الدرس الأول: مبدأ العد والتباديل والتوافيق ونظرية ذات الحدين

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
التباديل	$^{n} P_{r}$ : ترتيب $r$ عنصرًا مختارة من $n$ عنصرًا، والترتيب مهم.	ترتيبعنصرمختارةوالترتيب
التوافيق	$^{n} C_{r}$ : اختيار $r$ عنصرًا من $n$ عنصرًا دون اهتمام بالترتيب.	اختيارعنصراهتمامبالترتيب
•	$^{n} P_{r} = \frac{n!}{(n - r)!},^{n} C_{r} = \frac{n!}{r! (n - r)!}$

وجه المقارنة

الفكرة الأساسية

كلمات مفتاحية

التباديل

^{n} P_{r}

: ترتيب

r

عنصرًا مختارة من

n

عنصرًا، والترتيب مهم.

ترتيبعنصرمختارةوالترتيب

التوافيق

^{n} C_{r}

: اختيار

r

عنصرًا من

n

عنصرًا دون اهتمام بالترتيب.

اختيارعنصراهتمامبالترتيب

•

^{n} P_{r} = \frac{n!}{(n - r)!},^{n} C_{r} = \frac{n!}{r! (n - r)!}

وجه المقارنة	التباديل	التوافيق
أهمية الترتيب	الترتيب مهم	الترتيب غير مهم
القانون	$\frac{n!}{(n - r)!}$	$\frac{n!}{r! (n - r)!}$
العلاقة بينهما	$^{n} P_{r} = r!^{n} C_{r}$	$^{n} C_{r} = \frac{^{n} P_{r}}{r!}$

وجه المقارنة

التباديل

التوافيق

أهمية الترتيب

الترتيب مهم

الترتيب غير مهم

القانون

\frac{n!}{(n - r)!}

\frac{n!}{r! (n - r)!}

العلاقة بينهما

^{n} P_{r} = r!^{n} C_{r}

^{n} C_{r} = \frac{^{n} P_{r}}{r!}

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
مثال 1	بكم طريقة تُختار لجنة من 3 طلاب من بين 7 طلاب؟	طريقةختارلجنةطلاب
•	الحل	الحل
الترتيب غير مهم، فهي توافيق	7C3

وجه المقارنة

الفكرة الأساسية

كلمات مفتاحية

مثال 1

بكم طريقة تُختار لجنة من 3 طلاب من بين 7 طلاب؟

طريقةختارلجنةطلاب

•

الحل

الترتيب غير مهم، فهي توافيق

7C3

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
مثال 4	أوجد معامل الحد السادس في مفكوك ${(x + \frac{2}{x})}^{8}$ .	أوجدمعاملالحدالسادس
•	الحل	الحل
الحد السادس يقابل r=5	T6=8C5 x3(2x)5

وجه المقارنة

الفكرة الأساسية

كلمات مفتاحية

مثال 4

أوجد معامل الحد السادس في مفكوك

{(x + \frac{2}{x})}^{8}

أوجدمعاملالحدالسادس

•

الحل

الحد السادس يقابل r=5

T6=8C5 x3(2x)5

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
مثال 8	إذا كان $(1 + c x)^{n} = 1 + 20 x + a_{1} x^{2} + a_{2} x^{3} + \dots$ وكان $16 a_{1} = 3 a_{2}$ فأوجد قيمة كل من $n$ و $c$ حيث $c \neq 0$ .	a1x2a2x3وكان16a1
•	الحل	الحل
معامل x	n c=20 … (1)
a1=nC2 c2 و a2=nC3 c3، ومن الشرط	16 nC2 c2=3 nC3 c3
•	بالقسمة على $c^{2}$ وباستخدام $^{n} C_{3} =^{n} C_{2} \times \frac{n - 2}{3}$ نحصل على $16 = (n - 2) c$ … (2)	بالقسمةوباستخدامنحصل
من (1)	c=20n وبالتعويض في (2): 16n=20(n−2) ومنها n=10	وبالتعويضومنها

وجه المقارنة

الفكرة الأساسية

كلمات مفتاحية

مثال 8

إذا كان

(1 + c x)^{n} = 1 + 20 x + a_{1} x^{2} + a_{2} x^{3} + \dots

وكان

16 a_{1} = 3 a_{2}

فأوجد قيمة كل من

n

c

حيث

c \neq 0

a1x2a2x3وكان16a1

•

الحل

معامل x

n c=20 … (1)

a1=nC2 c2 و a2=nC3 c3، ومن الشرط

16 nC2 c2=3 nC3 c3

•

بالقسمة على

c^{2}

وباستخدام

^{n} C_{3} =^{n} C_{2} \times \frac{n - 2}{3}

نحصل على

16 = (n - 2) c

… (2)

بالقسمةوباستخدامنحصل

من (1)

c=20n
وبالتعويض في (2): 16n=20(n−2) ومنها n=10

وبالتعويضومنها

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
الحد الخالي من x	5n−7r=0 ومنها r=5n7	ومنها
•	يلزم أن تكون $r$ عددًا صحيحًا، وبما أن 5 و 7 أوليان فيما بينهما يلزم أن يكون $n$ من مضاعفات 7.	يلزمتكونصحيحوبما
عند n=7	r=5 والحد الخالي من x هو T6=7C5=21	والحدالخالي

وجه المقارنة

الفكرة الأساسية

كلمات مفتاحية

الحد الخالي من x

5n−7r=0 ومنها r=5n7

ومنها

•

يلزم أن تكون

r

عددًا صحيحًا، وبما أن 5 و 7 أوليان فيما بينهما يلزم أن يكون

n

من مضاعفات 7.

يلزمتكونصحيحوبما

عند n=7

r=5 والحد الخالي من x هو T6=7C5=21

والحدالخالي

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
•	عدد حدود المفكوك $n + 1$ ، فتتحدد رتبة الحد الأوسط بحسب $n$ .	حدودالمفكوكفتتحددرتبة
إذا كان n عددًا زوجيًّا	عدد الحدود فردي، فيوجد حد أوسط وحيد رتبته $\frac{n}{2} + 1$ .	الحدودفرديفيوجدأوسط
إذا كان n عددًا فرديًّا	عدد الحدود زوجي، فيوجد حدان أوسطان رتبتاهما $\frac{n + 1}{2}$ و $\frac{n + 3}{2}$ .	الحدودزوجيفيوجدحدان

وجه المقارنة

الفكرة الأساسية

كلمات مفتاحية

•

عدد حدود المفكوك

n + 1

، فتتحدد رتبة الحد الأوسط بحسب

n

حدودالمفكوكفتتحددرتبة

إذا كان n عددًا زوجيًّا

عدد الحدود فردي، فيوجد حد أوسط وحيد رتبته

\frac{n}{2} + 1

الحدودفرديفيوجدأوسط

إذا كان n عددًا فرديًّا

عدد الحدود زوجي، فيوجد حدان أوسطان رتبتاهما

\frac{n + 1}{2}

\frac{n + 3}{2}

الحدودزوجيفيوجدحدان

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
•	أي أن نسبة الحد الثاني إلى الحد الأول في المفكوك، مضروبة في $\frac{n - r + 1}{r}$ ، تعطي نسبة أي حدين متتاليين.	نسبةالحدالثانيالأول
نسبة المعاملين	معامل Tr+1معامل Tr=n−r+1r×معامل الحد الثانيمعامل الحد الأول	1معاملالحدالثانيمعاملالأول
نسبة معاملي توافيق متتاليين	nCrnCr−1=n−r+1r	nCrnCr

وجه المقارنة

الفكرة الأساسية

كلمات مفتاحية

•

أي أن نسبة الحد الثاني إلى الحد الأول في المفكوك، مضروبة في

\frac{n - r + 1}{r}

، تعطي نسبة أي حدين متتاليين.

نسبةالحدالثانيالأول

نسبة المعاملين

معامل Tr+1معامل Tr=n−r+1r×معامل الحد الثانيمعامل الحد الأول

1معاملالحدالثانيمعاملالأول

نسبة معاملي توافيق متتاليين

nCrnCr−1=n−r+1r

nCrnCr

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
مثال 17	في مفكوك $(x + y)^{8}$ إذا كان $2 T_{5} = T_{4} + T_{6}$ فأوجد قيمة $\frac{x}{y}$ .	مفكوكفأوجدقيمة
•	الحل	الحل
الحدود	T4=56 x5y3 و T5=70 x4y4 و T6=56 x3y5	x5y3x4y4x3y5
بالتعويض	140 x4y4=56 x5y3+56 x3y5	x4y4x5y3x3y5
بالقسمة على 28 x3y3	5xy=2x2+2y2 أي 2x2−5xy+2y2=0

وجه المقارنة

الفكرة الأساسية

كلمات مفتاحية

مثال 17

في مفكوك

(x + y)^{8}

إذا كان

2 T_{5} = T_{4} + T_{6}

فأوجد قيمة

\frac{x}{y}

مفكوكفأوجدقيمة

•

الحل

الحدود

T4=56 x5y3 و T5=70 x4y4 و T6=56 x3y5

x5y3x4y4x3y5

بالتعويض

140 x4y4=56 x5y3+56 x3y5

x4y4x5y3x3y5

بالقسمة على 28 x3y3

5xy=2x2+2y2 أي 2x2−5xy+2y2=0

مخطط الشجرة البيانية وتطبيقات مبدأ العد الأساسي

📖

📌 قاموس المفاهيم والمصطلحات العلمية الدقيقة:

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
مبدأ العد الأساسي (Fundamental Counting Principle)	إذا أمكن إجراء عملية ما بطرق عددها m وعملية أخرى بطرق عددها n فإن عدد طرق إجراء العمليتين معاً (“و”) = m × n بينما عدد طرق إجراء العملية الأولى أو الثانية (“أو”) = m + n	أمكنإجراءعمليةبطرق
التباديل (Permutations – nPr)	كل ترتيب يمكن تكوينه من عدة عناصر بأخذها كلها أو بعضها مع مراعاة الترتيب ودون إحلال: nPr = n! / (n-r)! (الترتيب مهم والشرط عدم التكرار)	ترتيبتكوينهعناصربأخذها
التوافيق (Combinations – nCr)	كل مجموعة يمكن تكوينها من عدة عناصر بأخذها كلها أو بعضها دون مراعاة الترتيب: nCr = nPr / r! = n! / [r! (n-r)!] (الترتيب غير مهم)	مجموعةتكوينهاعناصربأخذها
نظرية ذات الحدين لأس صحيح موجب	قانون لفك المقدار (x + a)ⁿ يتكون المفكوك من (n + 1) حداً مرتبة تنازلياً حسب قوى x وتصاعدياً حسب قوى a	قانونالمقداريتكونالمفكوك

⚖️ القوانين والعلاقات الرياضية والفيزيائية الحاكمة:

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
قانون التباديل	nPr = n(n-1)(n-2)…(n-r+1) = n! / (n-r)!
قانون التوافيق	nCr = nP r / r! = n! / [r! (n-r)!] \| قانون التبسيط: nCr = nC(n-r)	التبسيط
قانون النسبة في التوافيق	nCr / nC(r-1) = (n – r + 1) / r
قانون الجمع في التوافيق	nCr + nC(r-1) = (n+1)Cr
الحد العام في مفكوك ذات الحدين (x + a)ⁿ	T_{r+1} = nCr × x^{n-r} × a^r
قانون النسبة بين حدين متتاليين	T_{r+1} / T_r = [(n – r + 1) / r] × [الحد الثاني / الحد الأول]	الحدالثانيالأول
رتبة الحد الأوسط إذا كانت n زوجية	(n/2) + 1 \| إذا كانت n فردية يوجد حدان أوسطان: (n+1)/2 و (n+3)/2	فرديةيوجدحدانأوسطان

🔍 الشرح المستفيض والتعليلات العلمية المعتمدة (“علل”):

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
علل: عدد حدود مفكوك ذات الحدين (x + a)ⁿ يساوي (n + 1)؟	لأن قيم r في التوافيق nCr تبدأ من r = 0 وتنتهي عند r = n فيكون عدد القيم والحدود الإجمالي هو n – 0 + 1 = n + 1 حداً	التوافيقتبدأوتنتهيفيكون
علل: مجموع معاملات حدود مفكوك (x + a)ⁿ يساوي 2ⁿ؟	بالتعويض عن كل من المتغيرين x = 1 و a = 1 في الطرفين فيصبح المفكوك (1 + 1)ⁿ = 2ⁿ وهو مجموع كافة المعاملات	بالتعويضالمتغيرينالطرفينفيصبح
علل	نستخدم التباديل في تكوين الأعداد وتشكيل الكلمات بينما نستخدم التوافيق في تكوين اللجان والوفود؟ لأن ترتيب الخانات في الأعداد (آحاد عشرات) أو الحروف يغير معنى العدد والكلمة تماماً بينما اختيار أعضاء لجنة أو وفد لا يتأثر بترتيب اختيار أسمائهم	نستخدمالتباديلتكوينالأعداد

الترتيب والمراعاة	مع الإحلال (التكرار مسموح)	بدون إحلال (التكرار ممنوع)
الترتيب مهم (تكوين أعداد، حروف، سباقات)	n^r (مثل كلمات السر وأرقام الهواتف)	nPr (مثل تكوين عدد من أرقام مختلفة)
الترتيب غير مهم (تكوين لجان، مجموعات، كرات)	(n + r – 1)Cr (مثل وضع كرات متماثلة في صناديق)	nCr (مثل اختيار 3 طلاب من بين 10 طلاب)

💡 كبسولة الفنيات وتريكات الامتحانات والأسئلة الوزارية 2026/2027:

الحد الخالي من xنضع الأس الإجمالي للمتغير x في الحد العام مساوياً للصفر ونوجد قيمة r الصحيحة الموجبة.

أكبر معامل في المفكوكهو معامل الحد الأوسط (إذا كانت n زوجية) أو معاملا الحدين الأوسطين (إذا كانت n فردية).

🔬 مخططات ورسوم علمية تخصصية داعمة للفهم

نقدم في هذا القسم رسوماً ومخططات بيانية توضيحية معتمدة لتعميق الاستيعاب البصري وتثبيت المفاهيم العلمية الأساسية وفق أحدث النماذج التعليمية التفاعلية.
شكل 1 مخطط الشجرة البيانية وتطبيقات مبدأ العد الأساسي
تمثل الشجرة البيانية جميع النواتج الممكنة لتجربة متعددة المراحل، فيكون عدد النواتج الكلي حاصل ضرب عدد الفروع في كل مرحلة وفق مبدأ العد الأساسي.
فمثلًا إذا أمكن اختيار 3 طرق في المرحلة الأولى ثم 2 في الثانية، فإن عدد طرق إجراء العمليتين معًا هو 3 × 2 = 6.
شكل 2 مخطط فن لتمثيل الاتحاد والتقاطع والفرق في فضاء العينة
تعرض الصورة مخطط فن لحدثين داخل فضاء العينة، إذ تمثل المنطقة المشتركة التقاطع، والمنطقتان معًا الاتحاد، ويمثل الجزء الذي ينتمي لأحدهما دون الآخر الفرق.
وتُستخدم هذه المناطق في حساب احتمال وقوع أحد الحدثين أو كليهما بتطبيق قاعدة الاتحاد للاحتمالات.

مخطط فن لتمثيل الاتحاد والتقاطع والفرق في فضاء العينة←الموسوعة التعليمية الشاملة والمصطلحات الدقيقة — مبدأ العد والتباديل والتوافيق ونظرية ذات الحدين (كتب الوزارة + الامتحان + المعاصر + الوسام)

المناهج الدراسية

الرياضيات

الفصل الأول - التفاضل والتكامل (Calculus)

الفصل الثاني - الجبر والهندسة الفراغية (Algebra & Solid Geometry)

الفصل الثالث - الاستاتيكا (Statics)

الفصل الرابع - الديناميكا (Dynamics)

الفصل الخامس - الجبر الأساسي وحساب المثلثات والإحصاء والاحتمال

دروس إضافية

الدرس الأول: مبدأ العد والتباديل والتوافيق ونظرية ذات الحدين

🌳 شجرة المفاهيم

مبدأ العد

✍️ أمثلة محلولة

C3=7×6×53×2×1=35

مثلث باسكال

مفكوك ذات الحدين

ملاحظات على المفكوك (x+a)n

✍️ أمثلة محلولة

=16x4+4×8×3 x3y+6×4×9 x2y2+4×2×27 xy3+81y4

=16x4+96x3y+216x2y2+216xy3+81y4

حالات خاصة من المفكوك

(1+x)n=1+nC1 x+nC2 x2+⋯+xn

(1−x)n=1−nC1 x+nC2 x2−⋯+(−x)n

✍️ أمثلة محلولة

(1+x)6=1+6x+15x2+20x3+15x4+6x5+x6

المجموع =64

الحد العام

✍️ أمثلة محلولة

T6=56×32 x−2=1792 x−2

معامل الحد السادس = 1792

✍️ أمثلة محلولة

رتبة الحد من البداية =11−4+2=9، أي r=8

T9=11C8 (2x)3(−1x)8=165×8 x3×x−8

T9=1320 x−5

مجموع مفكوكين ذوي إشارتين مختلفتين

✍️ أمثلة محلولة

المقدار =2 (T1+T3+T5+T7)

T1=x6 و T3=6C2 x4×4=60x4

T5=6C4 x2×16=240x2 و T7=26=64

المقدار =2x6+120x4+480x2+128

المقدار هو مفكوك [(3+x)−(1−2x)]11=(2+3x)11

T5=11C4 (2)7(3x)4=330×128×81 x4

T5=3 421 440 x4

c=2010=2

خطوات الحل

✍️ أمثلة محلولة

الحد الخالي من x =9C6×26=84×64=5376

Tr+1=9Cr (2x)9−r(−12x2)r=9Cr (−1)r 29−2r x9−3r

Tr+1=nCr (x5)n−r(x−2)r=nCr x5n−7r

أكبر قوة لـ x ومعامل الحد

حالتا الحد الأوسط

✍️ أمثلة محلولة

n=8 زوجي، فرتبة الحد الأوسط =82+1=5

T5=8C4 x4(2x)4=70×16=1120

n=15 فردي، ورتبتا الحدين الأوسطين 162=8 و 9

T8=15C7(x23)8(3x)7=6435×x93=2145 x9

T9=15C8(x23)7(3x)8=6435×3 x6=19305 x6

المقدار =2 (T1+T3+T5+T7+T9)، فالحد الأوسط هو 2T5

T5=8C4 (3)4(2x)4=70×81×16 x4=90 720 x4

الحد الأوسط =2×90 720 x4=181 440 x4

n=9 فالحدان الأوسطان T5 و T6، والشرط T5=T6

C4 25(x3)4=9C5 24(x3)5

قانون النسبة

✍️ أمثلة محلولة

(أ) T3T2=12−2+12×2yx=11yx

(ب) معامل T8معامل T7=12−7+17×2=127

إذن معامل T7معامل T8=712

(2x−y)(x−2y)=0

xy=2 أو xy=12

2135=n−r+1r أي 3r=5n−5r+5 ومنها 5n−8r=−5 … (1)

721=n−rr+1 أي r+1=3n−3r ومنها 3n−4r=1 … (2)

الحدود الثلاثة هي T5,T6,T7 و n=7

أكبر حد في المفكوك

✍️ أمثلة محلولة

Tr+1Tr=10−r+1r×32=33−3r2r

أكبر حد هو T7=10C6 24 36=210×16×729=2 449 440

📌 قاموس المفاهيم والمصطلحات العلمية الدقيقة:

⚖️ القوانين والعلاقات الرياضية والفيزيائية الحاكمة:

🔍 الشرح المستفيض والتعليلات العلمية المعتمدة (“علل”):

🔬 مخططات ورسوم علمية تخصصية داعمة للفهم

أحسنت! أنهيت هذا الدرس

أكبر قوة لـ $x$ ومعامل الحد