الدرس الثاني: الاشتقاق الضمني والبارامتري والمعدلات الزمنية المرتبطة

مقدمة

إيجاد مشتقة دالة ضمنية ودالة معطاة بالصورة البارامترية.
إيجاد المشتقات ذات الرتب العليا (الثانية والثالثة) للدوال الصريحة والضمنية والبارامترية.
حل مسائل المعدلات الزمنية المرتبطة في الهندسة والفيزياء.

🌳 شجرة المفاهيم

الدرس الثاني←الاشتقاق الضمني والبارامتري والمعدلات الزمنية المرتبطة

├── 1-1 الدالة الصريحة والعلاقة الضمنية

│ ├── الدالة الصريحة

│ └── العلاقة الضمنية

├── 1-1 الاشتقاق الضمني

│ ├── الفكرة

│ └── خطوات الاشتقاق الضمني

├── 1-1 الاشتقاق البارامتري

│ ├── الصورة البارامترية

│ ├── قاعدة المشتقة

│ └── مشتقة دالة بالنسبة لدالة أخرى

├── 1-2 المشتقات العليا للدالة

│ ├── التعريف

│ └── ملاحظات

├── 1-2 المشتقة الثانية للدالة الضمنية والبارامترية

│ ├── المشتقة الثانية الضمنية

│ └── المشتقة الثانية البارامترية

├── 1-4 المعدلات الزمنية المرتبطة←المفهوم

│ ├── فكرة المعدل

│ ├── إشارة المعدل

│ └── خطوات الحل

├── 1-4 تطبيقات هندسيةالحجم والمساحة

├── 1-4 تطبيقاتالسلم والظل

└── 1-4 تطبيقات فيزيائية

└── ما نلاحظه في مسائل المعدلات

الدرس الثاني: الاشتقاق الضمني والبارامتري والمعدلات الزمنية المرتبطة · 1 / 17

الدالة الصريحة والعلاقة الضمنية

الدالة الصريحة تُكتب فيها $y$ بدلالة $x$ مباشرة، مثل $y = 4 x^{3} - 5 x + 2$ و $y = \sin (2 x + 3)$ .
لها مشتقة تُحسب بقواعد الاشتقاق المعروفة، مثل $y = 4 x^{3} - 5 x + 2$ فإن $y^{'} = 12 x^{2} - 5$ .

العلاقة الضمنية معادلة تربط $x$ و $y$ معًا، مثل $x y + y - 4 = 0$ و $x^{2} + y^{2} = 9$ .
تعبر عن العلاقة بين إحداثيي نقطة $(x, y)$ واقعة على المنحنى.
أحيانًا يمكن كتابة العلاقة الضمنية بصورة صريحة، فمن $y (x + 1) = 4$ نجد $y = \frac{4}{x + 1}$ حيث $x \neq - 1$ .
في كثير من الحالات يصعب التعبير عن $y$ بدلالة $x$ مباشرة، لأن $y$ لا يمثل دالة صريحة في $x$ .
المعادلة $x^{2} + y^{2} = 9$ دائرة مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها 3، ولا تمثل دالة واحدة لأن الخط الرأسي يقطعها في نقطتين.
تعرف هذه العلاقة دالتين صريحتين y=9−x2 (نصف الدائرة العلوي) و y=−9−x2 (نصف الدائرة السفلي)، مجال كل منهما [−3,3].

شكل 1: التفسير الهندسي للمشتقة الأولى: ميل المماس ومعادلة الخط العمودي يوضح الشكل التفسير الهندسي للمشتقة الأولى، فهي تمثل ميل المماس لمنحنى الدالة عند النقطة. ومن هذا الميل يمكن كتابة معادلة الخط العمودي على المماس عند النقطة نفسها.

الدالة الصريحة

الدرس الثاني: الاشتقاق الضمني والبارامتري والمعدلات الزمنية المرتبطة · 2 / 17

الاشتقاق الضمني

الفكرة

الاشتقاق الضمني هو اشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة إلى $x$ مع اعتبار $y$ دالة قابلة للاشتقاق في $x$ .
نستخدم قاعدة السلسلة، فتصبح مشتقة $y^{n}$ هي $n y^{n - 1} \frac{d y}{d x}$ .
ويلزم عادة التعويض عن $x$ و $y$ معًا لإيجاد قيمة المشتقة عند نقطة، لأن الناتج يحوي $x$ و $y$ .

مضمار دائري ومماس عند (3 , 4) يمثلان الاشتقاق الضمني والبارامتري: الميل -3/4.

خطوات الاشتقاق الضمني

نشتق طرفي المعادلة بالنسبة إلى $x$ ، ونضرب المشتقة في $\frac{d y}{d x}$ كلما اشتققنا حدًّا فيه $y$ .
نستخدم قاعدتي الضرب والقسمة عند الحاجة، مثل مشتقة $x y$ هي $y + x \frac{d y}{d x}$ .
نجمع الحدود المحتوية على $\frac{d y}{d x}$ في طرف واحد ونأخذها عاملًا مشتركًا.
نقسم للحصول على $\frac{d y}{d x}$ .

✍️ أمثلة محلولة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
مثال 1	أوجد $\frac{d y}{d x}$ إذا كان $x^{3} + y^{2} - 7 x + 5 y = 8$ .	أوجدdydx
•	الحل	الحل
باشتقاق الطرفين بالنسبة إلى x	3x2+2ydydx−7+5dydx=0	2ydydx5dydx

dydx(2y+5)=7−3x2

dydx=7−3x22y+5

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
مثال 2	أوجد $\frac{d y}{d x}$ إذا كان $3 x y + y^{2} = x^{2} - 7$ .	أوجدdydx
•	الحل	الحل
باشتقاق الطرفين	3(y+xdydx)+2ydydx=2x	xdydx2ydydx

y+(3x+2y)dydx=2x

dydx=2x−3y3x+2y

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
مثال 3	أوجد $\frac{d y}{d x}$ إذا كان $\sin 2 y = y \cos 3 x$ .	أوجدdydxycos
•	الحل	الحل
باشتقاق الطرفين	2cos⁡2y dydx=dydxcos⁡3x−3ysin⁡3x	2cosdydxdydxcos3ysin

dydx(2cos⁡2y−cos⁡3x)=−3ysin⁡3x

dydx=3ysin⁡3xcos⁡3x−2cos⁡2y

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
مثال 4	أوجد $\frac{d y}{d x}$ إذا كان $\tan 2 x + \cot y = x y$ .	أوجدdydx
•	الحل	الحل
باشتقاق الطرفين	2sec⁡22x−csc⁡2y dydx=y+xdydx	2secdydxxdydx

dydx(x+csc⁡2y)=2sec⁡22x−y

dydx=2sec⁡22x−yx+csc⁡2y

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
مثال 5	أوجد ميل المماس للدائرة $x^{2} + y^{2} = 25$ عند النقطة $(3, 4)$ .	أوجدالمماسللدائرةالنقطة
•	الحل	الحل
باشتقاق الطرفين	2x+2ydydx=0 ومنها dydx=−xy	2ydydxومنهاdydx
عند (3,4)	الميل =−34	الميل

مماس الدائرة والاشتقاق الضمني←الاشتقاق الضمني

الدرس الثاني: الاشتقاق الضمني والبارامتري والمعدلات الزمنية المرتبطة · 3 / 17

الاشتقاق البارامتري

الصورة البارامترية

إذا أمكن التعبير عن كل من الإحداثي السيني والإحداثي الصادي لنقطة $(x, y)$ بدلالة متغير ثالث $t$ (يسمى الوسيط أو البارامتر) بالمعادلتين $x = f (t)$ و $y = g (t)$ لهما مجال مشترك، فإن المعادلتين معًا تمثلان معادلة منحنى واحد بالصورة البارامترية.

إذا كانت $f$ و $g$ دالتين قابلتين للاشتقاق بالنسبة إلى $t$ فإن:

dydx=dydt×dtdx=dy/dtdx/dt,dxdt≠0

✍️ أمثلة محلولة

أوجد $\frac{d y}{d x}$ للمنحنى $x = 5 t + 3$ و $y = 16 t^{2} + 9$ عند $t = 5$ .
الحل:

dxdt=5 و dydt=32t

dydx=32t5

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
عند t=5	dydx=32×55=32	dydx
مثال 7	أوجد $\frac{d y}{d x}$ للمنحنى $x = 3 \cos 2 θ$ و $y = 4 \sin 3 θ$ عند $θ = \frac{π}{4}$ .	أوجدdydxللمنحنى3cos
•	الحل	الحل

dxdθ=−6sin⁡2θ و dydθ=12cos⁡3θ

dydx=12cos⁡3θ−6sin⁡2θ=−2cos⁡3θsin⁡2θ

عند θ=π4←dydx=−2cos⁡3π4sin⁡π2=−2(−12)1=2

لإيجاد مشتقة دالة $y = f (x)$ بالنسبة إلى دالة أخرى $u = g (x)$ نعتبر $x$ بارامترًا لكل منهما:

dydu=dy/dxdu/dx

✍️ أمثلة محلولة

مثال 8 أوجد مشتقة $4 x^{3} - 9 x^{2} + 5$ بالنسبة إلى $3 x^{2} + 7$ .
الحل:
نضع $y = 4 x^{3} - 9 x^{2} + 5$ و $u = 3 x^{2} + 7$ ، فكل منهما دالة قابلة للاشتقاق في $x$ .

dydu=dy/dxdu/dx=12x2−18x6x=2x−3 حيث x≠0

الدرس الثاني: الاشتقاق الضمني والبارامتري والمعدلات الزمنية المرتبطة · 4 / 17

المشتقات العليا للدالة

التعريف

إذا كانت $y = f (x)$ دالة قابلة للاشتقاق فإن المشتقة الأولى $y^{'} = \frac{d y}{d x} = f^{'} (x)$ دالة جديدة.
المشتقة الثانية هي مشتقة المشتقة الأولى: $y^{''} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = f^{''} (x)$ .
بتكرار الاشتقاق نحصل على المشتقة الثالثة $\frac{d^{3} y}{d x^{3}}$ ، وهكذا.
تسمى المشتقات بدءًا من الثانية المشتقات العليا، وتُكتب مشتقة الرتبة $n$ على الصورة:
$y^{(n)} = \frac{d^{n} y}{d x^{n}} = f^{(n)} (x), n \in Z^{+}$

يقرأ الرمز $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ «دال اثنين $y$ دال $x$ اثنين».
يوجد فرق بين $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ و ${(\frac{d y}{d x})}^{2}$ ، فالأولى المشتقة الثانية والثانية مربع المشتقة الأولى.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 9 أوجد المشتقة الثانية لكل من: (أ) $y = 2 x^{4} + 3 x - 5$ (ب) $y = \frac{1 + x}{1 - x}$ (ج) $y = \sin (3 x - 2)$ (د) $y = \sqrt{3 x - 2}$ .
الحل:

(أ) y′=8x3+3 ومنها y′′=24x2

(ب) $y^{'} = \frac{(1 - x) + (1 + x)}{(1 - x)^{2}} = \frac{2}{(1 - x)^{2}}$ ومنها $y^{''} = \frac{4}{(1 - x)^{3}}$ حيث $x \neq 1$

(ج) y′=3cos⁡(3x−2) ومنها y′′=−9sin⁡(3x−2)

(د) y′=323x−2 ومنها y′′=−94(3x−2)3/2 حيث x>23

أوجد المشتقة الثالثة للدالة $y = x^{4} - 2 x^{2} + 5$ .
الحل:

y′=4x3−4x

y′′=12x2−4

y′′′=24x

الدرس الثاني: الاشتقاق الضمني والبارامتري والمعدلات الزمنية المرتبطة · 5 / 17

المشتقة الثانية للدالة الضمنية والبارامترية

المشتقة الثانية الضمنية

نشتق المعادلة ضمنيًّا مرتين، ونعوض عن $\frac{d y}{d x}$ بقيمتها عند الحاجة.

✍️ أمثلة محلولة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
مثال 11	إذا كان $y^{2} + 2 x y = 8$ فأثبت أن $(x + y) \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 2 \frac{d y}{d x} + {(\frac{d y}{d x})}^{2} = 0$ .	فأثبتd2ydx22dydxdydx
•	الحل	الحل
باشتقاق الطرفين بالنسبة إلى x	2ydydx+2y+2xdydx=0	2ydydx2xdydx
بالقسمة على 2	(x+y)dydx+y=0	dydx
باشتقاق الطرفين مرة أخرى	(x+y)d2ydx2+(1+dydx)dydx+dydx=0	d2ydx2dydx

أي أن (x+y)d2ydx2+2dydx+(dydx)2=0

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
مثال 12	إذا كان $x^{2} + y^{2} = 9$ فأثبت أن $y \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + {(\frac{d y}{d x})}^{2} + 1 = 0$ .	فأثبتyd2ydx2dydx
•	الحل	الحل
باشتقاق الطرفين	2x+2ydydx=0 أي x+ydydx=0	2ydydxydydx
باشتقاق ثانٍ	1+(dydx)2+yd2ydx2=0	dydxyd2ydx2
•	وهو المطلوب إثباته	المطلوبإثباته

إذا كان $x = f (t)$ و $y = g (t)$ فإن:

d2ydx2=ddt(dydx)×dtdx=ddt(dydx)÷dxdt

✍️ أمثلة محلولة

إذا كان $x = 2 t^{3} - 5$ و $y = 6 t^{2} + 1$ فأوجد $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ عند $t = 1$ .
الحل:

dxdt=6t2 و dydt=12t

dydx=12t6t2=2t حيث t≠0

ddt(2t)=−2t2

d2ydx2=−2t2×16t2=−13t4

عند t=1←d2ydx2=−13

الدرس الثاني: الاشتقاق الضمني والبارامتري والمعدلات الزمنية المرتبطة · 6 / 17

المعدلات الزمنية المرتبطة: المفهوم

فكرة المعدل

المعدل هو سرعة تغير كمية بالنسبة للزمن، ويُعبر عنه بالمشتقة بالنسبة للزمن $\frac{d x}{d t}$ .
عندما يتغير متغيران أو أكثر مع الزمن وترتبط بينهما علاقة، فإن معدلات تغيرها مرتبطة.
مثال أسطوانة أو كرة يتغير نصف قطرها r مع الزمن، فتتغير مساحتها A=πr2 تبعًا لذلك.
باشتقاق العلاقة بين المتغيرين بالنسبة للزمن نحصل على معادلة تربط معدلات تغيرهما، وتسمى معادلة المعدلات الزمنية المرتبطة:
$\frac{d A}{d t} = 2 π r \frac{d r}{d t}$

يكون المعدل موجبًا إذا كان المتغير يتزايد مع الزمن (تمدد، ابتعاد، تسرب إلى الداخل).
يكون المعدل سالبًا إذا كان المتغير يتناقص مع الزمن (انكماش، اقتراب، تسرب للخارج).

نحدد المتغيرات التي تتغير مع الزمن ونسمي كلًّا منها برمز.
نرسم شكلًا تخطيطيًّا للمسألة إن أمكن.
نكوّن علاقة بين المتغيرات (فيثاغورس، تشابه المثلثات، قوانين المساحة والحجم، نسب مثلثية…).
نشتق طرفي العلاقة بالنسبة للزمن $t$ .
نعوض بالقيم المعطاة في اللحظة المطلوبة للحصول على المعدل المجهول.
إذا كان معدل تغير متغير $x$ ثابتًا فإن $x = x_{0} + \frac{d x}{d t} \times t$ حيث $x_{0}$ قيمته الابتدائية.
نعوض بالقيم العددية بعد الاشتقاق لا قبله، لأن القيم المتغيرة لا تُعوَّض إلا في لحظة محددة.

الدرس الثاني: الاشتقاق الضمني والبارامتري والمعدلات الزمنية المرتبطة · 7 / 17

تطبيقات هندسية: الحجم والمساحة

✍️ أمثلة محلولة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
مثال 14 (نفخ بالون)	بالون كروي يملأ بالغاز، كان معدل الزيادة في حجمه $8 π {cm}^{3} / s$ عندما كان نصف القطر $4$ سم.	كروييملأبالغازمعدل
أوجد في هذه اللحظة	(أ) معدل زيادة نصف القطر (ب) معدل الزيادة في مساحة السطح	معدلزيادةالقطرالزيادة
•	الحل	الحل

V=43πr3 و A=4πr2

(أ) $\frac{d V}{d t} = 4 π r^{2} \frac{d r}{d t}$ ومنها $8 π = 4 π (4)^{2} \frac{d r}{d t}$ أي $\frac{d r}{d t} = \frac{1}{8}$ سم/ث

(ب) dAdt=8πrdrdt=8π×4×18=4π cm2/s

مثال 15 (مكعب يتمدد) مكعب يتمدد بالحرارة فيزداد طول حرفه بمعدل $0.02$ سم/د. أوجد معدل زيادة حجمه عندما يكون طول حرفه $5$ سم.
الحل:

V=x3 ومنها dVdt=3x2dxdt

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
عند x=5	dVdt=3×25×0.02=1.5 cm3/min	dVdt
مثال 16 (مساحة مثلث)	مثلث قائم الزاوية طولا ضلعيه القائمين $12$ سم و $16$ سم، يزداد طول الضلع الأول بمعدل $2$ سم/ث ويتناقص طول الضلع الثاني بمعدل $1$ سم/ث.	قائمالزاويةطولاضلعيه
أوجد	(أ) معدل تغير مساحة المثلث بعد 2 ثانية (ب) متى يصبح المثلث متساوي الساقين	معدلتغيرمساحةالمثلث
•	الحل	الحل
بعد t ثانية	x=12+2t و y=16−t

A=12xy=12(12+2t)(16−t)=(6+t)(16−t)

dAdt=(16−t)−(6+t)=10−2t

dAdt=10−4=6 cm2/s
(ب) يتساوى الضلعان عندما $12 + 2 t = 16 - t$ أي $t = \frac{4}{3}$ ثانية.

مثال 17 (مساحة مثلث بالزاوية) ضلعان في مثلث يتزايد طول كل منهما بمعدل $0.1$ سم/ث، وتتزايد الزاوية المحصورة بينهما بمعدل $\frac{1}{5}$ راديان/ث.
بأي معدل تتغير مساحة المثلث عندما يكون كل ضلع من أضلاعه $10$ سم؟
الحل:
$A = \frac{1}{2} a b \sin C$ فتكون $\frac{d A}{d t} = \frac{1}{2} [a^{'} b \sin C + a b^{'} \sin C + a b \cos C C^{'}]$
عندما يكون المثلث متساوي الأضلاع C=π3 فتكون sin⁡C=32 و cos⁡C=12
$\frac{d A}{d t} = \frac{1}{2} [0.1 \times 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2 + 100 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{5}] = \frac{1}{2} [\sqrt{3} + 10] = 5 + \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{d A}{d t} \approx 5.866 {cm}^{2} / s$

الدرس الثاني: الاشتقاق الضمني والبارامتري والمعدلات الزمنية المرتبطة · 8 / 17

تطبيقات: السلم والظل

✍️ أمثلة محلولة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
مثال 18 (حركة السلم)	سلم طوله $250$ سم يستند على حائط رأسي، فإذا انزلق طرفه العلوي إلى أسفل الحائط بمعدل $10$ سم/ث عندما يكون طرفه السفلي على بعد $70$ سم من الحائط، أوجد: (أ) معدل انزلاق الطرف السفلي (ب) معدل تغير قياس الزاوية بين السلم والأرض.	طولهيستندحائطرأسي
•	الحل	الحل
نفرض y ارتفاع الطرف العلوي و x بعد الطرف السفلي عن الحائط	x2+y2=(250)2
عند x=70	y=62500−4900=240 سم	625004900
(أ) باشتقاق العلاقة	2xdxdt+2ydydt=0 ومنها dxdt=−yxdydt	2xdxdt2ydydtومنهاdxdt
•	$\frac{d x}{d t} = - \frac{240}{70} \times (- 10) = \frac{240}{7} cm/s$ (يبتعد الطرف السفلي عن الحائط)	dxdt240702407يبتعد
(ب) نفرض θ زاوية ميل السلم على الأرض	sin⁡θ=y250 ومنها cos⁡θdθdt=1250dydt	y250ومنهاθdθdt1250dydt
عند x=70	cos⁡θ=70250 فيكون 70250dθdt=−10250 ومنها dθdt=−17 rad/s	70250فيكون70250dθdt10250
•	أي أن الزاوية تتناقص بمعدل $\frac{1}{7}$ راديان/ث.	الزاويةتتناقصبمعدلراديان
مثال 19 (طول الظل)	رجل طوله $1.8$ م يسير في خط مستقيم مقتربًا من قاعدة عمود إضاءة بمعدل $1.2$ م/ث، وارتفاع المصباح $5.4$ م.	طولهيسيرمستقيممقترب
أوجد	(أ) معدل تغير طول ظل الرجل (ب) معدل تغير بعد رأس الرجل عن المصباح عندما يكون الرجل على بعد 4.8 م من عمود الإضاءة	معدلتغيرالرجلالمصباح
•	الحل	الحل
•	نفرض $x$ بعد الرجل عن عمود الإضاءة و $y$ طول ظله، ومن تشابه المثلثين: $\frac{5.4}{1.8} = \frac{x + y}{y}$	نفرضالرجلعمودالإضاءة

y=x+y أي 2y=x

(أ) $2 \frac{d y}{d t} = \frac{d x}{d t} = - 1.2$ ومنها $\frac{d y}{d t} = - 0.6$ م/ث (يقصر الظل)
f2=x2+(3.6)2

عند x=4.8: f=23.04+12.96=6 م

$2 f \frac{d f}{d t} = 2 x \frac{d x}{d t}$ ومنها $6 \frac{d f}{d t} = 4.8 \times (- 1.2)$ أي $\frac{d f}{d t} = - 0.96$ م/ث

الدرس الثاني: الاشتقاق الضمني والبارامتري والمعدلات الزمنية المرتبطة · 9 / 17

تطبيقات فيزيائية

✍️ أمثلة محلولة

مثال 20 (دائرة كهربية) في دائرة كهربية مغلقة فرق الجهد $V$ (فولت) وشدة التيار $I$ (أمبير) والمقاومة $R$ (أوم)، يزداد فرق الجهد بمعدل $1$ فولت/ث وتتناقص شدة التيار بمعدل $\frac{1}{2}$ أمبير/ث.
أوجد معدل تغير المقاومة في اللحظة التي يكون فيها $V = 12$ فولت و $I = 2$ أمبير.
الحل:

V=I R ومنها dVdt=IdRdt+RdIdt

عند V=12, I=2←R=122=6 Ω

1=2dRdt+6(−12) أي 1=2dRdt−3

dRdt=2 Ω/s (المقاومة تزداد)

كل معدل يُعطى أو يُطلب بالوحدة المناسبة (سم/ث، سم²/ث، سم³/ث، م/ث، راديان/ث).
المتغير الذي يتناقص يعوض عن معدله بإشارة سالبة.
العلاقة التي نشتقها يجب أن تبقى صحيحة في كل لحظة، لا في لحظة واحدة فقط.
.egp-ex{margin:18px 0;border:1px solid rgba(79,63,224,.2);border-radius:16px;overflow:hidden;background:#fff}.egp-ex-h{padding:10px 16px;font-weight:800;background:linear-gradient(90deg,#4f3fe0,#22c1c3);color:#fff}.egp-ex-tabs{display:flex;flex-wrap:wrap;gap:6px;padding:10px 12px;background:#f7f6ff}.egp-ex-b{border:1px solid rgba(79,63,224,.3);background:#fff;border-radius:20px;padding:5px 14px;font-weight:700;cursor:pointer}.egp-ex-b.on{background:#4f3fe0;color:#fff}.egp-ex-p{padding:12px 16px}function egpEx(b,k){var w=b.closest(‘.egp-ex’);w.querySelectorAll(‘.egp-ex-b’).forEach(function(x,i){x.classList.toggle(‘on’,i===k)});w.querySelectorAll(‘.egp-ex-p’).forEach(function(x,i){x.hidden=i!==k})}

الدرس الثاني: الاشتقاق الضمني والبارامتري والمعدلات الزمنية المرتبطة · 10 / 17

الموسوعة التعليمية الشاملة والمصطلحات الدقيقة — الاشتقاق الضمني والبارامتري والمشتقات العليا والمعدلات الزمنية المرتبطة (كتب الوزارة + الامتحان + المعاصر + الوسام)

الموسوعة التعليمية الشاملة والمصطلحات الدقيقة — الاشتقاق الضمني والبارامتري والمشتقات العليا والمعدلات الزمنية المرتبطة (كتب الوزارة + الامتحان + المعاصر + الوسام)

📖

الدرس الثاني: الاشتقاق الضمني والبارامتري والمعدلات الزمنية المرتبطة · 11 / 17

📌 قاموس المفاهيم والمصطلحات العلمية الدقيقة:

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	مثال	كلمات مفتاحية
الدالة الصريحة والضمنية (Explicit vs Implicit)		y = f(x). الدالة الضمنية تكون فيها المتغيرات x و y متداخلة في طرف واحد ومعادلة عامة F(x y) = 0 يصعب أو يتعذر فصلهما	يكونفيهاالمتغيرالتابع
الاشتقاق البارامتري (Parametric Differentiation)	اشتقاق دالتين يرتبط فيهما كل من x و y بمتغير وسيط ثالث يسمى البارامتر t أو θ: x = f(t) و y = g(t). المشتقة الأولى: dy / dx = (dy/dt) / (dx/dt)	—	دالتينيرتبطفيهمابمتغير
المشتقات العليا (Higher Derivatives)	اشتقاق الدالة أكثر من مرة متتالية؛ المشتقة الثانية d²y / dx²، والمشتقة النونية dⁿy / dxⁿ. المشتقة الثانية في البارامتري تتطلب الضرب في مقلوب مشتقة البارامتر: d²y / dx² = d / dt(dy / dx) · dt / dx.	—	اشتقاقالدالةأكثرمتتالية

المعدلات الزمنية المرتبطة (Related Time Rates)←مسائل تطبيقية فيزيائية وهندسية تدرس معدل تغير كميات هندسية (أطوال، مساحات، حجوم، زوايا) بالنسبة للزمن t بالاعتماد على قاعدة السلسلة وتفاضل العلاقات الهندسية بالنسبة للزمن.

الدرس الثاني: الاشتقاق الضمني والبارامتري والمعدلات الزمنية المرتبطة · 12 / 17

⚖️ القوانين والعلاقات الرياضية والفيزيائية الحاكمة:

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
مشتقة الدالة البارامترية الأولى	dy / dx = (dy/dt) / (dx/dt)
مشتقة الدالة البارامترية الثانية (هام جداً)	d2y / dx2 = d / dt(dy / dx) · 1 / (dx/dt)
مشتقات الدوال المثلثية الأساسية	(sin x)’ = cos x \| (cos x)’ = -sin x \| (tan x)’ = sec 2 x
مشتقات مقلوبات الدوال المثلثية	(sec x)’ = sec x tan x \| (csc x)’ = -csc x cot x \| (cot x)’ = -csc 2 x
•	قوانين الحجوم والمساحات الشائعة في المعدلات الزمنية	قوانينالحجوموالمساحاتالشائعة
• مساحة الدائرة	A = π r2 ⇒ dA / dt = 2π r dr / dt
• حجم الكرة	V = 4 / 3π r3 ⇒ dV / dt = 4π r2 dr / dt

• مساحة سطح الكرةS = 4π r2 ⇒ dS / dt = 8π r dr / dt

• سلم يستند على حائط رأسي وأرض أفقية (x2 + y2 = L2)2x dx / dt + 2y dy / dt = 0

الدرس الثاني: الاشتقاق الضمني والبارامتري والمعدلات الزمنية المرتبطة · 13 / 17

🔍 الشرح المستفيض والتعليلات العلمية المعتمدة (“علل”):

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
علل	لا تساوي المشتقة الثانية البارامترية (d2y/dt2) / (d2x/dt2)؟ لأن المشتقة الثانية تعني التفاضل بالنسبة للمتغير x وليس بالنسبة للمتغير t وبحسب قاعدة السلسلة يلزم ضرب المشتقة بالنسبة لـ t في المعامل التفاضلي dt / dx	تساويالمشتقةالثانيةالبارامترية
علل	معدل انزلاق قمة سلم لأسفل الحائط يكون سالباً دائماً (dy / dt lt 0)? لأن الارتفاع الرأسي y يتناقص باستمرار مع مرور الزمن وأي كمية متناقصة يكون معدلها الزمني سالباً حتماً	معدلانزلاقلأسفلالحائط

الدرس الثاني: الاشتقاق الضمني والبارامتري والمعدلات الزمنية المرتبطة · 14 / 17

📊 خطوات حل مسائل المعدلات الزمنية المرتبطة النموذجية:

المرحلة والخطوة	الإجراء الرياضي المتبع	ملاحظات وتطبيقات الامتحان
1. الرسم والترميز	رسم شكل تخطيطي للمسألة وتحديد المتغيرات (x, y, r) والثوابت (L)	الثابت يعوض بقيمته فوراً أما المتغير فلا يعوض به إلا بعد الاشتقاق
2. صياغة العلاقة الهندسية	إيجاد علاقة تربط المتغيرات (فيثاغورس تشابه مثلثات قانون حجم)	تقليص عدد المتغيرات لمتغيرين أساسيين إن أمكن
3. التفاضل الضمني للزمن	اشتقاق طرفي العلاقة بالنسبة للزمن t مع وضع dx / dt, dy / dt	مشتقة الثابت العددي تساوي صفراً دائماً
4. التعويض باللحظة المعطاة	التعويض بالقيم اللحظية المعطاة عند اللحظة المطلوبة فقط	التمييز بين الكميات المتزايدة (+) والمتناقصة (-)

الدرس الثاني: الاشتقاق الضمني والبارامتري والمعدلات الزمنية المرتبطة · 15 / 17

💡 كبسولة الفنيات وتريكات الامتحانات والأسئلة الوزارية 2026/2027:

انتبه في الامتحانلا تعوض بقيمة المتغير اللحظي قبل الاشتقاق نهائياً؛ فإذا عوضت به قبل الاشتقاق ستكون مشتقته صفراً وتفشل المسألة.

زاوية ميل المماسtan θ = dy / dx | ميل العمودي = -1 / (dy/dx).

الدرس الثاني: الاشتقاق الضمني والبارامتري والمعدلات الزمنية المرتبطة · 16 / 17

🔬 رسوم ومخططات بيانية علمية معتمدة

نستعرض في هذا القسم مخططات بيانية ونماذج تركيبية متقدمة لتعزيز الفهم العميق وتثبيت المفاهيم العلمية الأساسية.

تعرض الصورة نقاط الانفصال للدالة بيانيًا، وتربطها بمفهوم الاتصال ونهايات الدوال.
فإذا اختلفت النهاية من اليمين عن النهاية من اليسار عند نقطة، لم تكن للدالة نهاية عندها، وكانت النقطة نقطة انفصال.

الدرس الثاني: الاشتقاق الضمني والبارامتري والمعدلات الزمنية المرتبطة · 17 / 17

المناهج الدراسية

الرياضيات

الفصل الأول - التفاضل والتكامل (Calculus)

الفصل الثاني - الجبر والهندسة الفراغية (Algebra & Solid Geometry)

الفصل الثالث - الاستاتيكا (Statics)

الفصل الرابع - الديناميكا (Dynamics)

الفصل الخامس - الجبر الأساسي وحساب المثلثات والإحصاء والاحتمال

دروس إضافية

الدرس الثاني: الاشتقاق الضمني والبارامتري والمعدلات الزمنية المرتبطة

🌳 شجرة المفاهيم

├── 1-1 الدالة الصريحة والعلاقة الضمنية

│ ├── الدالة الصريحة

│ └── العلاقة الضمنية

├── 1-1 الاشتقاق الضمني

│ ├── الفكرة

│ └── خطوات الاشتقاق الضمني

├── 1-1 الاشتقاق البارامتري

│ ├── الصورة البارامترية

│ ├── قاعدة المشتقة

│ └── مشتقة دالة بالنسبة لدالة أخرى

├── 1-2 المشتقات العليا للدالة

│ ├── التعريف

│ └── ملاحظات

│ ├── المشتقة الثانية الضمنية

│ └── المشتقة الثانية البارامترية

│ ├── فكرة المعدل

│ ├── إشارة المعدل

└── 1-4 تطبيقات فيزيائية

└── ما نلاحظه في مسائل المعدلات

الدالة الصريحة

الفكرة

خطوات الاشتقاق الضمني

✍️ أمثلة محلولة

dydx(2y+5)=7−3x2

dydx=7−3x22y+5

y+(3x+2y)dydx=2x

dydx=2x−3y3x+2y

dydx(2cos⁡2y−cos⁡3x)=−3ysin⁡3x

dydx=3ysin⁡3xcos⁡3x−2cos⁡2y

dydx(x+csc⁡2y)=2sec⁡22x−y

dydx=2sec⁡22x−yx+csc⁡2y

الصورة البارامترية

dydx=dydt×dtdx=dy/dtdx/dt,dxdt≠0

✍️ أمثلة محلولة

dxdt=5 و dydt=32t

dydx=32t5

dxdθ=−6sin⁡2θ و dydθ=12cos⁡3θ

dydx=12cos⁡3θ−6sin⁡2θ=−2cos⁡3θsin⁡2θ

dydu=dy/dxdu/dx

✍️ أمثلة محلولة

dydu=dy/dxdu/dx=12x2−18x6x=2x−3 حيث x≠0

التعريف

✍️ أمثلة محلولة

(أ) y′=8x3+3 ومنها y′′=24x2

(ج) y′=3cos⁡(3x−2) ومنها y′′=−9sin⁡(3x−2)

(د) y′=323x−2 ومنها y′′=−94(3x−2)3/2 حيث x>23

y′=4x3−4x

y′′=12x2−4

y′′′=24x

المشتقة الثانية الضمنية

✍️ أمثلة محلولة

أي أن (x+y)d2ydx2+2dydx+(dydx)2=0

d2ydx2=ddt(dydx)×dtdx=ddt(dydx)÷dxdt

✍️ أمثلة محلولة

dxdt=6t2 و dydt=12t

dydx=12t6t2=2t حيث t≠0

ddt(2t)=−2t2

d2ydx2=−2t2×16t2=−13t4

فكرة المعدل

✍️ أمثلة محلولة

V=43πr3 و A=4πr2

(ب) dAdt=8πrdrdt=8π×4×18=4π cm2/s

V=x3 ومنها dVdt=3x2dxdt

A=12xy=12(12+2t)(16−t)=(6+t)(16−t)

dAdt=(16−t)−(6+t)=10−2t

✍️ أمثلة محلولة

y=x+y أي 2y=x

عند x=4.8: f=23.04+12.96=6 م

✍️ أمثلة محلولة

V=I R ومنها dVdt=IdRdt+RdIdt