🔬 شكل 1 – نظام الإحداثيات المتعامد ثلاثي الأبعاد ومعادلة الكرة

• التفاصيل العلمية والملاحظات الدقيقة المأخوذة من الرسم التوضيحي:

مديرية. الت التعليم

! 0

• لم2[ أسئلة الاختيار من متعدد (كل سؤال بدرجة واحدة) )
• (0) قطعت سيارة مسافة 40 كم على طريق مستقيم فى زمن قدره 1/0, ‎٠‏ ساعة ثم عاد
• فقطع مسافة ‎١0‏ كم فى الاتجاه المعاكس فى زمن قدره نصف ساعة فإن متجه السرعة

140 (ب) 13 (ج) ‏ )6

• 5) يتحرك جسم فى اتجاه ثابت بسرعة ابتدائية ‎٠١‏ سم/ث وعجلة منتظمة / سم/رث”
• فى اتجاه سرعته الابتدائية فإن المسافة التى قطعها الجسم خلال الثانية الخامسة

ليق (ب) 48 (ج) 7ه )ع3

• (5) قذف جسم رأسيًا إلى أعلى من نقطة على سطح الأرض فعاد إلى نقطة القذف بعد ” ثوانى

🔬 شكل 2 – الضرب القياسي والاتجاهي والمحددات وحجم متوازي السطوح

• التفاصيل العلمية والملاحظات الدقيقة المأخوذة من الرسم التوضيحي:
• ع التاتى
• ع التثانوى
• الهعاصر فى القسم العلمر
• الفصل الدراسى الثانى
• © الرياضيات البحتة (علمى)
• » الرياضيات العامة (أدبى)
• «اللغ ةالإنجسيزية
• الصف الثانى الثانوى

🔬 شكل 3 – معادلات الخط المستقيم والمستوى والأوضاع النسبية في الفراغ

• التفاصيل العلمية والملاحظات الدقيقة المأخوذة من الرسم التوضيحي:
• ع التاتى
• ع التثانوى
• الهعاصر فى القسم العلمر
• الفصل الدراسى الثانى
• © الرياضيات البحتة (علمى)
• » الرياضيات العامة (أدبى)
• «اللغ ةالإنجسيزية
• الصف الثانى الثانوى

🔬 prep3_coordinate_geometry_and_lines

• التفاصيل العلمية والملاحظات الدقيقة المأخوذة من الرسم التوضيحي:
• , 8-14 دمءه متفصرمل عط” ..

((+عد-1()22 +ع

ت رع

34 نت

• 18-101 دمغه سمتقصمل عط .:.

لض – رمن م,

وسح ودسمم

رودي دي – (6ت دلتتا

• [18-4253ت مه ستقهصمل عط ..

2+)-

★ كتاب الشرح والتفصيل العلمي الشامل المعتمد ★

• كتاب الشرح المفصل الهندسة الفراغية التحليلية: الإحداثيات المتعامدة ثلاثية الأبعاد، المتجهات، الضرب القياسي والاتجاهي، ومعادلات الخط المستقيم والمستوى
• الرياضيات | الصف الثالث الثانوي (الثانوية العامة) | 2026/2027 | الوحدة السادسة – الهندسة الفراغية والميكانيكا المتقدمة
• 🎯 أهداف التعلم والمخرجات التعليمية المقررة بالتفصيل:
• • إتقان الإحداثيات المتعامدة ثلاثية الأبعاد ومعادلة الكرة في الفراغ وشروطها.
• • استيعاب جبر المتجهات الفراغية والضرب القياسي والاتجاهي والثلاثي القياسي.
• • فهم الصور المختلفة لمعادلات الخط المستقيم والمستوى في الفراغ والمسافات والتقاطع.
• ◄ أولاً الهندسة الإحداثية في الفراغ ثلاثي الأبعاد ومعادلة الكرة

• تُمثل الهندسة الفراغية الامتداد الرياضي الطبيعي من المستوى ثنائي الأبعاد إلى الفضاء الحقيقي: 1) المحاور والمستويات الإحداثية: تقسم المستويات الإحداثية الثلاثة المتعامدة الفراغ إلى ثمانية أثمان؛ وأي نقطة أ(س، ص، ع) تتعين بإسقاطاتها على المحاور؛ فبعد النقطة عن المستوى س ص هو |ع|، وبعدها عن المستوى س ع هو |ص|، وبعدها عن المستوى ص ع هو |س|.
• وبعد النقطة عن محور السينات هو √(ص² + ع²)، وبعدها عن محور الصادات هو √(س² + ع²)، وبعدها عن محور العينات هو √(س² + ص²).

• 3) معادلة الكرة الفراغية الكرة هي مجسم منتظم يبعد سطحه مسافة ثابتة نق عن المركز م(د، هـ، و)؛ ومعادلتها القياسية: (س – د)² + (ص – هـ)² + (ع – و)² = نق².
• وعند فك الأقواس تنتج الصورة العامة س² + ص² + ع² + 2ل س + 2ك ص + 2ن ع + د = 0؛ وشروطها الرياضية الصارمة: 1- معاملات س² وص² وع² متساوية وموجبة وتساوي 1.
• 2- خالية تماماً من الحدود المشتملة على س ص أو س ع أو ص ع.
• 3- المقدار (ل² + ك² + ن² – د) > 0 ليكون نصف القطر نق = √(ل² + ك² + ن² – د) عدداً حقيقياً موجباً.
• ويكون المركز هو م(-ل، -ك، -ن).
• شكل توضيحي (شكل 1 – نظام الإحداثيات المتعامد ثلاثي الأبعاد ومعادلة الكرة): المخطط المجسم للمحاور الفراغية س وص وع والمستويات الإحداثية ومركز ونصف قطر الكرة

• 2) الضرب القياسي (Dot Product) ينتج كمية قياسية عددية؛ ويعرف بـ: أ→ · ب→ = ||أ→|| ||ب→|| cos θ = أس بس + أص بص + أع بع.
• وشرط تعامد متجهين غير صفريين هو أ→ · ب→ = 0.
• والمسقط الجبري (المركبة الجبرية) لمتجه أ→ في اتجاه المتجه ب→ هو: (أ→ · ب→) / ||ب→||.
• والمركبة الاتجاهية هي المسقط الجبري مضروباً في متجه الوحدة في اتجاه ب→.

• شكل توضيحي (شكل 2 – الضرب القياسي والاتجاهي والمحددات وحجم متوازي السطوح): رسم توضيحي لمتجهات الضرب القياسي والاتجاهي وقاعدة اليد اليمنى ومساحة متوازي الأضلاع
• ◄ ثالثاً معادلة الخط المستقيم في الفراغ ثلاثي الأبعاد والعلاقات بين المستقيمات

• شكل توضيحي (شكل 3 – معادلات الخط المستقيم والمستوى والأوضاع النسبية في الفراغ): الأشكال الهندسية للمستقيمات المتقاطعة والمتخلفة والمتوازية والعمود الساقط على المستوى
• ◄ رابعاً معادلة المستوى في الفراغ والمسافات وتقاطع المستويات

• 🧮 التطبيقات والمسائل النموذجية المحلولة بالخطوات (Step-by-Step Worked Examples):
• مثال نموذجي 1 مسألة ضرب اتجاهي ومساحة مثلث وحجم متوازي سطوح

• نص المسألة / السؤال إذا كانت المتجهات: أ→ = (2، -1، 3)، ب→ = (1، 2، -2)، جـ→ = (3، 1، 1)؛ احسب: 1) أ→ × ب→ ومساحة متوازي الأضلاع المنشأ عليهما ومساحة المثلث.
• 2) حجم متوازي السطوح المتولد من المتجهات أ→، ب→، جـ→.

• خطوات الحل والشرح النموذجي 1) حساب الضرب الاتجاهي أ→ × ب→ باستخدام محدد الرتبة الثالثة: أ→ × ب→ = | س̂ ص̂ ع̂ | | 2 -1 3 | | 1 2 -2 | = س̂ [ (-1)(-2) – (3)(2) ] – ص̂ [ (2)(-2) – (3)(1) ] + ع̂ [ (2)(2) – (-1)(1) ] = س̂ [ 2 – 6 ] – ص̂ [ -4 – 3 ] + ع̂ [ 4 + 1 ] = -4 س̂ + 7 ص̂ + 5 ع̂ = (-4، 7، 5).
• معيار الضرب الاتجاهي ||أ→ × ب→|| = √[(-4)² + 7² + 5²] = √[16 + 49 + 25] = √90 = 3√10 وحدة طول.
• إذن مساحة متوازي الأضلاع المنشأ عليهما = 3√10 وحدة مساحة مربعة (حوالي 9.487 وحدة مربعة).
• مساحة المثلث الناتج عنهما = (1/2) مساحة متوازي الأضلاع = (3/2) √10 وحدة مساحة مربعة.
• 2) حساب حجم متوازي السطوح (الضرب الثلاثي القياسي أ→ · (ب→ × جـ→)):
  الحجم = القيمة المطلقة للمحدد المكون من المتجهات الثلاثة:
  | 2 -1 3 |
  | 1 2 -2 |
  | 3 1 1 |
  = 2 [ (2)(1) – (-2)(1) ] – (-1) [ (1)(1) – (-2)(3) ] + 3 [ (1)(1) – (2)(3) ]
  = 2 [ 2 + 2 ] + 1 [ 1 + 6 ] + 3 [ 1 – 6 ]
  = 2(4) + 1(7) + 3(-5) = 8 + 7 – 15 = 0.
• بما أن ناتج الضرب الثلاثي القياسي = 0، فإن حجم متوازي السطوح = صفر وحدة حجم، وهذا يثبت هندسياً أن المتجهات الثلاثة أ→ و ب→ و جـ→ تقع جميعها في مستوى واحد.

• نص المسألة / السؤال أوجد: 1) معادلة المستوى المار بالنقطة أ(1، 2، 3) والعمودي على المتجه ن→ = (2، -3، 1).
• 2) طول العمود الساقط من النقطة ب(3، 0، -1) على هذا المستوى.

• ✔ الرسوميات الحاسوبية وألعاب الفيديو ثلاثية الأبعاد (3D Computer Graphics): استخدام جبر المتجهات والضرب الاتجاهي لحساب المتجهات العمودية على أسطح المجسمات (Surface Normals) لتحديد انعكاسات الضوء والظلال وتصيير المشاهد الواقعية في محركات الألعاب.
• ✔ نظم الملاحة الفضائية والأقمار الصناعية (GPS) استخدام معادلات الكرة وتقاطع المستويات الكروية لحساب الإحداثيات المدارية وتحديد المواقع الجغرافية بدقة مليمترية بناءً على إشارات أربعة أقمار صناعية على الأقل.