الحركة في خط مستقيم

• نتناول حركة جسيم على خط مستقيم، ونعبر عن كل الكميات بدلالة الزمن $t$.
• متجه الموضع $\vec{r}(t)$ يحدد موضع الجسيم بالنسبة لنقطة الأصل، ويقاس معياره بوحدة طول.
• نستخدم $s$ أو $x$ للقياس الجبري للموضع، والإشارة تحدد جهة الجسيم بالنسبة للأصل.
• متجه الإزاحة هو التغير في الموضع بين لحظتين:

s⃗=r⃗(t2)−r⃗(t1)

• الإزاحة كمية متجهة تتحدد بالمقدار والاتجاه، أما المسافة فكمية قياسية تساوي طول المسار الفعلي، ولا تكون سالبة أبدًا.
• الإزاحة قد تساوي صفرًا بينما المسافة لا تساوي صفرًا، كجسم يعود إلى نقطة البداية.

من العجلة إلى السرعة إلى الموضع

1. التكامل هو العملية العكسية للتفاضل:
2. $$v=\int adt,s=\int vdt$$

• نحدد ثابتي التكامل من الشروط الابتدائية (السرعة والموضع عند $t=0$).
• بين لحظتين v(t2)−v(t1)=∫t1t2a dt وكذلك الإزاحة =∫t1t2v dt.
• إذا كانت العجلة ثابتة تؤول العلاقات إلى معادلات الحركة المعروفة: $v=v_0+at$ و $s=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$ و $v^2=v_0^2+2as$.

✍️ أمثلة محلولة

من القوة أو العجلة إلى التغير في كمية الحركة

• لأن $F={\displaystyle \frac{dp}{dt}}$ فإن التغير في كمية الحركة بين لحظتين هو تكامل القوة بالنسبة للزمن:
• $$\mathrm{\Delta }p=p_2-p_1={\int }_{t_1}^{t_2}Fdt$$

1. وللجسم ثابت الكتلة $\mathrm{\Delta }p=m{\displaystyle \int adt=m\mathrm{\Delta }v}$.
2. تفيد هذه العلاقة عندما تُعطى القوة أو العجلة كدالة في الزمن.

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 11 تؤثر قوة $F=6t$ نيوتن على جسم في خط مستقيم. أوجد التغير في كمية حركته خلال الأربع ثوانٍ الأولى.
• الحل:
• $\mathrm{\Delta }p={\displaystyle {\int }_0^{4}6tdt={\left[3t^2\right]}_0^4=48}$ كجم.م/ث.
• مثال 12 جسم كتلته 5 كجم يتحرك بعجلة $a=4t$ م/ث². أوجد القوة عند $t=2$ والتغير في كمية حركته من $t=0$ إلى $t=3$.
• الحل:
• F=ma=5×4t=20t فعند t=2 F=40 نيوتن
• $\mathrm{\Delta }p={\displaystyle {\int }_0^{3}20tdt={\left[10t^2\right]}_0^3=90}$ كجم.م/ث.

• إذا أثرت عدة قوى فالقوة المحصلة هي المجموع الاتجاهي لها، ثم نطبق $\vec{R}=m\vec{a}$.
• في الأبعاد المتجهة نطبق القانون على كل مركبة منفصلة.
• .egp-ex{margin:18px 0;border:1px solid rgba(79,63,224,.2);border-radius:16px;overflow:hidden;background:#fff}.egp-ex-h{padding:10px 16px;font-weight:800;background:linear-gradient(90deg,#4f3fe0,#22c1c3);color:#fff}.egp-ex-tabs{display:flex;flex-wrap:wrap;gap:6px;padding:10px 12px;background:#f7f6ff}.egp-ex-b{border:1px solid rgba(79,63,224,.3);background:#fff;border-radius:20px;padding:5px 14px;font-weight:700;cursor:pointer}.egp-ex-b.on{background:#4f3fe0;color:#fff}.egp-ex-p{padding:12px 16px}function egpEx(b,k){var w=b.closest(‘.egp-ex’);w.querySelectorAll(‘.egp-ex-b’).forEach(function(x,i){x.classList.toggle(‘on’,i===k)});w.querySelectorAll(‘.egp-ex-p’).forEach(function(x,i){x.hidden=i!==k})}

• يُعد إسحق نيوتن من أبرز رموز الثورة العلمية في الميكانيكا، فقد جمع أبحاثه في كتاب المبادئ الرياضية للفلسفة الطبيعية، وصاغ فيه قوانينه الثلاثة للحركة.
• وقد سبقه جاليليو بتجارب كثيرة على الأجسام الساقطة والمقذوفة والمتحركة أفقياً، ومن نتائجها أن الجسم الذي يتحرك على سطح أفقي دون مقاومة يواصل حركته بسرعة ثابتة.
• يوضح قانون الجذب العام لنيوتن أن القوة قد تؤثر عن بعد دون تلامس، فالأجسام تتجاذب فيما بينها، ومن أمثلة ذلك قوة الوزن التي تجذب بها الأرض الأجسام نحوها.
• التعريف الاستاتيكي للكتلة لا يتيح تعيين قيمة كتل الأجسام مباشرة، وإنما يقتصر على مقارنة الكتل بمقارنة أوزانها.
• أما التعريف الديناميكي للكتلة فيُستنتج من دراسة حركة الأجسام.

• يتضمن القانون الأول لنيوتن تعريفاً للقوة، فهي المؤثر الذي يغير حالة الجسم من السكون أو من الحركة المنتظمة.
• ولا يستطيع الجسم تغيير حالته بمفرده، فلا بد من قوة تُخرجه منها، ولهذا سُمي القانون بقانون القصور الذاتي.
• في الحركة على خط مستقيم، يمثل متجه العجلة اللحظية معدل تغير السرعة بالنسبة للزمن، وهو ما يعبر عنه هندسياً بميل مماس منحنى السرعة والزمن.
• وتنقسم الحركة المتغيرة إلى متسارعة يزداد فيها مقدار السرعة، وتقصيرية ينقص فيها هذا المقدار.
• ويمكن تحليل حركة الجسيم من منحنى السرعة والزمن ومنحنى الموضع والزمن، لمعرفة اللحظة التي يغير فيها الجسيم اتجاه حركته.
• تختلف العجلة المتوسطة عن العجلة اللحظية فالأولى تعبر عن التغير في متجه السرعة خلال فترة زمنية، أما العجلة اللحظية فتُعرف عند أي لحظة بالنهاية التي تقترب إليها هذه النسبة حين تقترب الفترة الزمنية من الصفر.

• تتناسب كمية الحركة لجسم متحرك مع كتلته وسرعته، والدفع يساوي التغير في كمية الحركة، لذلك يُستعان بالدفع في حل مسائل تغير السرعة.
• ومن أمثلته دراسة رصاصة تدفعها البندقية، وكرة مطاط تسقط ثم ترتد رأسياً إلى أعلى، وكرة تصطدم بحائط أملس ثم ترتد عنه.
• القدرة هي المعدل الزمني لبذل الشغل.
• وعند ثبوت مقدار القوة تتغير القدرة طردياً مع السرعة، فتبلغ أقصاها عندما تكون السرعة أكبر ما يمكن، ويُطلق على هذه القدرة القصوى اسم قدرة الآلة.
• كما تشمل الوحدة تطبيقات هذه القوانين على الحركة فوق مستويات ملساء وخشنة، وعلى حركة البكرات البسيطة والمصاعد، إلى جانب دراسة الكتلة المتغيرة.