• تطبق قاعدة جيب التمام في حالتين رئيسيتين:

🔬 شكل 1 – إشارات الدوال المثلثية وقوانين الجيب وجيب التمام في المثلث

• التفاصيل العلمية والملاحظات الدقيقة المأخوذة من الرسم التوضيحي:
• (قوانين الجيب وجيب التمام) 111311016 1121© 01 5ثلا3ة! 0511© يه ©5111(إشارات الدوال المثلثية) غ1130123111© لاط 510115 1110011011116
• (+) عالغأده2 الى 91)] |أءغأ6ؤزوه2 (+ ) مأ5 :2©
• ع/اأغأزوه2 (+ ) 5ه© 04 ||إإأء أ غأأوه2 (+ ) 1960 :03
• قانون الجيب (عانا8 ©5ز5):

28 – (ع)ماد /ء – (ظق)مصاه / طح (ه)ماد / جه

• قانون جيب التمام (عانا8 ©رأوه©):

(5)8ه» »25 – 2 + 02 ح 2ج

• ★ كتاب الشرح والتفصيل العلمي الشامل المعتمد 2026 / 2027 ★
• كتاب الشرح المفصل حساب المثلثات وقوانين الجيب وجيب التمام والتطبيقات
• المرحلة الثانوية | الوحدة الثالثة – الهندسة والقياس | المنهج المصري الحديث 2026/2027
• 🎯 أهداف التعلم ومخرجات الفهم الوزارية المقررة 2026/2027:
• • فهم النسب المثلثية الأساسية للزاوية الحادة (الجيب sin، جيب التمام cos، والظل tan) ومقلوباتها ومثلث فيثاغورس.
• • استنتاج وتطبيق قاعدة الجيب (Sine Rule) لحل المثلث وحساب نصف قطر الدائرة المارة برؤوسه (2R).
• • استنتاج وتطبيق قاعدة جيب التمام (Cosine Rule) لحساب أطوال الأضلاع وقياسات الزوايا.
• • حساب مساحة المثلث باستخدام قانون الجيب Area = 1/2 a b sin C وصيغة هيرون.

• • حل مسائل زوايا الارتفاع والانخفاض (Angles of Elevation & Depression) وتطبيقات الملاحة والرصد المساحي.

1. النسب المثلثية الأساسية ومتطابقات الزوايا الحادة والخاصة

• حساب المثلثات هو فرع الهندسة التحليلية الذي يربط بين قياسات الزوايا وأطوال الأضلاع. في المثلث القائم الزاوية:
• – sin θ = المقابل / الوتر.
• – cos θ = المجاور / الوتر.
• – tan θ = المقابل / المجاور = sin θ / cos θ.
• النسب للزوايا الخاصة (30°، 45°، 60°):
• – sin 30° = cos 60° = 1/2، و cos 30° = sin 60° = √3 / 2، و tan 30° = 1/√3، و tan 60° = √3.
• – sin 45° = cos 45° = 1/√2، و tan 45° = 1.

2. قاعدة الجيب وحساب نصف قطر الدائرة الخارجة للمثلث

3. قاعدة جيب التمام وزوايا الارتفاع والانخفاض والتطبيقات

• تطبق قاعدة جيب التمام في حالتين رئيسيتين:
• الحالة الأولى إذا علم طولا ضلعين وقياس الزاوية المحصورة بينهما (SAS): فنوجد طول الضلع الثالث من: a = √[b² + c² – 2bc cos A].

• الحالة الثانية إذا علمت أطوال الأضلاع الثلاثة للمثلث (SSS): فنوجد قياس أي زاوية من جيب تمامها: cos A = (b² + c² – a²) / (2bc).
• فإذا كانت قيمة cos موجبة كانت الزاوية حادة، وإذا كانت سالبة كانت الزاوية منفرجة، وإذا كانت صفراً كانت الزاوية قائمة.

• تطبيقات زوايا الارتفاع والانخفاض لرصد قمة برج أو جبل أو منارة بحرية، تقاس زاوية الارتفاع θ باستخدام جهاز الثيودوليت.
• بمعرفة المسافة الأفقية d، يكون ارتفاع البرج h = d × tan θ.
• وفي حالة وجود عائق يمنع الاقتراب من قاعدة البرج، نتحرك مسافة أفقية x على خط مستقيم ونقيس زاويتي ارتفاع مختلفتين ونطبق قاعدة الجيب في المثلثات المتداخلة لحساب الارتفاع بدقة.
• جدول مقارنة بين استخدام قاعدة الجيب وقاعدة جيب التمام في حل المثلث
• ✏️ أمثلة ومسائل وتطبيقات محلولة بالخطوات النموذجية والبرهان العلمي:

• ★ حل مثلث باستخدام قاعدة الجيب وحساب نصف قطر الدائرة الخارجة
  المعطيات والمطلوب: في المثلث ABC: إذا كان قياس الزاوية A = 45°، وقياس الزاوية B = 60°، وطول الضلع c = 10 cm.
• احسب (1) قياس الزاوية C، (2) طولي الضلعين a و b، (3) مساحة الدائرة المارة برؤوس المثلث الخارجة.
• (π = 3.1416).
• خطوات الحل والبرهان الفيزيائي [1] أولاً: حساب قياس الزاوية الثالثة C: قياس ∠C = 180° – (45° + 60°) = 180° – 105° = 75°.
• [2] ثانياً نطبق قاعدة الجيب: a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R.
• [3] a / sin 45° = b / sin 60° = 10 / sin 75°.
• [4] نحسب sin 75° بالآلة الحاسبة sin 75° ≈ 0.9659.
• [5] طول الضلع a = (10 × sin 45°) / sin 75° = (10 × 0.7071) / 0.9659 ≈ 7.32 cm.
• [6] طول الضلع b = (10 × sin 60°) / sin 75° = (10 × 0.8660) / 0.9659 ≈ 8.97 cm.
• [7] ثالثاً حساب نصف قطر الدائرة الخارجة R: 2R = c / sin C = 10 / 0.9659 ≈ 10.353 cm ==> R ≈ 5.176 cm.
• [8] مساحة الدائرة الخارجة = π R² = 3.1416 × (5.176)² ≈ 3.1416 × 26.79 ≈ 84.17 cm².
• 💡 فنية وتريك للحل السريع وتجنب الخطأ تذكر دائماً: النسبة الكاملة في قاعدة الجيب (ضلع معلوم مع زاويته المقابلة) تساوي 2R قطر الدائرة الخارجة!

• ★ حساب قياس أكبر زاوية في مثلث بدلالة أضلاعه
  المعطيات والمطلوب: مثلث أطوال أضلاعه: a = 5 cm, b = 7 cm, c = 8 cm.
• احسب قياس أكبر زوايا المثلث، ومساحة المثلث.
• خطوات الحل والبرهان الفيزيائي [1] في أي مثلث، أكبر زاوية تقابل دائماً أطول ضلع.
• أطول ضلع هو c = 8 cm، إذاً أكبر زاوية هي الزاوية C المقابلة له.
• [2] نطبق قانون جيب التمام للزاوية C cos C = (a² + b² – c²) / (2 a b).
• [3] cos C = (5² + 7² – 8²) / (2 × 5 × 7) = (25 + 49 – 64) / 70 = (74 – 64) / 70 = 10 / 70 = 1/7 ≈ 0.14286.
• [4] بما أن قيمة cos موجبة، فإن الزاوية حادة قياس ∠C = cos⁻¹(1/7) ≈ 81.79° (أو 81° 47' 12'').
• [5] ثانياً حساب مساحة المثلث: Area = 1/2 a b sin C = 1/2 × 5 × 7 × sin(81.79°).
• [6] sin(81.79°) ≈ 0.9897 ==> Area = 17.5 × 0.9897 ≈ 17.32 cm².
• 💡 فنية وتريك للحل السريع وتجنب الخطأ قاعدة ذهبية: أكبر زاوية تقابل أكبر ضلع، وأصغر زاوية تقابل أصغر ضلع!

💡 💡 كبسولة الفنيات وتريكات الامتحانات والأسئلة الوزارية 2026/2027:

• قاعدة الجيب a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R.
• قاعدة جيب التمام a² = b² + c² – 2bc cos A وتستخدم عند معرفة ضلعين وزاوية محصورة أو الأضلاع الثلاثة.
• مساحة المثلث تساوي نصف حاصل ضرب طولي أي ضلعين في جيب الزاوية المحصورة بينهما.
• إذا كانت قيمة cos A سالبة فهذا يعني حتماً أن الزاوية A منفرجة وقياسها أكبر من 90°.
• زاوية الارتفاع المقاسة من نقطة تساوي تماماً زاوية الانخفاض المقاسة من قمة الجسم بالتبادل.