المناهج الدراسية
تسجيل الدخول

المناهج الدراسية

الرياضيات

الفصل الأول - التفاضل والتكامل (Calculus)

0/86

الفصل الثاني - الجبر والهندسة الفراغية (Algebra & Solid Geometry)

0/50

الفصل الثالث - الاستاتيكا (Statics)

0/21

الفصل الرابع - الديناميكا (Dynamics)

0/35

الفصل الخامس - الجبر الأساسي وحساب المثلثات والإحصاء والاحتمال

0/40

دروس إضافية

0/193
نص الدرس

الدرس الثالث: الإحصاء والاحتمال الشرطي والمتغيرات العشوائية والتوزيع الطبيعي

الرياضيات

الدرس الثالث: الإحصاء والاحتمال الشرطي والمتغيرات العشوائية والتوزيع الطبيعي

مقدمة

مقدمة

🌳 شجرة المفاهيم

الدرس الثالث←الإحصاء والاحتمال الشرطي والمتغيرات العشوائية والتوزيع الطبيعي

├── المصطلحات العلمية

├── القوانين والعلاقات

  • ├── الاحتمال الشرطي والأحداث المستقلة وتطبيقات الجداول المتقاطعة
  • ├── المتغيرات العشوائية المتقطعة وحساب التوقع والانحراف المعياري
  • ├── التوزيع الطبيعي المعياري ومنحنى الجرس والتطبيقات العملية

├── جداول المقارنة

├── أمثلة محلولة

└── تكات وملاحظات امتحانية

الدرس الثالث: الإحصاء والاحتمال الشرطي والمتغيرات العشوائية والتوزيع الطبيعي · 1 / 14
المصطلحات العلمية

المصطلحات العلمية

🧊 مجسم ثلاثي الأبعاد لمنحنى التوزيع الطبيعي المعياري ومساحات الاحتمال

D Scientific Model

  • شكل 1 مجسم ثلاثي الأبعاد لمنحنى التوزيع الطبيعي المعياري ومساحات الاحتمال
  • يمثّل المجسم ثلاثي الأبعاد منحنى التوزيع الطبيعي المعياري ومساحات الاحتمال أسفله.
  • وتمثل المساحة المحصورة بين قيمتين احتمال وقوع المتغير بينهما، والمنحنى متماثل حول الوسط الصفري.
  • تمثيل سطحي فراغي ثلاثي الأبعاد لدالة الكثافة الاحتمالية للتوزيع الطبيعي المعياري، مبيناً التماثل التام حول المتوسط الحسابي μ والمساحات الاحتمالية تحت المنحنى (القاعدة التجريبية 68.3% – 95.4% – 99.7%).
مجسم ثلاثي الأبعاد لمنحنى التوزيع الطبيعي المعياري ومساحات الاحتمال
مجسم ثلاثي الأبعاد لمنحنى التوزيع الطبيعي المعياري ومساحات الاحتمال
وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
الاحتمال الشرطي (Conditional Probability – P(A|B))
  • احتمال وقوع الحدث A بشرط أو علماً بأن الحدث B قد وقع بالفعل
  • ويحسب من قسمة احتمال تقاطعهما على احتمال الحدث المشروط: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
  • P(B) &gt
وقوعالحدثبشرطعلما
الأحداث المستقلة (Independent Events)
  • حدثان وقوع أحدهما لا يؤثر إطلاقاً على احتمال وقوع الآخر
  • وشرطهما الرياضي: P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
حدثانوقوعأحدهمايؤثر
المتغير العشوائي المتقطع (Discrete Random Variable)
  • متغير تأخذ قيمه مجموعة من الأعداد المنفصلة المعزولة القابلة للحصر
  • ومجموع احتمالاته في دالة التوزيع الاحتمالي يساوي دائماً الواحد الصحيح: Σ f(x) = 1
تأخذقيمهمجموعةالأعداد
القيمة المتوقعة / المتوسط (Expected Value – μ)متوسط التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي ويحسب من مجموع حاصل ضرب كل قيمة في احتمالها المقابل: μ = E(X) = Σ [x × f(x)]التوزيعالاحتماليللمتغيرالعشوائي
التوزيع الطبيعي المعياري (Standard Normal Distribution – Z)
  • توزيع احتمالي متصل متماثل تماماً حول وسطه الحسابي ومنحناه يشبه الجرس (منحنى جاوس) وسطه الحسابي μ = 0 وانحرافه المعياري σ = 1
  • والمساحة الكلية أسفل المنحنى تساوي 1.0 بالضبط
احتماليمتصلمتماثلتماما
معامل الاختلاف (Coefficient of Variation – C.V)مقياس نسبي لتشتت التوزيع الاحتمالي يحسب بقسمة الانحراف المعياري على المتوسط الحسابي مضروباً في 100%: C.V = (σ / μ) × 100%مقياسنسبيلتشتتالتوزيع
الدرس الثالث: الإحصاء والاحتمال الشرطي والمتغيرات العشوائية والتوزيع الطبيعي · 2 / 14
القوانين والعلاقات

القوانين والعلاقات

وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
قانون الاحتمال الشرطي والأحداث المستقلة[ الصيغة الفيزيائية والرياضية: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) | Independent: P(A ∩ B) = P(A) × P(B) ] إذا كانا مستقلين فإن P(A|B) = P(A)الصيغةالفيزيائيةوالرياضيةIndependent
قوانين المتغير العشوائي المتقطع[ الصيغة الفيزيائية والرياضية:

μ = Σ [x × f(x)] | σ 2 = Σ [x2 × f(x)] – μ 2 | σ = √(σ 2) ]

التباين يساوي مجموع x2 f(x) مطروحاً منه مربع المتوسط μ2.		الصيغةالفيزيائيةوالرياضيةالتباين
التحويل للمتغير المعياري Z (Z-Score)[ الصيغة الفيزيائية والرياضية: Z = (X – μ) / σ] لتحويل أي قيمة غير معيارية X تتبع توزيعاً طبيعياً وسطه μ وانحرافه σ إلى قيمة معيارية Z واستخراج المساحة من الجدول الإحصائيالصيغةالفيزيائيةوالرياضيةقيمة
الدرس الثالث: الإحصاء والاحتمال الشرطي والمتغيرات العشوائية والتوزيع الطبيعي · 3 / 14
الاحتمال الشرطي والأحداث المستقلة وتطبيقات الجداول المتقاطعة

الاحتمال الشرطي والأحداث المستقلة وتطبيقات الجداول المتقاطعة

  • الاحتمال الشرطي P(A|B) يمثل تقليصاً لفضاء العينة الكلي (S) ليصبح مقتصراً فقط على فضاء الحدث المشروط (B).
كيس به 3 كرات حمراء وكرتان زرقاوان يبين الاحتمال الشرطي: احتمال الحمراء الثانية بعد الأولى 2/4.
كيس به 3 كرات حمراء وكرتان زرقاوان يبين الاحتمال الشرطي: احتمال الحمراء الثانية بعد الأولى 2/4.
وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
القانون الرياضيP(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
ومنه يستنتج قانون ضرب الاحتمالاتP(A ∩ B) = P(B) × P(A|B)
•التمييز الحاسم بين الأحداث المتنافية والأحداث المستقلة في الامتحاناتالتمييزالحاسمالأحداثالمتنافية
الحدثان المتنافيان (Mutually Exclusive)
  • يستحيل وقوعهما معاً
  • تقاطعهما خالي A ∩ B = ∅ واحتمال تقاطعهما يساوي صفراً: P(A ∩ B) = 0
يستحيلوقوعهماتقاطعهماخالي
الحدثان المستقلان (Independent Events)
  • يمكن وقوعهما معاً ولكن وقوع أحدهما لا يغير ولا يؤثر على احتمال الآخر
  • واحتمال تقاطعهما يساوي حاصل ضربهما: P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
وقوعهماولكنوقوعأحدهما
تطبيقات الجداول المزدوجة (التوافقية)حساب احتمالات النجاح المشروط أو الفحص الطبي بمعرفة الفئات المقابلةحساباحتمالاتالنجاحالمشروط
الدرس الثالث: الإحصاء والاحتمال الشرطي والمتغيرات العشوائية والتوزيع الطبيعي · 4 / 14
المتغيرات العشوائية المتقطعة وحساب التوقع والانحراف المعياري

المتغيرات العشوائية المتقطعة وحساب التوقع والانحراف المعياري

  • المتغير العشوائي دالة مداها مجموعة جزئية من الأعداد الحقيقية R.
  • جدول التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المتقطع يتكون من صفين: قيم المتغير x، واحتمالاتها

    f(x) = P(X = x)

    .
  • شرطا التوزيع الاحتمالي:
  • (1) جميع الاحتمالات موجبة أو صفرية 0 ≤ f(x) ≤ 1.
  • (2) مجموع جميع الاحتمالات يساوي الواحد الصحيح تماماً Σ f(x) = 1.
  • خطوات حساب التوقع والتباين في جدول من 4 أعمدة:
وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
العمود 1قيم المتغير xالمتغير
العمود 2الاحتمالات f(x). (مجموعه = 1)الاحتمالاتمجموعه
العمود 3حاصل ضرب x × f(x). (مجموعه = التوقع μ)حاصلمجموعهالتوقع
العمود 4حاصل ضرب x2 × f(x)حاصل
•التباين σ2 = (مجموع العمود 4) – μ2التباينمجموعالعمود
•الانحراف المعياري σ = √σ2الانحرافالمعياري
الدرس الثالث: الإحصاء والاحتمال الشرطي والمتغيرات العشوائية والتوزيع الطبيعي · 5 / 14
التوزيع الطبيعي المعياري ومنحنى الجرس والتطبيقات العملية

التوزيع الطبيعي المعياري ومنحنى الجرس والتطبيقات العملية

  • التوزيع الطبيعي هو أهم توزيع احتمالي متصل في العلوم الطبيعية والاجتماعية حيث تتبعه أطوال البشر وأوزانهم ودرجات الذكاء IQ والإنتاج الصناعي.
  • خصائص منحنى التوزيع الطبيعي المعياري (الجرس):

  1. متماثل تماماً حول المحور الرأسي عند Z = 0.

  2. المساحة الكلية أسفل المنحنى وفوق المحور الأفقي تساوي 1.0 تماماً، ويقسم المحور الرأسي المساحة لنصفين متساويين: المساحة عن اليمين = 0.5 والمساحة عن اليسار = 0.5.

  • قواعد قراءة جدول المساحات الطبيعية Z:
شكل 2: منحنى التوزيع الطبيعي المعياري وقواعد الانحراف المعياري والمساحات تبيّن الصورة منحنى الجرس وقواعد الانحراف المعياري، فنحو 68% من القيم تقع في المدى μ ± σ، و95% في μ ± 2σ، و99.7% في μ ± 3σ. ولحساب الاحتمالات يُحوَّل المتغير الطبيعي إلى معياري بالعلاقة Z = (X − μ) ÷ σ ثم يُبحث في الجدول.
شكل 2: منحنى التوزيع الطبيعي المعياري وقواعد الانحراف المعياري والمساحات تبيّن الصورة منحنى الجرس وقواعد الانحراف المعياري، فنحو 68% من القيم تقع في المدى μ ± σ، و95% في μ ± 2σ، و99.7% في μ ± 3σ. ولحساب الاحتمالات يُحوَّل المتغير الطبيعي إلى معياري بالعلاقة Z = (X − μ) ÷ σ ثم يُبحث في الجدول.
وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
P(0 ≤ Z ≤ a)تستخرج مباشرة من الجدولتستخرجمباشرةالجدول
P(Z ≥ a) للعدد الموجب aتساوي 0.5 – P(0 ≤ Z ≤ a)تساوي
P(Z ≤ a) للعدد الموجب aتساوي 0.5 + P(0 ≤ Z ≤ a)تساوي
P(-a ≤ Z ≤ a)تماثل حول الصفر = 2 × P(0 ≤ Z ≤ a)تماثلالصفر
•
  • إذا كان المتغير X طبيعياً غير معياري وسطه μ وانحرافه σ
  • نحوله أولاً إلى معياري بتطبيق
المتغيرطبيعيامعياريوسطه

Z = (X – μ) / σ

  • ثم نبحث في الجدول.
الدرس الثالث: الإحصاء والاحتمال الشرطي والمتغيرات العشوائية والتوزيع الطبيعي · 6 / 14
جداول المقارنة

جداول المقارنة

جدول←مقارنة بين الأحداث المستقلة والأحداث المتنافية في نظرية الاحتمالات
وجه المقارنة الحدثان المستقلان (Independent Events) الحدثان المتنافيان (Mutually Exclusive Events)
المعنى المفهومي وقوع أحدهما لا يؤثر على احتمال وقوع الآخر يستحيل وقوعهما معاً في نفس التجربة
احتمال التقاطع P(A ∩ B) P(A ∩

B) = P(A) × P(B

)		 P(A ∩ B) = 0 (لأن A ∩ B = ∅)
احتمال الاتحاد P(A ∪ B) P(A) + P(B) – [P(A) × P(B)] P(A) + P(B) فقط
الاحتمال الشرطي P(A / B)

P(A / B) = P(A)

 (لا يتأثر بـ B)		 P(A / B) = 0
مثال عملي شهير إلقاء قطعة نقود وحجر نرد معاً ظهور عدد فردي وعدد زوجي في نفس رمية النرد
الدرس الثالث: الإحصاء والاحتمال الشرطي والمتغيرات العشوائية والتوزيع الطبيعي · 7 / 14
أمثلة محلولة

أمثلة محلولة

  • مسألة احتمال شرطي وأحداث مستقلةالمعطيات والمطلوب إذا كان A و B حدثين في فضاء عينة، وكان P(A) = 0.6، و P(B) = 0.5، و P(A ∪ B) = 0.8. احسب: (1) احتمال التقاطع P(A ∩ B)، (2) الاحتمال الشرطي P(A|B)، (3) هل الحدثان A و B مستقلان؟ مع التعليل.خطوات الحل والبرهان الفيزيائي: [1] أولاً: من قانون الاتحاد: P(A ∪

    B) = P(A) + P(B) – P(A

    ∩

    B). [2] 0.8 = 0.6 + 0.5 – P(A

    ∩ B) ==>

    0.8 = 1.1 – P(A

    ∩ B). [3] إذاً: P(A ∩

    B) = 1.1 – 0.8 = 0.3. [4]

    ثانياً: حساب الاحتمال الشرطي P(A|B):

    [5] P(A|B) = P(A

    ∩

    B) / P(B) = 0.3 / 0.5 = 0.6. [6]

    ثالثاً: اختبار استقلال الحدثين A و B: [7] نحسب حاصل ضرب

    P(A) × P(B) = 0.6 × 0.5 = 0.30. [8]

    نلاحظ أن P(A ∩ B) = 0.3 مساوية تماماً لحاصل ضرب

    P(A) × P(B) = 0.3. [9]

    الاستنتاج: بما أن P(A ∩

    B) = P(A) × P(B

    )، فإن الحدثين A و B حدثان مستقلان تماماً.💡 فنية وتريك للحل السريع وتجنب الخطأ: تذكر شرط الاستقلال: إذا كان التقاطع يساوي حاصل الضرب فالحدثان مستقلان!
  • مسألة التوزيع الطبيعي وحساب نسبة الطلاب المتفوقينالمعطيات والمطلوب: تتبع درجات طلاب في امتحان ما توزيعاً طبيعياً متوسطه الحسابي μ = 70 وانحرافه المعياري σ = 10. احسب النسبة المئوية للطلاب الحاصلين على درجات أكبر من 85، إذا علمت من الجدول أن المساحة

    P(0 ≤ Z ≤ 1.5) = 0.4332

    .خطوات الحل والبرهان الفيزيائي: [1] المتغير العشوائي X يمثل درجات الطلاب: X ~

    N(μ = 70, σ = 10). [2]

    المطلوب: حساب P(X ≥ 85). [3] أولاً: تحويل القيمة 85 إلى قيمة معيارية Z:

    [4] Z = (X – μ) / σ= (85 – 70) / 10 = 15 / 10 = 1.5. [5]

    إذاً: P(X ≥ 85) تكافئ في التوزيع المعياري: P(Z ≥ 1.5). [6] ثانياً: استخدام خواص المنحنى الطبيعي المعياري المتماثل: [7] المساحة في النصف الأيمن كاملة =

    0.5. [8] P(Z ≥ 1.5) = 0.5 – P(0 ≤ Z ≤ 1.5) = 0.5 – 0.4332 = 0.0668. [9]

    ثالثاً: النسبة المئوية للطلاب = الاحتمال ×

    100% = 0.0668 × 100% = 6.68%

    .💡 فنية وتريك للحل السريع وتجنب الخطأ: تريك امتحاني دائم: دائماً ارسم رسمة الجرس واظلل المساحة المطلوبة لتتأكد هل تطرح من 0.5 أم تجمع!
الدرس الثالث: الإحصاء والاحتمال الشرطي والمتغيرات العشوائية والتوزيع الطبيعي · 8 / 14
تكات وملاحظات امتحانية

تكات وملاحظات امتحانية

  • الاحتمال الشرطي

    P(A|B) = P(A

    ∩ B) / P(B) ويشترط P(B) > 0.
  • الحدثان مستقلان إذا كان P(A ∩

    B) = P(A) × P(B

    ) أو

    P(A|B) = P(A)

    .
  • مجموع احتمالات دالة التوزيع الاحتمالي للمتغير المتقطع يساوي دائماً الواحد الصحيح: Σ f(x) = 1.
  • معامل الاختلاف

    C.V = (σ / μ) × 100%

    ويستخدم للمقارنة بين تشتت مجموعتين مختلفتين.
  • التوزيع الطبيعي المعياري وسطه الحسابي صفر (μ = 0) وانحرافه المعياري واحد (σ = 1) ومساحته الكلية 1.
  • .egp-ex{margin:18px 0;border:1px solid rgba(79,63,224,.2);border-radius:16px;overflow:hidden;background:#fff}.egp-ex-h{padding:10px 16px;font-weight:800;background:linear-gradient(90deg,#4f3fe0,#22c1c3);color:#fff}.egp-ex-tabs{display:flex;flex-wrap:wrap;gap:6px;padding:10px 12px;background:#f7f6ff}.egp-ex-b{border:1px solid rgba(79,63,224,.3);background:#fff;border-radius:20px;padding:5px 14px;font-weight:700;cursor:pointer}.egp-ex-b.on{background:#4f3fe0;color:#fff}.egp-ex-p{padding:12px 16px}function egpEx(b,k){var w=b.closest(‘.egp-ex’);w.querySelectorAll(‘.egp-ex-b’).forEach(function(x,i){x.classList.toggle(‘on’,i===k)});w.querySelectorAll(‘.egp-ex-p’).forEach(function(x,i){x.hidden=i!==k})}
الدرس الثالث: الإحصاء والاحتمال الشرطي والمتغيرات العشوائية والتوزيع الطبيعي · 9 / 14
الجداول والمخططات التوضيحية المستخرجة من أصول المنهج

الجداول والمخططات التوضيحية المستخرجة من أصول المنهج

💡 بيانات وجداول قياسية←تم استخراج كافة البيانات والجداول والمخططات التشريحية من أصول المنهج المعتمد بدقة عالية لتثبيت الفهم وربط النظري بالعملي.

🔬 شكل 1 – منحنى التوزيع الطبيعي المعياري وقواعد الانحراف المعياري والمساحات

  • التفاصيل العلمية والملاحظات الدقيقة المأخوذة من الرسم التوضيحي:
  • (منحنى التوزيع الطبيعي المعلاوفع) زجعا انظ لت لطتو دنه اممرهلة؟ لمدءمه5
  • |
  • (16 ع ن) 68.2696
  • (20 ل ن) 95.4490
  • (30 ع بل) 99.7496
  • 0.40 –
  • 0.35 23
  • 0.30 23
  • 0.25 –
  • 0.20 –
الدرس الثالث: الإحصاء والاحتمال الشرطي والمتغيرات العشوائية والتوزيع الطبيعي · 10 / 14
الشرح الموسوعي المعتمد والمصطلحات الكاملة (كتب الوزارة + الامتحان + المعاصر + الوسام)

الشرح الموسوعي المعتمد والمصطلحات الكاملة (كتب الوزارة + الامتحان + المعاصر + الوسام)

  • 📖
الدرس الثالث: الإحصاء والاحتمال الشرطي والمتغيرات العشوائية والتوزيع الطبيعي · 11 / 14
📌 قاموس المصطلحات والمفاهيم العلمية الدقيقة:

📌 قاموس المصطلحات والمفاهيم العلمية الدقيقة:

  • الاحتمال الشرطي (Conditional Probability:
  • P(A|B)) احتمال وقوع الحدث A بشرط أو علماً بأن الحدث B قد وقع بالفعل، ويحسب من قسمة احتمال تقاطعهما على احتمال الحدث المشروط: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) حيث P(B) > 0.
  • الأحداث المستقلة (Independent Events):
  • حدثان وقوع أحدهما لا يؤثر إطلاقاً على احتمال وقوع الآخر، وشرطهما الرياضي: P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
  • المتغير العشوائي المتقطع (Discrete Random Variable):
  • متغير تأخذ قيمه مجموعة من الأعداد المنفصلة المعزولة القابلة للحصر، ومجموع احتمالاته في دالة التوزيع الاحتمالي يساوي دائماً الواحد الصحيح: Σ f(x) = 1.
  • القيمة المتوقعة / المتوسط (Expected Value:
  • μ) متوسط التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي ويحسب من مجموع حاصل ضرب كل قيمة في احتمالها المقابل: μ = E(X) = Σ [x × f(x)].
  • التوزيع الطبيعي المعياري (Standard Normal Distribution:
  • Z) توزيع احتمالي متصل متماثل تماماً حول وسطه الحسابي ومنحناه يشبه الجرس (منحنى جاوس) وسطه الحسابي μ = 0 وانحرافه المعياري σ = 1، والمساحة الكلية أسفل المنحنى تساوي 1.0 بالضبط.
  • معامل الاختلاف (Coefficient of Variation:
  • C.V): مقياس نسبي لتشتت التوزيع الاحتمالي يحسب بقسمة الانحراف المعياري على المتوسط الحسابي مضروباً في 100%: C.V = (σ / μ) × 100%.
الدرس الثالث: الإحصاء والاحتمال الشرطي والمتغيرات العشوائية والتوزيع الطبيعي · 12 / 14
⚖️ القوانين والعلاقات الرياضية والفيزيائية الحاكمة:

⚖️ القوانين والعلاقات الرياضية والفيزيائية الحاكمة:

وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
قانون الاحتمال الشرطي والأحداث المستقلة[ الصيغة الفيزيائية والرياضية: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) | Independent: P(A ∩ B) = P(A) × P(B) ] إذا كانا مستقلين فإن P(A|B) = P(A)الصيغةالفيزيائيةوالرياضيةIndependent
قوانين المتغير العشوائي المتقطع[ الصيغة الفيزيائية والرياضية: μ = Σ [x × f(x)] | σ2 = Σ [x2 × f(x)] – μ2 | σ = √σ2 ] التباين يساوي مجموع x2 f(x) مطروحاً منه مربع المتوسط μ2الصيغةالفيزيائيةوالرياضيةالتباين
التحويل للمتغير المعياري Z (Z-Score)[ الصيغة الفيزيائية والرياضية: Z = (X – μ) / σ ] لتحويل أي قيمة غير معيارية X تتبع توزيعاً طبيعياً وسطه μ وانحرافه σ إلى قيمة معيارية Z واستخراج المساحة من الجدول الإحصائيالصيغةالفيزيائيةوالرياضيةقيمة
الدرس الثالث: الإحصاء والاحتمال الشرطي والمتغيرات العشوائية والتوزيع الطبيعي · 13 / 14
🔍 الشرح والتحليل المستفيض وتفسيرات علل والاستنتاجات:

🔍 الشرح والتحليل المستفيض وتفسيرات علل والاستنتاجات:

  • ★ كتاب الشرح والتفصيل العلمي الشامل المعتمد 2026 / 2027 ★
  • كتاب الشرح المفصل الاحتمال الشرطي والمتغيرات العشوائية والتوزيع الطبيعي
  • الصف الثالث الثانوي | الوحدة الرابعة – الإحصاء | المنهج المصري الحديث 2026/2027
  • 🎯 أهداف التعلم ومخرجات الفهم الوزارية المقررة 2026/2027:
  • • فهم مفهوم فضاء العينة (S) وحساب الاحتمال الكلاسيكي والعمليات على الأحداث (الاتحاد والتقاطع والفرق).
  • • تطبيق قانون الاحتمال الشرطي (Conditional Probability – P(A|B)) والأحداث المستقلة (Independent Events).
  • • دراسة المتغير العشوائي المتقطع والتوزيع الاحتمالي وحساب التوقع (المتوسط μ) والتباين (σ2) والانحراف المعياري ومعامل الاختلاف.
  • • دراسة المتغير العشوائي المتصل ودالة كثافة الاحتمال (PDF) وحساب المساحة تحت المنحنى.
  • • تطبيق التوزيع الطبيعي المعياري (Standard Normal Distribution – Z) واستخدام جدول المساحات لحساب الاحتمالات الحياتية.

1. الاحتمال الشرطي والأحداث المستقلة وتطبيقات الجداول المتقاطعة

وجه المقارنةالفكرة الأساسيةمثالكلمات مفتاحية
•تقليصاً لفضاء العينة الكلي (S) ليصبح مقتصراً فقط على فضاء الحدث المشروط (B)الاحتمالالشرطييمثلتقليصا
القانون الرياضيP(A|B) = P(A ∩ B) / P(B). ومنه يستنتج قانون ضرب الاحتمالات: P(A ∩ B) = P(B) × P(A|B)—ومنهيستنتجالاحتمالات
•التمييز الحاسم بين الأحداث المتنافية والأحداث المستقلة في الامتحانات—التمييزالحاسمالأحداثالمتنافية
– الحدثان المتنافيان (Mutually Exclusive)
  • يستحيل وقوعهما معاً
  • تقاطعهما خالي A ∩ B = ∅ واحتمال تقاطعهما يساوي صفراً: P(A ∩ B) = 0
—يستحيلوقوعهماتقاطعهماخالي
– الحدثان المستقلان (Independent Events)
  • يمكن وقوعهما معاً ولكن وقوع أحدهما لا يغير ولا يؤثر على احتمال الآخر
  • واحتمال تقاطعهما يساوي حاصل ضربهما: P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
—وقوعهماولكنوقوعأحدهما
تطبيقات الجداول المزدوجة (التوافقية)←حساب احتمالات النجاح المشروط أو الفحص الطبي بمعرفة الفئات المقابلة.
  • المتغير العشوائي دالة مداها مجموعة جزئية من الأعداد الحقيقية R.
  • جدول التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المتقطع يتكون من صفين: قيم المتغير x، واحتمالاتها f(x) = P(X = x).
  • شرطا التوزيع الاحتمالي:
  • (1) جميع الاحتمالات موجبة أو صفرية 0 ≤ f(x) ≤ 1.
  • (2) مجموع جميع الاحتمالات يساوي الواحد الصحيح تماماً Σ f(x) = 1.
  • خطوات حساب التوقع والتباين في جدول من 4 أعمدة:
  • – العمود 1 قيم المتغير x.
  • – العمود 2 الاحتمالات f(x). (مجموعه = 1).
  • – العمود 3 حاصل ضرب x × f(x). (مجموعه = التوقع μ).
  • – العمود 4 حاصل ضرب x2 × f(x).
  • التباين σ2 = (مجموع العمود 4) – μ2.
  • الانحراف المعياري σ = √σ2.
  • التوزيع الطبيعي هو أهم توزيع احتمالي متصل في العلوم الطبيعية والاجتماعية حيث تتبعه أطوال البشر وأوزانهم ودرجات الذكاء IQ والإنتاج الصناعي.
  • خصائص منحنى التوزيع الطبيعي المعياري (الجرس):

2. المساحة الكلية أسفل المنحنى وفوق المحور الأفقي تساوي 1.0 تماماً، ويقسم المحور الرأسي المساحة لنصفين متساويين: المساحة عن اليمين = 0.5 والمساحة عن اليسار = 0.5.

وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
•قواعد قراءة جدول المساحات الطبيعية Zقواعدقراءةجدولالمساحات
– P(0 ≤ Z ≤ a)تستخرج مباشرة من الجدولتستخرجمباشرةالجدول
– P(Z ≥ a) للعدد الموجب aتساوي 0.5 – P(0 ≤ Z ≤ a)تساوي
– P(Z ≤ a) للعدد الموجب aتساوي 0.5 + P(0 ≤ Z ≤ a)تساوي
– P(-a ≤ Z ≤ a)تماثل حول الصفر = 2 × P(0 ≤ Z ≤ a)تماثلالصفر
  • إذا كان المتغير X طبيعياً غير معياري وسطه μ وانحرافه σ، نحوله أولاً إلى معياري بتطبيق Z = (X – μ) / σ ثم نبحث في الجدول.
  • جدول مقارنة بين الأحداث المستقلة والأحداث المتنافية في نظرية الاحتمالات
  • ✏️ أمثلة ومسائل وتطبيقات محلولة بالخطوات النموذجية والبرهان العلمي:
وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
★ مسألة احتمال شرطي وأحداث مستقلة المعطيات والمطلوب
  • إذا كان A و B حدثين في فضاء عينة
  • وكان P(A) = 0.6
  • و P(B) = 0.5
  • و P(A ∪ B) = 0.8
حدثينفضاءعينةوكان
احسب
  • (1) احتمال التقاطع P(A ∩ B)
  • (2) الاحتمال الشرطي P(A|B)
  • (3) هل الحدثان A و B مستقلان؟
احتمالالتقاطعالاحتمالالشرطي
•مع التعليلالتعليل
خطوات الحل والبرهان الفيزيائي[1] أولاً: من قانون الاتحاد: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)أولاقانونالاتحاد
•[2] 0.8 = 0.6 + 0.5 – P(A ∩ B) ==> 0.8 = 1.1 – P(A ∩ B)
[3] إذاًP(A ∩ B) = 1.1 – 0.8 = 0.3
[4] ثانياًحساب الاحتمال الشرطي P(A|B): [5] P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = 0.3 / 0.5 = 0.6حسابالاحتمالالشرطي
[6] ثالثاًاختبار استقلال الحدثين A و B: [7] نحسب حاصل ضرب P(A) × P(B) = 0.6 × 0.5 = 0.30اختباراستقلالالحدثيننحسب
•[8] نلاحظ أن P(A ∩ B) = 0.3 مساوية تماماً لحاصل ضرب P(A) × P(B) = 0.3نلاحظمساويةتمامالحاصل
[9] الاستنتاج
  • بما أن P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
  • فإن الحدثين A و B حدثان مستقلان تماماً
الحدثينحدثانمستقلانتماما
💡 فنية وتريك للحل السريع وتجنب الخطأتذكر شرط الاستقلال: إذا كان التقاطع يساوي حاصل الضرب فالحدثان مستقلان!تذكرالاستقلالالتقاطعيساوي
وجه المقارنةالفكرة الأساسيةمثالكلمات مفتاحية
•★ مسألة التوزيع الطبيعي وحساب نسبة الطلاب المتفوقين المعطيات والمطلوب: تتبع درجات طلاب في امتحان ما توزيعاً طبيعياً متوسطه الحسابي μ = 70 وانحرافه المعياري σ = 10—مسألةالتوزيعالطبيعيوحساب
•
  • احسب النسبة المئوية للطلاب الحاصلين على درجات أكبر من 85
  • إذا علمت من الجدول أن المساحة P(0 ≤ Z ≤ 1.5) = 0.4332
—احسبالنسبةالمئويةللطلاب
خطوات الحل والبرهان الفيزيائي[1] المتغير العشوائي X ي
  • درجات الطلاب: X ~ N(μ = 70
  • σ = 10)
المتغيرالعشوائييمثلدرجات
[2] المطلوبحساب P(X ≥ 85)—حساب
[3] أولاًتحويل القيمة 85 إلى قيمة معيارية Z: [4] Z = (X – μ) / σ = (85 – 70) / 10 = 15 / 10 = 1.5—تحويلالقيمةقيمةمعيارية
[5] إذاًP(X ≥ 85) تكافئ في التوزيع المعياري: P(Z ≥ 1.5)—تكافئالتوزيعالمعياري
[6] ثانياًاستخدام خواص المنحنى الطبيعي المعياري المتماثل: [7] المساحة في النصف الأيمن كاملة = 0.5—استخدامخواصالمنحنىالطبيعي
•[8] P(Z ≥ 1.5) = 0.5 – P(0 ≤ Z ≤ 1.5) = 0.5 – 0.4332 = 0.0668—43320668
[9] ثالثاًالنسبة المئوية للطلاب = الاحتمال × 100% = 0.0668 × 100% = 6.68%—النسبةالمئويةللطلابالاحتمال
💡 فنية وتريك للحل السريع وتجنب الخطأتريك امتحاني دائم: دائماً ارسم رسمة الجرس واظلل المساحة المطلوبة لتتأكد هل تطرح من 0.5 أم تجمع!—امتحانيدائمدائماارسم
وجه المقارنة الحدثان المستقلان (Independent Events) الحدثان المتنافيان (Mutually Exclusive Events)
المعنى المفهومي وقوع أحدهما لا يؤثر على احتمال وقوع الآخر يستحيل وقوعهما معاً في نفس التجربة
احتمال التقاطع P(A ∩ B) P(A ∩ B) = P(A) × P(B) P(A ∩ B) = 0 (لأن A ∩ B = ∅)
احتمال الاتحاد P(A ∪ B) P(A) + P(B) – [P(A) × P(B)] P(A) + P(B) فقط
الاحتمال الشرطي P(A|B) P(A|B) = P(A) (لا يتأثر بـ B) P(A|B) = 0
مثال عملي شهير إلقاء قطعة نقود وحجر نرد معاً ظهور عدد فردي وعدد زوجي في نفس رمية النرد

💡 💡 كبسولة الفنيات وتريكات الامتحانات والأسئلة الوزارية 2026/2027:

  • الاحتمال الشرطي P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) ويشترط P(B) > 0.
  • الحدثان مستقلان إذا كان P(A ∩ B) = P(A) × P(B) أو P(A|B) = P(A).
  • مجموع احتمالات دالة التوزيع الاحتمالي للمتغير المتقطع يساوي دائماً الواحد الصحيح: Σ f(x) = 1.
  • معامل الاختلاف C.V = (σ / μ) × 100% ويستخدم للمقارنة بين تشتت مجموعتين مختلفتين.
  • التوزيع الطبيعي المعياري وسطه الحسابي صفر (μ = 0) وانحرافه المعياري واحد (σ = 1) ومساحته الكلية 1.
الدرس الثالث: الإحصاء والاحتمال الشرطي والمتغيرات العشوائية والتوزيع الطبيعي · 14 / 14