المناهج الدراسية

تسجيل الدخول

المناهج الدراسية

الرياضيات

الفصل الأول - التفاضل والتكامل (Calculus)

0/86

الفصل الثاني - الجبر والهندسة الفراغية (Algebra & Solid Geometry)

0/50

الفصل الثالث - الاستاتيكا (Statics)

0/21

الفصل الرابع - الديناميكا (Dynamics)

0/35

الفصل الخامس - الجبر الأساسي وحساب المثلثات والإحصاء والاحتمال

0/40

دروس إضافية

0/193

نص الدرس

الدرس الثالث: المحددات والمصفوفات وحل المعادلات الخطية بطريقة كرامر والمعكوس

الرياضيات

الدرس الثالث: المحددات والمصفوفات وحل المعادلات الخطية بطريقة كرامر والمعكوس

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
المصفوفة (Matrix)	ترتيب مستطيل من الأعداد أو المتغيرات في صفوف أفقية وأعمدة رأسية توضع بين قوسين كبيرين [ ] بنظم محدد (عدد الصفوف m × عدد الأعمدة n) وليس لها قيمة عددية مفردة كالمحدد	ترتيبمستطيلالأعدادالمتغيرات
مصفوفة الوحدة (Identity Matrix – I)	مصفوفة مربعة جميع عناصر قطرها الرئيسي تساوي الواحد الصحيح (1) وجميع العناصر الأخرى أصفار وتعمل كمحايد ضربي في ضرب المصفوفات: A × I = I × A = A	مربعةجميععناصرقطرها
المحدد (Determinant – \|A\|)	قيمة عددية وحيدة تنسب للمصفوفة المربعة فقط وتكتب بين خطين رأسيين متوازيين \| \| وتحسب بضرب وفك عناصر القطر الرئيسي مطروحاً منها حاصل ضرب القطر غير الرئيسي	قيمةعدديةوحيدةتنسب
طريقة كرامر (Cramer’s Rule)	طريقة جبرية لحل منظومة من المعادلات الخطية باستخدام المحددات: x = (Δ x) / Δ y = (Δ y) / Δ z = (Δ z) / Δ Δ محدد المعاملات (شرط Δ ≠ 0)	جبريةمنظومةالمعادلاتالخطية
المصفوفة المنفردة (Singular Matrix)	مصفوفة مربعة قيمة محددها تساوي صفراً (\|A\| = 0) ولا يوجد لها معكوس ضربي	مربعةقيمةمحددهاتساوي
المعكوس الضربي للمصفوفة (Inverse Matrix – A-1)	المصفوفة التي حاصل ضربها في المصفوفة الأصلية A يعطي مصفوفة الوحدة: A × A^-1 = I ، وتوجد فقط للمصفوفات غير المنفردة (\|A\| ≠ 0).	المصفوفةحاصلضربهاالأصلية

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
فك محدد الرتبة الثانية	[ الصيغة الفيزيائية والرياضية: \|A\| = \|a b c d\| = (a × d) – (b × c) ] حاصل ضرب عناصر القطر الرئيسي مطروحاً منها حاصل ضرب القطر الفرعي	الصيغةالفيزيائيةوالرياضيةحاصل
المعكوس الضربي لمصفوفة مربعة 2×2	[ الصيغة الفيزيائية والرياضية: A^-1 = (1 / \|A\|) × [d -b ; –c a] ] حيث نبدل عنصري القطر الرئيسي ونغير إشارتي القطر الفرعي ونقسم على المحدد \|A\|.	الصيغةالفيزيائيةوالرياضيةنبدل
قوانين طريقة كرامر للمجاهيل	[ الصيغة الفيزيائية والرياضية: x = (Δ x) / Δ\| y = (Δ y) / Δ\| z = (Δ z) / Δ] Δ محدد المعاملات العام و Δx محدد ناتج من استبدال عمود x بعمود الثوابت المطلقة	الصيغةالفيزيائيةوالرياضيةمحدد
مساحة المثلث باستخدام المحددات	[ الصيغة الفيزيائية والرياضية: Area = 1 / 2 \|Det\| الصفوف هي (x1 y1 1 x2 y2 1 x3 y3 1) ] إذا كانت قيمة المحدد تساوي صفراً دل ذلك على أن النقاط الثلاث تقع على استقامة واحدة	الصيغةالفيزيائيةوالرياضيةArea

حل المعادلات بطريقة كرامر وبالمعكوس الضربي للمصفوفة

طريقة كرامر (Cramer’s Rule)←لحل المعادلتين

a1 x + b1 y = c1

و

a2 x + b2 y = c2

نحسب محدد المعاملات العام Δ = |a1 b1;

a₂ b₂| = a₁ b₂ – b₁ a₂

(يشترط Δ ≠ 0).
Δx = |c1 b1; c2 b2|.
Δy = |a1 c1; a2 c2|.
قيمة x = (Δ x) / Δ وقيمة y = (Δ y) / Δ.

طريقة المعكوس الضربي لحل المعادلات المصفوفيةنكتب النظام في الصورة المصفوفية: A × X = B، حيث A مصفوفة المعاملات، X مصفوفة المجاهيل [x; y]، B مصفوفة الثوابت.

بضرب الطرفين من اليسار في المعكوس الضربي A-1X = A-1 × B .

الدرس الثالث: المحددات والمصفوفات وحل المعادلات الخطية بطريقة كرامر والمعكوس · 6 / 14

وجه المقارنة	المصفوفة (Matrix)	المحدد (Determinant)
طبيعة الكيان والشكل	تنظيم رياضي مستطيل بين قوسين [ ]	قيمة عددية كمية توضع بين خطين رأسيين / /
اشتراط الأبعاد (النظم)	يمكن أن تكون مربعة أو مستطيلة (m × n)	يشترط حصراً أن تكون مربعة فقط (n × n)
القيمة العددية المفردة	ليس لها قيمة عددية مفردة	لها قيمة عددية مفردة حقيقية أو مركبة
الضرب في عدد ثابت k	يضرب العدد k في جميع عناصر المصفوفة بلا استثناء	يضرب العدد k في عناصر صف واحد فقط أو عمود واحد
خاصية التبديل في الضرب	ضرب المصفوفات غير إبدالي عموماً (A B ≠ B A)	ضرب الأعداد الناتجة إبدالي تماماً

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
حل معادلتين خطيتين بطريقة كرامرالمعطيات والمطلوب	باستخدام طريقة كرامر أوجد مجموعة الحل للنظام الخطي الآتي: 3x + 2y = 12 و 5x – 3y = 1.خطوات الحل والبرهان الفيزيائي: [1] أولاً: نكتب محدد المعاملات العام Δ: Δ = \|3 2 5 -3\|. [2] قيمة Δ = (3 × -3) – (2 × 5) = -9 – 10 = -19. [3] بما أن Δ = -19 ≠ 0 فإن للنظام حلاً وحيداً ويمكن استخدام طريقة كرامر. [4] ثانياً: نكتب محدد x باستبدال العمود الأول بعمود الثوابت [12 1]: Δx = \|12 2 1 -3\|. [5] قيمة Δ x = (12 × -3) – (2 × 1) = -36 – 2 = -38. [6] ثالثاً: نكتب محدد y باستبدال العمود الثاني بعمود الثوابت [12 1]: Δy = \|3 12 5 1\|. [7] قيمة Δ y = (3 × 1) – (12 × 5) = 3 – 60 = -57. [8] رابعاً: حساب قيم المجاهيل: [9] x = (Δ x) / Δ= -38 / (-19) = 2. [10] y = (Δ y) / Δ= -57 / (-19) = 3. [11] التحقق من صحة الحل في المعادلة الأولى: 3(2) + 2(3) = 6 + 6 = 12 (صحيحة 100%). [12] مجموعة الحل: S.S = (2 3) .💡 فنية وتريك للحل السريع وتجنب الخطأ: طريقة كرامر منظمة وسهلة وتضمن الدرجة النهائية دون الوقوع في أخطاء الإشارات!	باستخدامأوجدمجموعةالحل
إيجاد المعكوس الضربي لمصفوفة مربعة 2×2المعطيات والمطلوب	أوجد المعكوس الضربي للمصفوفة A = [4 7; 1 2]، ثم تحقق من أن A × A^-1 = I .خطوات الحل والبرهان الفيزيائي: [1] أولاً: نحسب قيمة محدد المصفوفة \|A\|: \| A\| = (4 × 2) – (7 × 1) = 8 – 7 = 1. [2] بما أن \|A\| = 1 ≠ 0، فإن المصفوفة غير منفردة ولها معكوس ضربي A^-1. [3] ثانياً: نطبق قانون المعكوس الضربي: A^-1 = (1 / \|A\|) × [d -b ; –c a]. [4] نبدل عنصري القطر الرئيسي (4 و 2 يصبحان 2 و 4)، ونغير إشارتي القطر الفرعي (7 و 1 يصبحان -7 و -1): [5] A^-1 = (1 / 1) × [2 -7 ; -1 4] = [2 -7 ; -1 4]. [6] ثالثاً: التحقق بضرب A في A^-1: [7] A × A^-1 = [4 7 ; 1 2] × [2 -7; -1 4]. [8] العنصر c₁₁ = (4× 2) + (7× -1) = 8 – 7 = 1. [9] العنصر c₁₂ = (4× -7) + (7× 4) = -28 + 28 = 0. [10] العنصر c₂₁ = (1× 2) + (2× -1) = 2 – 2 = 0. [11] العنصر c₂₂ = (1× -7) + (2× 4) = -7 + 8 = 1. [12] الناتج = [1 0; 0 1] = I (مصفوفة الوحدة، وهو المطلوب تحققه إثباتياً).💡 فنية وتريك للحل السريع وتجنب الخطأ: تذكر: إذا كانت قيمة المحدد \|A\| = 0 فإن المصفوفة تسمى مصفوفة منفردة وليس لها معكوس ضربي!	أوجدللمصفوفةتحققخطوات

الجداول والمخططات التوضيحية المستخرجة من أصول المنهج

💡 بيانات وجداول قياسية←تم استخراج كافة البيانات والجداول والمخططات التشريحية من أصول المنهج المعتمد بدقة عالية لتثبيت الفهم وربط النظري بالعملي.

🔬 شكل 1 – فك المحدد الثنائي ومخطط طريقة كرامر لحل المعادلات الخطية

التفاصيل العلمية والملاحظات الدقيقة المأخوذة من الرسم التوضيحي:
(طريقة كرامر) 381015نالو8 تاقع دلا نه5 عاباظ د “رعدورةك (فك المحدد الثنائي) ‎223115101١‏ 616/11111113116 22

(4) غ730 ألقعأءط2 لمعأدلاك عغأداباءاة© .1

(0115531255» طاأأننا أمع-)ا ععوامع8) على عغأدواباءاج© .2

20(

(011531115» لاعأنلا امع-لا ععوامع8) بلى عغداناءاة© .3
(0 ه) د /لاه – نا ,اه / عام – عا نصواغنااهك 6ط – 30 – 2

الدرس الثالث: المحددات والمصفوفات وحل المعادلات الخطية بطريقة كرامر والمعكوس · 10 / 14

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
فك محدد الرتبة الثانية	[ الصيغة الفيزيائية والرياضية: \|A\| = \|a b c d\| = (a × d) – (b × c) ] حاصل ضرب عناصر القطر الرئيسي مطروحاً منها حاصل ضرب القطر الفرعي	الصيغةالفيزيائيةوالرياضيةحاصل
المعكوس الضربي لمصفوفة مربعة 2×2	[ الصيغة الفيزيائية والرياضية: A⁻¹ = (1 / \|A\|) × [d -b -c a] ] نبدل عنصري القطر الرئيسي ونغير إشارتي القطر الفرعي ونقسم على المحدد \|A\|	الصيغةالفيزيائيةوالرياضيةنبدل
قوانين طريقة كرامر للمجاهيل	[ الصيغة الفيزيائية والرياضية: x = Δx / Δ \| y = Δy / Δ \| z = Δz / Δ ] Δ محدد المعاملات العام و Δx محدد ناتج من استبدال عمود x بعمود الثوابت المطلقة	الصيغةالفيزيائيةوالرياضيةمحدد
مساحة المثلث باستخدام المحددات	[ الصيغة الفيزيائية والرياضية: Area = 1/2 \|Det\| الصفوف هي (x1 y1 1 x2 y2 1 x3 y3 1) ] إذا كانت قيمة المحدد تساوي صفراً دل ذلك على أن النقاط الثلاث تقع على استقامة واحدة	الصيغةالفيزيائيةوالرياضيةArea

🔍 الشرح والتحليل المستفيض وتفسيرات علل والاستنتاجات:

• حل المعادلات المصفوفية وحساب مساحة المثلث باستخدام المحددات وإثبات استقامة ثلاث نقاط.

1. علم المصفوفات ونظمها والعمليات الجبرية وشرط الضرب

المصفوفات هي الركيزة الجبرية الأساسية التي يعتمد عليها الذكاء الاصطناعي ومعالجة الرسوميات الحاسوبية ثلاثية الأبعاد.

نظم المصفوفةعدد الصفوف مضروباً في عدد الأعمدة (m × n).

والأنواع الخاصةمصفوفة الصف (1 × n)، مصفوفة العمود (m × 1)، المصفوفة المربعة (n × n)، المصفوفة الصفرية (O) التي جميع عناصرها أصفار، ومصفوفة الوحدة (I).

جمع وطرح المصفوفاتيشترط أن تكون المصفوفتان من نفس النظم تماماً، ويتم بجمع أو طرح العناصر المتناظرة.

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
ضرب المصفوفات (Matrix Multiplication)	يشترط لضرب مصفوفتين A × B أن يكون (عدد أعمدة المصفوفة الأولى مساوياً لعدد صفوف المصفوفة الثانية): إذا كانت A على النظم (m × k) و B على النظم (k × n) فإن الناتج مصفوفة C على النظم (m × n)	يشترطلضربمصفوفتينيكون
•	ويتم بضرب عناصر صف من الأولى في أعمدة الثانية وجمع حواصل الضرب	ويتمبضربعناصرالأولى
تنبيه جوهري	ضرب المصفوفات غير إبدالي في الحالة العامة: A × B ≠ B × A	المصفوفاتإبداليالحالةالعامة

2. المحددات وطرق فكها وخواصها الأساسية

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
•	المحدد يختلف عن المصفوفة في كونه قيمة عددية منفردة ولا يكتب إلا لمصفوفة مربعة (عدد الصفوف = عدد الأعمدة)	المحدديختلفالمصفوفةكونه
فك محدد الرتبة الثانية	\|a b c d\| = a d – b c
فك محدد الرتبة الثالثة 3×3	يتم باستخدام عناصر أي صف أو عمود مع مراعاة قاعدة الإشارات (+ – +) كالتالي	باستخدامعناصرعمودمراعاة

نختار الصف الأول ونضرب كل عنصر في محدده الأصغر الناتج عن حذف صفه وعموده:
|a1 b1 c1; a2 b2 c2; a3 b3 c3| = a1 |b2 c2; b3 c3| – b1 |a2 c2; a3 c3| + c1 |a2 b2; a3 b3|.
المحدد في الصورة المثلثية إذا كانت جميع العناصر الواقعة فوق القطر الرئيسي أو تحته أصفاراً، فإن قيمة المحدد تساوي مباشرة حاصل ضرب عناصر قطره الرئيسي.

3. حل المعادلات بطريقة كرامر وبالمعكوس الضربي للمصفوفة

طريقة كرامر (Cramer's Rule)←لحل المعادلتين a1 x + b1 y = c1 و a2 x + b2 y = c2:

4. قيمة x = Δx / Δ وقيمة y = Δy / Δ.

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
طريقة المعكوس الضربي لحل المعادلات المصفوفية	نكتب النظام في الصورة المصفوفية: A × X = B حيث A مصفوفة المعاملات X مصفوفة المجاهيل [x B مصفوفة الثوابت	نكتبالنظامالصورةمصفوفة
بضرب الطرفين من اليسار في المعكوس الضربي A⁻¹	X = A⁻¹ × B
جدول	مقارنة شاملة بين المصفوفة والمحدد	مقارنةشاملةالمصفوفةوالمحدد
•	✏️ أمثلة ومسائل وتطبيقات محلولة بالخطوات النموذجية والبرهان العلمي	أمثلةومسائلوتطبيقاتمحلولة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
★ حل معادلتين خطيتين بطريقة كرامر المعطيات والمطلوب	باستخدام طريقة كرامر أوجد مجموعة الحل للنظام الخطي الآتي: 3x + 2y = 12 و 5x – 3y = 1	باستخدامأوجدمجموعةالحل
خطوات الحل والبرهان الفيزيائي	[1] أولاً: نكتب محدد المعاملات العام Δ: Δ = \|3 2 5 -3\|	أولانكتبمحددالمعاملات
•	[2] قيمة Δ = (3 × -3) – (2 × 5) = -9 – 10 = -19	قيمة
•	[3] بما أن Δ = -19 ≠ 0 فإن للنظام حلاً وحيداً ويمكن استخدام طريقة كرامر	للنظاموحيداويمكناستخدام
[4] ثانياً	نكتب محدد x باستبدال العمود الأول بعمود الثوابت [12 1]: Δx = \|12 2 1 -3\|	نكتبمحددباستبدالالعمود
•	[5] قيمة Δx = (12 × -3) – (2 × 1) = -36 – 2 = -38	قيمة
[6] ثالثاً	نكتب محدد y باستبدال العمود الثاني بعمود الثوابت [12 1]: Δy = \|3 12 5 1\|	نكتبمحددباستبدالالعمود
•	[7] قيمة Δy = (3 × 1) – (12 × 5) = 3 – 60 = -57	قيمة
[8] رابعاً	حساب قيم المجاهيل: [9] x = Δx / Δ = -38 / -19 = 2	حسابالمجاهيل
•	[10] y = Δy / Δ = -57 / -19 = 3
[11] التحقق من صحة الحل في المعادلة الأولى	3(2) + 2(3) = 6 + 6 = 12 (صحيحة 100%)	صحيحة
[12] مجموعة الحل	S.S = {(2 3)}
💡 فنية وتريك للحل السريع وتجنب الخطأ	طريقة كرامر منظمة وسهلة وتضمن الدرجة النهائية دون الوقوع في أخطاء الإشارات!	طريقةكرامرمنظمةوسهلة

★ إيجاد المعكوس الضربي لمصفوفة مربعة 2×2 المعطيات والمطلوب أوجد المعكوس الضربي للمصفوفة A = [4 7; 1 2]، ثم تحقق من أن A × A⁻¹ = I.
خطوات الحل والبرهان الفيزيائي [1] أولاً: نحسب قيمة محدد المصفوفة |A|: |A| = (4 × 2) – (7 × 1) = 8 – 7 = 1.
[2] بما أن |A| = 1 ≠ 0، فإن المصفوفة غير منفردة ولها معكوس ضربي A⁻¹.
[3] ثانياً نطبق قانون المعكوس الضربي: A⁻¹ = (1 / |A|) × [d -b; -c a].
[4] نبدل عنصري القطر الرئيسي (4 و 2 يصبحان 2 و 4)، ونغير إشارتي القطر الفرعي (7 و 1 يصبحان -7 و -1):
[5] A⁻¹ = (1 / 1) × [2 -7; -1 4] = [2 -7; -1 4].
[6] ثالثاً التحقق بضرب A في A⁻¹: [7] A × A⁻¹ = [4 7; 1 2] × [2 -7; -1 4].
[8] العنصر c11 = (4×2) + (7×-1) = 8 – 7 = 1.
[9] العنصر c12 = (4×-7) + (7×4) = -28 + 28 = 0.
[10] العنصر c21 = (1×2) + (2×-1) = 2 – 2 = 0.
[11] العنصر c22 = (1×-7) + (2×4) = -7 + 8 = 1.
[12] الناتج = [1 0; 0 1] = I (مصفوفة الوحدة، وهو المطلوب تحققه إثباتياً).
💡 فنية وتريك للحل السريع وتجنب الخطأ تذكر: إذا كانت قيمة المحدد |A| = 0 فإن المصفوفة تسمى مصفوفة منفردة وليس لها معكوس ضربي!

وجه المقارنة	المصفوفة (Matrix)	المحدد (Determinant)
طبيعة الكيان والشكل	تنظيم رياضي مستطيل بين قوسين [ ]	قيمة عددية كمية توضع بين خطين رأسيين \| \|
اشتراط الأبعاد (النظم)	يمكن أن تكون مربعة أو مستطيلة (m × n)	يشترط حصراً أن تكون مربعة فقط (n × n)
القيمة العددية المفردة	ليس لها قيمة عددية مفردة	لها قيمة عددية مفردة حقيقية أو مركبة
الضرب في عدد ثابت k	يضرب العدد k في جميع عناصر المصفوفة بلا استثناء	يضرب العدد k في عناصر صف واحد فقط أو عمود واحد
خاصية التبديل في الضرب	ضرب المصفوفات غير إبدالي عموماً (A B ≠ B A)	ضرب الأعداد الناتجة إبدالي تماماً

💡 💡 كبسولة الفنيات وتريكات الامتحانات والأسئلة الوزارية 2026/2027:

شرط ضرب مصفوفتين أن يكون عدد أعمدة الأولى مساوياً لعدد صفوف الثانية.
ضرب المصفوفات غير إبدالي عموماً (A B ≠ B A) بينما جمع المصفوفات إبدالي ودامج.
تكون المصفوفة منفردة إذا كان محددها يساوي صفراً (|A| = 0) ولا يمكن إيجاد معكوس ضربي لها.
طريقة كرامر لحل المعادلات x = Δx / Δ و y = Δy / Δ ويشترط أن يكون محدد المعاملات Δ ≠ 0.
تكون ثلاث نقاط على استقامة واحدة إذا كانت مساحة المثلث المار بها تساوي صفراً (محدد إحداثياتها = 0).

★ كتاب الشرح والتفصيل العلمي الشامل المعتمد 2026 / 2027 ★
كتاب الشرح المفصل المحددات والمصفوفات والمعكوس الضربي وطريقة كرامر
الصف الأول والثالث الثانوي | الوحدة الثانية – الجبر | المنهج المصري الحديث 2026/2027
🎯 أهداف التعلم ومخرجات الفهم الوزارية المقررة 2026/2027:
• فهم مفهوم المصفوفة ونظمها (m × n) وأنواعها الخاصة (المصفوفة المربعة، الصفرية، القطرية، مصفوفة الوحدة I).
• إجراء العمليات على المصفوفات الجمع والطرح وضرب المصفوفات وشرط الضرب (أعمدة الأولى = صفوف الثانية) ومدور المصفوفة.
• فك المحددات من الرتبة الثانية والثالثة وتطبيق طريقة كرامر (Cramer's Rule) لحل أنظمة المعادلات الخطية.
• حساب المعكوس الضربي للمصفوفة المربعة (A⁻¹) واستخدام محدد المصفوفة والمصفوفة الملحقة.

تقاطع مستقيمين وحل نظام خطي←🔍 الشرح والتحليل المستفيض وتفسيرات علل والاستنتاجات:

الدرس الثالث: المحددات والمصفوفات وحل المعادلات الخطية بطريقة كرامر والمعكوس · 14 / 14

المناهج الدراسية

الرياضيات

الفصل الأول - التفاضل والتكامل (Calculus)

الفصل الثاني - الجبر والهندسة الفراغية (Algebra & Solid Geometry)

الفصل الثالث - الاستاتيكا (Statics)

الفصل الرابع - الديناميكا (Dynamics)

الفصل الخامس - الجبر الأساسي وحساب المثلثات والإحصاء والاحتمال

دروس إضافية

الدرس الثالث: المحددات والمصفوفات وحل المعادلات الخطية بطريقة كرامر والمعكوس

🌳 شجرة المفاهيم

├── المصطلحات العلمية

├── القوانين والعلاقات

├── المحددات وطرق فكها وخواصها الأساسية

├── جداول المقارنة

├── أمثلة محلولة

└── تكات وملاحظات امتحانية

c d| = a d – b c

|a1 b1 c1; a2 b2 c2;

a3 b3 c3| = a1 |b2 c2

a1 x + b1 y = c1

و

a2 x + b2 y = c2

🔬 شكل 1 – فك المحدد الثنائي ومخطط طريقة كرامر لحل المعادلات الخطية

(4) غ730 ألقعأءط2 لمعأدلاك عغأداباءاة© .1

20(

1. علم المصفوفات ونظمها والعمليات الجبرية وشرط الضرب

2. المحددات وطرق فكها وخواصها الأساسية

3. حل المعادلات بطريقة كرامر وبالمعكوس الضربي للمصفوفة

4. قيمة x = Δx / Δ وقيمة y = Δy / Δ.

💡 💡 كبسولة الفنيات وتريكات الامتحانات والأسئلة الوزارية 2026/2027:

أحسنت! أنهيت هذا الدرس