المناهج الدراسية

الرياضيات

الفصل الأول - التفاضل والتكامل (Calculus)

0/86

الفصل الثاني - الجبر والهندسة الفراغية (Algebra & Solid Geometry)

0/50

الفصل الثالث - الاستاتيكا (Statics)

0/21

الفصل الرابع - الديناميكا (Dynamics)

0/35

الفصل الخامس - الجبر الأساسي وحساب المثلثات والإحصاء والاحتمال

0/40

دروس إضافية

0/193

نص الدرس

الدرس الثاني: العزوم والاتزان العام والازدواج ومركز الثقل

الرياضيات

الدرس الثاني: العزوم والاتزان العام والازدواج ومركز الثقل

عزم قوة بالنسبة لنقطة

مفهوم العزم

القوة قد تحدث تأثيرًا حركيًّا انتقاليًّا في الجسم، وقد تحدث تأثيرًا دورانيًّا حول نقطة، وهنا نقول إن القوة قادرة على إحداث دوران حول نقطة.
يعتمد التأثير الدوراني على مقدار القوة وعلى بعد خط عمل القوة عن هذه النقطة، ويقاس بـ عزم القوة.
مركز العزم هي النقطة التي يُحسب العزم حولها، و محور العزم هو المستقيم المار بها والعمودي على المستوى الذي يحوي القوة.
ذراع العزم هو طول العمود الساقط من مركز العزم على خط عمل القوة.

عزم قوة بالنسبة لنقطة

إذا أثرت القوة $\vec{F}$ في نقطة $A$ وكان $\vec{r}$ متجه موضع $A$ بالنسبة لمركز العزم $O$ فإن:

M⃗O=r⃗×F⃗

معيار العزم ∥M⃗O∥=∥r⃗∥ ∥F⃗∥sin⁡θ=F×L حيث θ الزاوية بين r⃗ و F⃗ و L ذراع العزم.
اتجاه متجه العزم عمودي على مستوى القوة والنقطة، ويُعين بقاعدة اليد اليمنى.
في المستوى الإحداثي إذا كانت $\vec{r} = (x, y)$ و $\vec{F} = (F_{x}, F_{y})$ فإن العزم لا يكون إلا في اتجاه $\hat{k}$ :

M=x Fy−y Fx

القياس الجبري للعزم

إذا كانت القوة تعمل على الدوران حول $O$ في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة كان القياس الجبري للعزم موجبًا (متجه العزم في اتجاه $+ \hat{k}$ ).
إذا كانت تعمل على الدوران في اتجاه دوران عقارب الساعة كان القياس الجبري سالبًا.
عزم قوة حول نقطة تقع على خط عملها يساوي صفرًا لأن الذراع صفر.
وحدة قياس العزم = وحدة القوة × وحدة الطول، مثل نيوتن.متر، ث كجم.متر، داين.سم.
إذا تلاشى عزم قوة حول نقطة فإن خط عملها يمر بهذه النقطة (أو أن القوة معدومة).

✍️ أمثلة محلولة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
مثال 1	إذا كانت $\hat{i}, \hat{j}$ متجهي وحدة متعامدين وأثرت القوة $\vec{F} = 3 \hat{i} + 4 \hat{j}$ في النقطة $A (- 1, 3)$ .	كانتمتجهيوحدةمتعامدين
أوجد	(أ) عزم القوة بالنسبة لنقطة الأصل (ب) طول العمود الساقط من النقطة O على خط عمل القوة	القوةبالنسبةلنقطةالأصل
•	الحل	الحل

(أ) r⃗=OA→=(−1,3)

M=xFy−yFx=(−1)(4)−(3)(3)=−4−9=−13

القياس الجبري للعزم $= - 13$ وحدة عزم، ومعيار العزم 13، والقوة تعمل على الدوران في اتجاه دوران عقارب الساعة.

(ب) ∥F⃗∥=9+16=5

L=∥M⃗∥F=135=2.6 وحدة طول

مثال 2 قوة مقدارها 50 نيوتن وبعد خط عملها عن نقطة $A$ يساوي 8 سم. أوجد معيار عزمها حول $A$ .
الحل:

M=F×L=50×8=400 نيوتن.سم

ذراع القوة وعزمها←عزم قوة بالنسبة لنقطة

الدرس الثاني: العزوم والاتزان العام والازدواج ومركز الثقل · 2 / 11

مبدأ العزوم (نظرية فارينيون)

النص

عزم قوة بالنسبة لنقطة يساوي مجموع عزوم مركبات هذه القوة بالنسبة لنفس النقطة.
إذا كانت $\vec{F} = F_{x} \hat{i} + F_{y} \hat{j}$ تؤثر في نقطة متجه موضعها $(x, y)$ فإن عزمها $= x F_{y} - y F_{x}$ ، أي عزم المركبة $F_{y}$ حول $O$ مضافًا إليه عزم المركبة $F_{x}$ .

✍️ أمثلة محلولة

مثال 3 قوة مقدارها 200 نيوتن تؤثر في الطرف $A$ لقضيب أفقي طوله 1 متر، وتميل على القضيب بزاوية $3 0^{\circ}$ إلى أسفل.
أوجد عزم القوة حول طرف القضيب الآخر $O$ .
الحل:
نحلل القوة إلى مركبتين 200cos⁡30∘=1003 نيوتن (توازي القضيب) و 200sin⁡30∘=100 نيوتن (عمودية على القضيب)
المركبة الموازية للقضيب خط عملها يمر بـ $O$ فعزمها صفر

عزم المركبة العمودية =100×1=100 نيوتن.متر

إذا كانت المركبة تعمل في اتجاه دوران عقارب الساعة فالقياس الجبري $= - 100$ نيوتن.متر
الحل بالطريقة الأخرى ذراع القوة L=1×sin⁡30∘=0.5 م و M=200×0.5=100 وهي نفس النتيجة.

الدرس الثاني: العزوم والاتزان العام والازدواج ومركز الثقل · 3 / 11

مجموع عزوم القوى المتلاقية والنظرية العامة للعزوم

مجموع عزوم القوى المستوية المتلاقية في نقطة

نظريةمجموع عزوم عدة قوى مستوية متلاقية في نقطة بالنسبة لأي نقطة في الفراغ يساوي عزم محصلة هذه القوى بالنسبة للنقطة نفسها.

البرهانإذا تلاقت القوى

{\vec{F}}_{1}, {\vec{F}}_{2}, \dots, {\vec{F}}_{n}

في النقطة

A

ومحصلتها

\vec{R}

، فمجموع العزوم حول

O

\vec{r} \times {\vec{F}}_{1} + \vec{r} \times {\vec{F}}_{2} + \dots + \vec{r} \times {\vec{F}}_{n} = \vec{r} \times \vec{R}

✍️ أمثلة محلولة

مثال 4 تؤثر القوى ${\vec{F}}_{1} = 3 \hat{i} + \hat{j}$ و ${\vec{F}}_{2} = - 2 \hat{i} + 4 \hat{j}$ و ${\vec{F}}_{3} = \hat{i} - 5 \hat{j}$ في النقطة $A (1, - 2)$ . أوجد مجموع عزوم هذه القوى حول النقطة $B (2, 0)$ ، ثم أوجد عزم محصلتها حول $B$ .
الحل:

r⃗=BA→=(1−2, −2−0)=(−1,−2)

M1=(−1)(1)−(−2)(3)=−1+6=5

M2=(−1)(4)−(−2)(−2)=−4−4=−8

M3=(−1)(−5)−(−2)(1)=5+2=7

مجموع العزوم =5−8+7=4

المحصلة R⃗=(3−2+1, 1+4−5)=(2,0)

عزم المحصلة =(−1)(0)−(−2)(2)=4

نلاحظ أن مجموع عزوم القوى يساوي عزم محصلتها.

النظرية العامة للعزوم

المجموع الجبري لعزوم مجموعة من القوى حول نقطة ما يساوي عزم المحصلة حول نفس النقطة.

إذا أثرت عدة قوى على جسم في مستوى وكانت $A$ و $B$ نقطتين في المستوى، فإن:
إذا كان مجموع عزوم القوى حول $A$ = مجموع عزوم القوى حول $B$ فإن خط عمل المحصلة يوازي $\overset{\leftrightarrow}{A B}$ .
إذا كان مجموع عزوم القوى حول $A$ = − مجموع عزوم القوى حول $B$ فإن خط عمل المحصلة يمر بمنتصف $\overline{A B}$ .
إذا كان مجموع عزوم القوى حول نقطة ما يساوي صفرًا وكانت هذه القوى ليس لها محصلة صفرية فإن خط عمل المحصلة يمر بهذه النقطة.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 5 تؤثر القوتان ${\vec{F}}_{1} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j}$ و ${\vec{F}}_{2} = - \hat{i}$ في النقطة $A (1, 1)$ . أثبت باستخدام العزوم أن خط عمل المحصلة يوازي المستقيم المار بالنقطتين $B (2, 1)$ و $C (3, 2)$ .
الحل:

المحصلة R⃗=(2,2)

BA→=(−1,0) فعزم المحصلة حول B =(−1)(2)−(0)(2)=−2

$\vec{C A} = (- 2, - 1)$ فعزم المحصلة حول $C$ $= (- 2) (2) - (- 1) (2) = - 4 + 2 = - 2$
العزمان متساويان والمحصلة لا تساوي صفرًا، فخط عمل المحصلة يوازي $\overset{\leftrightarrow}{B C}$
وفعلًا $\vec{R} = (2, 2)$ يوازي $\vec{B C} = (1, 1)$ .

الدرس الثاني: العزوم والاتزان العام والازدواج ومركز الثقل · 4 / 11

محصلة القوى المتوازية المستوية

قوتان متوازيتان ومتحدتا الاتجاه

إذا أثرت قوتان متوازيتان في نفس الاتجاه مقدارهما $P_{1}$ و $P_{2}$ في نقطتين $A$ و $B$ من جسم متماسك فإن محصلتهما $R$ قوة تؤثر في نقطة $C$ على القطعة $\overline{A B}$ بحيث:
$R = P_{1} + P_{2}, P_{1} \times A C = P_{2} \times C B$

محصلة قوتين متوازيتين ومتحدتي الاتجاه هي قوة تعمل في اتجاههما، ويساوي معيارها مجموع معياريهما، وتقسم خط عمليهما من الداخل بنسبة عكسية لمعياريهما.
نقطة تأثير المحصلة أقرب إلى القوة الأكبر.
إذا كانت القوتان متساويتين فنقطة التأثير هي منتصف $\overline{A B}$ .

✍️ أمثلة محلولة

مثال 6 قوتان متوازيتان في نفس الاتجاه مقدارهما 5 و 7 نيوتن تؤثران في نقطتين $A$ و $B$ حيث $A B = 36$ سم. أوجد محصلتهما ونقطة تأثيرها.
الحل:

R=5+7=12 نيوتن في اتجاه القوتين

نفرض نقطة التأثير C∈AB‾←5×AC=7×CB=7(36−AC)

12 AC=252 ومنها AC=21 سم

المحصلة 12 نيوتن وتؤثر في نقطة تبعد 21 سم عن A

إذا كانت $P_{1} > P_{2}$ وأثرت القوتان المتضادتان في $A$ و $B$ فإن محصلتهما:
$R = P_{1} - P_{2}, P_{1} \times A C = P_{2} \times B C$

المحصلة تعمل في اتجاه القوة الأكبر، ويساوي معيارها الفرق بين معياريهما، وتقع نقطة تأثيرها خارج $\overline{A B}$ من ناحية القوة الأكبر.
يقسم خط عمل المحصلة المسافة بين خطي عمل القوتين من الخارج بنسبة عكسية لمعياريهما.
إذا كانت القوتان متساويتين ومتضادتين فلا توجد لهما محصلة وتكونان ازدواجًا.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 7 قوتان متوازيتان ومتضادتان في الاتجاه مقدارهما 40 و 100 نيوتن والمسافة بين خطي عمليهما 240 سم. أوجد محصلتهما.
الحل:

R=100−40=60 نيوتن في اتجاه القوة 100 نيوتن

نفرض أن نقطة التأثير C تبعد x عن خط عمل القوة 100←100x=40(x+240)

x=9600 ومنها x=160 سم

المحصلة 60 نيوتن في اتجاه القوة الكبرى وتؤثر في نقطة خارج القطعة الواصلة بين القوتين على بعد 160 سم من خط عمل القوة 100 نيوتن.

نظرية العزوم للقوى المتوازية

مجموع عزوم أي عدد محدود من القوى المتوازية المستوية بالنسبة لنقطة يساوي عزم محصلة هذه القوى بالنسبة لنفس النقطة.
نبرهن أولًا عندما تكون المجموعة قوتين فقط (متحدتي الاتجاه أو متضادتين)، ثم نعمم للمجموعة الأكبر بتحصيل أي قوتين على التوالي.

لتعيين محصلة عدة قوى متوازية في مستوى نختار اتجاهًا موجبًا لمتجه الوحدة e^ على امتداد القوى.
المحصلة $R = \sum P_{i}$ (جبريًّا).
لتعيين موضعها نفرض أن المحصلة تؤثر على بعد $x$ من نقطة معينة $A$ ، ثم نساوي مجموع عزوم القوى حول $A$ بعزم المحصلة حول $A$ .

✍️ أمثلة محلولة

مثال 8 أربع قوى متوازية في الاتجاه الرأسي تؤثر على قضيب عند نقاط $A, B, C, D$ حيث $A B = 2$ سم و $B C = 3$ سم و $C D = 4$ سم: 10 نيوتن لأعلى عند $A$ ، 30 نيوتن لأسفل عند $B$ ، 20 نيوتن لأعلى عند $C$ ، 40 نيوتن لأعلى عند $D$ .
أوجد مقدار واتجاه المحصلة ونقطة تأثيرها.
الحل:

R=10−30+20+40=40 نيوتن لأعلى

نأخذ العزوم حول A (القوة لأعلى يمين A عزمها موجب)←−30×2+20×5+40×9=−60+100+360=400

40×x=400 ومنها x=10 سم من A

المحصلة 40 نيوتن لأعلى وتؤثر في نقطة على امتداد القضيب على بعد 10 سم من $A$ (خارج $D$ بمقدار 1 سم).
مثال 9 قوتان متوازيتان مقدارهما 20 نيوتن و $P$ نيوتن تؤثران في نقطتين $A$ و $B$ في نفس الاتجاه، مقدار محصلتهما 35 نيوتن والبعد بين خطي عمل القوة 20 نيوتن والمحصلة 15 سم.
أوجد القوة الثانية والبعد $A B$ .
الحل:

R=20+P ومنها P=15 نيوتن

عزوم القوى حول نقطة تأثير المحصلة C يساوي صفرًا←20×15=15×CB فتكون CB=20 سم

AB=AC+CB=15+20=35 سم

مثال 10 قوتان متوازيتان ومتضادتان في الاتجاه إحداهما 20 نيوتن ومحصلتهما 35 نيوتن في عكس اتجاه القوة المعلومة، فأوجد القوة الأخرى.
الحل:
المحصلة في اتجاه القوة الكبرى، وهي القوة المجهولة $P$ لأنها عكس اتجاه الـ 20 نيوتن

R=P−20=35 ومنها P=55 نيوتن في اتجاه المحصلة

إيجاد محصلة قوتين متوازيتين بالمتجهات

إذا كانت القوتان ${\vec{F}}_{1}$ و ${\vec{F}}_{2}$ متوازيتين وتؤثران في النقطتين $A (x_{1}, y_{1})$ و $B (x_{2}, y_{2})$ ومعيارهما $m_{1}, m_{2}$ فإن نقطة تأثير المحصلة $C$ تقسم $\overline{A B}$ من الداخل بنسبة $A C : C B = m_{2} : m_{1}$ (متحدتا الاتجاه):

C=(m1x1+m2x2m1+m2, m1y1+m2y2m1+m2)

✍️ أمثلة محلولة

مثال 11 أثرت القوتان ${\vec{F}}_{1} = 2 \hat{i} - 3 \hat{j}$ و ${\vec{F}}_{2} = 4 \hat{i} - 6 \hat{j}$ في النقطتين $A (3, 1)$ و $B (9, 4)$ على الترتيب. أوجد محصلتهما ونقطة تأثيرها.
الحل:

R⃗=F⃗1+F⃗2=6i⁻⁹j^

القوتان متوازيتان ومتحدتا الاتجاه ( ${\vec{F}}_{2} = 2 {\vec{F}}_{1}$ )، فتقسم النقطة $C$ القطعة $\overline{A B}$ بنسبة $A C : C B = 2 : 1$

C=(1×3+2×93, 1×1+2×43)=(7,3)

الدرس الثاني: العزوم والاتزان العام والازدواج ومركز الثقل · 5 / 11

اتزان مجموعة من القوى المستوية

شرطا الاتزان

يكون الجسم المتماسك الواقع تحت تأثير مجموعة من القوى المستوية في حالة اتزان استاتيكي إذا تحقق الشرطان:
انعدام متجه محصلة القوى للمجموعة $\vec{R} = \vec{0}$ (لا توجد حركة انتقالية).
انعدام عزوم القوى بالنسبة لنقطة $\vec{M} = \vec{0}$ (لا توجد حركة دورانية).
هذان هما الشرطان الكافيان واللازمان لاتزان مجموعة القوى المستوية.
بتحليل القوى في المستوى (x,y) يكون ∑Fx=0 و ∑Fy=0 و ∑M=0.
نختار نقطة العزوم بحيث تمر بها أكبر عدد من خطوط عمل القوى المجهولة، فيقل عدد المجاهيل في معادلة العزوم.

عندما تكون القوى كلها رأسية يكفي مجموع القياسات الجبرية للقوى في الاتجاه الرأسي =0، ومجموع القياسات الجبرية لعزومها حول نقطة =0.
في القضيب المنتظم يؤثر الوزن في منتصفه.
رد الفعل عند كل حامل يساوي الضغط الواقع عليه.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 12 لوح خشبي منتظم كتلته 30 كجم وطوله 6 م يرتكز في وضع أفقي على حاملين عند طرفيه $A$ و $B$ ويحمل صندوقًا كتلته 240 كجم على بعد 2 م من $A$ .
أوجد الضغط الواقع على كل حامل.
الحل:
كتلة اللوح 30 كجم فوزنه 30 ث كجم ويؤثر في منتصفه (على بعد 3 م من كل طرف)

نفرض أن رد الفعل عند A هو RA وعند B هو RB

RA+RB=30+240=270 … (1)

بأخذ العزوم حول B←RA×6=30×3+240×4

RA=90+960=1050 ومنها RA=175 ث كجم

من (1) RB=95 ث كجم
ملاحظة كلما اقترب الصندوق من A زاد رد فعل A.
مثال 13 قضيب منتظم $A B$ طوله 90 سم ووزنه 60 نيوتن معلق في وضع أفقي بخيطين رأسيين من طرفيه.
يراد تعليق ثقل مقداره 150 نيوتن بحيث يكون مقدار الشد عند $A$ ضعف مقدار الشد عند $B$ .
عيّن موضع الثقل.
الحل:
نفرض أن الثقل 150 نيوتن معلق على بعد $x$ من $A$ ، والشد عند $B$ يساوي $T$ فالشد عند $A$ هو $2 T$
مجموع القوى الرأسية 2T+T−150−60=0 ومنها T=70 نيوتن
عزوم القوى حول A 150x+60×45−T×90=0

x=6300−2700=3600 ومنها x=24 سم

الثقل معلق على بعد 24 سم من $A$ .
مثال 14 (قضيب غير منتظم) $A B$ قضيب غير منتظم طوله 120 سم.
إذا ثُبّت ثقل قدره 16 نيوتن عند طرفه $B$ اتزن القضيب أفقيًّا عند تعليقه من نقطة تبعد 30 سم عن $A$ ، وإذا أُنقص الثقل عند $B$ إلى 8 نيوتن اتزن عند نقطة تبعد 40 سم عن $A$ .
أوجد وزن القضيب وبعد نقطة تأثير وزنه عن $A$ .
الحل:
نفرض أن وزن القضيب $W$ يؤثر على بعد $d$ من $A$ (القضيب غير منتظم فليس في المنتصف)
الحالة الأولى العزوم حول نقطة التعليق (30 سم من A): W(d−30)=16×(120−30)=1440 … (1)
الحالة الثانية العزوم حول نقطة التعليق (40 سم من A): W(d−40)=8×(120−40)=640 … (2)
بطرح (2) من (1) 10 W=800 ومنها W=80 نيوتن
بالتعويض في (1) d−30=18 ومنها d=48 سم
وزن القضيب 80 نيوتن ويؤثر في نقطة تبعد 48 سم عن $A$ .

اتزان ساق على مستوى أفقي خشن ووتد أملس

في مسألة الساق التي ترتكز بطرفها $A$ على أرض أفقية خشنة وتستند عند نقطة $C$ على وتد أملس تكون القوى:
وزن الساق $W$ رأسيًّا لأسفل في منتصفها.
رد فعل الوتد $R_{1}$ عمودي على الساق عند نقطة التماس.
رد الفعل عند الطرف A بمركبتيه F أفقية (احتكاك) و R2 رأسية.
بتطبيق ∑Fx=0، ∑Fy=0، ∑M=0 حول A.
عندما تكون الساق على وشك الانزلاق يكون $F = μ R_{2}$ .

✍️ أمثلة محلولة

مثال 15 ساق منتظمة وزنها 5 ث كجم وطولها 30 سم، ترتكز بطرفها $A$ على أرض أفقية خشنة وبنقطة $C$ على وتد أملس يبعد $A C = 25$ سم وارتفاعه 12.5 سم، وكانت الساق تميل على الأفقي بزاوية $3 0^{\circ}$ وعلى وشك الانزلاق.
أوجد رد فعل الوتد ومعامل الاحتكاك.
الحل:
رد فعل الوتد $R_{1}$ عمودي على الساق، فيصنع مع الرأسي زاوية $3 0^{\circ}$
بأخذ العزوم حول A R1×25=5×15cos⁡30∘

R1=75×3225=332≈2.6 ث كجم

نحلل رد فعل الوتد←المركبة الأفقية R1sin⁡30∘ والمركبة الرأسية R1cos⁡30∘

F=R1sin⁡30∘=334 و R2=5−R1cos⁡30∘=5−94=114

μ=FR2=33/411/4=3311≈0.47

اتزان سلم على مستويين متعامدين أحدهما خشن

السلم المنتظم الذي يرتكز بطرفه السفلي على أرض أفقية خشنة وبطرفه العلوي على حائط رأسي أملس تعمل عليه القوى:
وزن السلم $W$ في منتصفه، ووزن الشخص الصاعد $w$ حيث هو.
رد فعل الحائط الأملس $S$ أفقيًّا (عمودي على الحائط).
رد فعل الأرض الخشنة R رأسيًّا و F أفقيًّا.
الشروط F=S و R=W+w والعزوم حول الطرف السفلي تساوي صفرًا.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 16 سلم منتظم وزنه 20 ث كجم يرتكز بطرفه السفلي على أرض أفقية خشنة وبطرفه العلوي على حائط رأسي أملس، ويميل على الأفقي بزاوية $6 0^{\circ}$ ، ومعامل الاحتكاك بين السلم والأرض $\frac{1}{2 \sqrt{3}}$ .
أثبت أن أقصى مسافة تستطيع فتاة وزنها 60 ث كجم أن تصعدها على السلم تساوي نصف طول السلم.
الحل:
القوى وزن السلم 20 في منتصفه، وزن الفتاة 60 على بعد s من القاعدة، رد فعل الحائط S أفقي، رد فعل الأرض R و F

R=20+60=80 ث كجم

عند أقصى مسافة يكون السلم على وشك الانزلاقF=μR=8023=403 وهذا يساوي S (من ∑Fx=0)

بأخذ العزوم حول الطرف السفلي20×L2cos⁡60∘+60×scos⁡60∘=S×Lsin⁡60∘

L+30s=403×32L=20L

s=15L ومنها s=L2

أقصى مسافة تصعدها الفتاة تساوي نصف طول السلم.

الدرس الثاني: العزوم والاتزان العام والازدواج ومركز الثقل · 6 / 11

الازدواج

قد يظن البعض أن الجسم الذي محصلة القوى المؤثرة عليه صفر يظل ساكنًا، ولكن إذا أثرت عليه قوتان متساويتان ومتضادتان في الاتجاه (محصلتهما صفر) فإنه يتحرك حركة دورانية حول نقطة، وتعتمد سرعة الدوران على عدة أشياء.
الازدواج نظام من القوى يتكون من قوتين متساويتين في المعيار ومتضادتين في الاتجاه ولا يجمعهما خط عمل واحد.
مثال القوتان المؤثرتان على عجلة قيادة السيارة بيدي السائق.
مجموع عزمي القوتين حول أي نقطة في المستوى لا يساوي صفرًا.

عزم الازدواج هو مجموع عزمي قوتي الازدواج حول أي نقطة في الفراغ، ومعياره يساوي حاصل ضرب معيار إحدى القوتين في البعد بينهما:
$∥ \vec{G} ∥ = F \times L$

$L$ هو ذراع الازدواج، أي البعد العمودي بين خطي عمل القوتين.
القياس الجبري للعزم موجب إذا كان الدوران عكس عقارب الساعة وسالب إذا كان في اتجاه عقارب الساعة.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 17 أوجد القياس الجبري لعزم الازدواج المكوَّن من قوتين مقدار كل منهما 50 نيوتن، والبعد العمودي بينهما 20 سم، ويعملان على الدوران في اتجاه عقارب الساعة.
الحل:

G=−F×L=−50×20=−1000 نيوتن.سم

(الإشارة السالبة لأن الدوران في اتجاه عقارب الساعة)

عزم الازدواج قيمة ثابتة لا تعتمد على النقطة التي نسب إليها عزما قوتيه.
البرهان لتكن القوتان $\vec{F}$ عند $A$ و $- \vec{F}$ عند $B$ ولتكن $O$ نقطة عامة، فمجموع العزوم حول $O$ : $\vec{O A} \times \vec{F} + \vec{O B} \times (- \vec{F}) = (\vec{O A} - \vec{O B}) \times \vec{F} = \vec{B A} \times \vec{F}$ .
هذه الصورة الأخيرة لا تعتمد على موضع النقطة $O$ .
عزم الازدواج $= \vec{B A} \times \vec{F}$ أي عزم إحدى القوتين بالنسبة لنقطة على خط عمل الأخرى.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 18 إذا كانت القوتان ${\vec{F}}_{1} = 2 \hat{i} + b \hat{j}$ و ${\vec{F}}_{2} = a \hat{i} - 5 \hat{j}$ تكونان ازدواجًا وتؤثران في النقطتين $A (- 1, 3)$ و $B (2, 2)$ على الترتيب. أوجد قيمة كل من $a$ و $b$ ثم أوجد عزم الازدواج.
الحل:
القوتان ازدواج فـ F⃗1=−F⃗2 2=−a و b=5 أي a=−2 و b=5
عزم الازدواج = عزم ${\vec{F}}_{1}$ حول $B$ $= \vec{B A} \times {\vec{F}}_{1}$ حيث $\vec{B A} = (- 3, 1)$

G=(−3)(5)−(1)(2)=−15−2=−17 وحدة عزم

أي أن عزم الازدواج 17 في اتجاه دوران عقارب الساعة.

اتزان جسم متماسك تحت تأثير ازدواجين مستويين أو أكثر

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
•	يقال لجسم متماسك إنه متزن تحت تأثير ازدواجين مستويين إذا كان مجموع عزميهما هو المتجه الصفري	يقاللجسممتماسكمتزن
إذا كان G⃗1 و G⃗2 عزمي الازدواجين فإن شرط اتزان الجسم	G⃗1+G⃗2=0⃗
وبوجه عام	إذا أثر على الجسم عدة ازدواجات مستوية عزومها G⃗1 G⃗2 G⃗n فشرط توازن الجسم: G⃗1+G⃗2+⋯+G⃗n=0⃗	الجسمازدواجاتمستويةعزومها
نتيجة	يتزن الجسم تحت تأثير ازدواجين مستويين أو أكثر إذا انعدم مجموع القياسات الجبرية لعزوم الازدواجات	يتزنالجسمتأثيرازدواجين

✍️ أمثلة محلولة

مثال 19 صفيحة مستطيلة $A B C D$ فيها $A B = 30$ سم و $B C = 40$ سم، أثرت عليها القوى: 12 نيوتن في اتجاه $\vec{A B}$ و 12 نيوتن في اتجاه $\vec{C D}$ ، و 16 نيوتن في اتجاه $\vec{C B}$ و 16 نيوتن في اتجاه $\vec{A D}$ .
أثبت أن الصفيحة متزنة.
الحل:
القوتان 12 و 12 متساويتان ومتضادتان وخطا عملهما $A B$ و $C D$ يبعدان 40 سم: ازدواج عزمه $+ 12 \times 40 = + 480$ نيوتن.سم (عكس عقارب الساعة)
القوتان 16 و 16 في اتجاهي $\vec{C B}$ و $\vec{A D}$ خطا عملهما $B C$ و $A D$ يبعدان 30 سم: ازدواج عزمه $- 16 \times 30 = - 480$ نيوتن.سم (في اتجاه عقارب الساعة)
مجموع عزمي الازدواجين $= 480 - 480 = 0$ فالصفيحة متزنة.
مثال 20 ازدواج مكوَّن من قوتين مقدار كل منهما 30 نيوتن والبعد بينهما 50 سم، يؤثر على جسم.
أوجد مقدار القوتين الأخريين المتساويتين اللتين تكوِّنان ازدواجًا يعاكسه ويتزن به الجسم إذا كان البعد بين خطي عملهما 30 سم.
الحل:

عزم الازدواج الأول =30×50=1500 نيوتن.سم

P×30=1500 ومنها P=50 نيوتن
يجب أن يعمل الازدواج الثاني في عكس اتجاه دوران الأول.

مفهوم الازدواج

أرجوحة متوازنة عليها طفلان 30 و20 كجم على بعدي 2 و3 م تمثل العزوم والاتزان: العزمان 60 = 60.

أرجوحة متوازنة عليها طفلان 30 و20 كجم على بعدي 2 و3 م تمثل العزوم والاتزان: العزمان 60 = 60.: الازدواج

الدرس الثاني: العزوم والاتزان العام والازدواج ومركز الثقل · 7 / 11

تكافؤ ازدواجين

التعريف

يقال لازدواجين مستويين إنهما متكافئان إذا تساوى القياسان الجبريان لمتجهي عزميهما.
الازدواجان المتكافئان لهما نفس التأثير الدوراني على الجسم المتماسك.
لا يتغير تأثير الازدواج على الجسم بـ إزاحته إلى موضع آخر في مستواه، أو إلى مستوى آخر يوازي مستواه، أو بتدويره في نفس مستواه، أو بتغيير مقدار قوتيه وذراعه مع بقاء حاصل ضربهما ثابتًا.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 21 $A B C D$ مستطيل فيه $A B = 12$ سم و $B C = 16$ سم أثرت قوتان مقدار كل منهما 96 نيوتن في اتجاهي $\vec{A B}$ و $\vec{C D}$ .
أوجد مقدار كل من القوتين المتساويتين والمؤثرتين في $A$ و $C$ في اتجاه يوازي $\vec{B D}$ بحيث يتكافأ الازدواج المكوَّن منهما مع الازدواج الأول.
الحل:
عزم الازدواج الأول $= 96 \times 16 = 1536$ نيوتن.سم (القوتان على خطين متوازيين يبعدان $B C = 16$ سم)

القطر AC=144+256=20 سم

القوتان الجديدتان توازيان $B D$ وتؤثران في $A$ و $C$ ، وطول العمود بين خطي عملهما يساوي ضعف بعد $A$ عن $B D$

بعد A عن BD =AB×ADBD=12×1620=9.6 سم

ذراع الازدواج الجديد =2×9.6=19.2 سم

لتكافؤ الازدواجين←P×19.2=1536 ومنها P=80 نيوتن

الدرس الثاني: العزوم والاتزان العام والازدواج ومركز الثقل · 8 / 11

الازدواج المحصل

نظام القوى المستوية الذي يكافئ ازدواجًا

يقال لعدة قوى مستوية إنها تكافئ ازدواجًا إذا تحقق الشرطان:
انعدام محصلة القوى (أو مجموع المركبات الجبرية للقوى في أي اتجاه $= 0$ ).
مجموع عزوم القوى حول أي نقطة لا ينعدم.
ملحوظة تحقق أحد الشرطين فقط لا يكفي لإثبات أن القوى تكافئ ازدواجًا، فالقوى المتلاقية في نقطة إذا انعدمت محصلتها تكون متزنة ولا تكافئ ازدواجًا.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 22 قضيب خفيف $A B$ تؤثر عليه القوى 15 نيوتن لأعلى عند $A$ و 8 نيوتن لأسفل عند نقطة تبعد 5 سم من $A$ و 7 نيوتن لأسفل عند $B$ حيث $A B = 14$ سم (ثلاث قوى رأسية).
أثبت أن المجموعة تكافئ ازدواجًا وأوجد القياس الجبري لعزمه.
الحل:
نفرض أن اتجاه القوة 15 هو الموجب R=15−8−7=0 فمحصلة القوى معدومة
لا بد أن تكون المجموعة متزنة أو تكافئ ازدواجًا، ولذلك نوجد مجموع عزوم القوى حول $A$ : $- 8 \times 5 - 7 \times 14 = - 40 - 98 = - 138$ نيوتن.سم (غير صفرية)
المجموعة تكافئ ازدواجًا قياسه الجبري $- 138$ نيوتن.سم.

ثلاث قوى مأخوذة في ترتيب دوري على أضلاع مثلث

قاعدة إذا أثرت ثلاث قوى مستوية وغير متلاقية في جسم متماسك وتمثلها تمامًا أضلاع مثلث مأخوذة في ترتيب دوري واحد كانت هذه المجموعة تكافئ ازدواجًا معيار عزمه يساوي حاصل ضرب ضعف مساحة المثلث في مقدار القوة الممثل لوحدة الأطوال.
البرهان القوى الثلاث ${\vec{F}}_{1}, {\vec{F}}_{2}, {\vec{F}}_{3}$ تمثل $\vec{A B}, \vec{B C}, \vec{C A}$ تمثيلًا تامًّا بحيث $\frac{F_{1}}{A B} = \frac{F_{2}}{B C} = \frac{F_{3}}{C A} = m$ .
مجموع الأضلاع المتجهة $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C A} = \vec{0}$ فمحصلة القوى تساوي صفرًا.
القوتان ${\vec{F}}_{1}$ و ${\vec{F}}_{2}$ المتلاقيتان في $B$ محصلتهما $- {\vec{F}}_{3}$ ، فالمجموعة تكافئ القوتين ${\vec{F}}_{3}$ عند $C$ و $- {\vec{F}}_{3}$ عند $B$ ، أي ازدواجًا ذراعه $B D$ (العمود من $B$ على $A C$ ).
معيار عزم الازدواج $= F_{3} \times B D = m \times C A \times B D = m \times 2 مساحة (△ A B C)$ .

✍️ أمثلة محلولة

مثال 23 $A B C$ مثلث قائم الزاوية في $B$ فيه $A B = 6$ سم و $B C = 8$ سم و $A C = 10$ سم، أثرت قوى مقاديرها 3 و 4 و 5 نيوتن في اتجاهات $\vec{A B}$ و $\vec{B C}$ و $\vec{C A}$ على الترتيب.
أثبت أن المجموعة تكافئ ازدواجًا وأوجد معيار عزمه.
الحل:
$\frac{3}{6} = \frac{4}{8} = \frac{5}{10} = 0.5$ نيوتن لكل سم، فالقوى تمثلها أضلاع المثلث تمامًا في ترتيب دوري

المجموعة تكافئ ازدواجًا

مساحة المثلث =12×6×8=24 سم²

معيار عزم الازدواج =2×24×0.5=24 نيوتن.سم

مثال 24 $A B C$ مثلث فيه $A B = B C = 17$ سم و $A C = 16$ سم، أثرت قوى مقاديرها 340 و 340 و 320 نيوتن في اتجاهات $\vec{A B}$ و $\vec{B C}$ و $\vec{C A}$ على الترتيب.
أثبت أن المجموعة تكافئ ازدواجًا وأوجد معيار عزمه.
الحل:
$\frac{340}{17} = \frac{340}{17} = \frac{320}{16} = 20$ نيوتن لكل سم، فالقوى مأخوذة في ترتيب دوري وتمثلها أضلاع المثلث
ارتفاع المثلث BD على AC يُنصف AC BD=172−82=15 سم

مساحة المثلث =12×16×15=120 سم²

معيار عزم الازدواج =2×120×20=4800 نيوتن.سم

تعميم على مضلع مقفل

إذا أثرت عدة قوى مستوية في جسم متماسك ومثلتها تمامًا أضلاع مضلع مقفل مأخوذة في ترتيب دوري واحد، كانت هذه القوى تكافئ ازدواجًا معيار عزمه يساوي حاصل ضرب ضعف مساحة سطح المضلع في مقدار القوة الممثل لوحدة الأطوال.

إذا كان مجموع القياسات الجبرية لعزوم مجموعة من القوى المستوية بالنسبة لثلاث نقط في مستواها ليست على استقامة واحدة مقدارًا ثابتًا لا يساوي الصفر، كانت هذه المجموعة تكافئ ازدواجًا القياس الجبري لعزمه يساوي هذا المقدار الثابت.
البرهان أي مجموعة من القوى إما أن تؤول إلى قوة واحدة $R$ أو تؤول إلى ازدواج أو تكون متزنة. لو كانت تؤول إلى قوة واحدة $R$ لانعدم مجموع العزوم حول نقطة على خط عملها، ولكانت أبعاد النقاط الثلاث عن خط عمل $R$ كلها متساوية $L_{1} = L_{2} = L_{3}$ مما يعني أنها على مستقيم واحد يوازي $R$ ، وهذا يتنافى مع الفرض، فالمجموعة تكافئ ازدواجًا قياسه الجبري يساوي المقدار الثابت.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 25 نقاط $A, B, C$ ليست على استقامة واحدة، ومجموع عزوم قوى مستوية بالنسبة لكل منها يساوي $- 80$ نيوتن.سم.
بيّن أن هذه القوى تكافئ ازدواجًا وأوجد عزمه.
الحل:

مجموع العزوم حول النقاط الثلاث ثابت وغير صفري

بحسب القاعدة تكافئ المجموعة ازدواجًا قياسه الجبري $- 80$ نيوتن.سم (في اتجاه عقارب الساعة).

الازدواج المحصل

مجموع ازدواجين مستويين هو ازدواج عزمه يساوي مجموع عزمي الازدواجين $G = G_{1} + G_{2}$ ، ويسمى الازدواج المحصل.
وعمومًا الازدواج المحصل لعدة ازدواجات مستوية عزمه = المجموع الجبري لعزومها.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 26 $A B C D$ مربع طول ضلعه 20 سم، أثرت قوتان مقدار كل منهما 30 نيوتن في اتجاهي $\vec{A D}$ و $\vec{C B}$ ، وقوتان مقدار كل منهما 50 نيوتن في اتجاهي $\vec{A B}$ و $\vec{C D}$ .
أوجد القياس الجبري لعزم الازدواج المحصل.
الحل:
القوتان 30 و 30 تكوِّنان ازدواجًا قياسه الجبري $G_{1} = - 30 \times 20 = - 600$ نيوتن.سم (في اتجاه عقارب الساعة)
القوتان 50 و 50 تكوِّنان ازدواجًا قياسه الجبري $G_{2} = + 50 \times 20 = + 1000$ نيوتن.سم (عكس عقارب الساعة)

الازدواج المحصل G=G1+G2=−600+1000=+400 نيوتن.سم

الدرس الثاني: العزوم والاتزان العام والازدواج ومركز الثقل · 9 / 11

مركز الثقل

تعريف

مركز الثقل هو نقطة تأثير ثقل الجسم الكلي، وهي نقطة تأثير محصلة أوزان أجزاء الجسم (قوى متوازية في اتجاه رأسي).
يقع مركز ثقل القضيب المنتظم في منتصفه، ومركز ثقل الصفيحة المستطيلة عند تقاطع قطريها، ومركز ثقل الصفيحة المثلثة عند نقطة تقاطع متوسطاتها على بعد ثلث الارتفاع من القاعدة.

إذا كانت كتل $m_{1}, m_{2}, \dots$ في النقاط التي إحداثياتها $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \dots$ فإن إحداثيي مركز الثقل:
$\overset{ˉ}{x} = \frac{\sum m_{i} x_{i}}{\sum m_{i}}, \overset{ˉ}{y} = \frac{\sum m_{i} y_{i}}{\sum m_{i}}$

نحصل على القانونين من نظرية العزوم للقوى المتوازية←عزم المحصلة (الوزن الكلي) = مجموع عزوم الأوزان.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 27 ثلاثة أثقال 2 و 3 و 5 نيوتن موضوعة على قضيب خفيف عند النقاط التي إحداثياتها (على امتداده) 1 و 4 و 6 م.
أوجد مركز ثقل المجموعة.
الحل:

xˉ=2(1)+3(4)+5(6)2+3+5=2+12+3010=4.4 م

مثال 28 ثلاث كتل 3 و 2 و 5 كجم موضوعة عند النقاط $(0, 0)$ و $(4, 0)$ و $(0, 6)$ . أوجد مركز ثقل المجموعة.
الحل:

xˉ=3(0)+2(4)+5(0)10=0.8

yˉ=3(0)+2(0)+5(6)10=3

مركز الثقل (0.8, 3)

لحساب مركز ثقل جسم مركب نقسمه إلى أجزاء بسيطة، ونعتبر وزن كل جزء مؤثرًا في مركز ثقله، ثم نطبق القانونين السابقين.
عندما تحذف قطعة من جسم يمكن اعتبار وزن الجزء المحذوف سالبًا (طريقة الكتل السالبة).
.egp-ex{margin:18px 0;border:1px solid rgba(79,63,224,.2);border-radius:16px;overflow:hidden;background:#fff}.egp-ex-h{padding:10px 16px;font-weight:800;background:linear-gradient(90deg,#4f3fe0,#22c1c3);color:#fff}.egp-ex-tabs{display:flex;flex-wrap:wrap;gap:6px;padding:10px 12px;background:#f7f6ff}.egp-ex-b{border:1px solid rgba(79,63,224,.3);background:#fff;border-radius:20px;padding:5px 14px;font-weight:700;cursor:pointer}.egp-ex-b.on{background:#4f3fe0;color:#fff}.egp-ex-p{padding:12px 16px}function egpEx(b,k){var w=b.closest(‘.egp-ex’);w.querySelectorAll(‘.egp-ex-b’).forEach(function(x,i){x.classList.toggle(‘on’,i===k)});w.querySelectorAll(‘.egp-ex-p’).forEach(function(x,i){x.hidden=i!==k})}

الدرس الثاني: العزوم والاتزان العام والازدواج ومركز الثقل · 10 / 11

الموسوعة التعليمية الشاملة والمصطلحات الدقيقة — العزوم والاتزان العام والازدواج ومركز الثقل (كتب الوزارة + الامتحان + المعاصر + الوسام)

الموسوعة التعليمية الشاملة والمصطلحات الدقيقة — العزوم والاتزان العام والازدواج ومركز الثقل (كتب الوزارة + الامتحان + المعاصر + الوسام)

📖

📌 قاموس المفاهيم والمصطلحات العلمية الدقيقة:

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
عزم القوة (Moment of Force – M)	مقدرة القوة على إحداث دوران للجسم حول نقطة أو خط مستقيم يسمى محور الدوران: متجه العزم M_O = r × F = F × L (حيث L طول العمود الساقط من نقطة العزم على خط عمل القوة)	مقدرةإحداثدورانللجسم
الازدواج (Couple)	نظام يتكون من قوتين متساويتين في المقدار ومتضادتين في الاتجاه وخطا عملهما ليسا على استقامة واحدة. عزمه ثابت لا يعتمد على موضع النقطة ويساوي حاصل ضرب إحدى القوتين في البعد العمودي بينهما (M = F × d)	نظاميتكونقوتينمتساويتين
شروط الاتزان العام لجسم جاسيء	شرطان رياضيان حتميان: (1) محصلة القوى المؤثرة تساوي صفراً (ΣFx = 0 ΣFy = 0) (2) المجموع الجبري لعزوم جميع القوى حول أي نقطة في الفراغ يساوي صفراً (ΣM_O = 0)	شرطانرياضيانحتميانمحصلة
مركز الثقل (Center of Gravity – C.G)	نقطة تأثير محصلة قوى جذب الأرض لجميع جزيئات الجسم المتماسكة ويكون موضعه ثابتاً بالنسبة للجسم مهما تغير وضعه الفراغي	نقطةتأثيرمحصلةالأرض

⚖️ القوانين والعلاقات الرياضية والفيزيائية الحاكمة:

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
عزم القوة جبرياً	M = ± F × L (موجب إذا كان الدوران عكس عقارب الساعة وسالب إذا كان معها)	موجبالدورانعقاربالساعة
طول العمود الساقط من نقطة على خط عمل القوة	L = \|M_O\| / \|F\|
عزم الازدواج	M = F × d (حيث d ذراع الازدواج)	ذراع
إحداثيات مركز الثقل لمجموعة كتل	X_cg = Σ(m_i x_i) / Σm_i \| Y_cg = Σ(m_i y_i) / Σm_i
كتلة الجزء المقطوع (الكتلة السالبة)	تعامل ككتلة سالبة (-m) عند حساب مركز الثقل المتبقي	تعاملككتلةحسابمركز

🔍 الشرح المستفيض والتعليلات العلمية المعتمدة (“علل”):

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
علل: لا يمكن أن يتزن ازدواج إلا مع ازدواج آخر مثله؟	لأن الازدواج يسبب دوراناً محضاً دون أي حركة انتقالية (محصلة قواه تساوي صفراً أصلاً) والقوة المفردة تسبب حركة انتقالية لذا لا يتلاشى عزم دوران الازدواج إلا بعزم ازدواج مضاد له في الاتجاه ومساوٍ له في المقدار	الازدواجيسببدورانامحضا
علل: يوضع مقبض الباب عند الحافة البعيدة عن المفصلات؟	لجعل ذراع العزم (L) أكبر ما يمكن فتحدث القوة الصغيرة عزماً دورانياً كافياً لفتح الباب بسهولة ويسر وفق العلاقة M = F × L	لجعلذراعالعزمأكبر

النظام الميكانيكي	محصلة القوى ΣF	مجموع العزوم ΣM	الحالة الحركية للناتج
اتزان عام تام	تساوي صفراً (ΣF = 0)	تساوي صفراً (ΣM = 0)	سكون تام دون حركة خطية أو دورانية
ازدواج ميكانيكي	تساوي صفراً (ΣF = 0)	لا تساوي صفراً (M ≠ 0)	دوران خالص حول المركز دون حركة خطية
قوة محصلة بمفردها	لا تساوي صفراً (R ≠ 0)	تساوي عزم القوة المحصلة	حركة انتقالية متسارعة

💡 كبسولة الفنيات وتريكات الامتحانات والأسئلة الوزارية 2026/2027:

في مسائل القضيب المرتكز على وتد أو مفصلنختار النقطة المجهولة رد الفعل لأخذ العزوم حولها لتلاشي عزم رد فعلها وتسهيل الحل.

قاعدة الكتلة السالبةعند قطع دائرة أو مثلث من صفيحة منتظمة نضع كتلة الجزء المقطوع سالبة ونطبق قانون مركز الثقل المعتاد.

الدرس الثاني: العزوم والاتزان العام والازدواج ومركز الثقل · 11 / 11

المناهج الدراسية

الرياضيات

الفصل الأول - التفاضل والتكامل (Calculus)

الفصل الثاني - الجبر والهندسة الفراغية (Algebra & Solid Geometry)

الفصل الثالث - الاستاتيكا (Statics)

الفصل الرابع - الديناميكا (Dynamics)

الفصل الخامس - الجبر الأساسي وحساب المثلثات والإحصاء والاحتمال

دروس إضافية

الدرس الثاني: العزوم والاتزان العام والازدواج ومركز الثقل

🌳 شجرة المفاهيم

├── 1-1 عزم قوة بالنسبة لنقطة

│ ├── مفهوم العزم

│ ├── عزم قوة بالنسبة لنقطة

│ └── القياس الجبري للعزم

├── 1-1 مبدأ العزوم (نظرية فارينيون)

│ └── النص

│ ├── النظرية العامة للعزوم

├── 2-1 محصلة القوى المتوازية المستوية

│ ├── قوتان متوازيتان ومتحدتا الاتجاه

│ ├── نظرية العزوم للقوى المتوازية

│ ├── محصلة عدة قوى متوازية

│ └── إيجاد محصلة قوتين متوازيتين بالمتجهات

├── 2-2 اتزان مجموعة من القوى المستوية

│ ├── شرطا الاتزان

│ ├── اتزان جسم تحت تأثير قوى متوازية مستوية

│ ├── اتزان ساق على مستوى أفقي خشن ووتد أملس

│ └── اتزان سلم على مستويين متعامدين أحدهما خشن

├── 3-1 الازدواج

│ ├── مفهوم الازدواج

│ ├── عزم الازدواج

├── 3-1 تكافؤ ازدواجين

│ └── التعريف

├── 3-2 الازدواج المحصل

│ ├── نظام القوى المستوية الذي يكافئ ازدواجًا

│ ├── تعميم على مضلع مقفل

│ └── الازدواج المحصل

└── مركز الثقل

├── تعريف

├── الحساب لمجموعة أجسام (أو أجزاء)

└── جسم مركب

مفهوم العزم

عزم قوة بالنسبة لنقطة

M⃗O=r⃗×F⃗

M=x Fy−y Fx

القياس الجبري للعزم

✍️ أمثلة محلولة

(أ) r⃗=OA→=(−1,3)

M=xFy−yFx=(−1)(4)−(3)(3)=−4−9=−13

(ب) ∥F⃗∥=9+16=5

L=∥M⃗∥F=135=2.6 وحدة طول

M=F×L=50×8=400 نيوتن.سم

النص

✍️ أمثلة محلولة

عزم المركبة العمودية =100×1=100 نيوتن.متر

مجموع عزوم القوى المستوية المتلاقية في نقطة

✍️ أمثلة محلولة

r⃗=BA→=(1−2, −2−0)=(−1,−2)

M1=(−1)(1)−(−2)(3)=−1+6=5

M2=(−1)(4)−(−2)(−2)=−4−4=−8

M3=(−1)(−5)−(−2)(1)=5+2=7

مجموع العزوم =5−8+7=4

المحصلة R⃗=(3−2+1, 1+4−5)=(2,0)

عزم المحصلة =(−1)(0)−(−2)(2)=4

النظرية العامة للعزوم

✍️ أمثلة محلولة

المحصلة R⃗=(2,2)

BA→=(−1,0) فعزم المحصلة حول B =(−1)(2)−(0)(2)=−2

قوتان متوازيتان ومتحدتا الاتجاه

✍️ أمثلة محلولة

R=5+7=12 نيوتن في اتجاه القوتين

12 AC=252 ومنها AC=21 سم

المحصلة 12 نيوتن وتؤثر في نقطة تبعد 21 سم عن A

✍️ أمثلة محلولة

R=100−40=60 نيوتن في اتجاه القوة 100 نيوتن

x=9600 ومنها x=160 سم

نظرية العزوم للقوى المتوازية

✍️ أمثلة محلولة

R=10−30+20+40=40 نيوتن لأعلى

40×x=400 ومنها x=10 سم من A

R=20+P ومنها P=15 نيوتن

R⃗=F⃗1+F⃗2=6i⁻⁹j^

مساحة المثلث =12×6×8=24 سم²

مساحة المثلث =12×16×15=120 سم²