المناهج الدراسية

الرياضيات

الفصل الأول - التفاضل والتكامل (Calculus)

0/86

الفصل الثاني - الجبر والهندسة الفراغية (Algebra & Solid Geometry)

0/50

الفصل الثالث - الاستاتيكا (Statics)

0/21

الفصل الرابع - الديناميكا (Dynamics)

0/35

الفصل الخامس - الجبر الأساسي وحساب المثلثات والإحصاء والاحتمال

0/40

دروس إضافية

0/193

نص الدرس

الدرس 1 – تنظيم البيانات ومقاييس النزعة المركزية – شرح

الرياضيات

الدرس 1 – تنظيم البيانات ومقاييس النزعة المركزية – شرح

الشرح

أقسام الدرس

مقدمة المصطلحات العلمية القوانين والعلاقات تنظيم البيانات الإحصائية والجداول التكرارية مقاييس النزعة المركزية: الوسط والوسيط والمنوال وتأثير القيم المتطرفة مقاييس التشتت: المدى والتباين والانحراف المعياري وتطبيقاتها جداول المقارنة أمثلة محلولة تكات وملاحظات امتحانية الجداول والمخططات التوضيحية المستخرجة من أصول المنهج الشرح الموسوعي المعتمد والمصطلحات الكاملة (كتب الوزارة + الامتحان + المعاصر + الوسام)📌 قاموس المصطلحات والمفاهيم العلمية الدقيقة:⚖️ القوانين والعلاقات الرياضية والفيزيائية الحاكمة:🔍 الشرح والتحليل المستفيض وتفسيرات علل والاستنتاجات:

مقدمة

🌳 شجرة المفاهيم

الدرس 1 – تنظيم البيانات ومقاييس النزعة المركزية

├── المصطلحات العلمية

├── القوانين والعلاقات

├── تنظيم البيانات الإحصائية والجداول التكرارية

├── مقاييس النزعة المركزيةالوسط والوسيط والمنوال وتأثير القيم المتطرفة

├── مقاييس التشتتالمدى والتباين والانحراف المعياري وتطبيقاتها

├── جداول المقارنة

├── أمثلة محلولة

└── تكات وملاحظات امتحانية

الدرس 1 – تنظيم البيانات ومقاييس النزعة المركزية – شرح · 1 / 14

الجزء التالي

المصطلحات العلمية

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	مثال	كلمات مفتاحية
الوسط الحسابي (Mean – x̄)	مجموع القيم مقسوماً على عددها ويعتبر المقياس الأكثر شيوعاً ولكنه يتأثر بشدة بالقيم المتطرفة والشاذة	—	مجموعالقيممقسوماعددها
الوسيط (Median)	القيمة التي تتوسط مجموعة البيانات تماماً بعد ترتيبها تصاعدياً أو تنازلياً بحيث يقسم البيانات إلى نصفين متساويين ولا يتأثر بالقيم المتطرفة	—	القيمةتتوسطمجموعةالبيانات
المنوال (Mode)	القيمة أو المفردة الأكثر تكراراً أو شيوعاً بين مجموعة البيانات ويمكن أن يكون للبيانات منوال واحد أو منوالان أو لا يوجد لها منوال	—	القيمةالمفردةالأكثرتكرارا
المدى (Range)	الفرق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة في مجموعة البيانات ويعتبر أبسط مقاييس التشتت وأسهلها حساباً ولكنه شديد التأثر بالقيم الشاذة	—	الفرقأكبرقيمةوأصغر
الانحراف المعياري (Standard Deviation – σ)	الجذر التربيعي الموجب لمتوسط مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي ويعتبر أدق وأهم مقاييس التشتت إحصائياً	—	الجذرالتربيعيالموجبلمتوسط
التباين (Variance – σ²)	مربع الانحراف المعياري	متوسط مربعات الفروق بين القيم والوسط الحسابي	مربعالانحرافالمعياريويمثل

الدرس 1 – تنظيم البيانات ومقاييس النزعة المركزية – شرح · 2 / 14

الجزء السابق الجزء التالي

القوانين والعلاقات

الوسط الحسابي للبيانات المفردة والمبوبة[ الصيغة الفيزيائية والرياضية: x̄ = (Σ x) / n | x̄ = (Σ (x × k)) / Σk ] حيث x مركز الفئة، k التكرار، n عدد القيم.

قانون الانحراف المعياري للقيم المفردة[ الصيغة الفيزيائية والرياضية:

σ = ^{Σ (x – x}√()

̄)² / n ] ] حساب انحرافات كل قيمة عن الوسط الحسابي وتربيعها.

قانون الانحراف المعياري للجدول التكراري[ الصيغة الفيزيائية والرياضية:

σ = ^{(Σ (x – x}√()

̄)² × k) / Σ k ] ] حيث x مراكز المجموعات و k التكرارات المقابلة.

الدرس 1 – تنظيم البيانات ومقاييس النزعة المركزية – شرح · 3 / 14

الجزء السابق الجزء التالي

تنظيم البيانات الإحصائية والجداول التكرارية

الإحصاء هو علم جمع البيانات وتنظيمها وتبويبها وتحليلها واستخلاص النتائج لاتخاذ القرارات الرشيدة.

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	مثال	كلمات مفتاحية
تنظيم البيانات الخام	عند جمع بيانات عددية كبيرة تنظم في جدول تفريغ تكراري بالعلامات ثم جدول تكراري بسيط يوضح كل قيمة وتكرارها	—	عدديةكبيرةتنظمجدول
•	وإذا كانت البيانات كثيرة ومتصلة تجمع في فئات أو مجموعات ذات مدى ثابت (	الفئات: 10- 20- 30- …) ويحسب مركز كل مجموعة بالعلاقة: مركز المجموعة = (بداية المجموعة + نهاية المجموعة) / 2	وإذاكانتالبياناتكثيرة
التمثيل البياني	تمثل الجداول التكرارية بالمدرج التكراري (Histogram) المضلع التكراري المنحنى التكراري والمنحنى التكراري المتجمع الصاعد والهابط	—	تمثلالجداولالتكراريةبالمدرج

الدرس 1 – تنظيم البيانات ومقاييس النزعة المركزية – شرح · 4 / 14

الجزء السابق الجزء التالي

مقاييس النزعة المركزية: الوسط والوسيط والمنوال وتأثير القيم المتطرفة

مقاييس النزعة المركزية تعبر عن القيمة الوسطية أو النموذجية التي تتجمع حولها باقي البيانات:

خمسة أنابيب متصلة بمستويات ماء 2 و4 و6 و8 و10 تستقر عند 6 تمثل مقاييس النزعة المركزية والوسط الحسابي.

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	مثال	كلمات مفتاحية
الوسط الحسابي	x̄ = (Σ x) / n. ميزته أنه يدخل في حسابه جميع القيم بلا استثناء. عيبه الخطير: تأثره الشديد بالقيم المتطرفة (الشاذة) فإذا كانت درجات 5 طلاب: 12 95 فإن القيمة 95 ترفع الوسط الحسابي بشكل مضلل لا يعكس حقيقة الأغلبية	—	ميزتهيدخلحسابهجميع
الوسيط	نرتب القيم أولاً ترتيباً تصاعدياً: إذا كان عدد القيم فردياً (n فردي) يكون ترتيب الوسيط هو (n + 1) / 2 وتكون قيمته هي المفردة في هذا الترتيب. وإذا كان عدد القيم زوجياً (n زوجي) يكون هناك وسيطان ترتيبهما (n / 2) و (n / 2 + 1) والوسيط هو متوسطهما الحسابي. ميزته الفائقة: لا يتأثر إطلاقاً بالقيم المتطرفة أو الشاذة	—	نرتبالقيمأولاترتيبا
المنوال		فصائل الدم أو الألوان)	القيمةالأكثرتكراراويتميز

الدرس 1 – تنظيم البيانات ومقاييس النزعة المركزية – شرح · 5 / 14

الجزء السابق الجزء التالي

مقاييس التشتت: المدى والتباين والانحراف المعياري وتطبيقاتها

مقاييس النزعة المركزية وحدها غير كافية لوصف البيانات؛
فقد يكون لمجموعتين نفس الوسط الحسابي (مثلاً 50) ولكن إحداهما درجاتها متقاربة ومتجانسة (49, 50, 51) والأخرى متباعدة ومتشتتة (10, 50, 90).
هنا نحتاج لمقاييس التشتت:

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
المدى (Range)	المدى = أكبر قيمة – أصغر قيمة. يعطي فكرة سريعة عن انتشار البيانات ولكنه يعتمد على قيمتين فقط ويهمل باقي التوزيع	أكبرقيمةأصغريعطي
الانحراف المعياري (Standard Deviation – σ)	المقياس النموذجي القياسي للتشتت. كلما صغرت قيمة الانحراف المعياري دل ذلك على تجانس البيانات وتقاربها وتماثل مستوى العينة وإذا كان الانحراف المعياري يساوي صفراً (σ = 0) دل ذلك على أن جميع مفردات العينة متساوية تماماً وبلا أي تشتت	المقياسالنموذجيالقياسيللتشتت

تقارن الصورة مقاييس النزعة المركزية بمقاييس التشتت، وتوضح أن الانحراف المعياري الصغير يدل على تجانس البيانات وتقاربها.
وإذا كان الانحراف المعياري صفرًا، فجميع مفردات العينة متساوية تمامًا دون أي تشتت.

الدرس 1 – تنظيم البيانات ومقاييس النزعة المركزية – شرح · 6 / 14

الجزء السابق الجزء التالي

جداول المقارنة

جدول←مقارنة بين مقاييس النزعة المركزية الثلاثة

المقياس	طريقة الحساب	المزايا	العيوب والتأثر بالقيم المتطرفة
الوسط الحسابي (Mean)	مجموع القيم مقسوماً على عددها ((Σ x) / n)	سهل الحساب ويدخل في حسابه كل القيم	شديد التأثر بالقيم الشاذة والمتطرفة
الوسيط (Median)	القيمة الوسطية بعد الترتيب التصاعدي	لا يتأثر بالقيم المتطرفة إطلاقاً	لا تدخل جميع القيم في حسابه مباشرة
المنوال (Mode)	القيمة الأكثر تكراراً وشيوعاً	يحسب للبيانات الوصفية والكمية معاً	قد لا يوجد منوال أو يتعدد أكثر من منوال

الدرس 1 – تنظيم البيانات ومقاييس النزعة المركزية – شرح · 7 / 14

الجزء السابق الجزء التالي

أمثلة محلولة

حساب الوسط والوسيط والمنوال والانحراف المعياري لمجموعة درجاتالمعطيات والمطلوب: احسب الوسط الحسابي والوسيط والمنوال والمدى والانحراف المعياري لمجموعة القيم الآتية: 8، 9، 7، 6، 5.خطوات الحل والبرهان الفيزيائي: [1] أولاً: الوسط الحسابي x̄: مجموع القيم =
8 + 9 + 7 + 6 + 5 = 35

. عدد القيم
n = 5. [2] x

̄ =
35 / 5 = 7. [3]

ثانياً: الوسيط: نرتب القيم تصاعدياً: 5، 6، 7، 8، 9. عدد القيم 5 (فردي)، ترتيب الوسيط هو (5+1) / 2 = الثالث. [4] الوسيط = 7. [5] ثالثاً: المنوال: لا يوجد منوال لعدم تكرار أي قيمة. [6] رابعاً: المدى = أكبر قيمة – أصغر قيمة =
9 – 5 = 4. [7]

خامساً: الانحراف المعياري σ: نحسب مربعات الانحرافات عن الوسط (x – x̄)²:
[8] (5 – 7)² = (-2)² = 4. [9] (6 – 7)² = (-1)² = 1. [10] (7 – 7)² = 0² = 0. [11] (8 – 7)² = 1² = 1. [12] (9 – 7)² = 2² = 4. [13]

مجموع مربعات الانحرافات Σ(x – x̄)
² = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10. [14]

الانحراف المعياري
σ = √([ 10 / 5 ]) = √2 ≈ 1.414

.💡 فنية وتريك للحل السريع وتجنب الخطأ: تذكر: إذا كانت جميع القيم متساوية فإن الانحراف المعياري σ = 0 دائماً!

الدرس 1 – تنظيم البيانات ومقاييس النزعة المركزية – شرح · 8 / 14

الجزء السابق الجزء التالي

تكات وملاحظات امتحانية

الوسط الحسابي يتأثر بشدة بالقيم المتطرفة، بينما الوسيط لا يتأثر بالقيم المتطرفة.
المنوال هو المقياس الوحيد الذي يصلح للبيانات الوصفية الاسمية.
الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي الموجب لمتوسط مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي.
إذا كان الانحراف المعياري يساوي صفراً، فهذا يعني أن جميع مفردات المجموعة متساوية القيمة.
المدى = أكبر قيمة – أصغر قيمة، والتباين = مربع الانحراف المعياري (σ²).
.egp-ex{margin:18px 0;border:1px solid rgba(79,63,224,.2);border-radius:16px;overflow:hidden;background:#fff}.egp-ex-h{padding:10px 16px;font-weight:800;background:linear-gradient(90deg,#4f3fe0,#22c1c3);color:#fff}.egp-ex-tabs{display:flex;flex-wrap:wrap;gap:6px;padding:10px 12px;background:#f7f6ff}.egp-ex-b{border:1px solid rgba(79,63,224,.3);background:#fff;border-radius:20px;padding:5px 14px;font-weight:700;cursor:pointer}.egp-ex-b.on{background:#4f3fe0;color:#fff}.egp-ex-p{padding:12px 16px}function egpEx(b,k){var w=b.closest(‘.egp-ex’);w.querySelectorAll(‘.egp-ex-b’).forEach(function(x,i){x.classList.toggle(‘on’,i===k)});w.querySelectorAll(‘.egp-ex-p’).forEach(function(x,i){x.hidden=i!==k})}

الدرس 1 – تنظيم البيانات ومقاييس النزعة المركزية – شرح · 9 / 14

الجزء السابق الجزء التالي

الجداول والمخططات التوضيحية المستخرجة من أصول المنهج

💡 بيانات وجداول قياسية←تم استخراج كافة البيانات والجداول والمخططات التشريحية من أصول المنهج المعتمد بدقة عالية لتثبيت الفهم وربط النظري بالعملي.

📊 جدول 1 – مقارنة مقاييس النزعة المركزية ومقاييس التشتت

العنصر / وجه المقارنة	البيانات والخصائص المستخرجة
نقطة 1	ع .10
نقطة 2	ا غ0ع0معمع170 .0 .11
نقطة 3	عاطا0/الاعمع؟ .0 .13
نقطة 4	0205 . .14
نقطة 5	01600 . ,16
نقطة 6	0م600 .0 .18
نقطة 7	6100 .20.0
نقطة 8	50م .22.0
نقطة 9	ل6معنا) .ء .12
نقطة 10	105-كاء76© .0 .15
نقطة 11	00 أنااملاء ع .17
نقطة 12	+0100 . .19

🔬 شكل 1 – المنحنى المتجمع الصاعد والنازل وتعيين الوسيط
التفاصيل العلمية والملاحظات الدقيقة المأخوذة من الرسم التوضيحي:
(2) بلاعأياء8]
يار وأناطمعملا 8
5اء للاكقه أعع زم [2] 11//0 عا عدمهط6 .1
ع نأو كمماغمه [5] ع/ا1ع عط 6ه غناه
امأمعناكما .ع عاطه »ا مممع.؟ .1.0
لامع -معع .0 امم ماهم .2.5
ععمع ناماع 0م15 .3,0
ممع ]ألما .ع ا2ه! .0 .4
ممع .ع عاممماد .ط .5

📊 شكل 1 – حساب مقاييس النزعة المركزية والجدول التكراري

العنصر / وجه المقارنة	البيانات والخصائص المستخرجة
نقطة 1	(2) بلاعأياء8]
نقطة 2	26
نقطة 3	يار وأناطمعملا 8
نقطة 4	5اء للاكقه أعع زم [2] 11//0 عا عدمهط6 .1
نقطة 5	ع نأو كمماغمه [5] ع/ا1ع عط 6ه غناه
نقطة 6	امأمعناكما .ع عاطه »ا مممع.؟ .1.0
نقطة 7	لامع -معع .0 امم ماهم .2.5
نقطة 8	ععمع ناماع 0م15 .3,0
نقطة 9	ممع ]ألما .ع ا2ه! .0 .4
نقطة 10	ممع .ع عاممماد .ط .5
نقطة 11	00 ]؟ اع الاكداه أععزمء عطاغ 1005© .2
نقطة 12	.0 ,م ء رطاره

📊 شكل 2 – جدول حساب الانحراف المعياري ومراكز المجموعات

العنصر / وجه المقارنة	البيانات والخصائص المستخرجة
نقطة 1	(2) بلاعأياء 8
نقطة 2	256
نقطة 3	زان وأناطوعملا .8
نقطة 4	5اء للاكقه أعع زم [2] 11//0 عا عدهمه6 .1
نقطة 5	ع نأو كمماغمه [5] ع/ا1ع عط 6ه غناه
نقطة 6	امأمعناكما .ع عاطه »ا مممع.؟ .1.0
نقطة 7	لامع -معع .0 امم ماهم .2.6
نقطة 8	ععمع ناماع 0م15 .3,0
نقطة 9	+معمع] ألم ,ع ا2ه! .0 .4
نقطة 10	ممع .ع عاممماد .ط .5
نقطة 11	]اع الاكداه أععزمء عطاغ 1005© .2
نقطة 12	.0 ,م ء رطاره

🔬 شكل 2 – حساب الانحراف المعياري والمنحنى التكراري المتجمع
التفاصيل العلمية والملاحظات الدقيقة المأخوذة من الرسم التوضيحي:
(2) بلاعأياء 8
256
زان وأناطوعملا .8
5اء للاكقه أعع زم [2] 11//0 عا عدهمه6 .1
ع نأو كمماغمه [5] ع/ا1ع عط 6ه غناه
امأمعناكما .ع عاطه »ا مممع.؟ .1.0
لامع -معع .0 امم ماهم .2.6
ععمع ناماع 0م15 .3,0
+معمع] ألم ,ع ا2ه! .0 .4
ممع .ع عاممماد .ط .5

🔬 python_code_flowchart_and_algorithm

التفاصيل العلمية والملاحظات الدقيقة المأخوذة من الرسم التوضيحي:

فبراير ومارس

|[(1)بالاستعانة بالخريطة المقابلة اكتب

الرقم المناسب الذى يشي رإلى الإجابة

الصحيحة:

‎)١(‏ أكبرالدول الإفريقية من حيث عدد

‏(ب) اكتب كلمة (صواب) أمام العبارة

الصحيحة, وكلمة (خطأ) أمام العبارة

‎)١(‏ تمرإفريقيا بالمرحلة الثانية لنظرية

التحول الديموجراف التّى تتسم بانخفاض معدلات المواليد والوفيات. )2
(؟) أحرزت مصرتقدمًا فى الوصول بالتعليم الابتدانى إلى مستوى يقارب الاستيعاب

الدرس 1 – تنظيم البيانات ومقاييس النزعة المركزية – شرح · 10 / 14

الجزء السابق الجزء التالي

الشرح الموسوعي المعتمد والمصطلحات الكاملة (كتب الوزارة + الامتحان + المعاصر + الوسام)

📖

الدرس 1 – تنظيم البيانات ومقاييس النزعة المركزية – شرح · 11 / 14

الجزء السابق الجزء التالي

📌 قاموس المصطلحات والمفاهيم العلمية الدقيقة:

الوسط الحسابي (Mean:
x̄) مجموع القيم مقسوماً على عددها، ويعتبر المقياس الأكثر شيوعاً ولكنه يتأثر بشدة بالقيم المتطرفة والشاذة.
الوسيط (Median):
القيمة التي تتوسط مجموعة البيانات تماماً بعد ترتيبها تصاعدياً أو تنازلياً بحيث يقسم البيانات إلى نصفين متساويين، ولا يتأثر بالقيم المتطرفة.
المنوال (Mode):
القيمة أو المفردة الأكثر تكراراً أو شيوعاً بين مجموعة البيانات، ويمكن أن يكون للبيانات منوال واحد أو منوالان أو لا يوجد لها منوال.
المدى (Range):
الفرق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة في مجموعة البيانات، ويعتبر أبسط مقاييس التشتت وأسهلها حساباً ولكنه شديد التأثر بالقيم الشاذة.

الانحراف المعياري (Standard Deviation:
σ) الجذر التربيعي الموجب لمتوسط مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي، ويعتبر أدق وأهم مقاييس التشتت إحصائياً.
التباين (Variance:
σ²) مربع الانحراف المعياري، ويمثل متوسط مربعات الفروق بين القيم والوسط الحسابي.

الدرس 1 – تنظيم البيانات ومقاييس النزعة المركزية – شرح · 12 / 14

الجزء السابق الجزء التالي

⚖️ القوانين والعلاقات الرياضية والفيزيائية الحاكمة:

الوسط الحسابي للبيانات المفردة والمبوبة[ الصيغة الفيزيائية والرياضية: x̄ = (Σ x) / n | x̄ = (Σ (x × k)) / Σ k ] حيث x مركز الفئة، k التكرار، n عدد القيم.

قانون الانحراف المعياري للقيم المفردة[ الصيغة الفيزيائية والرياضية: σ = √[ Σ (x – x̄)² / n ] ] حساب انحرافات كل قيمة عن الوسط الحسابي وتربيعها.

قانون الانحراف المعياري للجدول التكراري[ الصيغة الفيزيائية والرياضية: σ = √[ (Σ (x – x̄)² × k) / Σ k ] ] حيث x مراكز المجموعات و k التكرارات المقابلة.

الدرس 1 – تنظيم البيانات ومقاييس النزعة المركزية – شرح · 13 / 14

الجزء السابق الجزء التالي

🔍 الشرح والتحليل المستفيض وتفسيرات علل والاستنتاجات:

★ كتاب الشرح والتفصيل العلمي الشامل المعتمد 2026 / 2027 ★
كتاب الشرح المفصل تنظيم البيانات ومقاييس النزعة المركزية
المرحلة الإعدادية والثانوية | الوحدة الرابعة – الإحصاء | المنهج المصري الحديث 2026/2027
🎯 أهداف التعلم ومخرجات الفهم الوزارية المقررة 2026/2027:
• فهم أساليب جمع البيانات وتنظيمها في جداول تكرارية بسيطة وجداول ذات مجموعات وتفريغها بيانياً.
• حساب مقاييس النزعة المركزية الثلاثة للبيانات المفردة والمبوبة: الوسط الحسابي (Mean)، الوسيط (Median)، والمنوال (Mode).
• التمييز بين خصائص كل مقياس ومتى يفضل استخدام أحدهما على الآخر وتأثير القيم المتطرفة (Outliers).
• حساب مقاييس التشتت المدى (Range)، والانحراف المعياري (Standard Deviation – σ)، والتباين (Variance – σ²).

• التمثيل البياني بالمنحنى التكراري المتجمع الصاعد والهابط وتعيين الوسيط هندسياً من نقطة التقاطع.

1. تنظيم البيانات الإحصائية والجداول التكرارية

الإحصاء هو علم جمع البيانات وتنظيمها وتبويبها وتحليلها واستخلاص النتائج لاتخاذ القرارات الرشيدة.

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	مثال	كلمات مفتاحية
تنظيم البيانات الخام	عند جمع بيانات عددية كبيرة تنظم في جدول تفريغ تكراري بالعلامات ثم جدول تكراري بسيط يوضح كل قيمة وتكرارها	—	عدديةكبيرةتنظمجدول
•	وإذا كانت البيانات كثيرة ومتصلة تجمع في فئات أو مجموعات ذات مدى ثابت (	الفئات: 10- 20- 30- …) ويحسب مركز كل مجموعة بالعلاقة: مركز المجموعة = (بداية المجموعة + نهاية المجموعة) / 2	وإذاكانتالبياناتكثيرة
التمثيل البياني	تمثل الجداول التكرارية بالمدرج التكراري (Histogram) المضلع التكراري المنحنى التكراري والمنحنى التكراري المتجمع الصاعد والهابط	—	تمثلالجداولالتكراريةبالمدرج

2. مقاييس النزعة المركزية: الوسط والوسيط والمنوال وتأثير القيم المتطرفة

مقاييس النزعة المركزية تعبر عن القيمة الوسطية أو النموذجية التي تتجمع حولها باقي البيانات:

1. الوسط الحسابي: x̄ = Σx / n. ميزته أنه يدخل في حسابه جميع القيم بلا استثناء. عيبه الخطير: تأثره الشديد بالقيم المتطرفة (الشاذة)؛ فإذا كانت درجات 5 طلاب: 12, 14, 15, 16, 95 فإن القيمة 95 ترفع الوسط الحسابي بشكل مضلل لا يعكس حقيقة الأغلبية.

2. الوسيط: نرتب القيم أولاً ترتيباً تصاعدياً: إذا كان عدد القيم فردياً (n فردي)، يكون ترتيب الوسيط هو (n + 1) / 2، وتكون قيمته هي المفردة في هذا الترتيب. وإذا كان عدد القيم زوجياً (n زوجي)، يكون هناك وسيطان ترتيبهما (n / 2) و (n / 2 + 1)، والوسيط هو متوسطهما الحسابي. ميزته الفائقة: لا يتأثر إطلاقاً بالقيم المتطرفة أو الشاذة.

3. المنوال: القيمة الأكثر تكراراً، ويتميز بأنه المقياس الوحيد الذي يمكن حسابه للبيانات الوصفية النوعية (مثل فصائل الدم أو الألوان).

3. مقاييس التشتت: المدى والتباين والانحراف المعياري وتطبيقاتها

مقاييس النزعة المركزية وحدها غير كافية لوصف البيانات؛ فقد يكون لمجموعتين نفس الوسط الحسابي (مثلاً 50) ولكن إحداهما درجاتها متقاربة ومتجانسة (49, 50, 51) والأخرى متباعدة ومتشتتة (10, 50, 90).
هنا نحتاج لمقاييس التشتت:

جدول مقارنة بين مقاييس النزعة المركزية الثلاثة
✏️ أمثلة ومسائل وتطبيقات محلولة بالخطوات النموذجية والبرهان العلمي:

★ حساب الوسط والوسيط والمنوال والانحراف المعياري لمجموعة درجات
المعطيات والمطلوب: احسب الوسط الحسابي والوسيط والمنوال والمدى والانحراف المعياري لمجموعة القيم الآتية: 8، 9، 7، 6، 5.
خطوات الحل والبرهان الفيزيائي [1] أولاً: الوسط الحسابي x̄: مجموع القيم = 8 + 9 + 7 + 6 + 5 = 35.
عدد القيم n = 5.
[2] x̄ = 35 / 5 = 7.
[3] ثانياً الوسيط: نرتب القيم تصاعدياً: 5، 6، 7، 8، 9.
عدد القيم 5 (فردي)، ترتيب الوسيط هو (5+1)/2 = الثالث.
[4] الوسيط = 7.
[5] ثالثاً المنوال: لا يوجد منوال لعدم تكرار أي قيمة.
[6] رابعاً المدى = أكبر قيمة – أصغر قيمة = 9 – 5 = 4.
[7] خامساً الانحراف المعياري σ: نحسب مربعات الانحرافات عن الوسط (x – x̄)²: [8] (5 – 7)² = (-2)² = 4.
[9] (6 – 7)² = (-1)² = 1.
[10] (7 – 7)² = 0² = 0.
[11] (8 – 7)² = 1² = 1.
[12] (9 – 7)² = 2² = 4.
[13] مجموع مربعات الانحرافات Σ(x – x̄)² = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10.
[14] الانحراف المعياري σ = √[ 10 / 5 ] = √2 ≈ 1.414.
💡 فنية وتريك للحل السريع وتجنب الخطأ تذكر: إذا كانت جميع القيم متساوية فإن الانحراف المعياري σ = 0 دائماً!

المقياس	طريقة الحساب	المزايا	العيوب والتأثر بالقيم المتطرفة
الوسط الحسابي (Mean)	مجموع القيم مقسوماً على عددها (Σx / n)	سهل الحساب ويدخل في حسابه كل القيم	شديد التأثر بالقيم الشاذة والمتطرفة
الوسيط (Median)	القيمة الوسطية بعد الترتيب التصاعدي	لا يتأثر بالقيم المتطرفة إطلاقاً	لا تدخل جميع القيم في حسابه مباشرة
المنوال (Mode)	القيمة الأكثر تكراراً وشيوعاً	يحسب للبيانات الوصفية والكمية معاً	قد لا يوجد منوال أو يتعدد أكثر من منوال

💡 💡 كبسولة الفنيات وتريكات الامتحانات والأسئلة الوزارية 2026/2027:
الوسط الحسابي يتأثر بشدة بالقيم المتطرفة، بينما الوسيط لا يتأثر بالقيم المتطرفة.
المنوال هو المقياس الوحيد الذي يصلح للبيانات الوصفية الاسمية.
الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي الموجب لمتوسط مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي.
إذا كان الانحراف المعياري يساوي صفراً، فهذا يعني أن جميع مفردات المجموعة متساوية القيمة.
المدى = أكبر قيمة – أصغر قيمة، والتباين = مربع الانحراف المعياري (σ²).

الدرس 1 – تنظيم البيانات ومقاييس النزعة المركزية – شرح · 14 / 14

الجزء السابق

أحسنت! أنهيت هذا الدرس

ماذا تريد أن تفعل الآن؟

حل الكويزاختبر ما تعلمته الآن الدرس التاليالدرس 2 - المجموعات والعمليات الجبرية ومجموعات الأعداد - شرح ذاكر مادة أخرىالأحياء والجيولوجيا