B (هلال A)
المكملة (Complement)	A’ = U – A	جميع عناصر المجموعة الشاملة ما عدا عناصر A	المنطقة المحيطة بالدائرة A داخل مستطيل U
المجموعتان المنفصلتان	A ∩ B = ∅	لا توجد أي عناصر مشتركة بينهما إطلاقاً	دائرتان متباعدتان لا تتقاطعان

تكات وملاحظات امتحانية

المجموعة الخالية ∅ جزء من أي مجموعة (∅ ⊆ A) وعدد عناصرها صفر.
الرمز (∈) يربط بين عنصر ومجموعة، والرمز (⊆) يربط بين مجموعة ومجموعة.
قانون عدد عناصر الاتحاد n(A ∪
B) = n(A) + n(B) – n(A

∩ B).
مكملة المجموعة الشاملة هي المجموعة الخالية (U’ = ∅)، ومكملة المجموعة الخالية هي الشاملة (∅’ = U).
قوانين دي مورجان مكملة الاتحاد تساوي تقاطع المكملات، ومكملة التقاطع تساوي اتحاد المكملات.
.egp-ex{margin:18px 0;border:1px solid rgba(79,63,224,.2);border-radius:16px;overflow:hidden;background:#fff}.egp-ex-h{padding:10px 16px;font-weight:800;background:linear-gradient(90deg,#4f3fe0,#22c1c3);color:#fff}.egp-ex-tabs{display:flex;flex-wrap:wrap;gap:6px;padding:10px 12px;background:#f7f6ff}.egp-ex-b{border:1px solid rgba(79,63,224,.3);background:#fff;border-radius:20px;padding:5px 14px;font-weight:700;cursor:pointer}.egp-ex-b.on{background:#4f3fe0;color:#fff}.egp-ex-p{padding:12px 16px}function egpEx(b,k){var w=b.closest(‘.egp-ex’);w.querySelectorAll(‘.egp-ex-b’).forEach(function(x,i){x.classList.toggle(‘on’,i===k)});w.querySelectorAll(‘.egp-ex-p’).forEach(function(x,i){x.hidden=i!==k})}

تكات وملاحظات امتحانية←تكات وملاحظات امتحانية

الدرس 2 – المجموعات والعمليات الجبرية ومجموعات الأعداد – شرح · 9 / 14

العنصر / وجه المقارنة	البيانات والخصائص المستخرجة
نقطة 1	ع .10
نقطة 2	ا غ0ع0معمع170 .0 .11
نقطة 3	عاطا0/الاعمع؟ .0 .13
نقطة 4	0205 . .14
نقطة 5	01600 . ,16
نقطة 6	0م600 .0 .18
نقطة 7	6100 .20.0
نقطة 8	50م .22.0
نقطة 9	ل6معنا) .ء .12
نقطة 10	105-كاء76© .0 .15
نقطة 11	00 أنااملاء ع .17
نقطة 12	+0100 . .19

⚖️ القوانين والعلاقات الرياضية والفيزيائية الحاكمة:

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
قانون عدد عناصر الاتحاد	[ الصيغة الفيزيائية والرياضية: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) ] n تعبر عن عدد العناصر ونطرح التقاطع لتجنب عد العناصر المشتركة مرتين	الصيغةالفيزيائيةوالرياضيةتعبر
قوانين دي مورجان (De Morgan's Laws)	[ الصيغة الفيزيائية والرياضية: (A ∪ B)' = A' ∩ B' \| (A ∩ B)' = A' ∪ B' ] مكملة الاتحاد تساوي تقاطع المكملتين ومكملة التقاطع تساوي اتحاد المكملتين	الصيغةالفيزيائيةوالرياضيةمكملة
قوانين الفرق والعمليات الخاصة	[ الصيغة الفيزيائية والرياضية: A – B = A ∩ B' \| A ∩ A' = ∅ \| A ∪ A' = U \| (A')' = A ] العناصر الموجودة في A وليست في B	الصيغةالفيزيائيةوالرياضيةالعناصر

الدرس 2 – المجموعات والعمليات الجبرية ومجموعات الأعداد – شرح · 13 / 14

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
•	★ مسألة إحصائية حياتية وحلها بأشكال فن وقانون الاتحاد المعطيات والمطلوب: في فصل دراسي مكون من 40 طالباً وجد أن 25 طالباً يحبون مادة الرياضيات و 20 طالباً يحبون مادة العلوم و 12 طالباً يحبون المادتين معاً	مسألةإحصائيةحياتيةوحلها
احسب	(1) عدد الطلاب الذين يحبون الرياضيات فقط (2) عدد الطلاب الذين يحبون مادة واحدة على الأقل (3) عدد الطلاب الذين لا يحبون أي من المادتين	الطلابالذينيحبونالرياضيات
خطوات الحل والبرهان الفيزيائي	[1] نفرض أن مجموعة محبي الرياضيات هي M ومجموعة محبي العلوم هي S والمجموعة الشاملة للفصل هي U	نفرضمجموعةمحبيالرياضيات
[2] المعطيات	n(U) = 40 n(M) = 25 n(S) = 20 والتقاطع المشترك n(M ∩ S) = 12	والتقاطعالمشترك
[3] أولاً	عدد الطلاب الذين يحبون الرياضيات فقط: n(M – S) = n(M) – n(M ∩ S) = 25 – 12 = 13 طالباً	الطلابالذينيحبونالرياضيات
[4] ثانياً	عدد الطلاب الذين يحبون مادة واحدة على الأقل (أي الاتحاد M ∪ S): [5] نطبق قانون الاتحاد: n(M ∪ S) = n(M) + n(S) – n(M ∩ S) = 25 + 20 – 12 = 45 – 12 = 33 طالباً	الطلابالذينيحبونمادة
[6] ثالثاً	عدد الطلاب الذين يحبون العلوم فقط: n(S – M) = 20 – 12 = 8 طلاب	الطلابالذينيحبونالعلوم
[7] رابعاً	عدد الطلاب الذين لا يحبون أي من المادتين (مكملة الاتحاد (M ∪ S)'): [8] n((M ∪ S)') = n(U) – n(M ∪ S) = 40 – 33 = 7 طلاب	الطلابالذينيحبونالمادتين
[9] التحقق من صحة الحل	13 (رياضيات فقط) + 8 (علوم فقط) + 12 (كلاهما) + 7 (لا أحد) = 40 طالباً (مطابق لإجمالي الفصل تماماً)	رياضياتعلومكلاهماطالبا
💡 فنية وتريك للحل السريع وتجنب الخطأ	تذكر دائماً: 'مادة واحدة على الأقل' تعني الاتحاد (∪) و 'مادتين معاً' تعني التقاطع (∩)!	تذكردائمامادةواحدة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
★ تطبيق قوانين دي مورجان على مجموعات عددية المعطيات والمطلوب	إذا كانت المجموعة الشاملة U = {1 والمجموعة A = {2 والمجموعة B = {1	كانتالمجموعةالشاملةوالمجموعة
أوجد	(A ∪ B)' و (A ∩ B) وتحقق من صحة قانون دي مورجان الأول: (A ∪ B)' = A' ∩ B'	وتحقققانونمورجانالأول
خطوات الحل والبرهان الفيزيائي	[1] أولاً: نوجد الاتحاد A ∪ B: A ∪ B = {1	أولانوجدالاتحاد
[2] مكملة الاتحاد (A ∪ B)'	العناصر الموجودة في U وليست في الاتحاد: (A ∪ B)' = {4	العناصرالموجودةوليست
[3] ثانياً	نوجد مكملة A منفردة: A' = U – A = {1	نوجدمكملةمنفردة
[4] ونوجد مكملة B منفردة	B' = U – B = {2
[5] ثالثاً	نوجد تقاطع المكملتين A' ∩ B': العناصر المشتركة بين A' و B' هي: A' ∩ B' = {4	نوجدتقاطعالمكملتينالعناصر
[6] الاستنتاج والتحقق	نلاحظ أن (A ∪ B)' = {4 و A' ∩ B' = {4 وهما متطابقان تماماً مما يثبت صحة قانون دي مورجان	نلاحظوهمامتطابقانتماما
💡 فنية وتريك للحل السريع وتجنب الخطأ	قانون دي مورجان قاعدة أساسية في امتحانات الرياضيات والمنطق وعلوم الحاسوب!	قانونمورجانقاعدةأساسية

المناهج الدراسية

الرياضيات

الفصل الأول - التفاضل والتكامل (Calculus)

الفصل الثاني - الجبر والهندسة الفراغية (Algebra & Solid Geometry)

الفصل الثالث - الاستاتيكا (Statics)

الفصل الرابع - الديناميكا (Dynamics)

الفصل الخامس - الجبر الأساسي وحساب المثلثات والإحصاء والاحتمال

دروس إضافية

الدرس 2 – المجموعات والعمليات الجبرية ومجموعات الأعداد – شرح

🌳 شجرة المفاهيم

├── المصطلحات العلمية

├── القوانين والعلاقات

├── تطبيقات حياتية

├── جداول المقارنة

├── أمثلة محلولة

└── تكات وملاحظات امتحانية

🔬 شكل 1 – أشكال فن لعمليات الاتحاد والتقاطع والفرق

🔬 شكل 1 – مخططات فن والعمليات على المجموعات والتقاطع

🔬 شكل 2 – الضرب الديكارتي والمخطط السهمي والبياني للدالة

🔬 شكل 2 – قوانين ديمورجان والعمليات على الفترات الحقيقية

1. مبادئ نظرية المجموعات وطرق التعبير عنها والعلاقات الأساسية

2. طريقة الصفة المميزة (Set-Builder Notation): تحديد الخاصية الفريدة التي تجمع عناصر المجموعة، مثل: A = {x : x ∈ N, 2 ≤ x < 7} وهي تساوي بالسرد {2, 3, 4, 5, 6}.

2. العمليات الأربع على المجموعات وأشكال فن وقوانين دي مورجان

4. المكملة (A'): المنطقة الواقعة خارج الدائرة A وداخل المستطيل الشامل U.

3. التطبيقات الحياتية والإحصائية وشكل فن لحل المشكلات

💡 💡 كبسولة الفنيات وتريكات الامتحانات والأسئلة الوزارية 2026/2027:

أحسنت! أنهيت هذا الدرس