الدرس الخامس: التكامل المحدد وحساب المساحات وحجوم الأجسام الدورانية

مقدمة

الدرس الخامس: التكامل المحدد وحساب المساحات وحجوم الأجسام الدورانية · 1 / 17

المصطلحات العلمية

🧊 مجسم ثلاثي الأبعاد لحجم الجسم الدوراني الناتج عن دوران منحنى حول محور السينات

D Scientific Render

يوضح المجسم الجسم الدوراني الناتج عن دوران المنحنى y = √x حول محور السينات في الفترة من 0 إلى 4، ويُحسب حجمه بقانون الحجوم الدورانية V = π∫y² dx.
وبذلك يساوي الحجم 8π وحدة مكعبة، ويتضح أن التكامل المحدد يجمع مساحات المقاطع الدائرية الرقيقة للحصول على الحجم الكلي.
تمثيل هندسي فراغي ثلاثي الأبعاد لدوران المنحنى y = √x حول محور السينات في الفترة [0, 4] وفق قانون الحجم الدوراني V = π ∫ y² dx.

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	مثال	كلمات مفتاحية
التكامل كعملية عكسية للتفاضل (Antiderivative)		مقداراً ثابتاً يعبر عن عدد لا نهائي من المنحنيات المتوازية	إيجادالدالةالأصليةمشتقتها
التكامل بالتعويض (Integration by Substitution)	طريقة تكامل تعتمد على تبسيط الدالة المعقدة بفرض متغير جديد ع = ر(س) وتغيير متغير التكامل من دس إلى دع؛ وتستخدم خاصة عندما يحتوي التكامل على دالة مضروبة في مشتقتها: ∫ [f(x)]ⁿ · f'(x) dx = ([f(x)]ⁿ⁺¹) / (n+1) + C .	—	طريقةتعتمدتبسيطالدالة
التكامل بالتجزيء (Integration by Parts)		جبرية في مثلثية أو جبرية في أسية أو دوال لوغاريتمية) وصيغتها الشهيرة: ∫ u dv = u · v – ∫ v du	طريقةمستنتجةقاعدةتفاضل
التكامل المحدد (Definite Integral)		بيانياً المساحة الصافية المحصورة بين منحنى الدالة ومحور السينات وتتعين قيمته بالنظرية الأساسية للتفاضل والتكامل: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) – F(a) ولا يحتوي على ثابت تكامل	يحسبفترةمحددةويمثل
تطبيقات حساب المساحات المستوية (Plane Areas)	حساب مساحة المنطقة المستوية المحصورة بين منحنى دالة ص = د(س) ومحور السينات: م = ∫ₐᵇ \|ص\| دس أو المساحة المحصورة بين منحنيي دالتين ص₁ و ص₂: م = ∫ₐᵇ \|ص₁ – ص₂\| دس	—	مساحةالمنطقةالمحصورةمنحنى
حجوم الأجسام الدورانية (Solids of Revolution)	الحجم الهندسي المجسم الناشئ عن دوران منطقة مستوية محصورة دورة كاملة (360°): 1) حول محور السينات: الحجم ح = π ∫ₐᵇ (ص)² دس. 2) حول محور الصادات: الحجم ح = π ∫_cᵈ (س)² دص	—	الحجمالهندسيالمجسمالناشئ

الدرس الخامس: التكامل المحدد وحساب المساحات وحجوم الأجسام الدورانية · 2 / 17

القوانين والعلاقات

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
قانون التكامل بالتجزيء وترتيب اختيار الدوال (LIATE)	[ الصيغة: ∫ u dv = u · v – ∫ v du (أولوية فرض u: لوغاريتمية -> عكسية -> جبرية -> مثلثية -> أسية) ] تفرض u الدالة التي تبسط بالاشتقاق (كاللوغاريتمية أو الجبرية) وتفرض dv الدالة التي يسهل مكاملتها دون تعقيد	الصيغةأولويةلوغاريتميةعكسية
قوانين حجوم الأجسام الدورانية الناشئة عن الدوران الكامل	[ الصيغة: دوران حول محور السينات: ح = π ∫ₐᵇ (ص₁² – ص₂²) dx \| دوران حول الصادات: ح = π ∫_cᵈ (س₁² – س₂²) dy ] يضرب التكامل دائماً في الثابت الهندسي π لأنه يمثل تجميعاً لمساحات عدد لا نهائي من الأقراص الدائرية الميكروسكوبية (dV = π r² dx) .	الصيغةمحورالسيناتالصادات

وجه المقارنة

الفكرة الأساسية

كلمات مفتاحية

قانون التكامل بالتجزيء وترتيب اختيار الدوال (LIATE)

[ الصيغة: ∫ u dv = u · v – ∫ v du (أولوية فرض u: لوغاريتمية -> عكسية -> جبرية -> مثلثية -> أسية) ] تفرض u الدالة التي تبسط بالاشتقاق (كاللوغاريتمية أو الجبرية)
وتفرض dv الدالة التي يسهل مكاملتها دون تعقيد

الصيغةأولويةلوغاريتميةعكسية

قوانين حجوم الأجسام الدورانية الناشئة عن الدوران الكامل

[ الصيغة: دوران حول محور السينات: ح = π ∫ₐᵇ (ص₁² – ص₂²) dx | دوران حول الصادات: ح = π ∫_cᵈ (س₁² – س₂²) dy ] يضرب التكامل دائماً في الثابت الهندسي π لأنه يمثل تجميعاً لمساحات عدد لا نهائي من الأقراص الدائرية الميكروسكوبية

(dV = π r² dx)

.

الصيغةمحورالسيناتالصادات

الدرس الخامس: التكامل المحدد وحساب المساحات وحجوم الأجسام الدورانية · 3 / 17

أولاً: تكاملات الدوال الأساسية والمتسامية وقوانين التكامل المباشر

تُمثل قواعد التكامل المباشر الأساس المتين للعمليات الحسابية1) تكامل القوى: ∫ س^ن دس = [س^ن+1 / (ن+1)] + ث (بشرط ن ≠ -1).

وإذا كانت ن = -1، فإن تكامل 1/س هو اللوغاريتم الطبيعي∫ (1/س) دس = لو|س| + ث؛

وتعميماً لذلكإذا كان البسط مشتقة المقام فإن التكامل يساوي اللوغاريتم الطبيعي للمقام: ∫ [د'(س) / د(س)] دس = لو|د(س)| + ث.

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	مثال	كلمات مفتاحية
تكامل الدوال المثلثية	∫ جا(س) دس = -جتا(س) + ث ∫ جتا(س) دس = جا(س) + ث ∫ قا²(س) دس = ظا(س) + ث ∫ قتا²(س) دس = -ظتا(س) + ث ∫ قا(س) ظا(س) دس = قا(س) + ث ∫ قتا(س) ظتا(س) دس = -قتا(س) + ث. وعند تكامل دالة دائرية زاويتها خطية (أ س + ب) نقسم دائماً على معامل س (1/أ). وإذا وردت تكاملات	جا²(س) أو جتا²(س) تحول بمتطابقات ضعف الزاوية: جا²(س) = 1 / 2 [1 – جتا(2س)] وجتا²(س) = 1 / 2 [1 + جتا(2س)]	قتا²وعنددالةدائرية
تكامل الدوال الأسية	الدالة الأسية الطبيعية: ∫ هـ^{أ س} دس = (1/أ) هـ^{أ س} + ث وتكامل هـ^د(س) مضروبة في مشتقتها د'(س): ∫ د'(س) هـ^د(س) دس = هـ^د(س) + ث. وتكامل الدالة الأسية لأي أساس: ∫ أ^س دس = [أ^س / لو(أ)] + ث	—	الدالةالطبيعيةوتكاملمضروبة

الدرس الخامس: التكامل المحدد وحساب المساحات وحجوم الأجسام الدورانية · 4 / 17

ثانياً: استراتيجيات التكامل بالتعويض والتكامل بالتجزيء

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
التكامل بالتعويض (Substitution)	طريقة العزل والاستبدال وتستخدم عندما نلحظ وجود دالة ومشتقتها معاً داخل التكامل. نفرض ع = الدالة المعقدة ونجد دع = د'(س) دس فنستبدل جميع حدود س ودس بحدود المتغير ع فيتحول التكامل إلى صورة قياسية بسيطة جداً وبعد المكاملة نعيد التعويض عن ع بقيمتها الأصلية بدلالة س. وتستخدم بكثرة مع الجذور: كفرض ما تحت الجذر بـ ع² لإنهاء الجذر نهائياً	طريقةالعزلوالاستبدالوتستخدم
التكامل بالتجزيء (Integration by Parts)	أسلوب تفكيك حاصل الضرب المستعصي ونلجأ إليه عندما يكون لدينا حاصل ضرب دالتين من نوعين مختلفين (كـ س هـ^س أو س جا س أو لو س بمفردها كحاصل ضرب 1 × لو س). ونتبع قاعدة الأولويات (LIATE) لاختيار u: الدوال اللوغاريتمية ثم العكسية ثم الجبرية ثم المثلثية ثم الأسية. نوجد du باشتقاق u ونوجد v بمكاملة dv ونطبق القانون: ∫ u dv = u v – ∫ v du. وفي بعض الحالات (كـ تكامل هـ^س جا س) نطبق التجزيء مرتين متتاليتين فنحصل على نفس التكامل الأصلي فننقله للطرف الآخر كمعادلة جبرية ونقسم على 2	أسلوبتفكيكحاصلالضرب

الدرس الخامس: التكامل المحدد وحساب المساحات وحجوم الأجسام الدورانية · 5 / 17

ثالثاً: خواص التكامل المحدد وحساب المساحات المستوية بدقة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
خواص التكامل المحدد	أ- عكس حدود التكامل يعكس الإشارة: ∫ₐᵇ د(س) دس = – ∫_bᵃ د(س) دس. ب- انعدام التكامل إذا تساوى الحدان: ∫ₐᵃ د(س) دس = 0. ج- خاصية الإضافة: ∫ₐᵇ د(س) دس = ∫ₐᶜ د(س) دس + ∫_cᵇ د(س) دس. د- خواص التماثل: إذا كانت د(س) دالة زوجية متماثلة حول الصادات: ∫₋ₐᵃ د(س) دس = 2 ∫₀ᵃ د(س) دس وإذا كانت د(س) دالة فردية متماثلة حول نقطة الأصل: ∫₋ₐᵃ د(س) دس = 0 فورياً	حدوديعكسالإشارةانعدام
حساب المساحات المستوية	لحساب المساحة المحصورة بين منحنى ص = د(س) ومحور السينات في الفترة [أ ب]: نحدد أولاً نقط تقاطع المنحنى مع محور السينات (بحل ص = 0) فإذا كانت هناك نقط تقاطع تقع داخل الفترة [أ ب] نقسم فترة التكامل لأن المساحة الواقعة أسفل محور السينات يكون تكاملها سالباً ويجب أخذ القيمة المطلقة لكل جزء لضمان أن تكون المساحة موجبة دائماً: م = \|∫ₐᶜ د(س) دس\| + \|∫_cᵇ د(س) دس\|	لحسابالمساحةالمحصورةمنحنى

خزان زجاجي مملوء بالرمل أسفل المنحنى ص = س² يمثل التكامل المحدد وحساب المساحات: المساحة 8/3.

ولحساب المساحة المحصورة بين منحنيين ص₁ و ص₂نوجد أولاً نقط تقاطعهما بحل المعادلة ص₁ = ص₂ لتحديد حدود التكامل [أ، ب]؛

وتكون المساحةم = ∫ₐᵇ (ص_الأعلى – ص_الأسفل) دس.

شكل 2: حساب المساحة المحددة تحت المنحنى باستخدام التكامل المحدد

التكامل المحدد (Definite Integral) تكامل يحسب على فترة محددة [أ، ب]؛ ويمثل بيانياً المساحة الصافية المحصورة بين منحنى الدالة ومحور السينات؛ وتتعين قيمته بالنظرية الأساسية للتفاضل والتكامل: ∫ₐᵇ
توضح الصورة المساحة المحصورة بين المنحنى ومحور السينات في فترة محددة، ويُحسب مقدارها بإيجاد التكامل المحدد للدالة على هذه الفترة.

الدرس الخامس: التكامل المحدد وحساب المساحات وحجوم الأجسام الدورانية · 6 / 17

رابعاً: حساب حجوم الأجسام الدورانية حول محوري السينات والصادات

يُمثل حساب الحجم الدوراني التطبيق الفراغي المجسم الأبرز للتكامل المحدد: 1) الدوران حول محور السينات (Rotation about X-axis): عند دوران المنطقة المحصورة بين المنحنى ص = د(س) ومحور السينات والمستقيمين س = أ وس = ب دورة كاملة حول محور السينات، يتولد جسم دوراني مصمت يتكون عند كل مقطع من قرص دائري مساحته π نق² = π ص²؛
ويصبح الحجم الكلي هو تجميع هذه الأقراص بالتكامل ح = π ∫ₐᵇ [ص]² دس = π ∫ₐᵇ [د(س)]² دس.

شكل 1: مجسم ثلاثي الأبعاد لحجم الجسم الدوراني الناتج عن دوران منحنى حول محور السينات

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
الدوران حول محور الصادات (Rotation about Y-axis)	عند دوران المنطقة المحصورة بين المنحنى س = ر(ص) ومحور الصادات والمستقيمين ص = جـ وص = د دورة كاملة حول محور الصادات يكون نصف قطر القرص هو الإحداثي السيني س ويصبح الحجم: ح = π ∫_cᵈ [س]² دص = π ∫_cᵈ [ر(ص)]² دص	المنطقةالمحصورةالمنحنىومحور
الحجم المحصور بين منحنيين دورانيين	عند دوران المنطقة المحصورة بين منحنيين ص₁ و ص₂ (حيث ص₁ ≥ ص₂): أ- حول محور السينات: ح = π ∫ₐᵇ (ص₁² – ص₂²) دس (مع الانتباه لتربيع كل دالة بمفردها وليس تربيع الفرق). ب- حول محور الصادات: ح = π ∫_cᵈ (س₁² – س₂²) دص	المنطقةالمحصورةمحورالسينات

الدرس الخامس: التكامل المحدد وحساب المساحات وحجوم الأجسام الدورانية · 7 / 17

أمثلة محلولة

✍️ أمثلة محلولة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
مثال نموذجي 1	مسألة تكامل بالتجزيء لحاصل ضرب دالة جبرية في دالة أسية	مسألةتكاملبالتجزيءلحاصل
نص المسألة / السؤال	احسب قيمة التكامل غير المحدد: ت = ∫ (2س + 1) هـ^3س دس	احسبقيمةالتكاملالمحدد
خطوات الحل والشرح النموذجي	1) اختيار الدوال للتجزيء وفق قاعدة LIATE:نفرض الدالة الجبرية: u = 2س + 1 –> نشتق لإيجاد du: du = 2 دس.نفرض الدالة الأسية: dv = هـ^3س دس -> نكامل لإيجاد v: v = (1 / 3) هـ^3س.2) تطبيق قانون التكامل بالتجزيء: ∫	اختيارالدوالللتجزيءقاعدة

u dv = u · v –

∫ v du←ت = (2س + 1) × [(1 / 3) هـ^3س] – ∫ [(1 / 3) هـ^3س] × (2 دس)ت = (1 / 3) (2س + 1) هـ^3س – (2 / 3) ∫ هـ^3س دس3) إجراء التكامل المتبقي البسيط:∫ هـ^3س دس = (1 / 3) هـ^3سإذن: ت = (1 / 3) (2س + 1) هـ^3س – (2 / 3) × [(1 / 3) هـ^3س] + ثت = (1 / 3) (2س + 1) هـ^3س – (2 / 9) هـ^3س + ثبأخذ (1 / 9) هـ^3س عامل مشترك للتبسيط:ت = (1 / 9) هـ^3س [3(2س + 1) – 2] + ث = (1 / 9) هـ^3س [6س + 3 – 2] + ث = (1 / 9) هـ^3س (6س + 1) + ث.

✍️ أمثلة محلولة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
مثال نموذجي 2	حساب مساحة وحجم جسم دوراني لمنحنى دالة تربيعية ومستقيم	حسابمساحةوحجمدوراني
نص المسألة / السؤال	أوجد مساحة المنطقة المستوية المحصورة بين المنحنى ص = س² والمستقيم ص = 2س ثم احسب حجم الجسم الدوراني الناشئ عن دوران هذه المنطقة دورة كاملة حول محور السينات	أوجدمساحةالمنطقةالمستوية
خطوات الحل والشرح النموذجي	1) إيجاد حدود التكامل بإيجاد نقط التقاطع:ص₁ = ص₂ –> س² = 2س -> س² – 2س = 0 –> س(س – 2) = 0إذن حدود التكامل هي من س = 0 إلى س = 2.في هذه الفترة المستقيم أعلى من المنحنى (مثلاً عند س = 1: ص_المستقيم = 2 ص_المنحنى = 1).2) حساب المساحة المستوية م:م = ∫₀² (2س – س²) دس = [س2 – (1 / 3) س³]₀²م = [	إيجادحدودالتكاملبإيجاد

(2)2 – (1 / 3)(2)3] – [0] = [4 – 8 / 3] = 4 / 3

وحدة مساحة مربعة (حوالي 1.33 وحدة مربعة).3) حساب حجم الجسم الدوراني حول محور السينات ح:ح = π ∫₀² (ص₁² – ص₂²) دس = π ∫₀² [(2س)² – (س²)²] دس = π ∫₀² (4س² – س⁴) دسح = π [ (4 / 3) س³ – (1 / 5) س⁵ ]₀²بالتعويض بالحد العلوي س = 2:ح =
π [ (4 / 3)(8) – (1 / 5)(32) ] = π [ 32 / 3 – 32 / 5 ]
بتوحيد المقامات على 15 ح =

π [ (160 – 96) / 15 ] = (64 / 15) π

وحدة حجم مكعبة (حوالي 4.267 π وحدة مكعبة).

الدرس الخامس: التكامل المحدد وحساب المساحات وحجوم الأجسام الدورانية · 8 / 17

تكات وملاحظات امتحانية

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	مثال	كلمات مفتاحية
فخ تربيع الفرق في حجوم الأجسام الدورانية	احذر تماماً من كتابة الحجم كـ π ∫ (ص₁ – ص₂)² dx الصواب الرياضي الحتمي هو تربيع كل دالة على حدة ثم الطرح: ح = π ∫ (ص₁² – ص₂²) dx	—	احذرتماماكتابةالحجم
التكامل المحدد للدوال الفردية المتماثلة		جا س ظا س) فإن قيمة التكامل تساوي صفراً مباشرة دون إجراء أي حسابات مطولة	كانتحدودمتناظرةوكانت
تكامل الدالة اللوغاريتمية الطبيعية	لا يوجد قانون مباشر لتكامل لو(س) بل تكامل بالتجزيء دائماً بفرض u = لو(س) و dv = 1 دس فيكون ناتجها: س لو(س) – س + ث	—	يوجدقانونمباشرلتكامل

الدرس الخامس: التكامل المحدد وحساب المساحات وحجوم الأجسام الدورانية · 9 / 17

تطبيقات حياتية

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
حساب سعة الخزانات والسدود المائية غير المنتظمة	استخدام التكامل المحدد ونماذج الأجسام الدورانية لحساب الحجم المائي الدقيق للبحيرات والخزانات وسدود توليد الكهرباء بناءً على مقاطع المسح الطبوغرافي	استخدامالتكاملالمحددونماذج
حساب الشغل الفيزيائي لقوى متغيرة	حساب الشغل المبذول بواسطة قوى الجاذبية لإطلاق الأقمار الصناعية لمداراتها (W = ∫ F dr) وحساب الشغل اللازم لضغط الغازات في محركات الاحتراق الداخلي بالتكامل (W = ∫ P dV)	المبذولبواسطةالجاذبيةلإطلاق
•	egp-ex{margin:18px 0 border:1px solid rgba(79 224 border-radius:16px overflow:hidden background:#fff}.egp-ex-h{padding:10px 16px font-weight:800 background:linear-gradient(90deg #4f3fe0 #22c1c3) color:#fff}.egp-ex-tabs{display:flex flex-wrap:wrap gap:6px padding:10px 12px background:#f7f6ff}.egp-ex-b{border:1px solid rgba(79 224 background:#fff border-radius:20px padding:5px 14px font-weight:700 cursor:pointer}.egp-ex-b.on{background:#4f3fe0 color:#fff}.egp-ex-p{padding:12px 16px}function egpEx(b k){var w=b.closest(‘.egp-ex’) w.querySelectorAll(‘.egp-ex-b’).forEach(function(x i){x.classList.toggle(‘on’ i===k)}) w.querySelectorAll(‘.egp-ex-p’).forEach(function(x i){x.hidden=i!==k})}	margin18pxbordersolid

الدرس الخامس: التكامل المحدد وحساب المساحات وحجوم الأجسام الدورانية · 10 / 17

الجداول والمخططات التوضيحية المستخرجة من أصول المنهج

💡 بيانات وجداول قياسية←تم استخراج كافة البيانات والجداول والمخططات التشريحية من أصول المنهج المعتمد بدقة عالية لتثبيت الفهم وربط النظري بالعملي.

🔬 شكل 1 – القواعد الأساسية للتكامل وطرق التعويض والتجزيء

التفاصيل العلمية والملاحظات الدقيقة المأخوذة من الرسم التوضيحي:
07 إذا كان ؟ “س وسطين حسابيين بيس » ص

05 أسرك اسصدة

لك –
الأسئلة الهامة.

1 (مطاى – ايلنيا 6؟)

500 (ب) > لج” (داء

0 4 14 9 سا + 3

(3) إذا كان←ب وسطًا حسابيًا بين؟ » لح فإن ؛ 171207 + شلح د .,

(تلا – المنوفية 5)

50 (ب)ء (ج) 4 )1

🔬 شكل 2 – حساب المساحات المستوية المحصورة ونقط التقاطع والتكامل المحدد

التفاصيل العلمية والملاحظات الدقيقة المأخوذة من الرسم التوضيحي:
8 إذا كان 27 لي 1.2 ام 0 ابي دوم
| سن دص – لمسسم مااي 0000000000 (شبرا الخيمة -القليوبية 6)
‎١)‏ (ب) ” لج) ه ( ‎١‏
[37] إذا كان ؛ “ل + تم -51 فإ بفمد ست (البلينا – سوهاج 06)
(1) حذةأوم (ب)ام (لج) كأوحم )1
> اخج لم رلا –
© إذا كان ا ل ا كن
+ قم ا د سيت (حدائق القبةٌ – القاهرة 0)
فق (ب) 06 لج 0ى 0 كل

🔬 شكل 3 – حجوم الأجسام الدورانية والأقراص الدائرية حول السينات والصادات

التفاصيل العلمية والملاحظات الدقيقة المأخوذة من الرسم التوضيحي:
سس” لسن” + )”و سن – 0110 (الحامول – كفر الشيخ 070
)ب( ّ (سس؟ + 0″
(1) ل سن” ل سن + سن
الو
.
سن” (2+ سج وس – ل (بلقاس – الدقهلية 0؟)
1ل ( سن +76 (ب) ع (؟ سن +76
(ج)(7 سن + م) (د) سن + )
[ سسن” وى سن – ؟ سس؟ +اث فإن : ؟ – مسسد……….0 00 (القوصية – أسيوط 70)

الدرس الخامس: التكامل المحدد وحساب المساحات وحجوم الأجسام الدورانية · 11 / 17

الشرح الموسوعي المعتمد والمصطلحات الكاملة (كتب الوزارة + الامتحان + المعاصر + الوسام)

📖

الدرس الخامس: التكامل المحدد وحساب المساحات وحجوم الأجسام الدورانية · 12 / 17

📌 قاموس المصطلحات والمفاهيم العلمية الدقيقة:

التكامل كعملية عكسية للتفاضل (Antiderivative):
إيجاد الدالة الأصلية F(x) التي مشتقتها تساوي الدالة المعطاة f(x)؛ حيث: ∫ f(x) dx = F(x) + C، وثابت التكامل C يمثل مقداراً ثابتاً يعبر عن عدد لا نهائي من المنحنيات المتوازية.
التكامل بالتعويض (Integration by Substitution):
طريقة تكامل تعتمد على تبسيط الدالة المعقدة بفرض متغير جديد ع = ر(س) وتغيير متغير التكامل من دس إلى دع؛ وتستخدم خاصة عندما يحتوي التكامل على دالة مضروبة في مشتقتها: ∫ [f(x)]ⁿ · f'(x) dx = [f(x)]ⁿ⁺¹ / (n+1) + C.
التكامل بالتجزيء (Integration by Parts):
طريقة تكامل مستنتجة من قاعدة تفاضل حاصل ضرب دالتين، وتستخدم لتكامل حاصل ضرب دالتين لا إحداهما مشتقة للأخرى (مثل جبرية في مثلثية أو جبرية في أسية أو دوال لوغاريتمية)، وصيغتها الشهيرة: ∫ u dv = u · v – ∫ v du.

التكامل المحدد (Definite Integral):
تكامل يحسب على فترة محددة [أ، ب]؛ ويمثل بيانياً المساحة الصافية المحصورة بين منحنى الدالة ومحور السينات؛ وتتعين قيمته بالنظرية الأساسية للتفاضل والتكامل: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) – F(a) ولا يحتوي على ثابت تكامل.
تطبيقات حساب المساحات المستوية (Plane Areas):
حساب مساحة المنطقة المستوية المحصورة بين منحنى دالة ص = د(س) ومحور السينات: م = ∫ₐᵇ |ص| دس؛ أو المساحة المحصورة بين منحنيي دالتين ص₁ و ص₂: م = ∫ₐᵇ |ص₁ – ص₂| دس.
حجوم الأجسام الدورانية (Solids of Revolution):
الحجم الهندسي المجسم الناشئ عن دوران منطقة مستوية محصورة دورة كاملة (360°): 1) حول محور السينات: الحجم ح = π ∫ₐᵇ (ص)² دس. 2) حول محور الصادات: الحجم ح = π ∫_cᵈ (س)² دص.

الدرس الخامس: التكامل المحدد وحساب المساحات وحجوم الأجسام الدورانية · 13 / 17

⚖️ القوانين والعلاقات الرياضية والفيزيائية الحاكمة:

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	مثال	كلمات مفتاحية
قانون التكامل بالتجزيء وترتيب اختيار الدوال (LIATE)	[ الصيغة: ∫ u dv = u · v – ∫ v du (أولوية فرض u: لوغاريتمية -> عكسية -> جبرية -> مثلثية -> أسية) ] تفرض u الدالة التي تبسط بالاشتقاق (كاللوغاريتمية أو الجبرية) وتفرض dv الدالة التي يسهل مكاملتها دون تعقيد	—	الصيغةأولويةلوغاريتميةعكسية
قوانين حجوم الأجسام الدورانية الناشئة عن الدوران الكامل	[ الصيغة: دوران حول محور السينات: ح = π ∫ₐᵇ (ص₁² – ص₂²) dx \| دوران حول الصادات: ح = π ∫_cᵈ (س₁² – س₂²) dy ] يضرب التكامل دائماً في الثابت الهندسي π لأنه ي	تجميعاً لمساحات عدد لا نهائي من الأقراص الدائرية الميكروسكوبية (dV = π r² dx)	الصيغةمحورالسيناتالصادات

الدرس الخامس: التكامل المحدد وحساب المساحات وحجوم الأجسام الدورانية · 14 / 17

🔍 الشرح والتحليل المستفيض وتفسيرات علل والاستنتاجات:

★ كتاب الشرح والتفصيل العلمي الشامل المعتمد ★

كتاب الشرح المفصل التكامل المتقدم والتطبيقات الهندسية: التكامل بالتعويض والتجزيء، النظرية الأساسية للتكامل، وحساب المساحات المستوية وحجوم الأجسام الدورانية
الرياضيات | الصف الثالث الثانوي (الثانوية العامة) | 2026/2027 | الوحدة الخامسة – التفاضل والتكامل المتقدم
🎯 أهداف التعلم والمخرجات التعليمية المقررة بالتفصيل:
• إتقان قواعد التكامل المباشر والتكامل بالتعويض والتكامل بالتجزيء (LIATE).
• استيعاب خواص التكامل المحدد وحساب المساحات المستوية المحصورة بدقة.
• فهم قوانين حجوم الأجسام الدورانية حول محوري السينات والصادات والتطبيقات الفيزيائية.
◄ أولاً تكاملات الدوال الأساسية والمتسامية وقوانين التكامل المباشر

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
تُمثل قواعد التكامل المباشر الأساس المتين للعمليات الحسابية	1) تكامل القوى: ∫ س^ن دس = [س^ن+1 / (ن+1)] + ث (بشرط ن ≠ -1)	القوىبشرط
وإذا كانت ن = -1، فإن تكامل 1/س هو اللوغاريتم الطبيعي	∫ (1/س) دس = لو\|س\| + ث وتعميماً لذلك: إذا كان البسط مشتقة المقام فإن التكامل يساوي اللوغاريتم الطبيعي للمقام: ∫ [د'(س) / د(س)] دس = لو\|د(س)\| + ث	وتعميمالذلكالبسطمشتقة

2) تكامل الدوال المثلثية ∫ جا(س) دس = -جتا(س) + ث؛ ∫ جتا(س) دس = جا(س) + ث؛ ∫ قا²(س) دس = ظا(س) + ث؛ ∫ قتا²(س) دس = -ظتا(س) + ث؛ ∫ قا(س) ظا(س) دس = قا(س) + ث؛ ∫ قتا(س) ظتا(س) دس = -قتا(س) + ث.
وعند تكامل دالة دائرية زاويتها خطية (أ س + ب) نقسم دائماً على معامل س (1/أ).
وإذا وردت تكاملات مثل جا²(س) أو جتا²(س) تحول بمتطابقات ضعف الزاوية: جا²(س) = 1/2 [1 – جتا(2س)]، وجتا²(س) = 1/2 [1 + جتا(2س)].

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
3) تكامل الدوال الأسية	الدالة الأسية الطبيعية: ∫ هـ^{أ س} دس = (1/أ) هـ^{أ س} + ث وتكامل هـ^د(س) مضروبة في مشتقتها د'(س): ∫ د'(س) هـ^د(س) دس = هـ^د(س) + ث	الدالةالطبيعيةوتكاملمضروبة
وتكامل الدالة الأسية لأي أساس	∫ أ^س دس = [أ^س / لو(أ)] + ث
•	شكل توضيحي (شكل 1 – القواعد الأساسية للتكامل وطرق التعويض والتجزيء): جدول القوانين القياسية لتكامل الدوال المثلثية والأسية وصيغة التكامل بالتجزيء	توضيحيالقواعدالأساسيةللتكامل
◄ ثانياً	استراتيجيات التكامل بالتعويض والتكامل بالتجزيء	استراتيجياتالتكاملبالتعويضوالتكامل

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
1) التكامل بالتعويض (Substitution)	طريقة العزل والاستبدال وتستخدم عندما نلحظ وجود دالة ومشتقتها معاً داخل التكامل	طريقةالعزلوالاستبدالوتستخدم
•	نفرض ع = الدالة المعقدة ونجد دع = د'(س) دس فنستبدل جميع حدود س ودس بحدود المتغير ع فيتحول التكامل إلى صورة قياسية بسيطة جداً وبعد المكاملة نعيد التعويض عن ع بقيمتها الأصلية بدلالة س	نفرضالدالةالمعقدةونجد
وتستخدم بكثرة مع الجذور	كفرض ما تحت الجذر بـ ع² لإنهاء الجذر نهائياً	كفرضالجذرلإنهاءنهائيا

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
2) التكامل بالتجزيء (Integration by Parts)	أسلوب تفكيك حاصل الضرب المستعصي ونلجأ إليه عندما يكون لدينا حاصل ضرب دالتين من نوعين مختلفين (كـ س هـ^س أو س جا س أو لو س بمفردها كحاصل ضرب 1 × لو س)	أسلوبتفكيكحاصلالضرب
ونتبع قاعدة الأولويات (LIATE) لاختيار u	الدوال اللوغاريتمية ثم العكسية ثم الجبرية ثم المثلثية ثم الأسية	الدوالاللوغاريتميةالعكسيةالجبرية
نوجد du باشتقاق u، ونوجد v بمكاملة dv؛ ونطبق القانون	∫ u dv = u v – ∫ v du
•	وفي بعض الحالات (كـ تكامل هـ^س جا س) نطبق التجزيء مرتين متتاليتين فنحصل على نفس التكامل الأصلي فننقله للطرف الآخر كمعادلة جبرية ونقسم على 2	الحالاتتكاملنطبقالتجزيء
•	شكل توضيحي (شكل 2 – حساب المساحات المستوية المحصورة ونقط التقاطع والتكامل المحدد): رسم بياني يوضح المساحة المحصورة بين منحنيين وتقسيم الفترات وأخذ القيمة المطلقة	توضيحيحسابالمساحاتالمستوية

◄ ثالثاً←خواص التكامل المحدد وحساب المساحات المستوية بدقة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
1) خواص التكامل المحدد	أ- عكس حدود التكامل يعكس الإشارة: ∫ₐᵇ د(س) دس = – ∫_bᵃ د(س) دس	حدوديعكسالإشارة
ب- انعدام التكامل إذا تساوى الحدان	∫ₐᵃ د(س) دس = 0
ج- خاصية الإضافة	∫ₐᵇ د(س) دس = ∫ₐᶜ د(س) دس + ∫_cᵇ د(س) دس
د- خواص التماثل	إذا كانت د(س) دالة زوجية متماثلة حول الصادات: ∫₋ₐᵃ د(س) دس = 2 ∫₀ᵃ د(س) دس وإذا كانت د(س) دالة فردية متماثلة حول نقطة الأصل: ∫₋ₐᵃ د(س) دس = 0 فورياً	كانتدالةزوجيةمتماثلة
2) حساب المساحات المستوية	لحساب المساحة المحصورة بين منحنى ص = د(س) ومحور السينات في الفترة [أ ب]: نحدد أولاً نقط تقاطع المنحنى مع محور السينات (بحل ص = 0) فإذا كانت هناك نقط تقاطع تقع داخل الفترة [أ ب] نقسم فترة التكامل لأن المساحة الواقعة أسفل محور السينات يكون تكاملها سالباً ويجب أخذ القيمة المطلقة لكل جزء لضمان أن تكون المساحة موجبة دائماً: م = \|∫ₐᶜ د(س) دس\| + \|∫_cᵇ د(س) دس\|	لحسابالمساحةالمحصورةمنحنى

ولحساب المساحة المحصورة بين منحنيين ص₁ و ص₂ نوجد أولاً نقط تقاطعهما بحل المعادلة ص₁ = ص₂ لتحديد حدود التكامل [أ، ب]؛ وتكون المساحة: م = ∫ₐᵇ (ص_الأعلى – ص_الأسفل) دس.
شكل توضيحي (شكل 3 – حجوم الأجسام الدورانية والأقراص الدائرية حول السينات والصادات): مجسم هندسي ثلاثي الأبعاد لجسم دوراني ناشئ عن دوران منحنى حول محور السينات
◄ رابعاً حساب حجوم الأجسام الدورانية حول محوري السينات والصادات
يُمثل حساب الحجم الدوراني التطبيق الفراغي المجسم الأبرز للتكامل المحدد: 1) الدوران حول محور السينات (Rotation about X-axis): عند دوران المنطقة المحصورة بين المنحنى ص = د(س) ومحور السينات والمستقيمين س = أ وس = ب دورة كاملة حول محور السينات، يتولد جسم دوراني مصمت يتكون عند كل مقطع من قرص دائري مساحته π نق² = π ص²؛ ويصبح الحجم الكلي هو تجميع هذه الأقراص بالتكامل: ح = π ∫ₐᵇ [ص]² دس = π ∫ₐᵇ [د(س)]² دس.

2) الدوران حول محور الصادات (Rotation about Y-axis)←عند دوران المنطقة المحصورة بين المنحنى س = ر(ص) ومحور الصادات والمستقيمين ص = جـ وص = د دورة كاملة حول محور الصادات، يكون نصف قطر القرص هو الإحداثي السيني س؛ ويصبح الحجم: ح = π ∫_cᵈ [س]² دص = π ∫_cᵈ [ر(ص)]² دص.

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
3) الحجم المحصور بين منحنيين دورانيين	عند دوران المنطقة المحصورة بين منحنيين ص₁ و ص₂ (حيث ص₁ ≥ ص₂): أ- حول محور السينات: ح = π ∫ₐᵇ (ص₁² – ص₂²) دس (مع الانتباه لتربيع كل دالة بمفردها وليس تربيع الفرق)	المنطقةالمحصورةمحورالسينات
ب- حول محور الصادات	ح = π ∫_cᵈ (س₁² – س₂²) دص
•	🧮 التطبيقات والمسائل النموذجية المحلولة بالخطوات (Step-by-Step Worked Examples)	التطبيقاتوالمسائلالنموذجيةالمحلولة
مثال نموذجي 1	مسألة تكامل بالتجزيء لحاصل ضرب دالة جبرية في دالة أسية	مسألةتكاملبالتجزيءلحاصل
نص المسألة / السؤال	احسب قيمة التكامل غير المحدد: ت = ∫ (2س + 1) هـ^3س دس	احسبقيمةالتكاملالمحدد

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
خطوات الحل والشرح النموذجي	1) اختيار الدوال للتجزيء وفق قاعدة LIATE: نفرض الدالة الجبرية: u = 2س + 1 -> نشتق لإيجاد du: du = 2 دس	اختيارالدوالللتجزيءقاعدة
نفرض الدالة الأسية	dv = هـ^3س دس -> نكامل لإيجاد v: v = (1/3) هـ^3س	نكامللإيجاد
2) تطبيق قانون التكامل بالتجزيء	∫ u dv = u · v – ∫ v du: ت = (2س + 1) × [(1/3) هـ^3س] – ∫ [(1/3) هـ^3س] × (2 دس) ت = (1/3) (2س + 1) هـ^3س – (2/3) ∫ هـ^3س دس 3) إجراء التكامل المتبقي البسيط: ∫ هـ^3س دس = (1/3) هـ^3س إذن: ت = (1/3) (2س + 1) هـ^3س – (2/3) × [(1/3) هـ^3س] + ث ت = (1/3) (2س + 1) هـ^3س – (2/9) هـ^3س + ث بأخذ (1/9) هـ^3س عامل مشترك للتبسيط: ت = (1/9) هـ^3س [3(2س + 1) – 2] + ث = (1/9) هـ^3س [6س + 3 – 2] + ث = (1/9) هـ^3س (6س + 1) + ث	إجراءالمتبقيالبسيطبأخذ

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
مثال نموذجي 2	حساب مساحة وحجم جسم دوراني لمنحنى دالة تربيعية ومستقيم	حسابمساحةوحجمدوراني
نص المسألة / السؤال	أوجد مساحة المنطقة المستوية المحصورة بين المنحنى ص = س² والمستقيم ص = 2س ثم احسب حجم الجسم الدوراني الناشئ عن دوران هذه المنطقة دورة كاملة حول محور السينات	أوجدمساحةالمنطقةالمستوية

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
خطوات الحل والشرح النموذجي	1) إيجاد حدود التكامل بإيجاد نقط التقاطع: ص₁ = ص₂ -> س² = 2س -> س² – 2س = 0 -> س(س – 2) = 0 إذن حدود التكامل هي من س = 0 إلى س = 2	إيجادحدودالتكاملبإيجاد
في هذه الفترة المستقيم أعلى من المنحنى (مثلاً عند س = 1	ص_المستقيم = 2 ص_المنحنى = 1)
2) حساب المساحة المستوية م	م = ∫₀² (2س – س²) دس = [س² – (1/3) س³]₀² م = [(2)² – (1/3)(2)³] – [0] = [4 – 8/3] = 4/3 وحدة مساحة مربعة (حوالي 1.33 وحدة مربعة)	وحدةمربعةحوالي
3) حساب حجم الجسم الدوراني حول محور السينات ح	ح = π ∫₀² (ص₁² – ص₂²) دس = π ∫₀² [(2س)² – (س²)²] دس = π ∫₀² (4س² – س⁴) دس ح = π [ (4/3) س³ – (1/5) س⁵ ]₀² بالتعويض بالحد العلوي س = 2: ح = π [ (4/3)(8) – (1/5)(32) ] = π [ 32/3 – 32/5 ] بتوحيد المقامات على 15: ح = π [ (160 – 96) / 15 ] = (64/15) π وحدة حجم مكعبة (حوالي 4.267 π وحدة مكعبة)	بالتعويضبالحدالعلويبتوحيد

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	مثال	كلمات مفتاحية
•	💡 أسرار وتكات التفوق وملاحظات خبير المادة (Expert Notes & Exam Secrets)	—	أسراروتكاتالتفوقوملاحظات
★ فخ تربيع الفرق في حجوم الأجسام الدورانية	احذر تماماً من كتابة الحجم كـ π ∫ (ص₁ – ص₂)² dx الصواب الرياضي الحتمي هو تربيع كل دالة على حدة ثم الطرح: ح = π ∫ (ص₁² – ص₂²) dx	—	احذرتماماكتابةالحجم
★ التكامل المحدد للدوال الفردية المتماثلة		جا س ظا س) فإن قيمة التكامل تساوي صفراً مباشرة دون إجراء أي حسابات مطولة	كانتحدودمتناظرةوكانت
★ تكامل الدالة اللوغاريتمية الطبيعية	لا يوجد قانون مباشر لتكامل لو(س) بل تكامل بالتجزيء دائماً بفرض u = لو(س) و dv = 1 دس فيكون ناتجها: س لو(س) – س + ث	—	يوجدقانونمباشرلتكامل
•	🌍 التطبيقات الحياتية والصناعية والتكنولوجية (Real-World Applications)	—	التطبيقاتالحياتيةوالصناعيةوالتكنولوجية

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
✔ حساب سعة الخزانات والسدود المائية غير المنتظمة	استخدام التكامل المحدد ونماذج الأجسام الدورانية لحساب الحجم المائي الدقيق للبحيرات والخزانات وسدود توليد الكهرباء بناءً على مقاطع المسح الطبوغرافي	استخدامالتكاملالمحددونماذج
✔ حساب الشغل الفيزيائي لقوى متغيرة	حساب الشغل المبذول بواسطة قوى الجاذبية لإطلاق الأقمار الصناعية لمداراتها (W = ∫ F dr) وحساب الشغل اللازم لضغط الغازات في محركات الاحتراق الداخلي بالتكامل (W = ∫ P dV)	المبذولبواسطةالجاذبيةلإطلاق

الدرس الخامس: التكامل المحدد وحساب المساحات وحجوم الأجسام الدورانية · 15 / 17

🔬 مخططات ورسوم علمية تخصصية داعمة للفهم

ميل المماس للمنحنى ومعدل التغير اللحظي وعلاقته بالنظرية الأساسية للتفاضل والتكامل

نقدم في هذا القسم رسوماً ومخططات بيانية توضيحية معتمدة لتعميق الاستيعاب البصري وتثبيت المفاهيم العلمية الأساسية وفق أحدث النماذج التعليمية التفاعلية.
توضح الصورة المساحة المحصورة بين المنحنى ومحور السينات في فترة محددة، ويُحسب مقدارها بإيجاد التكامل المحدد للدالة على هذه الفترة.
ويكون ذلك بإيجاد الدالة الأصلية ثم حساب الفرق بين قيمتها عند الحد الأعلى والحد الأدنى، وهو ما يربط المساحة بالتكامل كعملية عكسية للتفاضل.
شكل 3 ميل المماس للمنحنى ومعدل التغير اللحظي وعلاقته بالنظرية الأساسية للتفاضل والتكامل
يربط الشكل بين ميل المماس للمنحنى ومعدل التغير اللحظي للدالة، إذ يمثل الميل مشتقة الدالة عند نقطة معينة.
وتبيّن النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل أن التفاضل والتكامل عمليتان عكسيتان، فتكامل معدل التغير يعطي التغير الكلي للدالة بين نقطتين.

الدرس الخامس: التكامل المحدد وحساب المساحات وحجوم الأجسام الدورانية · 16 / 17

ملخص الدرس

★ الملخص الشامل وخريطة المفاهيم وجداول المقارنة ★
🗺️ الخريطة الذهنية والمفاهيم الجوهرية (Mind Map Outline):
✔ 1. القواعد الأساسية: تكامل القوى، الدوال المثلثية الست، والدوال الأسية واللوغاريتمية (البسط مشتقة المقام = لو|المقام|).
✔ 2. طرق التكامل المتقدمة: التعويض (فرض ع ودع) والتجزيء (∫ u dv = uv – ∫ v du بقاعدة LIATE).
✔ 3. التكامل المحدد والمساحات: م = ∫ |ص₁ – ص₂| dx بعد إيجاد نقط التقاطع وتجزئة الفترات لتفادي المساحات السالبة.
✔ 4. حجوم الأجسام الدورانية: حول السينات ح = π ∫ ص² dx، وحول الصادات ح = π ∫ س² dy، واستنتاج حجم الكرة والمخروط.
📊 جداول المقارنة والتصنيف والتلخيص الشامل:
جدول مصفوفة القواعد الشاملة للتكاملات القياسية المباشرة للدوال الأساسية

الدالة المراد مكاملتها د(س)	ناتج التكامل غير المحدد ∫ د(س) دس	الشروط والملاحظات الرياضية
س^ن (حيث ن ≠ -1)	[ س^ن+1 / (ن+1) ] + ث	قاعدة القوة العامة
1 / س	لو \|س\| + ث	تكامل المقلوب يعطي اللوغاريتم الطبيعي
د'(س) / د(س)	لو \|د(س)\| + ث	البسط مشتقة المقام
جا(أ س)	-(1/أ) جتا(أ س) + ث	نقسم على معامل س
جتا(أ س)	(1/أ) جا(أ س) + ث	مشتقة الجيب جيب تمام
قا²(أ س)	(1/أ) ظا(أ س) + ث	تكامل مربع القاطع يعطي الظل
قتا²(أ س)	-(1/أ) ظتا(أ س) + ث	تكامل مربع قاطع التمام
قا(س) ظا(س)	قا(س) + ث	تكامل مباشر
هـ^{أ س}	(1/أ) هـ^{أ س} + ث	الدالة الأسية الطبيعية
أ^س	[ أ^س / لو(أ) ] + ث	الدالة الأسية لأي أساس أ > 0

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
•	💡 كبسولة المراجعة السريعة وأهم فنيات الامتحان	كبسولةالمراجعةالسريعةوأهم
★ كبسولة تكامل 1	في حجوم الأجسام الدورانية نربع الدالتين أولاً ثم نطرح: ح = π ∫ (ص₁² – ص₂²) dx وليس العكس	حجومالأجسامالدورانيةنربع
★ كبسولة تكامل 2	إذا كان البسط مشتقة المقام فإن التكامل هو اللوغاريتم الطبيعي لمطلق المقام: لو\|المقام\| + ث	البسطمشتقةالمقامالتكامل
★ كبسولة تكامل 3	التكامل المحدد لدالة فردية على فترة متناظرة [-أ أ] يساوي صفراً دائماً	التكاملالمحددلدالةفردية

الدرس الخامس: التكامل المحدد وحساب المساحات وحجوم الأجسام الدورانية · 17 / 17

المناهج الدراسية

الرياضيات

الفصل الأول - التفاضل والتكامل (Calculus)

الفصل الثاني - الجبر والهندسة الفراغية (Algebra & Solid Geometry)

الفصل الثالث - الاستاتيكا (Statics)

الفصل الرابع - الديناميكا (Dynamics)

الفصل الخامس - الجبر الأساسي وحساب المثلثات والإحصاء والاحتمال

دروس إضافية

الدرس الخامس: التكامل المحدد وحساب المساحات وحجوم الأجسام الدورانية

🧊 مجسم ثلاثي الأبعاد لحجم الجسم الدوراني الناتج عن دوران منحنى حول محور السينات

D Scientific Render

✍️ أمثلة محلولة

u dv = u · v –

✍️ أمثلة محلولة

(2)2 – (1 / 3)(2)3] – [0] = [4 – 8 / 3] = 4 / 3

π [ (160 – 96) / 15 ] = (64 / 15) π

🔬 شكل 1 – القواعد الأساسية للتكامل وطرق التعويض والتجزيء

05 أسرك اسصدة

1 (مطاى – ايلنيا 6؟)

500 (ب) > لج” (داء

0 4 14 9 سا + 3

(تلا – المنوفية 5)

50 (ب)ء (ج) 4 )1

🔬 شكل 2 – حساب المساحات المستوية المحصورة ونقط التقاطع والتكامل المحدد

🔬 شكل 3 – حجوم الأجسام الدورانية والأقراص الدائرية حول السينات والصادات

★ كتاب الشرح والتفصيل العلمي الشامل المعتمد ★

أحسنت! أنهيت هذا الدرس