الدرس الرابع: المتجهات في الفراغ ثلاثي الأبعاد ومعادلة الخط المستقيم والمستوى

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
•	النظام الإحداثي المتعامد في الفراغ ثلاثي الأبعاد (3D Cartesian Coordinates): نظام يتألف من ثلاثة محاور متعامدة مثنى مثنى تتقاطع في نقطة الأصل و(0 0): محور السينات ومحور الصادات ومحور العينات وتحدد موقع أي نقطة بثلاثي مرتب (س ع). ومعادلة المستوى س ص هي ع = 0 ومعادلة المستوى س ع هي ص = 0 ومعادلة المستوى ص ع هي س = 0	النظامالإحداثيالمتعامدالفراغ
معادلة الكرة في الفراغ (Sphere Equation)	المحل الهندسي لنقطة تتحرك في الفراغ بحيث تظل على بعد ثابت نق من نقطة ثابتة هي المركز م(د ومعادلتها القياسية: (س – د)² + (ص – هـ)² + (ع – و)² = نق² ومعادلتها العامة: س² + ص² + ع² + 2ل س + 2ك ص + 2ن ع + د = 0 نق = √(ل² + ك² + ن² – د)	المحلالهندسيلنقطةتتحرك
المتجهات وجيوب تمام الاتجاه (Direction Cosines)	متجه الموضع للنقطة أ(س، ص، ع) هو و→أ = س س̂ + ص ص̂ + ع ع̂، ومعياره \|\|و→أ\|\| = √(س² + ص² + ع²). وزوايا الاتجاه للمتجه هي الزوايا التي يصنعها مع الاتجاهات الموجبة للمحاور، وجيوب تمامها تمثل متجهات الوحدة في اتجاه المتجه: û = (cos θx, cos θy, cos θz)، وتحقق القانون المحوري: cos ² θ x + cos ² θ y + cos ² θ z = 1 .	الموضعللنقطةومعيارهوزوايا
الضرب القياسي والضرب الاتجاهي للمتجهات	الضرب القياسي: أ→ · ب→ = \|\|أ→\|\| \|\|ب→\|\| cos θ = أس بس + أص بص + أع بع وشرط تعامدهما هو أ→ · ب→ = 0. والضرب الاتجاهي: أ→ × ب→ = متجه عمودي على مستواهما يتعين بمحدد الرتبة الثالثة ومعياره يساوي مساحة متوازي الأضلاع المنشأ عليهما وشرط توازيهما هو أ→ × ب→ = و→ أو تناسب الإحداثيات	وشرطتعامدهماعموديمستواهما
معادلة الخط المستقيم في الفراغ (Equation of a Line in 3D)	يتحدد الخط المستقيم بنقطة واقعة عليه ق(س₁، ص₁، ع₁) ومتجه اتجاه له هـ→ = (أ، ب، جـ)؛ وله 3 صور: 1) الصورة المتجهة: ر→ = ق→ + ك هـ→. 2) المعادلات البارامترية: س = س₁ + ك أ، ص = ص₁ + ك ب، ع = ع₁ + ك جـ. 3) المعادلات الإحداثية (الكارتيزية): (س – س₁) / أ = (ص – ص₁) / ب = (ع – ع₁) / جـ.	يتحددبنقطةواقعةعليه
معادلة المستوى في الفراغ (Equation of a Plane in 3D)	يتحدد المستوى بنقطة واقعة فيه أ(س₁ ع₁) ومتجه عمودي عليه ن→ = (أ جـ) وصورته المتجهة: ن→ · ر→ = ن→ · أ→ وصورته القياسية: أ(س – س₁) + ب(ص – ص₁) + جـ(ع – ع₁) = 0 وصورته العامة: أ س + ب ص + جـ ع + د = 0. والمسافة العمودية من نقطة م(س₀ ع₀) إلى المستوى هي: ل = \|أ س₀ + ب ص₀ + جـ ع₀ + د\| / √(أ² + ب² + جـ²)	يتحددبنقطةواقعةومتجه

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
قانون الزوايا والمساقط في الفراغ ثلاثي الأبعاد	[ الصيغة: cos θ = (أ→ · ب→) / (\|\|أ→\|\| · \|\|ب→\|\|) \| مسقط أ→ على ب→ = (أ→ · ب→) / \|\|ب→\|\| ] يُستخدم لحساب الزاوية الحادة بين متجهين أو خطين مستقيمين في الفراغ وحساب المركبة الجبرية لمتجه في اتجاه آخر	الصيغةمسقطستخدملحساب
قانون الضرب الثلاثي القياسي وحجم متوازي السطوح	[ الصيغة: حجم متوازي السطوح = \| أ→ · (ب→ × جـ→) \| = \| محدد المصفوفة 3×3 لأحداثيات المتجهات الثلاثة \| ] إذا كان الناتج يساوي صفراً فإن هذا يثبت أن المتجهات الثلاثة والنقاط الأربع تقع جميعها في مستوى واحد	الصيغةمحددالمصفوفةلأحداثيات

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
المسافة وإحداثيات نقطة التقسيم	المسافة بين نقطتين أ(س₁ ع₁) وب(س₂ ع₂) تتعين بنظرية فيثاغورس المجسمة: ل = √[(س₂ – س₁)² + (ص₂ – ص₁)² + (ع₂ – ع₁)²]. وإحداثيات نقطة المنتصف جـ هي: [ (س₁ + س2) / 2 (ص₁ + ص2) / 2 (ع₁ + ع2) / 2 ]	نقطتينتتعينبنظريةفيثاغورس
معادلة الكرة الفراغية	الكرة هي مجسم منتظم يبعد سطحه مسافة ثابتة نق عن المركز م(د ومعادلتها القياسية: (س – د)² + (ص – هـ)² + (ع – و)² = نق². وعند فك الأقواس تنتج الصورة العامة: س² + ص² + ع² + 2ل س + 2ك ص + 2ن ع + د = 0 وشروطها الرياضية الصارمة: 1- معاملات س² وص² وع² متساوية وموجبة وتساوي 1. 2- خالية تماماً من الحدود المشتملة على س ص أو س ع أو ص ع. 3- المقدار (ل² + ك² + ن² – د) > 0 ليكون نصف القطر نق = √(ل² + ك² + ن² – د) عدداً حقيقياً موجباً. ويكون المركز هو م(-ل -ن)	مجسممنتظميبعدسطحه

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	مثال	كلمات مفتاحية
المتجهات وجيوب تمام الاتجاه	إذا كان المتجه أ→ يصنع زوايا اتجاه θx و θy و θz مع الاتجاهات الموجبة للمحاور فإن: cos θx = أس / \|\|أ→\|\| cos θy = أص / \|\|أ→\|\| cos θz = أع / \|\|أ→\|\|. ومتجه الوحدة في اتجاه أ→ هو û = أ→ / \|\|أ→\|\| = (cos θx cos θy cos θz). وتتحقق المتطابقة الهندسية الحاكمة: cos 2 θ x + cos 2 θ y + cos 2 θ z = 1 دائماً	—	يصنعزواياالاتجاهاتالموجبة
الضرب القياسي (Dot Product)	ينتج كمية قياسية عددية ويعرف بـ: أ→ · ب→ = \|\|أ→\|\| \|\|ب→\|\| cos θ = أس بس + أص بص + أع بع. وشرط تعامد متجهين غير صفريين هو أ→ · ب→ = 0. والمسقط الجبري (المركبة الجبرية) لمتجه أ→ في اتجاه المتجه ب→ هو: (أ→ · ب→) / \|\|ب→\|\|. والمركبة الاتجاهية هي المسقط الجبري مضروباً في متجه الوحدة في اتجاه ب→	—	ينتجكميةقياسيةعددية
الضرب الاتجاهي (Cross Product)	ينتج متجهاً جديداً عمودياً على المستوى الحاوي للمتجهين ويحسب بمحدد الرتبة الثالثة: أ→ × ب→ = [ (أص بع – أع بص) س̂ – (أس بع – أع بس) ص̂ + (أس بص – أص بس) ع̂ ]. وشرط توازي متجهين هو أ→ × ب→ = و→ أو تناسب الإحداثيات: أس / بس = أص / بص = أع / بع. ومعيار الضرب الاتجاهي \|\|أ→ × ب→\|\| ي	هندسياً ‘مساحة متوازي الأضلاع’ المنشأ على المتجهين ونصف المعيار يمثل ‘مساحة المثلث’	ينتجمتجهاجديداعموديا
الضرب الثلاثي القياسي (Scalar Triple Product)	يكتب بصورة: أ→ · (ب→ × جـ→) ويحسب بوضع مركبات المتجهات الثلاثة كصفوف في محدد رتبة ثالثة 3×3 وقيمته المطلقة ت	هندسياً ‘حجم متوازي السطوح’ المتولد من المتجهات الثلاثة وإذا كانت القيمة صفراً دل ذلك على أن المتجهات الثلاثة تقع في مستوى واحد وتفقد حجمها الفراغي	يكتببصورةويحسببوضع

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
الزاوية بين مستقيمين	تتعين جيب تمام الزاوية الحادة θ بين مستقيمين لهما متجها اتجاه هـ₁→ و هـ₂→ من القانون: cos θ = \|هـ₁→ · هـ2→ \| / [ \|\|هـ₁→\|\| · \|\|هـ₂→\|\| ]. ويكون المستقيمان متعامدين إذا كان هـ₁→ · هـ₂→ = 0 ويكونان متوازيين إذا كان هـ₁→ = م هـ₂→ أو هـ₁→ × هـ₂→ = و→	تتعينتمامالحادةلهما
الأوضاع النسبية لمستقيمين في الفراغ	قد يكون المستقيمان: متوازيين (متجهي اتجاههما متناسبان ولا يتقاطعان) أو منطبقين أو متقاطعين في نقطة واحدة (يجمعهما مستوى واحد) أو ‘متخالفين’ (Skew Lines: لا يتوازيان ولا يتقاطعان ولا يجمعهما مستوى واحد إطلاقاً)	يكونالمستقيمانمتوازيينمتجهي
طول العمود الساقط من نقطة على مستقيم	لتعيين بعد نقطة أ عن مستقيم ل: نحدد نقطة ب على المستقيم ومتجه اتجاهه هـ→ فيكون طول العمود: ل = \|\|ب→أ × هـ→\|\| / \|\|هـ→\|\|	لتعييننحددالمستقيمومتجه

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
معادلة المستوى	يتعين المستوى في الفراغ بنقطة واقعة فيه أ(س₁ ع₁) ومتجه عمودي على المستوى ن→ = (أ جـ): أ- الصورة المتجهة: ن→ · ر→ = ن→ · أ→ (أو ن→ · ر→ = د). ب- الصورة القياسية: أ(س – س₁) + ب(ص – ص₁) + جـ(ع – ع₁) = 0. ج- الصورة العامة: أ س + ب ص + جـ ع + د = 0 (حيث معاملات س وص وع هي مركبات المتجه العمودي على المستوى ن→). د- معادلة المستوى بدلالة أجزائه المقطوعة من المحاور: س/أ + ص/ب + ع/جـ = 1 (حيث أ جـ هي أطوال الأجزاء المقطوعة من محاور السينات والصادات والعينات على الترتيب)	يتعينالفراغبنقطةواقعة
الزاوية بين مستويين والزاوية بين خط ومستوى	الزاوية الحادة بين مستويين متعامدي اتجاههما ن₁→ و ن₂→ هي: cos θ = \|ن₁→ · ن2→ \| / [ \|\|ن₁→\|\| · \|\|ن₂→\|\| ]. ويتعامد المستويان إذا كان ن₁→ · ن₂→ = 0 ويتوازيان إذا كان ن₁→ = ك ن₂→. أما الزاوية بين مستقيم متجه اتجاهه هـ→ ومستوى عموديه ن→ فتتعين من: sin α = \|هـ→ · ن→\| / [ \|\|هـ→\|\| · \|\|ن→\|\| ]	الحادةمتعامدياتجاههماويتعامد
طول العمود الساقط من نقطة على مستوى	يتعين البعد العمودي ل من النقطة م(س₀ ع₀) إلى المستوى أ س + ب ص + جـ ع + د = 0 من القانون المطلق: ل = \|أ س₀ + ب ص₀ + جـ ع₀ + د\| / √(أ² + ب² + جـ²)	يتعينالبعدالعموديالنقطة
تقاطع المستويات	خط تقاطع مستويين غير متوازيين هو خط مستقيم ويكون متجه اتجاه هذا الخط هـ→ عمودياً على كلا العموديين على المستويين فيتعين بالضرب الاتجاهي لهما: هـ→ = ن₁→ × ن₂→	مستويينمتوازيينمستقيمويكون

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
نص المسألة / السؤال	إذا كانت المتجهات: أ→ = (2 ب→ = (1 -2) جـ→ = (3	كانتالمتجهات
احسب	1) أ→ × ب→ ومساحة متوازي الأضلاع المنشأ عليهما ومساحة المثلث	ومساحةمتوازيالأضلاعالمنشأ
•	2) حجم متوازي السطوح المتولد من المتجهات أ→ جـ→	متوازيالسطوحالمتولدالمتجهات
خطوات الحل والشرح النموذجي	1) حساب الضرب الاتجاهي أ→ × ب→ باستخدام محدد الرتبة الثالثة:أ→ × ب→ = \| س̂ ص̂ ع̂ \| \|	حسابالضربالاتجاهيباستخدام

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
مثال نموذجي 2	إيجاد معادلة الخط المستقيم ومعادلة المستوى والبعد العمودي	إيجادمعادلةالخطالمستقيم
نص المسألة / السؤال	أوجد: 1) معادلة المستوى المار بالنقطة أ(1 3) والعمودي على المتجه ن→ = (2 1). 2) طول العمود الساقط من النقطة ب(3 -1) على هذا المستوى	أوجدمعادلةالمستوىالمار
خطوات الحل والشرح النموذجي	1) إيجاد معادلة المستوى:المتجه العمودي ن→ = (2 والنقطة أ(1 3).الصورة القياسية: أ(س – س₁) + ب(ص – ص₁) + جـ(ع – ع₁) = 02(س – 1) – 3(ص – 2) + 1(ع – 3) = 02س – 2 – 3ص + 6 + ع – 3 = 02س – 3ص + ع + 1 = 0 (الصورة العامة لمعادلة المستوى).2) حساب طول العمود الساقط من النقطة ب(3 -1) على المستوى 2س – 3ص + ع + 1 = 0:ل = \|أ س₀ + ب ص₀ + جـ ع₀ + د\| / √(أ² + ب² + جـ²)ل = \| 2(3) – 3(0) + 1(-1) + 1 \| / √([ 22 + (-3)2 + 12 ])ل = \|	إيجادمعادلةالمستوىالمتجه

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
متطابقة جيوب تمام الاتجاه	احفظ دائماً أن مجموع مربعات جيوب تمام الاتجاه لأي متجه يساوي 1 صحيحاً: cos ² θ x + cos ² θ y + cos ² θ z = 1 ، بينما مجموع مربعات الجيوب يساوي 2: sin ² θ x + sin ² θ y + sin ² θ z = 2 .	احفظدائمامجموعمربعات
الفرق بين المستقيمين المتوازيين والمتخالفين	المستقيمان المتوازيان لهما نفس نسبة متجهات الاتجاه ويجمعهما مستوى واحد بينما المستقيمان المتخالفان لا يتوازيان ولا يتقاطعان ولا يمكن أن يجمعهما مستوى واحد أبداً	المستقيمانالمتوازيانلهمانسبة
الزاوية بين خط ومستوى	لحساب الزاوية بين خط مستقيم ومستوى احذر من استخدام cos فالقانون يعطي جيب الزاوية sin α = \|هـ→ · ن→\| / (\|\|هـ→\|\| \|\|ن→\|\|) لأن ن→ عمودي على المستوى وليس موازياً له	لحسابمستقيماحذراستخدام

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
قانون الزوايا والمساقط في الفراغ ثلاثي الأبعاد	[ الصيغة: cos θ = (أ→ · ب→) / (\|\|أ→\|\| · \|\|ب→\|\|) \| مسقط أ→ على ب→ = (أ→ · ب→) / \|\|ب→\|\| ] يُستخدم لحساب الزاوية الحادة بين متجهين أو خطين مستقيمين في الفراغ وحساب المركبة الجبرية لمتجه في اتجاه آخر	الصيغةمسقطستخدملحساب
قانون الضرب الثلاثي القياسي وحجم متوازي السطوح	[ الصيغة: حجم متوازي السطوح = \| أ→ · (ب→ × جـ→) \| = \| محدد المصفوفة 3×3 لأحداثيات المتجهات الثلاثة \| ] إذا كان الناتج يساوي صفراً فإن هذا يثبت أن المتجهات الثلاثة والنقاط الأربع تقع جميعها في مستوى واحد	الصيغةمحددالمصفوفةلأحداثيات

★ كتاب الشرح والتفصيل العلمي الشامل المعتمد ★

كتاب الشرح المفصل الهندسة الفراغية التحليلية: الإحداثيات المتعامدة ثلاثية الأبعاد، المتجهات، الضرب القياسي والاتجاهي، ومعادلات الخط المستقيم والمستوى
الرياضيات | الصف الثالث الثانوي (الثانوية العامة) | 2026/2027 | الوحدة السادسة – الهندسة الفراغية والميكانيكا المتقدمة
🎯 أهداف التعلم والمخرجات التعليمية المقررة بالتفصيل:
• إتقان الإحداثيات المتعامدة ثلاثية الأبعاد ومعادلة الكرة في الفراغ وشروطها.
• استيعاب جبر المتجهات الفراغية والضرب القياسي والاتجاهي والثلاثي القياسي.
• فهم الصور المختلفة لمعادلات الخط المستقيم والمستوى في الفراغ والمسافات والتقاطع.
◄ أولاً الهندسة الإحداثية في الفراغ ثلاثي الأبعاد ومعادلة الكرة

تُمثل الهندسة الفراغية الامتداد الرياضي الطبيعي من المستوى ثنائي الأبعاد إلى الفضاء الحقيقي: 1) المحاور والمستويات الإحداثية: تقسم المستويات الإحداثية الثلاثة المتعامدة الفراغ إلى ثمانية أثمان؛ وأي نقطة أ(س، ص، ع) تتعين بإسقاطاتها على المحاور؛ فبعد النقطة عن المستوى س ص هو |ع|، وبعدها عن المستوى س ع هو |ص|، وبعدها عن المستوى ص ع هو |س|.
وبعد النقطة عن محور السينات هو √(ص² + ع²)، وبعدها عن محور الصادات هو √(س² + ع²)، وبعدها عن محور العينات هو √(س² + ص²).

2) المسافة وإحداثيات نقطة التقسيمالمسافة بين نقطتين أ(س₁، ص₁، ع₁) وب(س₂، ص₂، ع₂) تتعين بنظرية فيثاغورس المجسمة: ل = √[(س₂ – س₁)² + (ص₂ – ص₁)² + (ع₂ – ع₁)²].

وإحداثيات نقطة المنتصف جـ هي[ (س₁ + س₂) / 2، (ص₁ + ص₂) / 2، (ع₁ + ع₂) / 2 ].

3) معادلة الكرة الفراغية الكرة هي مجسم منتظم يبعد سطحه مسافة ثابتة نق عن المركز م(د، هـ، و)؛ ومعادلتها القياسية: (س – د)² + (ص – هـ)² + (ع – و)² = نق².
وعند فك الأقواس تنتج الصورة العامة س² + ص² + ع² + 2ل س + 2ك ص + 2ن ع + د = 0؛ وشروطها الرياضية الصارمة: 1- معاملات س² وص² وع² متساوية وموجبة وتساوي 1.
2- خالية تماماً من الحدود المشتملة على س ص أو س ع أو ص ع.
3- المقدار (ل² + ك² + ن² – د) > 0 ليكون نصف القطر نق = √(ل² + ك² + ن² – د) عدداً حقيقياً موجباً.
ويكون المركز هو م(-ل، -ك، -ن).
شكل توضيحي (شكل 1 – نظام الإحداثيات المتعامد ثلاثي الأبعاد ومعادلة الكرة): المخطط المجسم للمحاور الفراغية س وص وع والمستويات الإحداثية ومركز ونصف قطر الكرة

◄ ثانياً←جبر المتجهات في الفراغ: الضرب القياسي والضرب الاتجاهي والضرب الثلاثي

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
1) المتجهات وجيوب تمام الاتجاه	إذا كان المتجه أ→ يصنع زوايا اتجاه θx و θy و θz مع الاتجاهات الموجبة للمحاور فإن: cos θx = أس / \|\|أ→\|\| cos θy = أص / \|\|أ→\|\| cos θz = أع / \|\|أ→\|\|	يصنعزواياالاتجاهاتالموجبة
•	ومتجه الوحدة في اتجاه أ→ هو û = أ→ / \|\|أ→\|\| = (cos θx cos θy cos θz)	ومتجهالوحدةاتجاه
وتتحقق المتطابقة الهندسية الحاكمة	cos² θx + cos² θy + cos² θz = 1 دائماً	cos²دائما

2) الضرب القياسي (Dot Product) ينتج كمية قياسية عددية؛ ويعرف بـ: أ→ · ب→ = ||أ→|| ||ب→|| cos θ = أس بس + أص بص + أع بع.
وشرط تعامد متجهين غير صفريين هو أ→ · ب→ = 0.
والمسقط الجبري (المركبة الجبرية) لمتجه أ→ في اتجاه المتجه ب→ هو: (أ→ · ب→) / ||ب→||.
والمركبة الاتجاهية هي المسقط الجبري مضروباً في متجه الوحدة في اتجاه ب→.

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	مثال	كلمات مفتاحية
3) الضرب الاتجاهي (Cross Product)	ينتج متجهاً جديداً عمودياً على المستوى الحاوي للمتجهين ويحسب بمحدد الرتبة الثالثة: أ→ × ب→ = [ (أص بع – أع بص) س̂ – (أس بع – أع بس) ص̂ + (أس بص – أص بس) ع̂ ]	—	ينتجمتجهاجديداعموديا
وشرط توازي متجهين هو أ→ × ب→ = و→، أو تناسب الإحداثيات	أس / بس = أص / بص = أع / بع	—
•	ومعيار الضرب الاتجاهي \|\|أ→ × ب→\|\| ي	هندسياً 'مساحة متوازي الأضلاع' المنشأ على المتجهين ونصف المعيار يمثل 'مساحة المثلث'	ومعيارالضربالاتجاهييمثل
4) الضرب الثلاثي القياسي (Scalar Triple Product)	يكتب بصورة: أ→ · (ب→ × جـ→) ويحسب بوضع مركبات المتجهات الثلاثة كصفوف في محدد رتبة ثالثة 3×3 وقيمته المطلقة ت	هندسياً 'حجم متوازي السطوح' المتولد من المتجهات الثلاثة وإذا كانت القيمة صفراً دل ذلك على أن المتجهات الثلاثة تقع في مستوى واحد وتفقد حجمها الفراغي	يكتببصورةويحسببوضع

شكل توضيحي (شكل 2 – الضرب القياسي والاتجاهي والمحددات وحجم متوازي السطوح): رسم توضيحي لمتجهات الضرب القياسي والاتجاهي وقاعدة اليد اليمنى ومساحة متوازي الأضلاع
◄ ثالثاً معادلة الخط المستقيم في الفراغ ثلاثي الأبعاد والعلاقات بين المستقيمات

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
•	يتحدد أي خط مستقيم في الفراغ بمعرفة نقطة واقعة عليه ومتجه اتجاه يوازيه: 1) صور معادلة الخط المستقيم: إذا كان المستقيم يمر بالنقطة ق(س₁ ع₁) وله متجه اتجاه هـ→ = (أ جـ): أ- الصورة المتجهة: ر→ = ق→ + ك هـ→ (حيث ك هو البارامتر أو المعامل القياسي)	يتحددمستقيمالفراغبمعرفة
ب- المعادلات البارامترية	س = س₁ + ك أ ص = ص₁ + ك ب ع = ع₁ + ك جـ
ج- المعادلات الكارتيزية (الإحداثية)	(س – س₁) / أ = (ص – ص₁) / ب = (ع – ع₁) / جـ فإذا كان أحد جيوب الاتجاه صفراً (مثلاً جـ = 0) تكتب المعادلة: (س – س₁) / أ = (ص – ص₁) / ب ع = ع₁	فإذاجيوبالاتجاهصفرا

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
2) الزاوية بين مستقيمين	تتعين جيب تمام الزاوية الحادة θ بين مستقيمين لهما متجها اتجاه هـ₁→ و هـ₂→ من القانون: cos θ = \|هـ₁→ · هـ₂→\| / [ \|\|هـ₁→\|\| · \|\|هـ₂→\|\| ]	تتعينتمامالحادةلهما
•	ويكون المستقيمان متعامدين إذا كان هـ₁→ · هـ₂→ = 0 ويكونان متوازيين إذا كان هـ₁→ = م هـ₂→ أو هـ₁→ × هـ₂→ = و→	ويكونالمستقيمانمتعامدينويكونان
3) الأوضاع النسبية لمستقيمين في الفراغ	قد يكون المستقيمان: متوازيين (متجهي اتجاههما متناسبان ولا يتقاطعان) أو منطبقين أو متقاطعين في نقطة واحدة (يجمعهما مستوى واحد) أو 'متخالفين' (Skew Lines: لا يتوازيان ولا يتقاطعان ولا يجمعهما مستوى واحد إطلاقاً)	يكونالمستقيمانمتوازيينمتجهي
4) طول العمود الساقط من نقطة على مستقيم	لتعيين بعد نقطة أ عن مستقيم ل: نحدد نقطة ب على المستقيم ومتجه اتجاهه هـ→ فيكون طول العمود: ل = \|\|ب→أ × هـ→\|\| / \|\|هـ→\|\|	لتعييننحددالمستقيمومتجه

شكل توضيحي (شكل 3 – معادلات الخط المستقيم والمستوى والأوضاع النسبية في الفراغ): الأشكال الهندسية للمستقيمات المتقاطعة والمتخلفة والمتوازية والعمود الساقط على المستوى
◄ رابعاً معادلة المستوى في الفراغ والمسافات وتقاطع المستويات

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
1) معادلة المستوى	يتعين المستوى في الفراغ بنقطة واقعة فيه أ(س₁ ع₁) ومتجه عمودي على المستوى ن→ = (أ جـ): أ- الصورة المتجهة: ن→ · ر→ = ن→ · أ→ (أو ن→ · ر→ = د)	يتعينالفراغبنقطةواقعة
ب- الصورة القياسية	أ(س – س₁) + ب(ص – ص₁) + جـ(ع – ع₁) = 0
ج- الصورة العامة	أ س + ب ص + جـ ع + د = 0 (حيث معاملات س وص وع هي مركبات المتجه العمودي على المستوى ن→)	معاملاتمركباتالمتجهالعمودي
د- معادلة المستوى بدلالة أجزائه المقطوعة من المحاور	س/أ + ص/ب + ع/جـ = 1 (حيث أ جـ هي أطوال الأجزاء المقطوعة من محاور السينات والصادات والعينات على الترتيب)	أطوالالأجزاءالسيناتوالصادات

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
2) الزاوية بين مستويين والزاوية بين خط ومستوى	الزاوية الحادة بين مستويين متعامدي اتجاههما ن₁→ و ن₂→ هي: cos θ = \|ن₁→ · ن₂→\| / [ \|\|ن₁→\|\| · \|\|ن₂→\|\| ]	الحادةمتعامدياتجاههما
•	ويتعامد المستويان إذا كان ن₁→ · ن₂→ = 0 ويتوازيان إذا كان ن₁→ = ك ن₂→	ويتعامدالمستويانويتوازيان
•	أما الزاوية بين مستقيم متجه اتجاهه هـ→ ومستوى عموديه ن→ فتتعين من: sin α = \|هـ→ · ن→\| / [ \|\|هـ→\|\| · \|\|ن→\|\| ]	الزاويةمستقيممتجهاتجاهه
3) طول العمود الساقط من نقطة على مستوى	يتعين البعد العمودي ل من النقطة م(س₀ ع₀) إلى المستوى أ س + ب ص + جـ ع + د = 0 من القانون المطلق: ل = \|أ س₀ + ب ص₀ + جـ ع₀ + د\| / √(أ² + ب² + جـ²)	يتعينالبعدالعموديالنقطة
4) تقاطع المستويات	خط تقاطع مستويين غير متوازيين هو خط مستقيم ويكون متجه اتجاه هذا الخط هـ→ عمودياً على كلا العموديين على المستويين فيتعين بالضرب الاتجاهي لهما: هـ→ = ن₁→ × ن₂→	مستويينمتوازيينمستقيمويكون

🧮 التطبيقات والمسائل النموذجية المحلولة بالخطوات (Step-by-Step Worked Examples):
مثال نموذجي 1 مسألة ضرب اتجاهي ومساحة مثلث وحجم متوازي سطوح

نص المسألة / السؤال إذا كانت المتجهات: أ→ = (2، -1، 3)، ب→ = (1، 2، -2)، جـ→ = (3، 1، 1)؛ احسب: 1) أ→ × ب→ ومساحة متوازي الأضلاع المنشأ عليهما ومساحة المثلث.
2) حجم متوازي السطوح المتولد من المتجهات أ→، ب→، جـ→.

خطوات الحل والشرح النموذجي 1) حساب الضرب الاتجاهي أ→ × ب→ باستخدام محدد الرتبة الثالثة: أ→ × ب→ = | س̂ ص̂ ع̂ | | 2 -1 3 | | 1 2 -2 | = س̂ [ (-1)(-2) – (3)(2) ] – ص̂ [ (2)(-2) – (3)(1) ] + ع̂ [ (2)(2) – (-1)(1) ] = س̂ [ 2 – 6 ] – ص̂ [ -4 – 3 ] + ع̂ [ 4 + 1 ] = -4 س̂ + 7 ص̂ + 5 ع̂ = (-4، 7، 5).
معيار الضرب الاتجاهي ||أ→ × ب→|| = √[(-4)² + 7² + 5²] = √[16 + 49 + 25] = √90 = 3√10 وحدة طول.
إذن مساحة متوازي الأضلاع المنشأ عليهما = 3√10 وحدة مساحة مربعة (حوالي 9.487 وحدة مربعة).
مساحة المثلث الناتج عنهما = (1/2) مساحة متوازي الأضلاع = (3/2) √10 وحدة مساحة مربعة.
2) حساب حجم متوازي السطوح (الضرب الثلاثي القياسي أ→ · (ب→ × جـ→)):
الحجم = القيمة المطلقة للمحدد المكون من المتجهات الثلاثة:
| 2 -1 3 |
| 1 2 -2 |
| 3 1 1 |
= 2 [ (2)(1) – (-2)(1) ] – (-1) [ (1)(1) – (-2)(3) ] + 3 [ (1)(1) – (2)(3) ]
= 2 [ 2 + 2 ] + 1 [ 1 + 6 ] + 3 [ 1 – 6 ]
= 2(4) + 1(7) + 3(-5) = 8 + 7 – 15 = 0.
بما أن ناتج الضرب الثلاثي القياسي = 0، فإن حجم متوازي السطوح = صفر وحدة حجم، وهذا يثبت هندسياً أن المتجهات الثلاثة أ→ و ب→ و جـ→ تقع جميعها في مستوى واحد.

مثال نموذجي 2←إيجاد معادلة الخط المستقيم ومعادلة المستوى والبعد العمودي

نص المسألة / السؤال أوجد: 1) معادلة المستوى المار بالنقطة أ(1، 2، 3) والعمودي على المتجه ن→ = (2، -3، 1).
2) طول العمود الساقط من النقطة ب(3، 0، -1) على هذا المستوى.

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
خطوات الحل والشرح النموذجي	1) إيجاد معادلة المستوى: المتجه العمودي ن→ = (2 والنقطة أ(1	إيجادمعادلةالمستوىالمتجه
الصورة القياسية	أ(س – س₁) + ب(ص – ص₁) + جـ(ع – ع₁) = 0 2(س – 1) – 3(ص – 2) + 1(ع – 3) = 0 2س – 2 – 3ص + 6 + ع – 3 = 0 2س – 3ص + ع + 1 = 0 (الصورة العامة لمعادلة المستوى)	العامةلمعادلةالمستوى
•	2) حساب طول العمود الساقط من النقطة ب(3 -1) على المستوى 2س – 3ص + ع + 1 = 0: ل = \|أ س₀ + ب ص₀ + جـ ع₀ + د\| / √(أ² + ب² + جـ²) ل = \| 2(3) – 3(0) + 1(-1) + 1 \| / √[ 2² + (-3)² + 1² ] ل = \| 6 – 0 – 1 + 1 \| / √[ 4 + 9 + 1 ] = \|6\| / √14 = 6 / √14 وحدة طول	حسابالعمودالساقطالنقطة
بإنطاق المقام	ل = (6√14) / 14 = (3/7) √14 وحدة طول (حوالي 1.6 وحدة طول)	وحدةحوالي
•	💡 أسرار وتكات التفوق وملاحظات خبير المادة (Expert Notes & Exam Secrets)	أسراروتكاتالتفوقوملاحظات

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
★ متطابقة جيوب تمام الاتجاه	احفظ دائماً أن مجموع مربعات جيوب تمام الاتجاه لأي متجه يساوي 1 صحيحاً: cos² θx + cos² θy + cos² θz = 1 بينما مجموع مربعات الجيوب يساوي 2: sin² θx + sin² θy + sin² θz = 2	احفظدائمامجموعمربعات
★ الفرق بين المستقيمين المتوازيين والمتخالفين	المستقيمان المتوازيان لهما نفس نسبة متجهات الاتجاه ويجمعهما مستوى واحد بينما المستقيمان المتخالفان لا يتوازيان ولا يتقاطعان ولا يمكن أن يجمعهما مستوى واحد أبداً	المستقيمانالمتوازيانلهمانسبة
★ الزاوية بين خط ومستوى	لحساب الزاوية بين خط مستقيم ومستوى احذر من استخدام cos فالقانون يعطي جيب الزاوية sin α = \|هـ→ · ن→\| / (\|\|هـ→\|\| \|\|ن→\|\|) لأن ن→ عمودي على المستوى وليس موازياً له	لحسابمستقيماحذراستخدام
•	🌍 التطبيقات الحياتية والصناعية والتكنولوجية (Real-World Applications)	التطبيقاتالحياتيةوالصناعيةوالتكنولوجية

✔ الرسوميات الحاسوبية وألعاب الفيديو ثلاثية الأبعاد (3D Computer Graphics): استخدام جبر المتجهات والضرب الاتجاهي لحساب المتجهات العمودية على أسطح المجسمات (Surface Normals) لتحديد انعكاسات الضوء والظلال وتصيير المشاهد الواقعية في محركات الألعاب.
✔ نظم الملاحة الفضائية والأقمار الصناعية (GPS) استخدام معادلات الكرة وتقاطع المستويات الكروية لحساب الإحداثيات المدارية وتحديد المواقع الجغرافية بدقة مليمترية بناءً على إشارات أربعة أقمار صناعية على الأقل.

وجه المقارنة	الضرب القياسي (Dot Product)	الضرب الاتجاهي (Cross Product)
الصيغة الرياضية	أ→ · ب→ = \|\|أ→\|\| \|\|ب→\|\| cos θ	أ→ × ب→ = \|\|أ→\|\| \|\|ب→\|\| sin θ ي̂
طبيعة الناتج	كمية قياسية (عدد حقيقي موجب أو سالب أو صفر)	كمية متجهة عمودية على مستوى المتجهين
طريقة الحساب بالإحداثيات	أس بس + أص بص + أع بع	محدد الرتبة الثالثة [س̂، ص̂، ع̂]
شرط العلاقة الهندسية	أ→ · ب→ = 0 (شرط تعامد المتجهين)	أ→ × ب→ = و→ (شرط توازي المتجهين)
المدلول والتطبيق الهندسي	حساب الشغل وإيجاد الزوايا والمساقط	مساحة متوازي الأضلاع ومساحة المثلث وعزم القوة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
•	💡 كبسولة المراجعة السريعة وأهم فنيات الامتحان	كبسولةالمراجعةالسريعةوأهم
★ كبسولة فراغية 1	مجموع مربعات جيوب تمام الاتجاه يساوي دائماً 1: cos² θx + cos² θy + cos² θz = 1	مجموعمربعاتجيوبتمام
★ كبسولة فراغية 2	يكون المتجهان متعامدين إذا كان ضربهما القياسي صفراً ومتوازيين إذا كان ضربهما الاتجاهي صفراً	يكونالمتجهانمتعامدينضربهما
★ كبسولة فراغية 3	حجم متوازي السطوح يعين بالقيمة المطلقة للضرب الثلاثي القياسي لأحداثيات متجهات أحرفه الثلاثة	متوازيالسطوحيعينبالقيمة

المناهج الدراسية

الرياضيات

الفصل الأول - التفاضل والتكامل (Calculus)

الفصل الثاني - الجبر والهندسة الفراغية (Algebra & Solid Geometry)

الفصل الثالث - الاستاتيكا (Statics)

الفصل الرابع - الديناميكا (Dynamics)

الفصل الخامس - الجبر الأساسي وحساب المثلثات والإحصاء والاحتمال

دروس إضافية

الدرس الرابع: المتجهات في الفراغ ثلاثي الأبعاد ومعادلة الخط المستقيم والمستوى

🌳 شجرة المفاهيم

├── المصطلحات العلمية

├── أمثلة محلولة

├── تكات وملاحظات امتحانية

└── تطبيقات حياتية

🧊 رسم فراغي ثلاثي الأبعاد لحاصل الضرب الاتجاهي للمتجهات ومتجه العمودي (A × B)

D Scientific Render

2 -1 3 | | 1 2 -2 |=

(2)(2) – (-1)(1) ]=

✍️ أمثلة محلولة

وحدة طول.بإنطاق المقام: ل =

6√14 / 14 = (3 / 7) √14

🔬 شكل 1 – نظام الإحداثيات المتعامد ثلاثي الأبعاد ومعادلة الكرة

مديرية. الت التعليم

! 0

140 (ب) 13 (ج) ‏ )6

ليق (ب) 48 (ج) 7ه )ع3

🔬 شكل 2 – الضرب القياسي والاتجاهي والمحددات وحجم متوازي السطوح

🔬 شكل 3 – معادلات الخط المستقيم والمستوى والأوضاع النسبية في الفراغ

🔬 prep3_coordinate_geometry_and_lines

((+عد-1()22 +ع

ت رع

34 نت

لض – رمن م,

وسح ودسمم

رودي دي – (6ت دلتتا

2+)-

★ كتاب الشرح والتفصيل العلمي الشامل المعتمد ★

أحسنت! أنهيت هذا الدرس